高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第八章立体几何初步章末检测卷(二)(原卷版+解析)

这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第八章立体几何初步章末检测卷(二)(原卷版+解析)，共20页。

3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．下列说法中正确的个数为（ ）
①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；
②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．
A．B．C．D．
2．边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（ ）
A．10cm B．5cm C．5cm D．cm
3．一个正方体的六个面上分别有字母A，B，C，D，E，F，如下图所示是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是（ ）
A．BB．EC．B或FD．E或F
4．如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形 B．是等腰三角形，但不是直角三角形
C．是等腰直角三角形 D．是等边三角形
5．已知在中,角 所对的边分别为,且.又点 都在球的球面上,且点到平面的距离为,则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中的真命题是（ ）
①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n．
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
7．正三棱柱中，底面边长为2，M为中点，与平面所成角为，则三棱柱的体积为（ ）
A．2B．C．3D．
8．在棱长为2的正方体中，点为线段的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中(平面ABFE和平面CDEF不重合)，下面说法不正确的是（ ）
A．存在某一位置，使得CD//平面ABFE B．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE
C．在翻折的过程中，BF//平面ADE恒成立 D．在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立
10．如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．以下结论成立的是（ ）
A．BC⊥PC B．OM⊥平面ABC
C．点B到平面PAC的距离等于线段BC的长 D．三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥M-ABC体积
11．己知m，n为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，则（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则
12．棱长为的正方体的展开图如图所示.已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（ ）
A．与是异面直线 B．与所成角为
C．平面平面 D．若，则点的运动轨迹长度为
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱和六个面的对角线共有24条，其中与体对角线AC1垂直的有________条．
14．如图，在圆锥中，，直线a，b在圆O所在的平面内，且．若直线与a所成角为，则直线与b所成角为________．
15．如图所示，在矩形中，平面，若在上只有一个点Q满足，则a的值等于__________．
16．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从，到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距________________．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．如图，棱锥的底面是矩形，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．
18．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，分别是，的中点.
(1)若，求四棱锥的体积；
(2)求证：平面.
19．如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)求证：面面．
20．在三棱锥中，分别为的中点，且.
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，证明：.
21．如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
22．如图所示，点在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱下底面的内接四边形，且为圆柱下底面的直径，为圆柱的母线.且，圆柱的底面半径为1.
(1)证明：；
(2)若为的中点，点在线段上，，求三棱锥的体积.
立体几何初步章末检测卷（二）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．下列说法中正确的个数为（ ）
①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；
②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．
A．B．C．D．
【解析】对于①，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，①错误；
对于②，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，②错误；
对于③，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，③错误；
对于④，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面射影为底面中心，满足正棱锥定义，④正确.
故选：D.
2．边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（ ）
A．10cmB．5cm
C．5cmD．cm
【解析】圆柱的侧面展开图如图所示，
展开后，
∴，即为所求最短距离．
故选:D.
3．一个正方体的六个面上分别有字母A，B，C，D，E，F，如下图所示是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是（ ）
A．BB．EC．B或FD．E或F
【解析】根据两个不同放置的图形，明显可知C的对面不是A，B，D，E，
故C的对面是F，则与D相对的面为E或B，
若E面与D面相对，则A面与B面相对，这时与第二种放置矛盾，
故与D面相对的是B面.
故选：A.
4．如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形
B．是等腰三角形，但不是直角三角形
C．是等腰直角三角形
D．是等边三角形
【解析】将其还原成原图，设，则可得，
，从而，所以，
即，故是等腰直角三角形.
故选：C.
5．已知在中,角 所对的边分别为,且.又点 都在球的球面上,且点到平面的距离为,则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设的外接圆半径为，球的半径为，则
在中，由正弦定理，得
，解得.
又因为点到平面的距离为,
所以.
所以球的表面积为.
故选：C.
6．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中的真命题是（ ）
①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n．
A．①和②B．②和③
C．③和④D．①和④
【解析】①中，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，所以①不是真命题；
②是直线与平面垂直的定义的应用，所以②是真命题；
③是直线与平面垂直的性质定理，所以③是真命题；
④中，分别在两个平行平面α，β内的直线m，n平行或异面，所以④不是真命题.
故选：B．
7．正三棱柱中，底面边长为2，M为中点，与平面所成角为，则三棱柱的体积为（ ）
A．2B．C．3D．
【解析】取中点为O，BC中点为Q，连接OQ，MO，AQ，则，
所以四边形MAQO是平行四边形，所以，
又是正三角形，所以，平面平面，
所以平面平面平面，
作于H，则平面，
故即为与平面所成角，故，
故，
所以.
故选：B.
8．在棱长为2的正方体中，点为线段的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【解析】
如图，点为线段的中点，连接，于，由正方体的性质，易得，平面，因为平面，平面，所以，.
因为，，所以 ，
，同理可得，
对于，，
所以，
故选：B
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中(平面ABFE和平面CDEF不重合)，下面说法不正确的是（ ）
A．存在某一位置，使得CD//平面ABFE
B．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE
C．在翻折的过程中，BF//平面ADE恒成立
D．在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立
【解析】对于A，因为四边形DEFC是梯形，DE∥CF，所以CD与EF相交，所以CD与平面ABFE相交，故A错误；
对于B，因为四边形DEFC是梯形，DE⊥CD，所以DE与EF不垂直，所以不存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE，故B错误；
对于C，因为四边形ABFE是梯形，AE//BF，BF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，所以在翻折的过程中，BF//平面ADE恒成立，故C正确；
对于D，因为四边形ABFE是梯形，AB⊥BF，所以BF与FE不垂直，在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF不成立，故D错误．
故选：ABD
10．如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．以下结论成立的是（ ）
A．BC⊥PC
B．OM⊥平面ABC
C．点B到平面PAC的距离等于线段BC的长
D．三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥M-ABC体积
【解析】A选项：△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，，又直线PA垂直于圆O所在的平面，，，面，又面，，正确；
B选项：点M为线段PB的中点，，又直线PA垂直于圆O所在的平面， OM⊥平面ABC，正确；
C选项：△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，，又直线PA垂直于圆O所在的平面，，，面，点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，正确；
D选项：点M为线段PB的中点，M到平面PAC的距离等于B到平面PAC的距离的一半，三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半，又M到平面ABC的距离等于P到平面ABC的距离的一半，三棱锥M-ABC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半， 三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥M-ABC体积，正确.
故选：ABCD.
11．己知m，n为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，则（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则
【解析】若，，则无法判断m与平面α的位置关系，故A错误；
若，，，故根据线面平行的性质定理可知m∥n，故B正确；
若，，则根据线面垂直的性质定理知m∥n，故C正确；
若，，则根据面面垂直的判定定理知，故D正确.
故选：BCD.
12．棱长为的正方体的展开图如图所示.已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（ ）
A．与是异面直线B．与所成角为
C．平面平面D．若，则点的运动轨迹长度为
【解析】由展开图还原正方体如下图所示，
对于A，，四边形为平行四边形，，
与是共面直线，A错误；
对于B，，与所成角即为，
，为等边三角形，
，即与所成角为，B正确；
对于C，平面，平面，；
又，，平面，平面，
又平面，平面平面，C正确；
对于D，由正方体性质可知平面，
取中点，连接，
则平面平面，点的轨迹为正六边形的边，
点的轨迹长度为，D正确.
故选：BCD.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱和六个面的对角线共有24条，其中与体对角线AC1垂直的有________条．
【解析】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD⊥AC.∵C1C⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴C1C⊥BD，又AC∩CC1＝C，
∴BD⊥平面ACC1，又∵AC1⊂平面ACC1，∴AC1⊥BD.同理A1B，A1D，B1D1，CD1，B1C都与AC1垂直．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱中没有与AC1垂直的棱，故与体对角线AC1垂直的有6条．
故答案为：6
14．如图，在圆锥中，，直线a，b在圆O所在的平面内，且．若直线与a所成角为，则直线与b所成角为________．
【解析】根据已知，做直径交圆O于两点，如图所示.
因为，
所以，不妨设，
由圆锥可知，所以，，
由勾股定理可得：，所以，
同理可得，可得.
因为CD为直径，所以，所以.
因为直线与a所成角为，不妨取平行于a，又因为，所以BD平行b.
所以直线与b所成角为与BD所成角，等于.
故答案为：.
15．如图所示，在矩形中，平面，若在上只有一个点Q满足，则a的值等于__________．
【解析】连结AQ.
因为平面，所以.
又，面,面,
所以面,所以.
因为在上只有一个点Q满足，所以与以AD为直径的圆相切.
因为所以a=2.
故答案为：2
16．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从，到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距________________．
【解析】作，且，连结，，
，，平面且，
四边形时平行四边形，，平面，平面，
中，,
中，.
故答案为：
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．如图，棱锥的底面是矩形，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．
【解析】(1)因为平面，BD平面，所以PA⊥BD，因为，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.
(2)因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因为PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因为CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夹角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD与平面ABCD的夹角余弦值为.
18．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，分别是，的中点.
(1)若，求四棱锥的体积；
(2)求证：平面.
【解析】(1)∵在底面是矩形的四棱锥中，底面，，
∴；
(2)证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵底面，面，
∴，
又，∴面，
又，分别是，的中点，
∴，
∴平面.
19．如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)求证：面面．
【解析】(1)连接AC，交BD于O，连接OE，
在△CAP中，，∴，
又∵平面BDE，平面BDE，∴∥平面BDE；
(2)∵PO⊥底面ABCD，则PO⊥BD，
又∵是正方形，则AC⊥BD，且，∴BD⊥平面PAC.
∵平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD.
20．在三棱锥中，分别为的中点，且.
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，证明：.
【解析】(1)证明:因为，分别为，的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
(2)证明：因为，为的中点，，
又平面平面
平面平面，
所以平面
又平面.
所以.
21．如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
【解析】（1）证：连接交于点，连接
∵底面是菱形
∴为的中点
∵点为的中点
∴
∵平面，且平面
∴平面
（2）证明：∵底面是菱形
∴
∵平面
∴
∵，∴平面
平面，
∴
22．如图所示，点在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱下底面的内接四边形，且为圆柱下底面的直径，为圆柱的母线.且，圆柱的底面半径为1.
(1)证明：；
(2)若为的中点，点在线段上，，求三棱锥的体积.
【解析】(1)证明
为直径，点在圆上且不同于点，，
又为母线，平面，又平面，从而，
又，平面，
平面，又平面，
(2)由已知得，
∵为的中点，=2，为下底面的直径，
∴，所以，
因为，所以到平面的距离等于点到平面的距离的3倍，
又平面，，所以到平面的距离为1，
则