高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用一课一练，共17页。试卷主要包含了变形等内容，欢迎下载使用。

1余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即



2.变形：


例1（1）在中，B=30°，BC=2，AB=，则边AC的长等于（ ）
A．B．1C．D．2
（2）在中，，，则角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
（3）．四面体中，，，，，若为中点，则长为___________.
举一反三
1．在中，那么（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若C＝60°，a＝5，b＝8，则△ABC的周长为（ ）
A．20B．30C．40D．25
3．设的三个内角、、所对的边分别为、、，如果，则角等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知三角形的三边之比为5：7：8，则该三角形最大角的余弦值是_____________.
5．在中，角的对边分别为.若，则的最小值是___________.
二、利用余弦定理判断三角形形状：
设、、是的角、、的对边，则：
= 1 \* GB3 ①若，，所以为锐角
= 2 \* GB3 ②若
= 3 \* GB3 ③若， 所以为钝角，则是钝角三角形
例2．（1）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形
（2）．中三边上的高依次为，则为( )
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不存在这样的三角形
（3）．在中，，，，则下列四个结论中正确的是（多选）（ ）
A．
B．若，则为锐角三角形.
C．若，则为直角三角形
D．若，则为直角三角形
举一反三
1．在中，内角的对边分别是 ，若，则为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
2.在中，若，则的形状是（ ）．
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定
3．已知钝角三角形的三边a=k，b=k+2，c=k+4，则k的取值范围是___________.
巩固提升
一、单选题
1．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知三角形的边长分别为2，3，4，则它的最大内角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
3．内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．△ABC中，，A=60°，AC=4，则边AC上的高是（ ）
A．B．C．D．
5．在中，角、、的对边分别是、、，下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．在中，若，则a的值可以为（ ）
A．B．C．·D．
三、填空题
7．中，角A､B､C所对的边分别是a､b､c，若，，，则___________.
8．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若A=45°，a=，b=，则c=___________.
四、解答题
9．在△中.
(1)已知，，，求；
(2)已知，，，求a；
(3)已知，，，求A；
(4)已知，，，求c.
10．已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，角所对的边分别为，若，求.
余弦定理
一．余弦定理
1余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即



2.变形：


例1（1）在中，B=30°，BC=2，AB=，则边AC的长等于（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用余弦定理即得．
【详解】
由余弦定理，得，
解得AC=1.
故选：B.
（2）在中，，，则角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，则，利用基本不等式求出的最小值，结合角的取值范围可求得角的最大值.
【详解】
设，则，由余弦定理可得，
当且仅当时，等号成立，因为，则.
故选：A.
（3）．四面体中，，，，，若为中点，则长为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用余弦定理求得，，由，求得，计算即可得出结果.
【详解】
在中，，
由余弦定理可得，,
所以，
同理，在中，，
在中，，，所以，
因为E为CD的中点，则在中，，
，
所以
故答案为：
举一反三
1．在中，那么（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用余弦定理求解.
【详解】
解：由余弦定理得.
故选：A
2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若C＝60°，a＝5，b＝8，则△ABC的周长为（ ）
A．20B．30C．40D．25
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知结合余弦定理即可直接求解．
【详解】
解：根据余弦定理，得c2＝a2+b2﹣2abcsC＝52+82﹣5×8＝49，
所以c＝7，则△ABC的周长为20．
故选：A．
3．设的三个内角、、所对的边分别为、、，如果，则角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理求得的值，结合角的取值范围可求得角的值.
【详解】
因为，则，
由余弦定理可得，，故.
故选：D.
4．已知三角形的三边之比为5：7：8，则该三角形最大角的余弦值是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据大边对大角及余弦定理直接计算即可.
【详解】
设三边长分别为，
则，
即最大角的余弦值为.
故答案为：
5．在中，角的对边分别为.若，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据余弦定理以及基本不等式可求得答案.
【详解】
解：由余弦定理得，又，所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以，
所以的最小值是，
故答案为：.
二、利用余弦定理判断三角形形状：
设、、是的角、、的对边，则：
= 1 \* GB3 ①若，，所以为锐角
= 2 \* GB3 ②若
= 3 \* GB3 ③若， 所以为钝角，则是钝角三角形
例2．（1）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据余弦定理，得到，求得，即可求解.
【详解】
因为，由余弦定理可得，
又由，所以，所以是钝角三角形.
故选：D.
（2）．中三边上的高依次为，则为( )
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不存在这样的三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
利用已知条件结合三角形的面积推出三边关系，然后利用余弦定理判断求解即可．
【详解】
设三边分别为，，，，
∴，
设，，，
∵，故能构成三角形，取大角C，
∵，
∴C为钝角，
∴为钝角三角形．
故选：C﹒
（3）．在中，，，，则下列四个结论中正确的是（多选）（ ）
A．
B．若，则为锐角三角形.
C．若，则为直角三角形
D．若，则为直角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】
三角形中向量首尾相接，可知选项A正确；通过向量数量积的性质可知选项B、C正确与否；将展开，结合余弦定理，可求出，可知选项D正确.
【详解】
中，，，，.
，则只能判定∠ACB是锐角，不能判定是锐角三角形，故B错.
，则，则直角三角形，故C正确.
，即，，
又因为，
所以，所以，则为直角三角形，故D正确.
故选：ACD.
举一反三
1．在中，内角的对边分别是 ，若，则为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据余弦定理即可求解.
【详解】
，
故为钝角，
为钝角三角形，
故选：C
2.在中，若，则的形状是（ ）．
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正弦定理和题设条件，化简得到，进而得到，即可求解.
【详解】
因为，
由正弦定理，可得，
又由，所以，
因为，可得，所以，
又因为，所以，所以为直角三角形.
故选：A.
3．已知钝角三角形的三边a=k，b=k+2，c=k+4，则k的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先解不等式，再结合两边之和大于第三边求解.
【详解】
解：∵，且为钝角三角形，
∴为钝角，
∴，
∴，解得，
由两边之和大于第三边得，∴.
∴.
故答案为：
巩固提升
一、单选题
1．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
理由余弦定理求出，再根据平方关系即可的解.
【详解】
解：因为，，，所以，
故．
故选：C.
2．已知三角形的边长分别为2，3，4，则它的最大内角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形大边对大角可得边长为4所对的角最大，结合余弦定理计算即可.
【详解】
设三角形三边分别为2、3、4，则最大，
所以.
故选：B
3．内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦定理求出，再求出即可.
【详解】
,，，.
故选：C
二、多选题
4．△ABC中，，A=60°，AC=4，则边AC上的高是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
先用余弦定理求出的长，再求出边AC上的高.
【详解】
由余弦定理得：，解得：或3，经检验均符合，设边AC上的高是，当时，；当时，
故选：AB
5．在中，角、、的对边分别是、、，下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用余弦定理求解即可.
【详解】
由余弦定理知：A，B，C正确.
对选项D，由余弦定理得，故D错误.
故选：ABC
6．在中，若，则a的值可以为（ ）
A．B．C．·D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据余弦定理，直接计算求值.
【详解】
根据，得，
即，解得：或.
故选：AB
三、填空题
7．中，角A､B､C所对的边分别是a､b､c，若，，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用余弦定理建立方程，可求.
【详解】
因为，，，
所以，
所以.
故答案为：.
8．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若A=45°，a=，b=，则c=___________.
【答案】3
【解析】
【分析】
由余弦定理得，化简即得解.
【详解】
由余弦定理得，
即，
因为，所以.
故答案为：3.
四、解答题
9．在△中.
(1)已知，，，求；
(2)已知，，，求a；
(3)已知，，，求A；
(4)已知，，，求c.
【答案】(1).
(2).
(3).
(4).
【解析】
【分析】
应用余弦定理，结合各小问的条件，由边求角或由角求边即可.
(1)
由余弦定理知：.
(2)
由余弦定理知：，则.
(3)
由余弦定理知：，又，
∴.
(4)
由余弦定理知：，
∴.
10．已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，角所对的边分别为，若，求.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意得到，再求其单调增区间即可.
（2）根据得到或，再利用余弦定理和勾股定理求解即可.
(1)
.
因为，解得，
所以函数的单调增区间为.
(2)因为，，，
所以或，解得或.
当时，，解得或（舍去），
当时，.