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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第十章概率章末检测卷(一)(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第十章概率章末检测卷(一)(原卷版+解析)，共18页。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．甲随机写一个大写英文字母，乙随机写一个小写英文字母，则他们写的正好是同一个字母的大小写的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．《周牌算经》中对圆周率有“径一而周三”的记载，已知两周率小数点后20位数字分别为14159 26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．设a是从1、2、3、4中随机取出的一个数，b是从1、2、3中随机取出的一个数，构成一个基本事件．记“这些基本事件中，满足”的事件为E，则E发生的概率为（ ）.
A．；B．；C．；D．．
4．游泳是提高心肺功能最好的运动之一，某校大约有30%的学生肺活量达到良好等级，该校大约有20%的学生每周游泳时间超过3小时，这些人中大约有50%的人肺活量达到良好等级．现从每周游泳时间不超过3小时的学生中随机抽查一名学生，则他的肺活量达到良好等级的概率为（ ）
A．0.1B．0.2C．0.24D．0.25
5．甲、乙、丙三人能独立解决某一问题的概率分别是，，，则此三人至少有一个人把此问题解决的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．从甲地开车到乙地共有，，三条路线可走，路线堵车的概率为0.06，路线堵车的概率为0.09，路线堵车的概率为0.12，且三条路线是否堵车相互独立，若小李从这三条路线中随机选一条，则堵车的概率为（ ）
A．0.06B．0.09C．0.12D．0.27
7．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．手机支付已经成为人们常用的付费方式．某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则（ ）
A．B．C．D．
10．欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署于2015年12月公布了10个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，下表是人均二氧化碳排放量（吨）的统计表．
根据上表，下列结论正确的是（ ）
A．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的极差为14.6吨
B．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的中位数为7.45吨
C．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是6.2吨
D．在人均二氧化碳排放量超过10吨的国家和地区中，随机抽取两个进行访谈，其中俄罗斯被抽到的概率为
11．中国篮球职业联赛（CBA）中，某男篮球运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表:
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（ ）
A．m的值是32%
B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星
C．随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56
D．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率是___________.
14．设关于x的一元二次方程．若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则上述方程有实数根的概率是__________.
15．甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：
（1）累计负两场者被淘汰；
（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；
（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；
（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签甲、乙首先比赛，丙首轮轮空.设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为________.
16．某地区确诊有A、B、C、D四人先后感染了新冠病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染，于是假定C受A和受B感染的概率都是．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是，在这种假定下，若B、C、D三人中恰有两人直接受A感染的概率是______．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．从某酒店开车到机场有两条路线，为了解两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间（单位：），数据如下表：
将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和
(1)求；
(2)现有甲，乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过，乙要求路上时间不超过，若将样本的频率视为概率，为尽可能满足客人要求.司机送甲､乙去机场应该分别选哪条路线？
18．某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4:1，现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）.
(1)求a，b的值；
(2)从上述样本的所有二等品中任取2件，求恰好甲、乙两条生产线各取1件的概率.
19．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
(1)求甲获胜的概率；
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.
20．2021年某省约有23万文科考生参加高考，除去成绩在600分及以上的2013人与成绩在400分以下的109600人，还有约11.87万文科考生的成绩集中在区间内，其成绩的频率分布如下表所示：
(1)请估计该次高考文科考生成绩在内的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若在分数段和的考生中采用分层抽样的方法抽取5名考生进行电话访问，再从被电话访问的5名考生中随机抽取3名考生进行问卷调查，求进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数低于520分的概率
21．网购是目前很流行也很实用的购物方式．某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，统计了3月份顾客在该网站的购物情况，根据顾客3月份在该网站的购物金额（单位：百元），按，，，，，分成6组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计顾客3月份在该网站购物金额的平均值；（各组数据以该组数据的中点值作代表）
(2)该购物网站的销售商采用分层抽样的方法从3月份在该网站的购物金额在和内的顾客中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求被抽取的2人中恰有1人3月份在该网站的购物金额在内的概率．
22．2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业.在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图．
(1)求出直方图中m的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到）；
(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品的概率是多少．
顾客年龄岁
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
13
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
11
31
12
1
中国
巴西
英国
墨西哥
俄罗斯
意大利
德国
韩国
加拿大
沙特阿拉伯
7.4
2.0
7.5
3.9
12.6
6.4
10.2
6.2
15.7
16.6
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
没投中
100
55
18
27
路线一
44
58
66
50
34
42
50
38
62
56
路线二
54
48
60
54
50
53
53
44
53
51
一等品
二等品
甲生产线
76
a
乙生产线
b
2
分数段
频率
0.21
0.26
0.27
0.18
0.08
概率章末检测卷（一）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．甲随机写一个大写英文字母，乙随机写一个小写英文字母，则他们写的正好是同一个字母的大小写的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】基本事件的总数为，
正好是同一个字母的大小写的事件有，
所以所求概率为.
故选：B
2．《周牌算经》中对圆周率有“径一而周三”的记载，已知两周率小数点后20位数字分别为14159 26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为从这20个数字的前10个数字中有7个奇数，后10个数字中有5个奇数，
所以从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，这两个数字均为奇数的概率为.
故选：D.
3．设a是从1、2、3、4中随机取出的一个数，b是从1、2、3中随机取出的一个数，构成一个基本事件．记“这些基本事件中，满足”的事件为E，则E发生的概率为（ ）.
A．；B．；C．；D．．
【解析】试验发生包含的事件是分别从两个集合中取两个数字，共有种结果,
满足条件的事件是满足，可以列举出所有的事件,
当时,，
当时,，共有个，
所以根据古典概型的概率公式得到概率是,
故选：B
4．游泳是提高心肺功能最好的运动之一，某校大约有30%的学生肺活量达到良好等级，该校大约有20%的学生每周游泳时间超过3小时，这些人中大约有50%的人肺活量达到良好等级．现从每周游泳时间不超过3小时的学生中随机抽查一名学生，则他的肺活量达到良好等级的概率为（ ）
A．0.1B．0.2C．0.24D．0.25
【解析】设该校有x个同学，则约有0.3x的学生肺活量达到良好等级,
0.2x的学生每周游泳时间超过3小时且游泳时间超过3小时的学生中有0.1x的学生肺活量达到良好等级，
有0.8x的学生每周游泳时间不超过3小时且其中有0.2x的学生肺活量达到良好等级,
从每周游泳时间不超过3小时的学生中随机抽查一名学生，则他的肺活量达到良好等级的概率，
故选：D
5．甲、乙、丙三人能独立解决某一问题的概率分别是，，，则此三人至少有一个人把此问题解决的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设此三人至少有一个人把此问题解决为事件，
三人都没有把此问题解决的概率是，
则此三人至少有一个人把此问题解决的概率是.
故选：D.
6．从甲地开车到乙地共有，，三条路线可走，路线堵车的概率为0.06，路线堵车的概率为0.09，路线堵车的概率为0.12，且三条路线是否堵车相互独立，若小李从这三条路线中随机选一条，则堵车的概率为（ ）
A．0.06B．0.09C．0.12D．0.27
【解析】因为路线是随机选的，所以选择每条路线的概率都是．选择走路线且堵车的概率为，选择走路线且堵车的概率为，
选择走路线且堵车的概率为，
所以堵车的概率为．
故选：B
7．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】记甲是通过飞沫传播被感染为事件，乙是通过飞沫传播被感染为事件，
，
甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为：
．
故选：D．
8．手机支付已经成为人们常用的付费方式．某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的共有人，所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为．
故选：A.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】对于A，因“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，则，A不正确；
对于B，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，两个事件没有公共的基本事件，，B不正确；
对于C，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，
R或G表示摸的两个球的颜色相同，即，C正确；
对于D，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，由对立事件的定义知，D正确.
故选：CD
10．欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署于2015年12月公布了10个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，下表是人均二氧化碳排放量（吨）的统计表．
根据上表，下列结论正确的是（ ）
A．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的极差为14.6吨
B．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的中位数为7.45吨
C．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是6.2吨
D．在人均二氧化碳排放量超过10吨的国家和地区中，随机抽取两个进行访谈，其中俄罗斯被抽到的概率为
【解析】，A正确；
按照从小到大的顺序进行排列：2.0，3.9，6.2，6.4，7.4，7.5，10.2，12.6，15.7，16.6，处于中间位置的第5和第6分别为7.4，7.5，故这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的中位数为，B正确；为整数，所以10个数的30%分位数是，故这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是6.3吨，C错误；
人均二氧化碳排放量超过10吨的国家和地区有4个，随机抽取两个进行访谈，一共出现的情况有：（德国，俄罗斯），（德国，加拿大），（德国，沙特阿拉伯），（俄罗斯，加拿大），（俄罗斯，沙特阿拉伯），（加拿大，沙特阿拉伯），共有6种情况，其中俄罗斯被抽到的情况有3种，故被抽中的概率为，D正确.
故选：ABD
11．中国篮球职业联赛（CBA）中，某男篮球运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表:
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题意可知，，，
事件与事件为对立事件，且事件，，互斥，
所以，
，
，
故选：AC.
12．豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（ ）
A．m的值是32%
B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星
C．随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56
D．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件
【解析】对A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，
则，所以，故A正确；
对B选项，随机抽取100名观众，可能有人评价五星，但不是一定的，故B错误；
对C选项，由A选项，评价是三星或五星的概率约为，故C正确；
对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确；
故选：ACD
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率是___________.
【解析】时，；或；共有种情况；
从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，
共有种情况
的概率为
故答案为：.
14．设关于x的一元二次方程．若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则上述方程有实数根的概率是__________.
【解析】∵关于x的一元二次方程有解．
∴，即，
由题a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，
故总共有个基本事件，
当；当；当；当，
∴方程有根的情况为9种，
故方程有实根的概率为.
故答案为：.
15．甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：
（1）累计负两场者被淘汰；
（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；
（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；
（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签甲、乙首先比赛，丙首轮轮空.设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为________.
【解析】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，注意丙轮空时，甲乙比赛结果对下面丙获胜概率没有影响（或者用表示），
若比赛4场，丙最终获胜，则丙3场全胜，概率为，
若比赛5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，
所以丙获胜的概率为．
故答案为：．
16．某地区确诊有A、B、C、D四人先后感染了新冠病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染，于是假定C受A和受B感染的概率都是．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是，在这种假定下，若B、C、D三人中恰有两人直接受A感染的概率是______．
【解析】B、C、D三人中恰有两人直接受A感染分为两类：
①B、C直接受A感染而D不是直接受A感染
②B、D直接受A感染而C不是直接受A感染
对于①，其概率为；对于②，其概率为
综上，B、C、D三人中恰有两人直接受A感染的概率是
故答案为：
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．从某酒店开车到机场有两条路线，为了解两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间（单位：），数据如下表：
将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和
(1)求；
(2)现有甲，乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过，乙要求路上时间不超过，若将样本的频率视为概率，为尽可能满足客人要求.司机送甲､乙去机场应该分别选哪条路线？
【解析】(1)，
，
，
.
(2)记路线一的全程时间为，路线二的全程时间为，
将样本的频率视为概率，
由样本数据可知，所以送甲去机场应该选择路线一；
，所以送乙去机场应选择路线二.
18．某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4:1，现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）.
(1)求a，b的值；
(2)从上述样本的所有二等品中任取2件，求恰好甲、乙两条生产线各取1件的概率.
【解析】(1)由题意知'解得，.
(2)记样本中甲生产线的4件二等品为，，，，乙生产线的2件二等品为，，
从6件二等品中任取2件，所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中甲、乙两条生产线各取1件的结果为：，，，，，，，，共8种，
所求概率为.
19．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
(1)求甲获胜的概率；
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.
【解析】(1)设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则，，（k=1，2，3），记“甲获胜”为事件C，则
.
(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D.
则
.
20．2021年某省约有23万文科考生参加高考，除去成绩在600分及以上的2013人与成绩在400分以下的109600人，还有约11.87万文科考生的成绩集中在区间内，其成绩的频率分布如下表所示：
(1)请估计该次高考文科考生成绩在内的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若在分数段和的考生中采用分层抽样的方法抽取5名考生进行电话访问，再从被电话访问的5名考生中随机抽取3名考生进行问卷调查，求进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数低于520分的概率
【解析】(1)该次高考文科考生成绩在内的平均分的估计值为.
(2)分数段和的考生人数的比为，
在分数段的考生中应抽取名，记，，.
在分数段的考生中应抽取名，记，.
从上述5名考生中随机抽取3名的所有结果为，，，，，，，，，共10种，
其中至少有2名分数低于520分的结果为，，，，，，共7种.
所以进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数低于520分的概率.
21．网购是目前很流行也很实用的购物方式．某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，统计了3月份顾客在该网站的购物情况，根据顾客3月份在该网站的购物金额（单位：百元），按，，，，，分成6组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计顾客3月份在该网站购物金额的平均值；（各组数据以该组数据的中点值作代表）
(2)该购物网站的销售商采用分层抽样的方法从3月份在该网站的购物金额在和内的顾客中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求被抽取的2人中恰有1人3月份在该网站的购物金额在内的概率．
【解析】(1)由题意可估计顾客3月份在该网站的购物金额的平均值
（百元）．
(2)由频率分布直方图可知3月份在该网站的购物金额在和内的顾客的频率分别是0.3，0.2，则采用分层抽样的方法从3月份在该网站的购物金额在和内的顾客中抽取的5人中，购物金额在内的有3人，分别记为a，b，c；购物金额在内的有2人，分别记为d，e．
从这5人中随机抽取2人的情况有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种；
其中符合条件的情况有ad，ae，bd，be，cd，ce，共6种．故所求概率．
22．2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业.在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图．
(1)求出直方图中m的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到）；
(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品的概率是多少．
【解析】(1)由，得，
所以直方图中m的值是0.030；
(2)平均数为，
因为，，
所以中位数在第4组，设中位数为n，则，解得，
所以可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为；
(3)由频率分布直方图知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个，
由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有：(个)，二等品有：(个)，所以抽取的5个口罩中一等品有3个，二等品有2个.一等品的概率为.
顾客年龄岁
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
13
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
11
31
12
1
中国
巴西
英国
墨西哥
俄罗斯
意大利
德国
韩国
加拿大
沙特阿拉伯
7.4
2.0
7.5
3.9
12.6
6.4
10.2
6.2
15.7
16.6
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
没投中
100
55
18
27
路线一
44
58
66
50
34
42
50
38
62
56
路线二
54
48
60
54
50
53
53
44
53
51
一等品
二等品
甲生产线
76
a
乙生产线
b
2
分数段
频率
0.21
0.26
0.27
0.18
0.08
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．甲随机写一个大写英文字母，乙随机写一个小写英文字母，则他们写的正好是同一个字母的大小写的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．《周牌算经》中对圆周率有“径一而周三”的记载，已知两周率小数点后20位数字分别为14159 26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．设a是从1、2、3、4中随机取出的一个数，b是从1、2、3中随机取出的一个数，构成一个基本事件．记“这些基本事件中，满足”的事件为E，则E发生的概率为（ ）.
A．；B．；C．；D．．
4．游泳是提高心肺功能最好的运动之一，某校大约有30%的学生肺活量达到良好等级，该校大约有20%的学生每周游泳时间超过3小时，这些人中大约有50%的人肺活量达到良好等级．现从每周游泳时间不超过3小时的学生中随机抽查一名学生，则他的肺活量达到良好等级的概率为（ ）
A．0.1B．0.2C．0.24D．0.25
5．甲、乙、丙三人能独立解决某一问题的概率分别是，，，则此三人至少有一个人把此问题解决的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．从甲地开车到乙地共有，，三条路线可走，路线堵车的概率为0.06，路线堵车的概率为0.09，路线堵车的概率为0.12，且三条路线是否堵车相互独立，若小李从这三条路线中随机选一条，则堵车的概率为（ ）
A．0.06B．0.09C．0.12D．0.27
7．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．手机支付已经成为人们常用的付费方式．某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则（ ）
A．B．C．D．
10．欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署于2015年12月公布了10个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，下表是人均二氧化碳排放量（吨）的统计表．
根据上表，下列结论正确的是（ ）
A．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的极差为14.6吨
B．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的中位数为7.45吨
C．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是6.2吨
D．在人均二氧化碳排放量超过10吨的国家和地区中，随机抽取两个进行访谈，其中俄罗斯被抽到的概率为
11．中国篮球职业联赛（CBA）中，某男篮球运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表:
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（ ）
A．m的值是32%
B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星
C．随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56
D．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率是___________.
14．设关于x的一元二次方程．若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则上述方程有实数根的概率是__________.
15．甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：
（1）累计负两场者被淘汰；
（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；
（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；
（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签甲、乙首先比赛，丙首轮轮空.设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为________.
16．某地区确诊有A、B、C、D四人先后感染了新冠病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染，于是假定C受A和受B感染的概率都是．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是，在这种假定下，若B、C、D三人中恰有两人直接受A感染的概率是______．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．从某酒店开车到机场有两条路线，为了解两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间（单位：），数据如下表：
将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和
(1)求；
(2)现有甲，乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过，乙要求路上时间不超过，若将样本的频率视为概率，为尽可能满足客人要求.司机送甲､乙去机场应该分别选哪条路线？
18．某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4:1，现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）.
(1)求a，b的值；
(2)从上述样本的所有二等品中任取2件，求恰好甲、乙两条生产线各取1件的概率.
19．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
(1)求甲获胜的概率；
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.
20．2021年某省约有23万文科考生参加高考，除去成绩在600分及以上的2013人与成绩在400分以下的109600人，还有约11.87万文科考生的成绩集中在区间内，其成绩的频率分布如下表所示：
(1)请估计该次高考文科考生成绩在内的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若在分数段和的考生中采用分层抽样的方法抽取5名考生进行电话访问，再从被电话访问的5名考生中随机抽取3名考生进行问卷调查，求进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数低于520分的概率
21．网购是目前很流行也很实用的购物方式．某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，统计了3月份顾客在该网站的购物情况，根据顾客3月份在该网站的购物金额（单位：百元），按，，，，，分成6组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计顾客3月份在该网站购物金额的平均值；（各组数据以该组数据的中点值作代表）
(2)该购物网站的销售商采用分层抽样的方法从3月份在该网站的购物金额在和内的顾客中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求被抽取的2人中恰有1人3月份在该网站的购物金额在内的概率．
22．2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业.在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图．
(1)求出直方图中m的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到）；
(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品的概率是多少．
顾客年龄岁
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
13
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
11
31
12
1
中国
巴西
英国
墨西哥
俄罗斯
意大利
德国
韩国
加拿大
沙特阿拉伯
7.4
2.0
7.5
3.9
12.6
6.4
10.2
6.2
15.7
16.6
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
没投中
100
55
18
27
路线一
44
58
66
50
34
42
50
38
62
56
路线二
54
48
60
54
50
53
53
44
53
51
一等品
二等品
甲生产线
76
a
乙生产线
b
2
分数段
频率
0.21
0.26
0.27
0.18
0.08
概率章末检测卷（一）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．甲随机写一个大写英文字母，乙随机写一个小写英文字母，则他们写的正好是同一个字母的大小写的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】基本事件的总数为，
正好是同一个字母的大小写的事件有，
所以所求概率为.
故选：B
2．《周牌算经》中对圆周率有“径一而周三”的记载，已知两周率小数点后20位数字分别为14159 26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为从这20个数字的前10个数字中有7个奇数，后10个数字中有5个奇数，
所以从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，这两个数字均为奇数的概率为.
故选：D.
3．设a是从1、2、3、4中随机取出的一个数，b是从1、2、3中随机取出的一个数，构成一个基本事件．记“这些基本事件中，满足”的事件为E，则E发生的概率为（ ）.
A．；B．；C．；D．．
【解析】试验发生包含的事件是分别从两个集合中取两个数字，共有种结果,
满足条件的事件是满足，可以列举出所有的事件,
当时,，
当时,，共有个，
所以根据古典概型的概率公式得到概率是,
故选：B
4．游泳是提高心肺功能最好的运动之一，某校大约有30%的学生肺活量达到良好等级，该校大约有20%的学生每周游泳时间超过3小时，这些人中大约有50%的人肺活量达到良好等级．现从每周游泳时间不超过3小时的学生中随机抽查一名学生，则他的肺活量达到良好等级的概率为（ ）
A．0.1B．0.2C．0.24D．0.25
【解析】设该校有x个同学，则约有0.3x的学生肺活量达到良好等级,
0.2x的学生每周游泳时间超过3小时且游泳时间超过3小时的学生中有0.1x的学生肺活量达到良好等级，
有0.8x的学生每周游泳时间不超过3小时且其中有0.2x的学生肺活量达到良好等级,
从每周游泳时间不超过3小时的学生中随机抽查一名学生，则他的肺活量达到良好等级的概率，
故选：D
5．甲、乙、丙三人能独立解决某一问题的概率分别是，，，则此三人至少有一个人把此问题解决的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设此三人至少有一个人把此问题解决为事件，
三人都没有把此问题解决的概率是，
则此三人至少有一个人把此问题解决的概率是.
故选：D.
6．从甲地开车到乙地共有，，三条路线可走，路线堵车的概率为0.06，路线堵车的概率为0.09，路线堵车的概率为0.12，且三条路线是否堵车相互独立，若小李从这三条路线中随机选一条，则堵车的概率为（ ）
A．0.06B．0.09C．0.12D．0.27
【解析】因为路线是随机选的，所以选择每条路线的概率都是．选择走路线且堵车的概率为，选择走路线且堵车的概率为，
选择走路线且堵车的概率为，
所以堵车的概率为．
故选：B
7．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】记甲是通过飞沫传播被感染为事件，乙是通过飞沫传播被感染为事件，
，
甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为：
．
故选：D．
8．手机支付已经成为人们常用的付费方式．某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的共有人，所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为．
故选：A.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】对于A，因“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，则，A不正确；
对于B，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，两个事件没有公共的基本事件，，B不正确；
对于C，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，
R或G表示摸的两个球的颜色相同，即，C正确；
对于D，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，由对立事件的定义知，D正确.
故选：CD
10．欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署于2015年12月公布了10个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，下表是人均二氧化碳排放量（吨）的统计表．
根据上表，下列结论正确的是（ ）
A．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的极差为14.6吨
B．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的中位数为7.45吨
C．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是6.2吨
D．在人均二氧化碳排放量超过10吨的国家和地区中，随机抽取两个进行访谈，其中俄罗斯被抽到的概率为
【解析】，A正确；
按照从小到大的顺序进行排列：2.0，3.9，6.2，6.4，7.4，7.5，10.2，12.6，15.7，16.6，处于中间位置的第5和第6分别为7.4，7.5，故这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的中位数为，B正确；为整数，所以10个数的30%分位数是，故这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是6.3吨，C错误；
人均二氧化碳排放量超过10吨的国家和地区有4个，随机抽取两个进行访谈，一共出现的情况有：（德国，俄罗斯），（德国，加拿大），（德国，沙特阿拉伯），（俄罗斯，加拿大），（俄罗斯，沙特阿拉伯），（加拿大，沙特阿拉伯），共有6种情况，其中俄罗斯被抽到的情况有3种，故被抽中的概率为，D正确.
故选：ABD
11．中国篮球职业联赛（CBA）中，某男篮球运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表:
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题意可知，，，
事件与事件为对立事件，且事件，，互斥，
所以，
，
，
故选：AC.
12．豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（ ）
A．m的值是32%
B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星
C．随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56
D．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件
【解析】对A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，
则，所以，故A正确；
对B选项，随机抽取100名观众，可能有人评价五星，但不是一定的，故B错误；
对C选项，由A选项，评价是三星或五星的概率约为，故C正确；
对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确；
故选：ACD
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率是___________.
【解析】时，；或；共有种情况；
从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，
共有种情况
的概率为
故答案为：.
14．设关于x的一元二次方程．若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则上述方程有实数根的概率是__________.
【解析】∵关于x的一元二次方程有解．
∴，即，
由题a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，
故总共有个基本事件，
当；当；当；当，
∴方程有根的情况为9种，
故方程有实根的概率为.
故答案为：.
15．甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：
（1）累计负两场者被淘汰；
（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；
（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；
（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签甲、乙首先比赛，丙首轮轮空.设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为________.
【解析】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，注意丙轮空时，甲乙比赛结果对下面丙获胜概率没有影响（或者用表示），
若比赛4场，丙最终获胜，则丙3场全胜，概率为，
若比赛5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，
所以丙获胜的概率为．
故答案为：．
16．某地区确诊有A、B、C、D四人先后感染了新冠病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染，于是假定C受A和受B感染的概率都是．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是，在这种假定下，若B、C、D三人中恰有两人直接受A感染的概率是______．
【解析】B、C、D三人中恰有两人直接受A感染分为两类：
①B、C直接受A感染而D不是直接受A感染
②B、D直接受A感染而C不是直接受A感染
对于①，其概率为；对于②，其概率为
综上，B、C、D三人中恰有两人直接受A感染的概率是
故答案为：
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．从某酒店开车到机场有两条路线，为了解两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间（单位：），数据如下表：
将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和
(1)求；
(2)现有甲，乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过，乙要求路上时间不超过，若将样本的频率视为概率，为尽可能满足客人要求.司机送甲､乙去机场应该分别选哪条路线？
【解析】(1)，
，
，
.
(2)记路线一的全程时间为，路线二的全程时间为，
将样本的频率视为概率，
由样本数据可知，所以送甲去机场应该选择路线一；
，所以送乙去机场应选择路线二.
18．某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4:1，现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）.
(1)求a，b的值；
(2)从上述样本的所有二等品中任取2件，求恰好甲、乙两条生产线各取1件的概率.
【解析】(1)由题意知'解得，.
(2)记样本中甲生产线的4件二等品为，，，，乙生产线的2件二等品为，，
从6件二等品中任取2件，所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中甲、乙两条生产线各取1件的结果为：，，，，，，，，共8种，
所求概率为.
19．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
(1)求甲获胜的概率；
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.
【解析】(1)设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则，，（k=1，2，3），记“甲获胜”为事件C，则
.
(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D.
则
.
20．2021年某省约有23万文科考生参加高考，除去成绩在600分及以上的2013人与成绩在400分以下的109600人，还有约11.87万文科考生的成绩集中在区间内，其成绩的频率分布如下表所示：
(1)请估计该次高考文科考生成绩在内的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若在分数段和的考生中采用分层抽样的方法抽取5名考生进行电话访问，再从被电话访问的5名考生中随机抽取3名考生进行问卷调查，求进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数低于520分的概率
【解析】(1)该次高考文科考生成绩在内的平均分的估计值为.
(2)分数段和的考生人数的比为，
在分数段的考生中应抽取名，记，，.
在分数段的考生中应抽取名，记，.
从上述5名考生中随机抽取3名的所有结果为，，，，，，，，，共10种，
其中至少有2名分数低于520分的结果为，，，，，，共7种.
所以进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数低于520分的概率.
21．网购是目前很流行也很实用的购物方式．某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，统计了3月份顾客在该网站的购物情况，根据顾客3月份在该网站的购物金额（单位：百元），按，，，，，分成6组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计顾客3月份在该网站购物金额的平均值；（各组数据以该组数据的中点值作代表）
(2)该购物网站的销售商采用分层抽样的方法从3月份在该网站的购物金额在和内的顾客中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求被抽取的2人中恰有1人3月份在该网站的购物金额在内的概率．
【解析】(1)由题意可估计顾客3月份在该网站的购物金额的平均值
（百元）．
(2)由频率分布直方图可知3月份在该网站的购物金额在和内的顾客的频率分别是0.3，0.2，则采用分层抽样的方法从3月份在该网站的购物金额在和内的顾客中抽取的5人中，购物金额在内的有3人，分别记为a，b，c；购物金额在内的有2人，分别记为d，e．
从这5人中随机抽取2人的情况有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种；
其中符合条件的情况有ad，ae，bd，be，cd，ce，共6种．故所求概率．
22．2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业.在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图．
(1)求出直方图中m的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到）；
(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品的概率是多少．
【解析】(1)由，得，
所以直方图中m的值是0.030；
(2)平均数为，
因为，，
所以中位数在第4组，设中位数为n，则，解得，
所以可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为；
(3)由频率分布直方图知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个，
由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有：(个)，二等品有：(个)，所以抽取的5个口罩中一等品有3个，二等品有2个.一等品的概率为.
顾客年龄岁
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
13
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
11
31
12
1
中国
巴西
英国
墨西哥
俄罗斯
意大利
德国
韩国
加拿大
沙特阿拉伯
7.4
2.0
7.5
3.9
12.6
6.4
10.2
6.2
15.7
16.6
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
没投中
100
55
18
27
路线一
44
58
66
50
34
42
50
38
62
56
路线二
54
48
60
54
50
53
53
44
53
51
一等品
二等品
甲生产线
76
a
乙生产线
b
2
分数段
频率
0.21
0.26
0.27
0.18
0.08
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