高一数学必考点分类集训(人教A版必修第一册)专题4.5指数函数与对数函数(基础巩固卷)(原卷版+解析)

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专题4.5 指数函数与对数函数（基础巩固卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022·全国·高三专题练习）式子m⋅3m46m5m>0的计算结果为（    ）A．1 B．m120 C．m512 D．m2．（2007·福建·高考真题（文））函数f(x)=ax−b的图像如图所示，其中a， b为常数，则下列结论正确的是（    ）A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．0a+c B．b+db+c D．a+d0且a≠1，则函数f(x)=ax−4+3的图像恒过的定点的坐标为______．14．（2021·全国·高一专题练习）函数y=ln4−x2+x的单调减区间是______.15．（2021·全国·高一课时练习）若alog43=12，则3a+9a=___________；16．（2022·全国·高一课时练习）函数f(x)=lg(kx)−2lg(x+1)仅有一个零点，则k的取值范围为________．解答题（共6小题，满分70分）17．（2022·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习（文））化简求值：(1)2723+2⋅e−10+15+2−1614；(2)lg5+lg20+lg14−lg25.18．（2020·福建福州·高一期中）已知函数f(x)=ax−1+2(a>0且a≠1)，图像经过点（2，4），（1）求a的值（2）求函数f(x)的值域19．（2022·全国·高一单元测试）已知a12+a−12=3，求下列各式的值.(1)a+a−1；(2)a2+a−2；(3)a32+a−32+2a2+a−2+3.20．（2021·全国·高一课时练习）设a>0且a≠1，函数f(x)=loga(1+x)+loga(3−x)的图像过点(1,2)．（1）求a的值及f(x)的定义域；（2）求f(x)在区间0,32上的最大值．21．（2021·全国·高一专题练习）声强级L1(单位:dB)由公式L1=10lgI10−12给出,其中I为声强(单位:Wm2).(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2,能听到的最低声强为10−12W/m2.求人听觉的声强级范围.(2)平时常人交谈时的声强约为10−6W/m2,求其声强级.22．（2022·河南·睢县高级中学高三阶段练习（文））已知函数fx=2x−12x+1．(1)判断并证明fx在其定义域上的单调性；(2)若fk⋅3x+f3x−9x+2<0对任意x≥1恒成立，求实数k的取值范围．专题4.5 指数函数与对数函数（基础巩固卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022·全国·高三专题练习）式子m⋅3m46m5m>0的计算结果为（    ）A．1 B．m120 C．m512 D．m【答案】D【分析】由指数运算法则直接计算可得结果.【详解】m⋅3m46m5=m12⋅m43m56=m12+43−56=m.故选：D.2．（2007·福建·高考真题（文））函数f(x)=ax−b的图像如图所示，其中a， b为常数，则下列结论正确的是（    ）A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．00，∴b<0.故D选项正确.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数y=ax、y=bx、y=cx、y=dx的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（    ）A．b+d>a+c B．b+db+c D．a+dd>1>a>b，即得解.【详解】如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，所以b+d0，即m<0且m>−3，则−30，可得m=10．故选：A.7．（2020·天津·高考真题）设a=30.7, b=13−0.8, c=log0.70.8，则a,b,c的大小关系为（    ）A．a1，b=13−0.8=30.8>30.7=a，c=log0.70.81时，函数递增；当01时，函数递增；当045，综合可得出a、b、c的大小关系.【详解】由题意可知a、b、c∈(0,1)，ab=log53log85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a4，可得c>45.综上所述，a1和01时，y=ax在(−∞,+∞)单调递增且其图象恒过点(0,1)，y=logax−2在(2,+∞)单调递增且其图象恒过点(3,0)，则选项B符合要求； 当00)，可得：a2+a−2=(a+1a)2−2；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)；(a12+a−12)2=a+a−1+2；aa+1aa=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)，即可判断出正误．【详解】解：∵a+1a=3，∴a2+a−2=(a+1a)2−2=32−2=7，因此A正确；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)=3×(7−1)=18，因此B不正确；∵ (a12+a−12)2=a+a−1+2=3+2=5，a>0，解得a12+a−12=5，因此C不正确；∵aa+1aa=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)=35−5=25，因此D正确．故选：AD．11．（2021·全国·高一专题练习）函数fx=2x−a,x<14x−ax−2a,x≥1恰有2个零点的充分条件的a的取值范围是（    ）A．1,2 B．3,+∞ C．12,1 D．0,12【答案】BC【分析】设ℎx=2x−a,gx=4(x−a)(x−2a)，当x<1时，分函数ℎx与x轴有一个交点和ℎx在x<1时与x轴无交点，两种情况讨论，结合二次函数的性质，求得a的范围，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数fx=2x−a,x<14x−ax−2a,x≥1，设ℎx=2x−a,gx=4(x−a)(x−2a)，若x<1时，函数ℎx与x轴有一个交点，则a>0，且当x=1时，ℎ1=2−a>0，解得a<2，则00，所以2x+1>1，所以0<12x+1<1，−2<−22x+1<0，所以−1<1−22x+1<1，可得f(x)的值域为−1,1，故选项C正确；设任意的x10，2x2+1>0，2x1−2x2<0，所以22x1−2x22x1+12x2+1<0，即f(x1)−f(x2)<0，所以fx1−fx2x1−x2>0，故选项D不正确；故选：BC【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x10且a≠1，则函数f(x)=ax−4+3的图像恒过的定点的坐标为______．【答案】(4,4)【分析】任意指数函数一定过定点(0,1)，根据该性质求解.【详解】令x−4=0，得x=4，所以f(4)=a0+3=4，所以函数f(x)=ax−4+3的图像恒过定点(4,4)．故答案为：(4,4)14．（2021·全国·高一专题练习）函数y=ln4−x2+x的单调减区间是______.【答案】1,4【分析】求出函数的定义域根据复合函数单调性的判断方法可得答案.【详解】由4−x2+x>0得函数的定义域为x|−20、k<0并结合函数图象，求k的范围.【详解】由题意，f(x)=lg(kx)−2lg(x+1)=0，即lg(kx)=lg(x+1)2，∴在f(x)定义域内，y1=kx、y2=(x+1)2只有一个交点，当k>0时，即(0,+∞)上y1、y2只有一个交点；∴仅当y1、y2相切，即x2+(2−k)x+1=0中Δ=(2−k)2−4=0，得k=4或k=0(舍)，∴当k=4时，(0,+∞)上y1、y2只有一个交点；当k<0时，即(−1,0)上y1、y2只有一个交点，显然恒成立.∴k∈ (−∞,0)∪{4}.故答案为：(−∞,0)∪{4}解答题（共6小题，满分70分）17．（2022·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习（文））化简求值：(1)2723+2⋅e−10+15+2−1614；(2)lg5+lg20+lg14−lg25.【答案】(1)7+5；(2)−1【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解.（2）根据对数的运算性质即可化简求值.（1）2723+2⋅e−10+15+2−1614=3323+2+5−2−2414 =32+2+5−2−2=7+5（2）lg5+lg20+lg14−lg25=lg5×20×14÷25=lg10×14×125=lg10−1=−118．（2020·福建福州·高一期中）已知函数f(x)=ax−1+2(a>0且a≠1)，图像经过点（2，4），（1）求a的值（2）求函数f(x)的值域【答案】（1）a=2；（2）2,+∞【分析】（1）将点代入函数fx即可求出a的取值；（2）利用指数函数的性质可得到函数fx的单调性，再结合指数函数的值域即可求出函数fx的值域.【详解】（1）因为函数f(x)=ax−1+2(a>0且a≠1)，图像经过点（2，4），所以a+2=4∴a=2 （2）由（1）可知，fx=2x−1+2，则fx在−∞,+∞上单调递增，∵2x−1>0，∴fx的值域为2,+∞.19．（2022·全国·高一单元测试）已知a12+a−12=3，求下列各式的值.(1)a+a−1；(2)a2+a−2；(3)a32+a−32+2a2+a−2+3.【答案】(1)7；(2)47；(3)25【分析】(1)将所给的等式两边平方，整理即可求得a+a−1的值；(2)将(1)中所得的结果两边平方，整理即可求得a2+a−2的值；(3)首先利用立方差公式可得a32+a−32=a12+a−12a−1+a−1，然后结合(1)（2）的结果即可求得代数式的值.（1）将a12+a−12=3两边平方，得a+a−1+2=9，所以a+a−1=7．（2）将a+a−1=7两边平方，得a2+a−2+2=49，所以a2+a2=47．（3）∵a12+a−12=3，a+a−1=7，a2+a2=47，∴a32+a−32=a123+a−123=a12+a−12a−1+a−1=3×7−1=18，∴a32+a−32+2a2+a−2+3=18+247+3=25．20．（2021·全国·高一课时练习）设a>0且a≠1，函数f(x)=loga(1+x)+loga(3−x)的图像过点(1,2)．（1）求a的值及f(x)的定义域；（2）求f(x)在区间0,32上的最大值．【答案】（1）a=2，定义域为−1,3；（2）最大值为2.【分析】（1）根据函数f(x)的图像过点(1,2)得到a的值，利用真数大于零得到函数的定义域；（2）求出内层二次函数的最大值，即可得到所求函数的最大值.【详解】（1）∵函数f(x)=loga(1+x)+loga(3−x)的图像过点(1,2)，∴loga(1+1)+loga(3−1)=2，∴loga4=2，即a2=4，又a>0且a≠1，∴a=2，要使f(x)=log2(1+x)+log2(3−x)有意义，则1+x>03−x>0⇒−1x1，可整理得到fx2−fx1=22x2−2x12x2+12x1+1>0，由此可得结论；（2）利用奇偶性定义可证得fx为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为kx1，∴fx2−fx1=2x2−12x2+1−2x1−12x1+1=2x2−12x1+1−2x2+12x1−12x2+12x1+1 =22x2−2x12x2+12x1+1；∵x2>x1，∴2x2−2x1>0，又2x2+1>0，2x1+1>0，∴fx2−fx1>0，∴fx在R上单调递增.（2）∵f−x=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−fx，∴fx为R上的奇函数，由fk⋅3x+f3x−9x+2<0得：fk⋅3x<−f3x−9x+2=f9x−3x−2，由（1）知：fx在R上单调递增，∴k⋅3x<9x−3x−2在1,+∞上恒成立；当x≥1时，3x≥3，∴k<3x−23x−1在1,+∞上恒成立；令gx=3x−23x−1，∵y=3x在1,+∞上单调递增，y=23x在1,+∞上单调递减，∴gx在1,+∞上单调递增，∴gx≥g1=3−23−1=43，∴k<43，即实数k的取值范围为−∞,43.