高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第1课时向量的概念及线性运算(原卷版+解析)

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编写：廖云波
【回归教材】
1.平面向量的相关概念
2.向量运算
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得.
【注】限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．
【典例讲练】
题型一 向量的基本概念
【例1-1】判断下列命题是否正确，并说明理由.
①若，则一定不与共线；( )
②若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；( )
③在平行四边形ABCD中，一定有；( )
④若向量与任一向量平行，则=；( )
⑤若=，=，则=；( )
⑥若，，则.( )
归纳总结：
【练习1-1】下列命题中：
①存在唯一的实数，使得；
②为单位向量，且，则；
③；
④与共线，与共线，则与共线；
⑤若且，则．
其中正确命题的序号是________.
题型二 向量的线性运算
【例2-1】如图所示，解答下列各题：
(1)用表示； (2)用表示；
(3)用表示； (4)用表示.
【例2-2】已知中，，，AD与BE交于点P，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【例2-3】设、为内的两点，且，，则的面积与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习2-1】如图，平行四边形ABCD中，已知，，设，.
(1)用向量和表示向量，；
(2)若，，求实数x和y的值.
【练习2-2】已知点为内一点，且，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
题型三 向量共线定理及应用
【例3-1】设、是不共线的两个非零向量．
(1)若，，，求证：A、B、C三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值．
【例3-2】在中，若，为线段上且满足，则实数的值为__________．
【例3-3】如图，在中，点C满足，点P为OC的中点，过点P的直线分别交线段OA，OB于点M，N，若，，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
归纳总结：
【练习3-1】如图在△ABC， ， P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A．B．C．D．
【练习3-2】如图，经过的重心G的直线与分别交于点，，设，，则的值为________．
【完成课时作业（三十二）】
【课时作业（三十二）】
A组 础题巩固
1．以下说法正确的是（ ）
A．零向量与任意非零向量平行B．若，，则
C．若(为实数)，则必为零D．和都是单位向量，则
2．已知，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线
3．在矩形中，，则向量的长度等于（ ）
A．4B．C．3D．2
4．如图所示的△ABC中，点D是线段AB上靠近A的三等分点，点E是线段BC的中点，则（ ）
A．B．C． D．
5．如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的四等分点，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于（ ）
A．1B．C．D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
8．【多选题】在△ABC中，M，N分别是线段，上的点，CM与BN交于P点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
9．已知不共线向量，，，若A，B，C三点共线，则实数 __________.
10．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________.
11．若点M是所在平面内一点，且满足：．则与的面积之比为________．
12．平行四边形中，点M在上，且，点N在上，且，记，
(1)以，为基底表示； (2)求证：M、N、C三点共线.
B组 挑战自我
1．已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，是线段上一点（不与顶点重合），若，则的最小值为（ ）
A．B． C．D．
3．如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，过点作直线与、分别交于点、，则___________.
4．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC交于点M．设，．
(1)试用向量，表示；
(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设，，其中，．证明：为定值，并求出该定值．
名称
定义
表示方法
注意事项
向量
既有大小又有方向的量叫做向量；
向量的大小叫做向量的长度(或模)
向量或；
模或
平面向量是自由向量
零向量
长度等于0的向量，方向是任意的
记作
零向量的方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量
常用表示
非零向量的单位向量是
平行向量
方向相同或相反的非零向量
与共线可记为
与任一向量平行或共线
共线向量
平行向量又叫共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
的相反向量为
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则 平行四边形法则
(1)加法交换律:a+b= b+a;
(2)加法结合律:(a+b)+c= a+(b+c)
减法
减去向量等于加上这个向量的相反向量
三角形法则
a-b= a+(-b)
数乘
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘, 记作λa
(1)|λa|=|λ||a|.
(2)当λ>0时,λa与a的方向相同;
当λ<0时,λa与a的方向相反;
当λ=0时,λa=0
(1)对向量加法的分配律:
λ(a+b)= λa+λb;
对实数加法的分配律:
(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a
第五章 平面向量与复数
第 1 课时 向量的概念及线性运算
编写：廖云波
【回归教材】
1.平面向量的相关概念
2.向量运算
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得.
【注】限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．
【典例讲练】
题型一 向量的基本概念
【例1-1】判断下列命题是否正确，并说明理由.
①若，则一定不与共线；( )
②若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；( )
③在平行四边形ABCD中，一定有；( )
④若向量与任一向量平行，则=；( )
⑤若=，=，则=；( )
⑥若，，则.( )
【答案】 错误 错误 正确 正确 正确 错误
【解析】
【分析】
根据共线向量的概念判断①，由四点在一条直线上特殊情况判断②，根据平行四边形及向量相等的概念判断③，由零向量的性质判断④，根据相等向量判断⑤，由特殊情况判断⑥.
【详解】
①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；
②，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；
③在平行四边形ABCD中，，与平行且方向相同，故，③正确；
④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确；
⑤=，则||=||且与方向相同；=，则||=||且与方向相同，则与方向相同且模相等，故=，⑤正确；
⑥若=，由于的方向与的方向都是任意的，可能不成立；≠时，成立，故⑥不正确.
故答案为：错误；错误；正确；正确；正确；错误.
归纳总结：
【练习1-1】下列命题中：
①存在唯一的实数，使得；
②为单位向量，且，则；
③；
④与共线，与共线，则与共线；
⑤若且，则．
其中正确命题的序号是________.
【答案】②③
【解析】
【分析】
根据平面共线向量的定义和性质、结合平面向量垂直的性质逐一判断即可.
【详解】
①：只有当时，才能成立，所以本命题不正确；
②：当时，显然成立，当时，因为，所以同向或反向，所以成立，所以本命题正确；
③：因为，所以本命题正确；
④：当时，显然与共线，与共线，但是与共线不一定成立，所以本命题不正确；
⑤：当都与垂直时，显然，但是不一定成立，
故答案为：②③
题型二 向量的线性运算
【例2-1】如图所示，解答下列各题：
(1)用表示；
(2)用表示；
(3)用表示；
(4)用表示.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）（2）（3）（4）依据向量加法法则去求解即可解决；
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【例2-2】已知中，，，AD与BE交于点P，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理，用基底向量表示,然后利用向量相等即可求解.
【详解】
，，AD与BE交于点P，且，，
∴，
又，
∴，解得，，
∴.
故选：A.
【例2-3】设、为内的两点，且，，则的面积与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平行四边形法则作出P，利用同底的三角形的面积等于高的比求出的面积与的面积之比，同理可得的面积与的面积之比，从而即可求得的面积与的面积之比．
【详解】
解：设，，
，，
由平行四边形法则知，
的面积与的面积之比，
同理由，可得的面积与的面积之比为，
的面积与的面积之比为，
故选：D．
归纳总结：
【练习2-1】如图，平行四边形ABCD中，已知，，设，.
(1)用向量和表示向量，；
(2)若，，求实数x和y的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)用平面向量的线性运算整理可得：，，代入已知向量即可得到.
(2)用平面向量的线性运算整理可得：，结合题干条件，可得到等式，解等式即可.
(1)
，
；
(2)
因为
.
即，
因为与不共线，从而，解得.
【练习2-2】已知点为内一点，且，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件确定O在△ABC中位线MN上，且O为靠近N的三等分点，进而得到与的面积之比.
【详解】
设AC的中点是M，BC的中点是N，
由题有，即，，
所以O在△ABC中位线MN上，且O为靠近N的三等分点，
设S△ONC=k，则S△OMC=2k，S△OAC=4k，S△ABC=12k
所以.
故选：B.
题型三 向量共线定理及应用
【例3-1】设、是不共线的两个非零向量．
(1)若，，，求证：A、B、C三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）推理出，即可得到A、B、C三点共线；
（2）由共线即可设8＋k＝λ（k＋2），得到，即可求出.
(1)
证明：因为，，，
所以＝（3＋）－（2－）＝＋2，
＝（－3）－（3＋）＝－2（＋2）＝－2，
所以A、B、C三点共线．
(2)
因为8＋k与k＋2共线，
所以存在实数λ，使得
8＋k＝λ（k＋2）⇒（8－λk）＋（k－2λ）＝0，
因为与不共线，
所以，
所以．
【例3-2】在中，若，为线段上且满足，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用三点共线的性质即可得解
【详解】
，
又三点共线，，解得
故答案为：
【例3-3】如图，在中，点C满足，点P为OC的中点，过点P的直线分别交线段OA，OB于点M，N，若，，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
先由向量的线性运算得，再由得，由三点共线即可求解.
【详解】
由题意得，，则，
又，则，则，又三点共线，
则，即.
故选：D.
归纳总结：
【练习3-1】如图在△ABC， ， P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量线性运算得到，再利用向量共线定理的推论得到方程，求出m的值.
【详解】
因为，所以，故，
因为三点共线，故，解得：.
故选：C
【练习3-2】如图，经过的重心G的直线与分别交于点，，设，，则的值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】
设，求出，，再根据P，G，Q三点共线得到，化简即得解.
【详解】
解：设，由题意知，
，
由P，G，Q三点共线，得存在实数使得，
即，
从而消去，得．
故答案为：3
【完成课时作业（三十二）】
【课时作业（三十二）】
A组 础题巩固
1．以下说法正确的是（ ）
A．零向量与任意非零向量平行B．若，，则
C．若(为实数)，则必为零D．和都是单位向量，则
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的性质和定义即可逐一判断.
【详解】
解：对于A,零向量与任意向量平行，故A正确；
对于B，时，满足，，但不一定成立，故错误；
对于C,时，或，故错误；
对于D，和都是单位向量，则，但不一定成立，故错误．
故选：A．
2．已知，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面向量的共线定理判断即可
【详解】
由题意得，又有公共点B，所以A，B，D三点共线.
故选：A
3．在矩形中，，则向量的长度等于（ ）
A．4B．C．3D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长度，进而可求模长.
【详解】
在矩形中，由可得,又因为,故，故，
故选:A
4．如图所示的△ABC中，点D是线段AB上靠近A的三等分点，点E是线段BC的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意可得，，根据平面向量的加减运算可得.
【详解】
由已知可得，，
所以．
故选：B．
5．如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的四等分点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量加减法的三角形法则计算即可.
【详解】
解：由题意可得：，，，．
∴，
故选：D.
6．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的加减法运算及平面向量基本定理求解即可.
【详解】
由题意知，
因为，所以，，.
故选：B.
7．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误.
【详解】
，即A不正确；
连接AC，知G是△ADC的中线交点， 如下图示
由其性质有
∴，即B不正确；
，即C正确；
同理
，即
∴，即D不正确；
故选：C.
8．【多选题】在△ABC中，M，N分别是线段，上的点，CM与BN交于P点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据平面向量的基本定理及三点共线的向量表示得解.
【详解】
设，，由，可得，．
因为C，P，M共线，所以，解得．因为N，P，B共线，所以，解得．
故，，即，．
故选：AD．
9．已知不共线向量，，，若A，B，C三点共线，则实数 __________.
【答案】##
【解析】
【分析】
根据三点共线的向量表达可得，再根据平面向量的线性运算与基本定理求解即可
【详解】
因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使得，
所以，
即，
因为不共线，所以，解得
故答案为：
10．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示即可求出的值
【详解】
因为，所以为的中点，
因为是的中点，
所以，
所以,
因为，
所以，
故答案为：
11．若点M是所在平面内一点，且满足：．则与的面积之比为________．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】
根据给定的向量等式，确定点M的位置，再借助面积关系计算作答.
【详解】
因，则，即，
于是得点在边上，并且，有，
所以与的面积之比为.
故答案为：
12．平行四边形中，点M在上，且，点N在上，且，记，
(1)以，为基底表示；
(2)求证：M、N、C三点共线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）首先得到，即可得到，从而得证；
(1)
解：
；
(2)
证明：∵，
，
∴，
∴
且与有公共点，
所以、、三点共线.
B组 挑战自我
1．已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平面向量共线定理的推论求解．
【详解】
在圆外，则且，又，
所以，
又三点共线，
所以，，而，所以．
故选：D．
2．在中，是线段上一点（不与顶点重合），若，则的最小值为（ ）
A．B． C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三点共线得，然后由基本不等式求得最小值．
【详解】
因为是线段上一点（不与顶点重合），若，
所以且，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
故选：B．
3．如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，过点作直线与、分别交于点、，则___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
利用三点共线可得出，可得出，设，，则，，将用表示，可得出关于、的等式，即可得解.
【详解】
因为、、三点共线，则存在，使得，
则，所以，，
由已知，则，所以，，
设，，则，，
因为，则，
因为，
所以，，所以，，
因此，.
故答案为：.
4．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC交于点M．设，．
(1)试用向量，表示；
(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设，，其中，．证明：为定值，并求出该定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定值为5.
【解析】
【分析】
（1）设，由、、三点共线以及、、三点共线可得出关于与的方程组，解出这两个未知数，即可得出关于、的表达式；
（2）设，利用向量的减法运算可得出，结合可建立等式，即得.
(1)
设，
由A，M，D三点共线，可知存在（，且），使得，
则，
因为，所以，
由平面向量基本定理得，即，①
同理，由B，M，C三点共线，可知存在（，且），使得，
则，
又，所以，
由平面向量基本定理得 即，②
由①②得，，
故；
(2)
由于E，M，F三点共线，则存在实数（，且）使得，即，
于是，
又，，
所以，
由平面向量基本定理得，消去，
得，
故为定值，该定值为5.
名称
定义
表示方法
注意事项
向量
既有大小又有方向的量叫做向量；
向量的大小叫做向量的长度(或模)
向量或；
模或
平面向量是自由向量
零向量
长度等于0的向量，方向是任意的
记作
零向量的方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量
常用表示
非零向量的单位向量是
平行向量
方向相同或相反的非零向量
与共线可记为
与任一向量平行或共线
共线向量
平行向量又叫共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
的相反向量为
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则 平行四边形法则
(1)加法交换律:a+b= b+a;
(2)加法结合律:(a+b)+c= a+(b+c)
减法
减去向量等于加上这个向量的相反向量
三角形法则
a-b= a+(-b)
数乘
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘, 记作λa
(1)|λa|=|λ||a|.
(2)当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
(1)对向量加法的分配律:
λ(a+b)= λa+λb;
对实数加法的分配律:
(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a