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华东师大版初中数学九年级上册期末素养综合测试卷(二)课件
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这是一份华东师大版初中数学九年级上册期末素养综合测试卷(二)课件，共60页。
期末素养综合测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1. (2024北京石景山期末,4,★☆☆)下列说法中,正确的是 对应目标编号M9125001 ( )A. “在标准大气压下,将水加热到100 ℃,水会沸腾”是随机事件B. 随机事件是可能会发生,也可能不会发生的事件C. 投掷一枚质地均匀的硬币10次,一定有5次正面向上D. “事件可能发生”是指事件发生的机会很多
解析 B A选项是必然事件,故A说法错误;任意投掷一枚质地均匀的硬币,正面 向上和反面向上都是随机发生的,所以10次中不一定有5次正面向上,故C说法错 误;“事件可能发生”是指也许会发生,也许不会发生,发生的机会大小不确定, 故D说法错误.
2. [一题多解](2024陕西汉中期末,2,★☆☆)已知 = (a≠0),则 的值为 对应目标编号M9123001 ( )A. B. C. D.
3. (2024四川宜宾南溪二模,5,★☆☆)若∠A是锐角,sin(∠A+15°)= ,则tan A的值为 ( )A. B. C. 1 D.
4. (2024辽宁铁岭期末,3,★☆☆)下列计算正确的是 对应目标编号M9121003 ( )A. - = B. = - =1C. (2- )(2+ )=1 D. =3 -1
解析 D A. - =2 - = ,故A选项错误;B. = = ,故B选项错误;C.(2- )(2+ )=4-5=-1,故C选项错误;D. = - =3 -1,故D选项正确.
5. [教材变式P4T3](2023河南焦作期末,10,★☆☆)已知点B 2m+1,4m+ 在第四象限,化简|m-3|+ 的结果为 ( )A. 3m+2 B. -m-8 C. m+8 D. -2-3m
解析 C 由题意可知 解得-0,∴原式=-(m-3)+(2m+5)=-m+3+2m+5=m+8.
6. (2024安徽合肥四十八中月考,8,★☆☆)在平面直角坐标系中,将△ABC平移 至△A1B1C1,点P(a,b)是△ABC内一点,经平移后得到△A1B1C1内对应点P1(a+8,b- 5),若点A1的坐标为(5,-1),则点A的坐标为 对应目标编号M9123007 ( )A. (-4,3) B. (-1,2) C. (-6,2) D. (-3,4)
解析 D 对比点P(a,b)与平移后的对应点P1(a+8,b-5),易知点的变化为横坐标加 8,纵坐标减5,可设A(x,y),∵点A1的坐标为(5,-1),∴x+8=5,y-5=-1,解得x=-3,y=4,∴A(-3,4).
7. (2024福建漳州龙文期中,9,★☆☆)已知α,β是方程x2+2 020x+1=0的两个实数 根,则(1+2 023α+α2)(1+2 023β+β2)的值为 ( )A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
解析 C ∵α,β是方程x2+2 020x+1=0的两个实数根,∴αβ=1,α2+2 020α+1=0,β2+2 020β+1=0,∴(1+2 023α+α2)(1+2 023β+β2)=(1+2 020α+α2+3α)(1+2 020β+β2+3β)=9αβ=9.
8. (2024吉林长春德惠二模,7,★★☆)如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,AF⊥BF 于点F,D为AB的中点,连结DF并延长交AC于点E.若AB=10,BC=16,则线段EF的 长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析 B ∵AF⊥BF,∴∠AFB=90°,∵AB=10,D为AB的中点,∴DF= AB=AD=BD=5,∴∠ABF=∠BFD,∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF,∴∠CBF=∠BFD,∴DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ = ,即 = ,解得DE=8, ∴EF=DE-DF=3.
9. (2024吉林长春宽城一模,9,★★☆)如图,轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70° 方向,轮船从A处以每小时40海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行,1小时后到 达码头B处,此时,观测灯塔C位于北偏西25°方向,则灯塔C与码头B的距离是 ( ) A. 20 海里 B. 10 海里 C. 20 海里 D. 10 海里
解析 C 如图,过点B作BD⊥AC于点D,由题意得∠CBA=25°+50°=75°,AB=40×1= 40(海里),∠CAB=180°-70°-50°=60°,∴∠ABD=30°,∴∠CBD=75°-30°=45°,在Rt△ABD中,BD=AB·sin∠CAB=40× =20 (海里).在Rt△BCD中,∠CBD= 45°,∴BC= BD= ×20 =20 (海里).
10. [一题多解](2023广西钦州市直初中期末,3,★★☆)如图,在矩形ABCD中,E、 F分别是BC、CD的中点,AE交对角线BD于点G,BF交AE于点H,则 的值是 ( ) A. B. C. D.
解析 B 解法1(取中点构造中位线):∵E、F分别是BC、CD的中点,∴BE= BC,CF=DF= DC= AB,如图,取BD的中点M,连结EM,交BF于点N,则EM是△BCD的中位线,∴EM= CD,EM∥CD,∴EM= AB,EM∥AB,△BEN∽△BCF,∴ = = ,∴EN= CF= CD,∴EN= AB,∵EM∥AB,∴△EMG∽△ABG,△ENH∽△ABH,
∴ = = , = = ,∴EG= AE,EH= AE,∴GH=EG-EH= AE- AE= AE,∴ = = . 解法2(连结中点构造中位线):如图,连结EF,
∵E、F分别是BC、CD的中点,∴EF是△BCD的中位线,∴EF∥BD,EF= BD,∴△BGH∽△FEH,∴ = ,∵AD∥BC,∴△BEG∽△DAG,∴ = = ,∴DG=2BG,∴EF= ,∴ = = .
二、填空题(共10小题,每小题3分,计30分)
11. (★☆☆)如图,若点A所在的位置是(140°,20°),则点B所在的位 置是 .
解析 依据点A所在的位置特点即可写出点B所在的位置.
12. (2024海南海口期末,12,★☆☆)如图所示的是两个形状相同的举重图案,则x 的值是 .
解析 根据题意得15∶x=20∶30,解得x=22.5.
13. (2023湖南张家界中考,11,★☆☆)已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0有两 个不相等的实数根,则a的取值范围是 . 对应目标编号M9122003
解析 根据题意得Δ=(-2)2-4×1×(-a)>0,解得a>-1.
14. (2024四川成都武侯西川实验学校月考,19,★☆☆)已知x= ,y= ,则x2+y2-xy= .
15. (2024江苏常州期末,15,★☆☆)在如图所示的正方形区域内任意取一点P,则 点P落在阴影部分的概率为 .
16. (2024安徽六安叶集期末,12,★☆☆)如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AD ⊥BC于点D,BD= ,若E、F分别为AB、BC的中点,则EF= . 对应目标编号M9123005
解析 ∵∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC,∴∠BAD=45°,∠CAD=30°,∴AD=BD= ,∴AC= = =2 ,∵E、F分别为AB、BC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF= AC= .
17. (2024湖南常德安乡期末,15,★☆☆)如图,在边长为4 cm的正△ABC的边上有 E、F两个动点,它们从A处同时出发,沿着三角形的三边顺时针运动.若E点的速 度为1 cm/s,F点的速度为5 cm/s,则最少经过 s,△AEF与△ACB相似. 对应目标编号M9123003
解析 设最少经过t s,△AEF与△ACB相似,∵△ABC是边长为4 cm的等边三角形,∴AB=BC=AC=4 cm,∠BAC=60°,由题意得,要使△AEF与△ACB相似所用时间 最少,E点应在AC边上,F点应在AB边上,可得AE=t cm,AC+CB+BF=5t cm,∴AF=(12-5t)cm,∵△AEF与△ACB相似,∴ = =1,∴AE=AF,即t=12-5t,解得t=2.
18. (2024福建泉州五中二模,18,★☆☆)如图,某梯子长10米,斜靠在竖直的墙面 上,当梯子与水平地面所成角为α时,梯子顶端靠在墙面上的点B处,底端落在水平 地面的点A处,如果将梯子底端向墙面靠近,使梯子与地面所成角为β,且sin α=csβ = ,则梯子顶端上升了 米.
解析 由题意可知∠ACB=90°,AB=ED=10米,∵sin α=cs β= ,∴ = = ,设BC=3m米,则AB=5m米,∵梯子长10米,∴5m=10,解得m=2,∴BC=3×2=6(米),设EC=3n米,则ED=5n米,∴5n=10,解得n=2,∴EC=3×2=6(米),∴DC= = =8(米),∴BD=DC-BC=8-6=2(米),∴梯子顶端上升了2米.
19. (2024湖北荆门东宝期末,17,★☆☆)将△OAB按如图所示的方式放在平面直 角坐标系中,其中∠OBA=90°,∠A=30°,顶点A的坐标为(1, ),将△OAB绕原点O逆时针旋转60°得到△OA'B',则点A'的坐标为 .
解析 如图,过点A'作A'C⊥y轴于点C,∴∠A'CO=90°,∵∠OBA=90°,∠A=30°,∴∠AOB=60°,由旋转的性质得OA'=OA,∠A'OA=60°,∴∠AOC=∠COB-∠AOB=30°,∴∠A'OC=∠A'OA-∠AOC=30°,在△A'OC和△OAB中, ∴△A'OC≌△OAB,∴OC=AB= ,A'C=OB=1,∴点A'的坐标为(-1, ).
20. (2023浙江杭州拱墅启正中学期中,10,★★☆)对于关于x的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0),下列说法:①若a+b+c=0,则方程必有一根为x=1;②若方程ax2+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数 根;③若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,且满足x1≠x2≠0,则方程cx2+bx+a=0(c ≠0)必有实数根 , ;④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则b2-4ac=(2ax0+b)2.其中正确的有 .(填写序号即可)
解析 ①当x=1时,ax2+bx+c=a+b+c,∵a+b+c=0,∴x=1为方程ax2+bx+c=0的一根,故说法①正确;②∵方程ax2+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,∴-4ac>0,∴b2-4ac>0,∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,故说法②错误;③∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,且满足x1≠x2≠0,∴x1+x2=- ,x1x2= ,∴- = = + , = = · ,
∴方程cx2+bx+a=0(c≠0)必有实数根 , ,故说法③正确;④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,∴x0= ,∴± =2ax0+b,∴b2-4ac=(2ax0+b)2,故说法④正确.故正确的有①③④.
三、解答题(共8小题,计60分)
21. (2024吉林长春九台期末,15,★☆☆)(6分)计算:(1)4sin 60°- ÷ +(3+ )2.(2)( -1)2+( - )( + )+ -3 .解析 (1)原式=4× - +9+6 +2 (2分)=2 -2 +9+6 +2=11+6 . (3分)(2)原式=3-2 +1+3-2+( +1)2- (5分)=5-2 +2+2 +1- =8-2 + . (6分)
22. (2024陕西汉中城固期中,19,★☆☆)(6分)如图,直线l1∥l2∥l3,且直线l1,l2,l3分 别截直线l4于点A,B,C,截直线l5于点D,E,F. 对应目标编号M9123002(1)若AB=4,BC=8,EF=12,求DE的长.(2)若 = ,AB=7,求AC的长.
解析 (1)∵l1∥l2∥l3,∴ = = = ,∴DE= EF=6. (3分)(2)∵l1∥l2∥l3,∴ = = ,∵AB=7,∴BC= ,∴AC=AB+BC=7+ = . (6分)
23. (2024湖南衡阳衡山二模,24,★☆☆)(6分)如图,在网格中(小正方形的边长均 为1),△ABC的三个顶点都在格点上. 对应目标编号M9123006(1)把△ABC沿着x轴向右平移6个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1.(2)请以坐标系的原点O为位似中心在第一象限内画出△ABC的位似图形△A2B2 C2,使得△ABC与△A2B2C2的相似比为1∶2.(3)请直接写出△A2B2C2三个顶点的坐标.
解析 (1)如图,△A1B1C1即为所作. (2分)(2)如图,△A2B2C2即为所作. (4分)
(3)△A2B2C2三个顶点的坐标分别为A2(6,0),B2(6,4),C2(2,6). (6分)
24. (2023江苏常州中考,22,★☆☆)(6分)在5张相同的小纸条上,分别写有:① ,② ,③1,④乘法,⑤加法.将这5张小纸条做成5支签,①②③放在不透明的盒子A中搅匀,④⑤放在不透明的盒子B中搅匀. 对应目标编号M9125003(1)从盒子A中任意抽出1支签,抽到无理数的概率是 .(2)先从盒子A中任意抽出2支签,再从盒子B中任意抽出1支签.求抽到的2个实数 进行相应的运算后结果是无理数的概率.
解析 (1)在① ,② ,③1中,无理数有两个,∴从盒子A中任意抽出1支签,抽到无理数的概率是 . (2分)(2)依题意画树状图如下,
(4分)由图可知等可能的情况共有6种,其中抽到的2个实数进行相应的运算后结果是 无理数的情况有5种,∴抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率 为 . (6分)
25. (2024辽宁锦州期末,21,★★☆)(8分)某公司2月份销售新上市的A产品20套, 由于该产品的经济适用性,销量快速上升,4月份该公司销售A产品达到45套. 对应目标编号M9122005(1)求2月份到4月份该公司销售A产品的月平均增长率.(2)该公司4月份销售45套A产品,每套利润是2万元,因为产品供不应求,公司决定 适当地涨价,经市场调查发现,当A产品每套的销售利润每上涨0.1万元时,平均每 月少售出1套,该公司要想在5月份获利100万元,而且尽可能让顾客得到实惠,A 产品每套应涨价多少万元?
解析 (1)设该公司销售A产品的月平均增长率为x,依题意得20(1+x)2=45, (2分)解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不合题意,舍去),故2月份到4月份该公司销售A产品的 月平均增长率为50%. (3分)(2)设A产品每套应涨价y万元,则平均每月可售出 套,根据题意得(2+y) =100, (6分)解得y1=0.5,y2=2,∵公司要尽可能让顾客得到实惠,∴y=0.5,故A产品每套应涨价0.5万元. (8分)
26. (2024安徽六安舒城期末,20,★☆☆)(9分)如图,小明为了测量小河对岸大树 BC的高度,他在点A处(点G、A、C在同一水平线上)测得大树顶端B的仰角为45 °,沿着坡度i=1∶ 的斜坡AE走了6米到达斜坡上点D处,此时测得大树顶端B的仰角为31°,点A、B、C、D在同一平面内. 对应目标编号M9124006(1)填空:∠EAG= °,∠ADB= °.(2)求斜坡上点D到AG的距离.(3)求大树BC的高度.(结果精确到0.1米.参考数据:sin 31°≈0.52,cs 31°≈0.86,tan31°≈0.60, ≈1.73, ≈1.41)
解析 (1)如图所示,作DF⊥AG于点F、DH⊥BC于点H,∵i=1∶ ,∴tan∠EAG=1∶ ,∴∠EAG=30°, (2分)∵DH∥CG,∴∠ADH=∠EAG=30°,∴∠ADB=∠ADH+∠BDH=30°+31°=61°.故答案为30;61. (3分)
(2)在Rt△AFD中,∠DAF=30°,AD=6米,∴DF=AD·sin 30°=3(米),即点D到AG的距离为3米. (5分)(3)由图可知四边形DFCH是矩形,∴CH=DF=3米,设BC=x米,则BH=BC-CH=(x-3)米,在Rt△ACB中,
27. (2023河南洛阳宜阳月考,22,★★☆)(9分)【教材呈现】如图所示的是华师版九年级上册数学教材第107页的部分内容.例1:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=15,BC=8,试求出∠A的三个三角函数值. 结合图①,写出解题过程.【结论应用】(1)如图②,作图①中△ABC斜边上的高CD,求CD的长.
(2)如图③,E是图②中线段AD上的点,连结CE,将△ACE沿CE翻折得到△A'CE,使点A的对应点A'落在CD的延长线上,连结A'B,求四边形A'BCE的面积.
解析 【教材呈现】在Rt△ABC中,∠C=90°,由勾股定理得AB= = = =17.∴sin A= = ,cs A= = ,tan A= = . (3分)【结论应用】(1)在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∵sin A= = ,
∴CD=15× = . (5分)(2)∵将△ACE沿CE翻折得到△A'CE,使点A的对应点A'落在CD的延长线上,∴A'C=AC=15,∠EA'C=∠A,∴tan∠EA'C=tan A= . (6分)
∵CD= ,∴A'D=A'C-CD=15- = ,∴ED=A'D·tan∠EA'D= × = . (7分)∵∠ADC=∠ACB=90°,∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°,∴∠BCD=∠A,
∴tan∠BCD=tan A= ,∴BD=CD·tan∠BCD= × = ,∴BE=DE+BD= + =8. (8分)∵BE⊥A'C,∴S四边形A'BCE= BE·A'C= ×8×15=60. (9分)
28. (2024重庆北碚期末,26,★★★)(10分)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D为△ ABC外一点,AC和BD相交于点E,CE=2AE.(1)如图①,若CD⊥BC,∠ACB=60°,BC=6,求DE的长.(2)如图②,若∠ACD=∠ACB,猜想线段BC,CD之间存在的数量关系,并证明你的 猜想.(3)如图③,在(1)的条件下,将△CDE绕点C旋转得到△CD'E',连结BE',点P是BE'的 中点,当AP取最小值时,直接写出此时△PBC的面积.
解析 (1)如图1,过点E作EL⊥BC于点L,则∠CLE=90°,∵∠BAC=90°,∠ACB=60°,∴∠ABC=∠CEL=30°,∵BC=6,∴AC= BC=3,∴AB= =3 ,∵CE=2AE,∴AE+2AE=3,∴AE=1,CE=2,∴CL= CE=1,∴BL=BC-CL=6-1=5, (2分)∵AE=1,AB=3 ,
∴BE= =2 ,∵CD⊥BC,LE⊥BC,∴CD∥LE,∴ = = ,即DE= BE= ×2 = . (3分) (2)BC=2CD. (4分)证明:如图2,过点A作AG∥CD交BD于点F,交BC于点G,则∠GAC=∠ACD,∵∠ACD=∠ACB,∴∠GAC=∠ACB,
∴AG=CG,∵∠GAC+∠GAB=90°,∠ACB+∠GBA=90°,∴∠GAB=∠GBA,∴BG=AG=CG= BC,∴BC=2AG, (6分)∵AF∥CD,∴△AFE∽△CDE,∴ = = ,∴AF= CD,∵GF∥CD,
∴△BGF∽△BCD,∴ = = ,∴GF= CD,∵AG=AF+GF,∴AG=CD,∴BC=2CD. (8分)(3)当AP取最小值时,△PBC的面积为 . (10分)如图3,取BC的中点G,连结AG、PG,则AG= BC=3,由旋转得CE'=CE=2,∵点P是BE'的中点,∴PG= CE'=1,
∵AP+PG≥AG,∴AP+1≥3,∴AP≥2,∴当点P在AG上时,AP最小=2. 如图4,点P在AG上,过点P作PH⊥BC于点H,则∠PHG=90°,∵G为BC中点,∠ACB=60°,∴△ACG是等边三角形,∴∠PGH=60°,
期末素养综合测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1. (2024北京石景山期末,4,★☆☆)下列说法中,正确的是 对应目标编号M9125001 ( )A. “在标准大气压下,将水加热到100 ℃,水会沸腾”是随机事件B. 随机事件是可能会发生,也可能不会发生的事件C. 投掷一枚质地均匀的硬币10次,一定有5次正面向上D. “事件可能发生”是指事件发生的机会很多
解析 B A选项是必然事件,故A说法错误;任意投掷一枚质地均匀的硬币,正面 向上和反面向上都是随机发生的,所以10次中不一定有5次正面向上,故C说法错 误;“事件可能发生”是指也许会发生,也许不会发生,发生的机会大小不确定, 故D说法错误.
2. [一题多解](2024陕西汉中期末,2,★☆☆)已知 = (a≠0),则 的值为 对应目标编号M9123001 ( )A. B. C. D.
3. (2024四川宜宾南溪二模,5,★☆☆)若∠A是锐角,sin(∠A+15°)= ,则tan A的值为 ( )A. B. C. 1 D.
4. (2024辽宁铁岭期末,3,★☆☆)下列计算正确的是 对应目标编号M9121003 ( )A. - = B. = - =1C. (2- )(2+ )=1 D. =3 -1
解析 D A. - =2 - = ,故A选项错误;B. = = ,故B选项错误;C.(2- )(2+ )=4-5=-1,故C选项错误;D. = - =3 -1,故D选项正确.
5. [教材变式P4T3](2023河南焦作期末,10,★☆☆)已知点B 2m+1,4m+ 在第四象限,化简|m-3|+ 的结果为 ( )A. 3m+2 B. -m-8 C. m+8 D. -2-3m
解析 C 由题意可知 解得-
6. (2024安徽合肥四十八中月考,8,★☆☆)在平面直角坐标系中,将△ABC平移 至△A1B1C1,点P(a,b)是△ABC内一点,经平移后得到△A1B1C1内对应点P1(a+8,b- 5),若点A1的坐标为(5,-1),则点A的坐标为 对应目标编号M9123007 ( )A. (-4,3) B. (-1,2) C. (-6,2) D. (-3,4)
解析 D 对比点P(a,b)与平移后的对应点P1(a+8,b-5),易知点的变化为横坐标加 8,纵坐标减5,可设A(x,y),∵点A1的坐标为(5,-1),∴x+8=5,y-5=-1,解得x=-3,y=4,∴A(-3,4).
7. (2024福建漳州龙文期中,9,★☆☆)已知α,β是方程x2+2 020x+1=0的两个实数 根,则(1+2 023α+α2)(1+2 023β+β2)的值为 ( )A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
解析 C ∵α,β是方程x2+2 020x+1=0的两个实数根,∴αβ=1,α2+2 020α+1=0,β2+2 020β+1=0,∴(1+2 023α+α2)(1+2 023β+β2)=(1+2 020α+α2+3α)(1+2 020β+β2+3β)=9αβ=9.
8. (2024吉林长春德惠二模,7,★★☆)如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,AF⊥BF 于点F,D为AB的中点,连结DF并延长交AC于点E.若AB=10,BC=16,则线段EF的 长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析 B ∵AF⊥BF,∴∠AFB=90°,∵AB=10,D为AB的中点,∴DF= AB=AD=BD=5,∴∠ABF=∠BFD,∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF,∴∠CBF=∠BFD,∴DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ = ,即 = ,解得DE=8, ∴EF=DE-DF=3.
9. (2024吉林长春宽城一模,9,★★☆)如图,轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70° 方向,轮船从A处以每小时40海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行,1小时后到 达码头B处,此时,观测灯塔C位于北偏西25°方向,则灯塔C与码头B的距离是 ( ) A. 20 海里 B. 10 海里 C. 20 海里 D. 10 海里
解析 C 如图,过点B作BD⊥AC于点D,由题意得∠CBA=25°+50°=75°,AB=40×1= 40(海里),∠CAB=180°-70°-50°=60°,∴∠ABD=30°,∴∠CBD=75°-30°=45°,在Rt△ABD中,BD=AB·sin∠CAB=40× =20 (海里).在Rt△BCD中,∠CBD= 45°,∴BC= BD= ×20 =20 (海里).
10. [一题多解](2023广西钦州市直初中期末,3,★★☆)如图,在矩形ABCD中,E、 F分别是BC、CD的中点,AE交对角线BD于点G,BF交AE于点H,则 的值是 ( ) A. B. C. D.
解析 B 解法1(取中点构造中位线):∵E、F分别是BC、CD的中点,∴BE= BC,CF=DF= DC= AB,如图,取BD的中点M,连结EM,交BF于点N,则EM是△BCD的中位线,∴EM= CD,EM∥CD,∴EM= AB,EM∥AB,△BEN∽△BCF,∴ = = ,∴EN= CF= CD,∴EN= AB,∵EM∥AB,∴△EMG∽△ABG,△ENH∽△ABH,
∴ = = , = = ,∴EG= AE,EH= AE,∴GH=EG-EH= AE- AE= AE,∴ = = . 解法2(连结中点构造中位线):如图,连结EF,
∵E、F分别是BC、CD的中点,∴EF是△BCD的中位线,∴EF∥BD,EF= BD,∴△BGH∽△FEH,∴ = ,∵AD∥BC,∴△BEG∽△DAG,∴ = = ,∴DG=2BG,∴EF= ,∴ = = .
二、填空题(共10小题,每小题3分,计30分)
11. (★☆☆)如图,若点A所在的位置是(140°,20°),则点B所在的位 置是 .
解析 依据点A所在的位置特点即可写出点B所在的位置.
12. (2024海南海口期末,12,★☆☆)如图所示的是两个形状相同的举重图案,则x 的值是 .
解析 根据题意得15∶x=20∶30,解得x=22.5.
13. (2023湖南张家界中考,11,★☆☆)已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0有两 个不相等的实数根,则a的取值范围是 . 对应目标编号M9122003
解析 根据题意得Δ=(-2)2-4×1×(-a)>0,解得a>-1.
14. (2024四川成都武侯西川实验学校月考,19,★☆☆)已知x= ,y= ,则x2+y2-xy= .
15. (2024江苏常州期末,15,★☆☆)在如图所示的正方形区域内任意取一点P,则 点P落在阴影部分的概率为 .
16. (2024安徽六安叶集期末,12,★☆☆)如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AD ⊥BC于点D,BD= ,若E、F分别为AB、BC的中点,则EF= . 对应目标编号M9123005
解析 ∵∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC,∴∠BAD=45°,∠CAD=30°,∴AD=BD= ,∴AC= = =2 ,∵E、F分别为AB、BC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF= AC= .
17. (2024湖南常德安乡期末,15,★☆☆)如图,在边长为4 cm的正△ABC的边上有 E、F两个动点,它们从A处同时出发,沿着三角形的三边顺时针运动.若E点的速 度为1 cm/s,F点的速度为5 cm/s,则最少经过 s,△AEF与△ACB相似. 对应目标编号M9123003
解析 设最少经过t s,△AEF与△ACB相似,∵△ABC是边长为4 cm的等边三角形,∴AB=BC=AC=4 cm,∠BAC=60°,由题意得,要使△AEF与△ACB相似所用时间 最少,E点应在AC边上,F点应在AB边上,可得AE=t cm,AC+CB+BF=5t cm,∴AF=(12-5t)cm,∵△AEF与△ACB相似,∴ = =1,∴AE=AF,即t=12-5t,解得t=2.
18. (2024福建泉州五中二模,18,★☆☆)如图,某梯子长10米,斜靠在竖直的墙面 上,当梯子与水平地面所成角为α时,梯子顶端靠在墙面上的点B处,底端落在水平 地面的点A处,如果将梯子底端向墙面靠近,使梯子与地面所成角为β,且sin α=csβ = ,则梯子顶端上升了 米.
解析 由题意可知∠ACB=90°,AB=ED=10米,∵sin α=cs β= ,∴ = = ,设BC=3m米,则AB=5m米,∵梯子长10米,∴5m=10,解得m=2,∴BC=3×2=6(米),设EC=3n米,则ED=5n米,∴5n=10,解得n=2,∴EC=3×2=6(米),∴DC= = =8(米),∴BD=DC-BC=8-6=2(米),∴梯子顶端上升了2米.
19. (2024湖北荆门东宝期末,17,★☆☆)将△OAB按如图所示的方式放在平面直 角坐标系中,其中∠OBA=90°,∠A=30°,顶点A的坐标为(1, ),将△OAB绕原点O逆时针旋转60°得到△OA'B',则点A'的坐标为 .
解析 如图,过点A'作A'C⊥y轴于点C,∴∠A'CO=90°,∵∠OBA=90°,∠A=30°,∴∠AOB=60°,由旋转的性质得OA'=OA,∠A'OA=60°,∴∠AOC=∠COB-∠AOB=30°,∴∠A'OC=∠A'OA-∠AOC=30°,在△A'OC和△OAB中, ∴△A'OC≌△OAB,∴OC=AB= ,A'C=OB=1,∴点A'的坐标为(-1, ).
20. (2023浙江杭州拱墅启正中学期中,10,★★☆)对于关于x的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0),下列说法:①若a+b+c=0,则方程必有一根为x=1;②若方程ax2+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数 根;③若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,且满足x1≠x2≠0,则方程cx2+bx+a=0(c ≠0)必有实数根 , ;④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则b2-4ac=(2ax0+b)2.其中正确的有 .(填写序号即可)
解析 ①当x=1时,ax2+bx+c=a+b+c,∵a+b+c=0,∴x=1为方程ax2+bx+c=0的一根,故说法①正确;②∵方程ax2+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,∴-4ac>0,∴b2-4ac>0,∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,故说法②错误;③∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,且满足x1≠x2≠0,∴x1+x2=- ,x1x2= ,∴- = = + , = = · ,
∴方程cx2+bx+a=0(c≠0)必有实数根 , ,故说法③正确;④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,∴x0= ,∴± =2ax0+b,∴b2-4ac=(2ax0+b)2,故说法④正确.故正确的有①③④.
三、解答题(共8小题,计60分)
21. (2024吉林长春九台期末,15,★☆☆)(6分)计算:(1)4sin 60°- ÷ +(3+ )2.(2)( -1)2+( - )( + )+ -3 .解析 (1)原式=4× - +9+6 +2 (2分)=2 -2 +9+6 +2=11+6 . (3分)(2)原式=3-2 +1+3-2+( +1)2- (5分)=5-2 +2+2 +1- =8-2 + . (6分)
22. (2024陕西汉中城固期中,19,★☆☆)(6分)如图,直线l1∥l2∥l3,且直线l1,l2,l3分 别截直线l4于点A,B,C,截直线l5于点D,E,F. 对应目标编号M9123002(1)若AB=4,BC=8,EF=12,求DE的长.(2)若 = ,AB=7,求AC的长.
解析 (1)∵l1∥l2∥l3,∴ = = = ,∴DE= EF=6. (3分)(2)∵l1∥l2∥l3,∴ = = ,∵AB=7,∴BC= ,∴AC=AB+BC=7+ = . (6分)
23. (2024湖南衡阳衡山二模,24,★☆☆)(6分)如图,在网格中(小正方形的边长均 为1),△ABC的三个顶点都在格点上. 对应目标编号M9123006(1)把△ABC沿着x轴向右平移6个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1.(2)请以坐标系的原点O为位似中心在第一象限内画出△ABC的位似图形△A2B2 C2,使得△ABC与△A2B2C2的相似比为1∶2.(3)请直接写出△A2B2C2三个顶点的坐标.
解析 (1)如图,△A1B1C1即为所作. (2分)(2)如图,△A2B2C2即为所作. (4分)
(3)△A2B2C2三个顶点的坐标分别为A2(6,0),B2(6,4),C2(2,6). (6分)
24. (2023江苏常州中考,22,★☆☆)(6分)在5张相同的小纸条上,分别写有:① ,② ,③1,④乘法,⑤加法.将这5张小纸条做成5支签,①②③放在不透明的盒子A中搅匀,④⑤放在不透明的盒子B中搅匀. 对应目标编号M9125003(1)从盒子A中任意抽出1支签,抽到无理数的概率是 .(2)先从盒子A中任意抽出2支签,再从盒子B中任意抽出1支签.求抽到的2个实数 进行相应的运算后结果是无理数的概率.
解析 (1)在① ,② ,③1中,无理数有两个,∴从盒子A中任意抽出1支签,抽到无理数的概率是 . (2分)(2)依题意画树状图如下,
(4分)由图可知等可能的情况共有6种,其中抽到的2个实数进行相应的运算后结果是 无理数的情况有5种,∴抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率 为 . (6分)
25. (2024辽宁锦州期末,21,★★☆)(8分)某公司2月份销售新上市的A产品20套, 由于该产品的经济适用性,销量快速上升,4月份该公司销售A产品达到45套. 对应目标编号M9122005(1)求2月份到4月份该公司销售A产品的月平均增长率.(2)该公司4月份销售45套A产品,每套利润是2万元,因为产品供不应求,公司决定 适当地涨价,经市场调查发现,当A产品每套的销售利润每上涨0.1万元时,平均每 月少售出1套,该公司要想在5月份获利100万元,而且尽可能让顾客得到实惠,A 产品每套应涨价多少万元?
解析 (1)设该公司销售A产品的月平均增长率为x,依题意得20(1+x)2=45, (2分)解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不合题意,舍去),故2月份到4月份该公司销售A产品的 月平均增长率为50%. (3分)(2)设A产品每套应涨价y万元,则平均每月可售出 套,根据题意得(2+y) =100, (6分)解得y1=0.5,y2=2,∵公司要尽可能让顾客得到实惠,∴y=0.5,故A产品每套应涨价0.5万元. (8分)
26. (2024安徽六安舒城期末,20,★☆☆)(9分)如图,小明为了测量小河对岸大树 BC的高度,他在点A处(点G、A、C在同一水平线上)测得大树顶端B的仰角为45 °,沿着坡度i=1∶ 的斜坡AE走了6米到达斜坡上点D处,此时测得大树顶端B的仰角为31°,点A、B、C、D在同一平面内. 对应目标编号M9124006(1)填空:∠EAG= °,∠ADB= °.(2)求斜坡上点D到AG的距离.(3)求大树BC的高度.(结果精确到0.1米.参考数据:sin 31°≈0.52,cs 31°≈0.86,tan31°≈0.60, ≈1.73, ≈1.41)
解析 (1)如图所示,作DF⊥AG于点F、DH⊥BC于点H,∵i=1∶ ,∴tan∠EAG=1∶ ,∴∠EAG=30°, (2分)∵DH∥CG,∴∠ADH=∠EAG=30°,∴∠ADB=∠ADH+∠BDH=30°+31°=61°.故答案为30;61. (3分)
(2)在Rt△AFD中,∠DAF=30°,AD=6米,∴DF=AD·sin 30°=3(米),即点D到AG的距离为3米. (5分)(3)由图可知四边形DFCH是矩形,∴CH=DF=3米,设BC=x米,则BH=BC-CH=(x-3)米,在Rt△ACB中,
27. (2023河南洛阳宜阳月考,22,★★☆)(9分)【教材呈现】如图所示的是华师版九年级上册数学教材第107页的部分内容.例1:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=15,BC=8,试求出∠A的三个三角函数值. 结合图①,写出解题过程.【结论应用】(1)如图②,作图①中△ABC斜边上的高CD,求CD的长.
(2)如图③,E是图②中线段AD上的点,连结CE,将△ACE沿CE翻折得到△A'CE,使点A的对应点A'落在CD的延长线上,连结A'B,求四边形A'BCE的面积.
解析 【教材呈现】在Rt△ABC中,∠C=90°,由勾股定理得AB= = = =17.∴sin A= = ,cs A= = ,tan A= = . (3分)【结论应用】(1)在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∵sin A= = ,
∴CD=15× = . (5分)(2)∵将△ACE沿CE翻折得到△A'CE,使点A的对应点A'落在CD的延长线上,∴A'C=AC=15,∠EA'C=∠A,∴tan∠EA'C=tan A= . (6分)
∵CD= ,∴A'D=A'C-CD=15- = ,∴ED=A'D·tan∠EA'D= × = . (7分)∵∠ADC=∠ACB=90°,∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°,∴∠BCD=∠A,
∴tan∠BCD=tan A= ,∴BD=CD·tan∠BCD= × = ,∴BE=DE+BD= + =8. (8分)∵BE⊥A'C,∴S四边形A'BCE= BE·A'C= ×8×15=60. (9分)
28. (2024重庆北碚期末,26,★★★)(10分)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D为△ ABC外一点,AC和BD相交于点E,CE=2AE.(1)如图①,若CD⊥BC,∠ACB=60°,BC=6,求DE的长.(2)如图②,若∠ACD=∠ACB,猜想线段BC,CD之间存在的数量关系,并证明你的 猜想.(3)如图③,在(1)的条件下,将△CDE绕点C旋转得到△CD'E',连结BE',点P是BE'的 中点,当AP取最小值时,直接写出此时△PBC的面积.
解析 (1)如图1,过点E作EL⊥BC于点L,则∠CLE=90°,∵∠BAC=90°,∠ACB=60°,∴∠ABC=∠CEL=30°,∵BC=6,∴AC= BC=3,∴AB= =3 ,∵CE=2AE,∴AE+2AE=3,∴AE=1,CE=2,∴CL= CE=1,∴BL=BC-CL=6-1=5, (2分)∵AE=1,AB=3 ,
∴BE= =2 ,∵CD⊥BC,LE⊥BC,∴CD∥LE,∴ = = ,即DE= BE= ×2 = . (3分) (2)BC=2CD. (4分)证明:如图2,过点A作AG∥CD交BD于点F,交BC于点G,则∠GAC=∠ACD,∵∠ACD=∠ACB,∴∠GAC=∠ACB,
∴AG=CG,∵∠GAC+∠GAB=90°,∠ACB+∠GBA=90°,∴∠GAB=∠GBA,∴BG=AG=CG= BC,∴BC=2AG, (6分)∵AF∥CD,∴△AFE∽△CDE,∴ = = ,∴AF= CD,∵GF∥CD,
∴△BGF∽△BCD,∴ = = ,∴GF= CD,∵AG=AF+GF,∴AG=CD,∴BC=2CD. (8分)(3)当AP取最小值时,△PBC的面积为 . (10分)如图3,取BC的中点G,连结AG、PG,则AG= BC=3,由旋转得CE'=CE=2,∵点P是BE'的中点,∴PG= CE'=1,
∵AP+PG≥AG,∴AP+1≥3,∴AP≥2,∴当点P在AG上时,AP最小=2. 如图4,点P在AG上,过点P作PH⊥BC于点H,则∠PHG=90°,∵G为BC中点,∠ACB=60°,∴△ACG是等边三角形,∴∠PGH=60°,
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