高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）专题研究一数列的求和(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）专题研究一数列的求和(原卷版+解析)，共24页。

【例1-1】已知函数，数列满足，则（ ）
A．2022B．2023C．4044D．4046
归纳总结：
【练习1-1】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前?项和的方法探求：若，则（ ）
A．2018B．4036C．2019D．4038
题型二 列项相消法
【例2-1】数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于，则_______.
【例2-2】已知等差数列满足：，，的前项和为．
(1)求及； (2)令，求数列的前项和．
【例2-3】已知数列的首项为3，且．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和．
【例2-4】在数列中，，且对任意的，都有.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
归纳总结：
【练习2-1】已知数列的前项和满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知__________，求数列的前项和．
从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答．
条件：① ； ②；③
题型三 错位相减
【例3-1】在等差数列中，已知，.
(1)求； (2)设，求数列的前项和.
归纳总结：
【练习3-1】设数列 的前n项和分别为 ，且， .
(1)求数列的通项公式； (2)令 ，求 的前n项和.
题型四 奇偶项求和
【例4-1】设数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式： (2)若，求数列和的前10项的和．
归纳总结：
【练习4-1】已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，， ，.
(1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前n项和为，求
【请完成课时作业（四十）】
【课时作业（四十）】
1．已知等差数列的前项和为，则___________.
2．数列满足，前16项和为540，则_ _．
3．数列的通项公式为，前项和为，则＝________.
4．已知公差大于1的等差数列{an}中，a2＝3，且a1+1，a3﹣1，a6﹣3成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{}的前n项和为Sn，求证：≤Sn＜．
5．已知等比数列的公比大于1，，.
(1)求的通项公式； (2)若，求的前项和.
6．已知数列的前n项和满足.
(1)证明：数列是等比数列； (2)设数列的前n项和为，求证：.
7．已知数列和的项均为正整数，前n项和分别为，且．
(1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和．
8．已知数列满足
(1)记，写出，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前2022项和.
9．已知等差数列为递增数列，
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和：
(3)若数列满足，求的前项和的最大值､最小值.
10．已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
专题研究一 数列的求和
编写：廖云波
题型一 倒序相加法求和
【例1-1】已知函数，数列满足，则（ ）
A．2022B．2023C．4044D．4046
【答案】A
【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．令，
则，两式相加得，
∴．
故选:A
归纳总结：
【练习1-1】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前?项和的方法探求：若，则（ ）
A．2018B．4036C．2019D．4038
【答案】D
【分析】利用，再等差数列前?项和的方法倒序相加法求和即可.
【详解】，
∵函数
∴，
令，则，
∴，
∴.
故选：D.
题型二 列项相消法
【例2-1】数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于，则_______.
【答案】
【分析】利用裂项相消法可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】设数列的前项和为，因为，
所以，，解得.
故答案为：.
【例2-2】已知等差数列满足：，，的前项和为．
(1)求及；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差中项的知识，由，可得，即，由，可求得该数列公差，可得答案；
（2）由（1）所得，根据裂项，可得，再求和，可得答案.
（1）
由，则，即，
因此，数列的公差，
即，且.
（2）
由，则，
即.
【例2-3】已知数列的首项为3，且．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】(1)对条件进行代数变换，即可证明 是等差数列；
(2)对 裂项求和即可.
(1)
因为 ，所，
则，所以数列是以 为首项，公差等于1的等差数列，
∴，即；
(2)
，
则；
综上，， .
【例2-4】在数列中，，且对任意的，都有.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由，可得，根据等比数列的定义和累加法求解即可.
（2）利用分组求和和裂项相消求.
（1）由，可得又，，所以.所以首项为，公比为的等比数列.所以.所以.又满足上式，所以
（2）由（1）得，所以
归纳总结：
【练习2-1】已知数列的前项和满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知__________，求数列的前项和．
从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答．
条件：① ； ②；
③
【答案】(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
【分析】（1）由，利用，即可求得数列的通项公式；
（2）分别选择条件①②③，求得数列的通项公式，结合乘公比错位相减法、裂项法和分类讨论，进而求得数列的前项和.
(1)
解：因为在数列中，．
当时，；
当时，，
又因为也满足，所以数列的通项公式为．
(2)
解：选择条件①：由，
可得，
，
两式相减得
，
故．
选择条件②：由（1）知，
所以
∴.
选择条件③：因为，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
，
综上所述：数列的前项和.
题型三 错位相减
【例3-1】在等差数列中，已知，.
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的性质，结合已知条件计算公差，即可求解；
（2）结合（1）中数列的通项公式，利用错位相减法求数列的前项和即可.
（1）
解：因为数列为等差数列，，，设等差数列的公差为，
则，解得，
故.
（2）
解：因为，
所以，
则，
，
即，
所以
归纳总结：
【练习3-1】设数列 的前n项和分别为 ，且， .
(1)求数列的通项公式；
(2)令 ，求 的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据可得，利用即可求得；同理利用当时，可求得，利用等比数列的通项公式求得答案；
（2）由（1）的结果可得的表达式，利用错位相减法即可求得答案.
（1）
由得，
当时，，
当时，也适合，故.
由得，得，
当时，，得，
又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以,
综上所述：，.
（2）
，所以，
所以，
所以，
所以
，
所以.
题型四 奇偶项求和
【例4-1】设数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式：
(2)若，求数列和的前10项的和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据和的关系即可相减求解是等比数列，进而可求通项，
（2）由，可得的通项，进而根据分组求和即可求前10项的和.
（1）
由得:当时，，故，即，当时，，故是以公比为3，首项为3的等比数列，因此.
（2）
当为偶数时，
当为奇数时，，
所以数列和的前10项的和：
归纳总结：
【练习4-1】已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，， ，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前n项和为，求
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设出等差数列的公差和等比数列的公比，然后，列出方程组求解即可；
（2）根据题意，化简得到，，然后，求出的前6项，即可求出.
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），∵，，，∴，，∴，，∴，
（2）由（1）知，，∴，∴，
【请完成课时作业（四十）】
【课时作业（四十）】
1．已知等差数列的前项和为，则___________.
【答案】
【分析】依题意设公差为，即可得到方程组，求出与，即可求出通项公式与前项和公式，再利用裂项相消法求和即可；
【详解】设公差为，因为，所以，解得，
所以，所以，所以，
所以
故答案为：
2．数列满足，前16项和为540，则__．
【答案】-2
【分析】分为奇数与偶数两种情况，分别求得前16项中奇数项和偶数项的和，再根据偶数项与的关系求解即可
【详解】因为数列满足，
当为奇数时，，
所以，，，，
则，
当为偶数时，，
所以，，，，，，，
故，，，，，，，
因为前16项和为540，
所以，
所以，解得．
故答案为：．
3．数列的通项公式为，前项和为，则＝________.
【答案】
【分析】根据题设中的通项公式，列举出数列的前几项，找出规律，然后根据规律求和.
【详解】解： ，，，，
又的周期为，

故答案为：
4．已知公差大于1的等差数列{an}中，a2＝3，且a1+1，a3﹣1，a6﹣3成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{}的前n项和为Sn，求证：≤Sn＜．
【答案】(1)an＝2n﹣1
(2)证明见解析
【分析】（1）由等比数列的性质，等差数列的通项公式列出关于的方程组，解出后可得通项公式；
（2）用裂项相消法求得和，根据的单调性得证不等式成立．
(1)
设等差数列{an}的公差为d＞1，∵a2＝3，且a1+1，a3﹣1，a6﹣3成等比数列，
∴a1+d＝3，＝（a1+1）（a6﹣3）即＝（a1+1）（a1+5d﹣3），
解得a1＝1，d＝2．
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
(2)
证明：＝＝，
∴，
∵Sn+1﹣Sn＝＞0，
∴数列{Sn}单调递增，
∴S1≤Sn＜，
即≤Sn＜．
5．已知等比数列的公比大于1，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出公比，根据题目条件列方程求解；
（2）先写出，利用裂项求和，分组求和的办法表示出.
（1）
设等比数列的公比为，
由，得，
解之得或（舍去），
由得，，
所以的通项公式为.
（2）
由（1）知，
所以的前项和为
6．已知数列的前n项和满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）分，与两种情况分析，当是，构造证明即可；
（2）由（1）可得，再利用裂项求和求解，进而证明即可
（1）证明：当时，∴当时，，∴∴数列是以2为公比，首项的等比数列
（2）由（1）知，，代入得∴由，，，所以∴综上所述
7．已知数列和的项均为正整数，前n项和分别为，且．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据整数的性质可得或，从而可求，，从而可求.
（2）利用错位相减法可求.
(1)
因为和的项均为正整数，所以前n项和也为正整数．
又，从而得，
所以得或，
若，则，与的项均为正整数相矛盾，故不符合题意，
所以，．
当时，，
当时，，
所以
同理，．
(2)
记的前n项和为，
当时，，，所以；
当时，则，①
①，得，②
由①-②得，
化简得，
而也符合该式，
综上，的前n项和．
8．已知数列满足
(1)记，写出，并求出数列的通项公式；
(2)求数列的前2022项和.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据的定义求得，求出，由等比数列通项公式可得结论；
（2）由得，，然后用并项求和法结合等比数列前项和公式计算．
(1)
，
又
(2)
，则
9．已知等差数列为递增数列，
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和：
(3)若数列满足，求的前项和的最大值､最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据题意可得，则可解得，即可求出通项公式；
（2）利用错位相减法即可求出；
（3）利用裂项相消法求出前n项和，再讨论n的奇偶即可求出.
(1)
因为，所以，所以，
又，且为递增数列，则可解得，所以公差为2，
所以.
(2)
因为，
所以①，
②，
①-②得，
；
(3)
，
记的前项和为，
则
，
当为奇数时随着的增大而减小，可得，
当为偶数时随着的增大而增大，可得，
所以的最大值为，最小值为.
10．已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得：，由即可求解；
（2）求出的表达式，由指数的运算即可求解；
（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.
（1）因为点均在函数的图象上，所以，当时，，当时，，适合上式，所以.
（2）因为，所以，所以.
（3）由（1）知，可得，所以，①又因为，②因为，所以①②，得，所以.