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七年级数学下册高分突破专题02平行线模型-“铅笔”模型(原卷版+解析)
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这是一份七年级数学下册高分突破专题02平行线模型-“铅笔”模型(原卷版+解析)，共34页。
上节课利用平行线的性质和判定学习了平行线模型-“猪蹄”模型（M型），相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课继续学习平行线模型-“铅笔”模型。
【模型刨析】
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
【典例分析】
【典例1】（2020春•上虞区期末）问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC＝108°．求∠PAB+∠PCD的度数．
经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD＝ ．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．
问题拓展：如图4，MA1∥NAn，A1﹣B1﹣A2﹣…﹣Bn﹣1﹣An是一条折线段．依据此图信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ．
【变式1-1】（2020春•太原期中）问题情境
（1）如图①，已知∠B+∠E+∠D＝360°，试探究直线AB与CD有怎样的位置关系？并说明理由．
小明给出下面正确的解法：
直线AB与CD的位置关系是AB∥CD．
理由如下：
过点E作EF∥AB（如图②所示），
所以∠B+∠BEF＝180°（依据1），
因为∠B+∠BED+∠D＝360°（已知），
所以∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°，
所以∠FED+∠D＝180°，
所以EF∥CD（依据2），
因为EF∥AB，
所以AB∥CD（依据3）．
交流反思
上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？
“依据1”： ，
“依据2”： ，
“依据3”： ，
类比探究
（2）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
拓展延伸
（3）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
【变式1-2】（2022春•普兰店区期中）直线AB∥CD，点E在AB和CD之间任一点，射线EF经过点B．
（1）如图1，若DE∥AC，∠CAB＝130°，∠ABF＝80°，求∠DEB的度数；
（2）如图2，若∠CAB＝a，∠CDE＝2∠ACD，若∠BED＝140°，求∠ABE的度数（用含α式子表示）．
（3）如图3，若∠ABE的角平分线与∠CDE的角平分线交于点Q，试找出∠E和∠Q的数量关系并说明理由．
【变式1-3】（2022春•随州期末）已知AB∥CD，点M在射线AB，CD之间．
（1）如图1，若∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，小聪同学过点M作MH∥AB，利用平行线的性质，求得∠MCD＝ 度；
（2）如图2，请写出你发现的∠BAM，∠AMC，∠MCD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，MN平分∠AMC交AB于点N，CE平分∠MCD交AB于点E，MF∥CE交AB于点F，试猜想∠FMN与∠BAM的数量关系，并说明理由．
【夯实基础】
1．（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
2．（2021春•肇州县期末）如图，AB∥CD，∠C＝110°，∠B＝120°，则∠BEC＝（ ）
A．110°B．120°C．130°D．150°
3．（2020•广元）如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．180°B．360°C．270°D．540°
4．（2022春•交口县期末）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（ ）度
A．360B．180C．250D．270
5．（2022•恩施州）已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
（2022春•崇川区校级月考）如图，直线a∥b，∠1＝28°，∠2＝50°，则∠3＝ 度，∠3+∠4+∠5＝ 度．
7．（2021秋•遂川县期末）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠2＝36°，则∠1的度数是 ．
8．（2022春•蓬莱市期末）如图，直线l1∥l2，∠1＝34°，则∠2与∠3的度数和为 ．
9．（2022春•平遥县期中）如图，直线a∥b，∠1＝30°，则∠2+∠3＝ ．
10．（2022•苏州模拟）如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
11．（2021春•泰山区期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠1＝115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度数是 ．
12．（2022春•江源区期中）（1）如图，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，你能求出∠BCD的度数吗？
（2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗？并说明理由．
【能力提升】
13．（2022春•揭西县月考）观察图形：已知a∥b，在第一个图中，可得 ，则按照以上规律，∠1+∠2+∠p1+…+∠pn＝ 度．
14．（2022春•青秀区校级期中）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；
②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；
③如图（2）中，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；
④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝∠CDF，则∠M＝（）°．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
15．（2022春•佛山月考）问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．
（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）
16．（2022春•甘井子区期末）已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是 （直接写答案）．
15．（2022春•宁阳县期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
模型二：“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型
专题02 平行线模型-“铅笔”模型
专题说明
上节课利用平行线的性质和判定学习了平行线模型-“猪蹄”模型（M型），相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课继续学习平行线模型-“铅笔”模型。
【模型刨析】
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
【典例分析】
【典例1】（2020春•上虞区期末）问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC＝108°．求∠PAB+∠PCD的度数．
经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD＝ ．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．
问题拓展：如图4，MA1∥NAn，A1﹣B1﹣A2﹣…﹣Bn﹣1﹣An是一条折线段．依据此图信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ．
【解答】解：如图2，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，
∵∠APC＝108°，
∴∠PAB+∠PCD＝360°﹣108°＝252°；
故答案为：252°；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：
如图3﹣1，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：
如图3﹣2，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
问题拓展：分别过A2，A3…，An﹣1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn﹣1作直线∥A1M，
由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1．
故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1．
【变式1-1】（2020春•太原期中）问题情境
（1）如图①，已知∠B+∠E+∠D＝360°，试探究直线AB与CD有怎样的位置关系？并说明理由．
小明给出下面正确的解法：
直线AB与CD的位置关系是AB∥CD．
理由如下：
过点E作EF∥AB（如图②所示），
所以∠B+∠BEF＝180°（依据1），
因为∠B+∠BED+∠D＝360°（已知），
所以∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°，
所以∠FED+∠D＝180°，
所以EF∥CD（依据2），
因为EF∥AB，
所以AB∥CD（依据3）．
交流反思
上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？
“依据1”： ，
“依据2”： ，
“依据3”： ，
类比探究
（2）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
拓展延伸
（3）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
【解答】解：（1）“依据1”：两直线平行，同旁内角互补，
“依据2”：同旁内角互补，两直线平行，
“依据3”：平行于同一条直线的两直线平行，
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行，
（2）如图，当∠B、∠BEF、∠EFD、∠D满足条件∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°时，有AB∥CD．
理由：过点E、F分别作GE∥HF∥CD．
则∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFD+∠CDF＝180°，
∴∠GEF+∠EFD+∠FDC＝360°；
又∵∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°，
∴∠B+∠BEG＝180°，
∴AB∥GE，
∴AB∥CD；
故答案为：∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°；
（3）如图，当∠B、∠BEF、∠EFD、∠D满足条件∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD时，有AB∥CD．
理由：过点E、F分别作GE∥FH∥CD．
则∠GEF＝∠EFH，∠D＝∠HFD，
∵∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD，
即∠B+∠BEG+∠GEF+∠D＝180°+∠EFH+∠HFD，
∴∠B+∠BEG＝180°，
∴AB∥GE，
∴AB∥CD，
故答案为：∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD．
【变式1-2】（2022春•普兰店区期中）直线AB∥CD，点E在AB和CD之间任一点，射线EF经过点B．
（1）如图1，若DE∥AC，∠CAB＝130°，∠ABF＝80°，求∠DEB的度数；
（2）如图2，若∠CAB＝a，∠CDE＝2∠ACD，若∠BED＝140°，求∠ABE的度数（用含α式子表示）．
（3）如图3，若∠ABE的角平分线与∠CDE的角平分线交于点Q，试找出∠E和∠Q的数量关系并说明理由．
【解答】解：（1）过点E作EH∥AB，
∴∠ABF＝∠BEH＝80°，
∵AB∥CD，∠CAB＝130°，
∴∠ACD＝180°﹣∠CAB＝50°，EH∥CD，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠EDG＝50°，
∵EH∥CD，
∴∠EDG＝∠HED＝50°，
∴∠BED＝∠BEH+∠HED＝130°，
∴∠DEB的度数为130°；
（2）过点E作EP∥AB，
∴∠ABE+∠BEP＝180°，
∵AB∥CD，
∴∠CDE+∠DEP＝180°，
∴∠ABE+∠BEP+∠CDE+∠DEP＝360°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝180°﹣∠CAB＝180°﹣α，
∵∠CDE＝2∠ACD，
∴∠CDE＝2（180°﹣α）＝360°﹣2α，
∵∠BED＝140°，
∴∠ABE＝360°﹣∠BED﹣∠CDE＝360°﹣140°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣140°，
∴∠ABE的度数为2α﹣140°；
（3）∠BED+2∠BQD＝360°，
理由：延长BQ交直线CD于点K，
设∠ABQ＝x，∠CDQ＝y，
∵BQ平分∠ABE，DQ平分∠CDE，
∴∠ABE＝2∠ABQ＝2x，∠CDE＝2∠CDQ＝2y，
∵AB∥CD，
∴∠BKD＝∠ABQ＝x，
∴∠BQD＝∠BKD+∠CDQ＝x+y，
由（2）得：∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∴∠BED＝360°﹣∠ABE﹣∠CDE＝360°﹣2x﹣2y，
∴∠BED+2∠BQD＝360°﹣2x﹣2y+2（x+y）＝360°，
∴∠BED+2∠BQD＝360°．
【变式1-3】（2022春•随州期末）已知AB∥CD，点M在射线AB，CD之间．
（1）如图1，若∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，小聪同学过点M作MH∥AB，利用平行线的性质，求得∠MCD＝ 度；
（2）如图2，请写出你发现的∠BAM，∠AMC，∠MCD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，MN平分∠AMC交AB于点N，CE平分∠MCD交AB于点E，MF∥CE交AB于点F，试猜想∠FMN与∠BAM的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵MH∥AB，
∴∠A+∠AMH＝180°，
∵AB∥CD，
∴MH∥CD，
∴∠C+∠CMH＝180°，
∴∠A+∠AMH+∠C+∠CMH＝360°，
∴∠A+∠C+∠AMC＝360°，
∵∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，
∴∠MCD＝360°﹣∠BAM﹣∠AMC＝120°，
故答案为：120；
（2）∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°，
证明：过点M作MH∥AB，
MH∥AB，
∴∠A+∠AMH＝180°，
∵AB∥CD，
∴MH∥CD，
∴∠C+∠CMH＝180°，
∴∠A+∠AMH+∠C+∠CMH＝360°，
∴∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°；
（3）∠FMN＝∠BAM，
理由：∵MN平分∠AMC，CE平分∠MCD，
∴∠NMC＝∠AMC，∠MCE＝∠MCD，
∵MF∥CE，
∴∠FMC＝180°﹣∠MCE＝180°﹣∠MCD，
由（2）得：
∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°，
∴∠AMC+∠MCD＝360°﹣∠A，
∵∠FMN＝∠FMC﹣∠NMC，
∴∠FMN＝180°﹣∠MCD﹣∠AMC
＝180°﹣（∠MCD+∠AMC）
＝180°﹣（360°﹣∠A）
＝180°﹣180°+∠A，
＝∠A，
∴∠FMN＝∠BAM．
【夯实基础】
1．（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
【答案】A
【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，
∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．
故选：A．
2．（2021春•肇州县期末）如图，AB∥CD，∠C＝110°，∠B＝120°，则∠BEC＝（ ）
A．110°B．120°C．130°D．150°
【答案】C
【解答】解：∵过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠1+∠B＝180°，∠2+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，∠B＝120°，
∴∠1＝60°，∠2＝70°，
∴∠BEC＝∠1+∠2＝130°．
故选：C．
3．（2020•广元）如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．180°B．360°C．270°D．540°
【答案】B
【解答】解：过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°．
故选：B．
4．（2022春•交口县期末）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（ ）度
A．360B．180C．250D．270
【答案】D
【解答】解：过点B作BG∥AE，
∴∠BAE+∠ABG＝180°，
∵AE∥CD，
∴BG∥CD，
∴∠C+∠CBG＝180°，
∴∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠C＝360°，
∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠BAE＝270°，
故选：D．
5．（2022•恩施州）已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【答案】D
【解答】解：过含30°角的直角三角板的直角顶点B作BF∥l1，交AC于点F，
∵∠C＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝60°．
∵∠1＝∠A+∠ADE，
∴∠ADE＝60°．
∵BF∥l1，
∴∠ABF＝∠ADE＝60°，
∴∠FBG＝90°﹣∠ABF＝30°．
∵BF∥l1，l1∥l2，
∴BF∥l2，
∴∠BGH+∠FBG＝180°，
∴∠BGH＝180°﹣∠FBG＝150°，
∴∠2＝∠BGH＝150°．
故选：D．
6．（2022春•崇川区校级月考）如图，直线a∥b，∠1＝28°，∠2＝50°，则∠3＝ 度，∠3+∠4+∠5＝ 度．
【答案】78,360
【解答】解：如图所示：过∠3的顶点作c∥a，
∵a∥b，
∴a∥b∥c，
∴∠1＝∠6，∠7＝∠2，
又∠3＝∠6+∠7，
∴∠3＝∠1+∠2＝78°；
又∠4+∠6＝∠7+∠5＝180°
∴∠3+∠4+∠5＝360°．
7．（2021秋•遂川县期末）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠2＝36°，则∠1的度数是 ．
【答案】54°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠D＝∠2＝36°，
∵FE⊥DB，
∴∠FED＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠FED﹣∠D＝54°，
故答案为：54°．
8．（2022春•蓬莱市期末）如图，直线l1∥l2，∠1＝34°，则∠2与∠3的度数和为 ．
【答案】214°
【解答】解：如图：过点B作BD∥l1，
∴∠4+∠ABD＝180°，
∵l1∥l2，
∴BD∥l2，
∴∠3+∠CBD＝180°，
∴∠4+∠ABD+∠CBD+∠3＝360°，
∴∠4+∠2+∠3＝360°，
∵∠1＝34°，
∴∠4＝180°﹣∠1＝146°，
∴∠2+∠3＝360°﹣∠4＝214°，
故答案为：214°．
9．（2022春•平遥县期中）如图，直线a∥b，∠1＝30°，则∠2+∠3＝ ．
【答案】210°
【解答】解：如图，
∵∠1+∠4＝180°，
∴∠4＝180°﹣∠1＝150°，
∵∠2+∠3+∠4＝360°，
∴∠2+∠3＝360°﹣∠4＝360°﹣150°＝210°．
故答案为：210°．
10．（2022•苏州模拟）如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
【答案】540°
【解答】解：连接BD，如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD＝360°，
∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB＝540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4＝540°．
故答案为：540°．
11．（2021春•泰山区期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠1＝115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度数是 ．
【答案】155°
【解答】解：过点B作BE∥AD，
∵AD∥CF
∴AD∥BE∥CF，
∴∠1+∠ABE＝180°，∠2+∠CBE＝180°；
∴∠1+∠2+∠ABC＝360°，
∵∠1＝115°，∠ABC＝90°，
∴∠2的度数为155°．
故答案为：155°．
12．（2022春•江源区期中）（1）如图，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，你能求出∠BCD的度数吗？
（2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗？并说明理由．
【解答】解：（1）如图，作CF∥AB，则CF∥DE，
∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+DCF＝180°，
∵∠B＝135°，∠D＝145°，
∴∠BCF＝45°，∠DCF＝35°，
∴∠BCD＝80°；
（2）∠B+∠BCD+∠D＝360°，
如上图，∵CF∥AB，则CF∥DE，
∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+DCF＝180°，
∴∠B+∠BCF+∠D+∠DCF＝360°，
即∠B+∠BCD+∠D＝360°．
【能力提升】
13．（2022春•揭西县月考）观察图形：已知a∥b，在第一个图中，可得 ，则按照以上规律，∠1+∠2+∠p1+…+∠pn＝ 度．
【答案】∠1+∠2＝180°，180（n+1）．
【解答】解：如图1：
∵a∥b，
∴∠1+∠2＝180°，
如图2：过点P1作PC∥a，
∴∠1+∠3＝180°，
∵a∥b，
∴PC∥b，
∴∠4+∠2＝180°，
∴∠1+∠3+∠4+∠2＝2×180°＝360°，
∴∠1+∠AP1B+∠B＝360°＝2×180；
如图3：过点P1作P1C∥a，过点P2作P2D∥b，
∴∠1+∠3＝180°，∠2+∠DP2B＝180°，
∵a∥b，
∴P1C∥P2D，
∴∠4+∠5＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠DP2B＝540°，
∴∠1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠2＝540°＝3×180°；
..．
则按照以上规律，∠1+∠2+∠p1+…+∠pn＝180°（n+1），
故答案为：180（n+1）．
14．（2022春•青秀区校级期中）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；
②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；
③如图（2）中，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；
④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝∠CDF，则∠M＝（）°．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG＝360°，即∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，①正确，
∵∠BED＝80°，∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∴∠ABE+∠CDE＝280°，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，
∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝140°，②正确，
与上同理，∠BMD＝∠ABM+∠CDM＝（∠ABF+∠CDF），
∴6∠BMD＝2（∠ABF+∠CDF）＝∠ABE+∠CDE，
∴6∠BMD+∠E＝360°，③正确，
由题意，④不一定正确，
∴①②③正确，
故选：C．
15．（2022春•佛山月考）问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．
（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠EPC+∠C＝180°，
∴∠APE＝180°﹣120°＝60°，∠EPC＝180°﹣130°＝50°，
∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝60°+50°＝110°；
（2）∠CPD＝∠α+∠β，
理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
②当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，
①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
②当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
16．（2022春•甘井子区期末）已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是 （直接写答案）．
【解答】（1）证明：∵∠AGE＝∠BGF，∠CHF＝∠EHD，
又∠AGE+∠CHF＝180°，
∴∠BGF+∠EHD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：过点M作MK∥CD，
则∠KMH＝∠CHM，
又AB∥CD；
∴AB∥MK；
∴∠AGM＝∠GMK，
∵∠GMH＝∠AGM+∠KMH
∴∠GMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GF是∠BGM的平分线，
∴∠FGM＝∠BGM＝ （180°−∠AGM）＝90°−α，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵∠GMH＝∠N+∠FGN，
∴2α+β＝2α+∠FGN，
∴∠FGN＝2β，
∴∠M＝2α+β＝∠N+∠FGN，
即：∠M＝∠N+∠FGN．
15．（2022春•宁阳县期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
【解答】解：
（1）55°
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，
故答案为55°．
（2）如图所示，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，
∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．
（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：
由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，
由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴2∠AFC+∠AEC＝360°．
②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE＝360°，
∵∠BAF＝
∠FAE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，
∴∠F＝（∠FAE+∠FCE），
∴∠FAE+∠FCE＝n∠F，
∴∠F+∠E+n∠F＝360°，
∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，
∴∠F＝．
模型二：“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型
上节课利用平行线的性质和判定学习了平行线模型-“猪蹄”模型（M型），相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课继续学习平行线模型-“铅笔”模型。
【模型刨析】
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
【典例分析】
【典例1】（2020春•上虞区期末）问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC＝108°．求∠PAB+∠PCD的度数．
经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD＝ ．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．
问题拓展：如图4，MA1∥NAn，A1﹣B1﹣A2﹣…﹣Bn﹣1﹣An是一条折线段．依据此图信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ．
【变式1-1】（2020春•太原期中）问题情境
（1）如图①，已知∠B+∠E+∠D＝360°，试探究直线AB与CD有怎样的位置关系？并说明理由．
小明给出下面正确的解法：
直线AB与CD的位置关系是AB∥CD．
理由如下：
过点E作EF∥AB（如图②所示），
所以∠B+∠BEF＝180°（依据1），
因为∠B+∠BED+∠D＝360°（已知），
所以∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°，
所以∠FED+∠D＝180°，
所以EF∥CD（依据2），
因为EF∥AB，
所以AB∥CD（依据3）．
交流反思
上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？
“依据1”： ，
“依据2”： ，
“依据3”： ，
类比探究
（2）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
拓展延伸
（3）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
【变式1-2】（2022春•普兰店区期中）直线AB∥CD，点E在AB和CD之间任一点，射线EF经过点B．
（1）如图1，若DE∥AC，∠CAB＝130°，∠ABF＝80°，求∠DEB的度数；
（2）如图2，若∠CAB＝a，∠CDE＝2∠ACD，若∠BED＝140°，求∠ABE的度数（用含α式子表示）．
（3）如图3，若∠ABE的角平分线与∠CDE的角平分线交于点Q，试找出∠E和∠Q的数量关系并说明理由．
【变式1-3】（2022春•随州期末）已知AB∥CD，点M在射线AB，CD之间．
（1）如图1，若∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，小聪同学过点M作MH∥AB，利用平行线的性质，求得∠MCD＝ 度；
（2）如图2，请写出你发现的∠BAM，∠AMC，∠MCD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，MN平分∠AMC交AB于点N，CE平分∠MCD交AB于点E，MF∥CE交AB于点F，试猜想∠FMN与∠BAM的数量关系，并说明理由．
【夯实基础】
1．（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
2．（2021春•肇州县期末）如图，AB∥CD，∠C＝110°，∠B＝120°，则∠BEC＝（ ）
A．110°B．120°C．130°D．150°
3．（2020•广元）如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．180°B．360°C．270°D．540°
4．（2022春•交口县期末）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（ ）度
A．360B．180C．250D．270
5．（2022•恩施州）已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
（2022春•崇川区校级月考）如图，直线a∥b，∠1＝28°，∠2＝50°，则∠3＝ 度，∠3+∠4+∠5＝ 度．
7．（2021秋•遂川县期末）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠2＝36°，则∠1的度数是 ．
8．（2022春•蓬莱市期末）如图，直线l1∥l2，∠1＝34°，则∠2与∠3的度数和为 ．
9．（2022春•平遥县期中）如图，直线a∥b，∠1＝30°，则∠2+∠3＝ ．
10．（2022•苏州模拟）如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
11．（2021春•泰山区期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠1＝115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度数是 ．
12．（2022春•江源区期中）（1）如图，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，你能求出∠BCD的度数吗？
（2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗？并说明理由．
【能力提升】
13．（2022春•揭西县月考）观察图形：已知a∥b，在第一个图中，可得 ，则按照以上规律，∠1+∠2+∠p1+…+∠pn＝ 度．
14．（2022春•青秀区校级期中）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；
②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；
③如图（2）中，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；
④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝∠CDF，则∠M＝（）°．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
15．（2022春•佛山月考）问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．
（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）
16．（2022春•甘井子区期末）已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是 （直接写答案）．
15．（2022春•宁阳县期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
模型二：“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型
专题02 平行线模型-“铅笔”模型
专题说明
上节课利用平行线的性质和判定学习了平行线模型-“猪蹄”模型（M型），相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课继续学习平行线模型-“铅笔”模型。
【模型刨析】
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
【典例分析】
【典例1】（2020春•上虞区期末）问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC＝108°．求∠PAB+∠PCD的度数．
经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD＝ ．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．
问题拓展：如图4，MA1∥NAn，A1﹣B1﹣A2﹣…﹣Bn﹣1﹣An是一条折线段．依据此图信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ．
【解答】解：如图2，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，
∵∠APC＝108°，
∴∠PAB+∠PCD＝360°﹣108°＝252°；
故答案为：252°；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：
如图3﹣1，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：
如图3﹣2，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
问题拓展：分别过A2，A3…，An﹣1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn﹣1作直线∥A1M，
由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1．
故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1．
【变式1-1】（2020春•太原期中）问题情境
（1）如图①，已知∠B+∠E+∠D＝360°，试探究直线AB与CD有怎样的位置关系？并说明理由．
小明给出下面正确的解法：
直线AB与CD的位置关系是AB∥CD．
理由如下：
过点E作EF∥AB（如图②所示），
所以∠B+∠BEF＝180°（依据1），
因为∠B+∠BED+∠D＝360°（已知），
所以∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°，
所以∠FED+∠D＝180°，
所以EF∥CD（依据2），
因为EF∥AB，
所以AB∥CD（依据3）．
交流反思
上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？
“依据1”： ，
“依据2”： ，
“依据3”： ，
类比探究
（2）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
拓展延伸
（3）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
【解答】解：（1）“依据1”：两直线平行，同旁内角互补，
“依据2”：同旁内角互补，两直线平行，
“依据3”：平行于同一条直线的两直线平行，
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行，
（2）如图，当∠B、∠BEF、∠EFD、∠D满足条件∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°时，有AB∥CD．
理由：过点E、F分别作GE∥HF∥CD．
则∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFD+∠CDF＝180°，
∴∠GEF+∠EFD+∠FDC＝360°；
又∵∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°，
∴∠B+∠BEG＝180°，
∴AB∥GE，
∴AB∥CD；
故答案为：∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°；
（3）如图，当∠B、∠BEF、∠EFD、∠D满足条件∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD时，有AB∥CD．
理由：过点E、F分别作GE∥FH∥CD．
则∠GEF＝∠EFH，∠D＝∠HFD，
∵∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD，
即∠B+∠BEG+∠GEF+∠D＝180°+∠EFH+∠HFD，
∴∠B+∠BEG＝180°，
∴AB∥GE，
∴AB∥CD，
故答案为：∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD．
【变式1-2】（2022春•普兰店区期中）直线AB∥CD，点E在AB和CD之间任一点，射线EF经过点B．
（1）如图1，若DE∥AC，∠CAB＝130°，∠ABF＝80°，求∠DEB的度数；
（2）如图2，若∠CAB＝a，∠CDE＝2∠ACD，若∠BED＝140°，求∠ABE的度数（用含α式子表示）．
（3）如图3，若∠ABE的角平分线与∠CDE的角平分线交于点Q，试找出∠E和∠Q的数量关系并说明理由．
【解答】解：（1）过点E作EH∥AB，
∴∠ABF＝∠BEH＝80°，
∵AB∥CD，∠CAB＝130°，
∴∠ACD＝180°﹣∠CAB＝50°，EH∥CD，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠EDG＝50°，
∵EH∥CD，
∴∠EDG＝∠HED＝50°，
∴∠BED＝∠BEH+∠HED＝130°，
∴∠DEB的度数为130°；
（2）过点E作EP∥AB，
∴∠ABE+∠BEP＝180°，
∵AB∥CD，
∴∠CDE+∠DEP＝180°，
∴∠ABE+∠BEP+∠CDE+∠DEP＝360°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝180°﹣∠CAB＝180°﹣α，
∵∠CDE＝2∠ACD，
∴∠CDE＝2（180°﹣α）＝360°﹣2α，
∵∠BED＝140°，
∴∠ABE＝360°﹣∠BED﹣∠CDE＝360°﹣140°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣140°，
∴∠ABE的度数为2α﹣140°；
（3）∠BED+2∠BQD＝360°，
理由：延长BQ交直线CD于点K，
设∠ABQ＝x，∠CDQ＝y，
∵BQ平分∠ABE，DQ平分∠CDE，
∴∠ABE＝2∠ABQ＝2x，∠CDE＝2∠CDQ＝2y，
∵AB∥CD，
∴∠BKD＝∠ABQ＝x，
∴∠BQD＝∠BKD+∠CDQ＝x+y，
由（2）得：∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∴∠BED＝360°﹣∠ABE﹣∠CDE＝360°﹣2x﹣2y，
∴∠BED+2∠BQD＝360°﹣2x﹣2y+2（x+y）＝360°，
∴∠BED+2∠BQD＝360°．
【变式1-3】（2022春•随州期末）已知AB∥CD，点M在射线AB，CD之间．
（1）如图1，若∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，小聪同学过点M作MH∥AB，利用平行线的性质，求得∠MCD＝ 度；
（2）如图2，请写出你发现的∠BAM，∠AMC，∠MCD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，MN平分∠AMC交AB于点N，CE平分∠MCD交AB于点E，MF∥CE交AB于点F，试猜想∠FMN与∠BAM的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵MH∥AB，
∴∠A+∠AMH＝180°，
∵AB∥CD，
∴MH∥CD，
∴∠C+∠CMH＝180°，
∴∠A+∠AMH+∠C+∠CMH＝360°，
∴∠A+∠C+∠AMC＝360°，
∵∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，
∴∠MCD＝360°﹣∠BAM﹣∠AMC＝120°，
故答案为：120；
（2）∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°，
证明：过点M作MH∥AB，
MH∥AB，
∴∠A+∠AMH＝180°，
∵AB∥CD，
∴MH∥CD，
∴∠C+∠CMH＝180°，
∴∠A+∠AMH+∠C+∠CMH＝360°，
∴∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°；
（3）∠FMN＝∠BAM，
理由：∵MN平分∠AMC，CE平分∠MCD，
∴∠NMC＝∠AMC，∠MCE＝∠MCD，
∵MF∥CE，
∴∠FMC＝180°﹣∠MCE＝180°﹣∠MCD，
由（2）得：
∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°，
∴∠AMC+∠MCD＝360°﹣∠A，
∵∠FMN＝∠FMC﹣∠NMC，
∴∠FMN＝180°﹣∠MCD﹣∠AMC
＝180°﹣（∠MCD+∠AMC）
＝180°﹣（360°﹣∠A）
＝180°﹣180°+∠A，
＝∠A，
∴∠FMN＝∠BAM．
【夯实基础】
1．（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
【答案】A
【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，
∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．
故选：A．
2．（2021春•肇州县期末）如图，AB∥CD，∠C＝110°，∠B＝120°，则∠BEC＝（ ）
A．110°B．120°C．130°D．150°
【答案】C
【解答】解：∵过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠1+∠B＝180°，∠2+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，∠B＝120°，
∴∠1＝60°，∠2＝70°，
∴∠BEC＝∠1+∠2＝130°．
故选：C．
3．（2020•广元）如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．180°B．360°C．270°D．540°
【答案】B
【解答】解：过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°．
故选：B．
4．（2022春•交口县期末）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（ ）度
A．360B．180C．250D．270
【答案】D
【解答】解：过点B作BG∥AE，
∴∠BAE+∠ABG＝180°，
∵AE∥CD，
∴BG∥CD，
∴∠C+∠CBG＝180°，
∴∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠C＝360°，
∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠BAE＝270°，
故选：D．
5．（2022•恩施州）已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【答案】D
【解答】解：过含30°角的直角三角板的直角顶点B作BF∥l1，交AC于点F，
∵∠C＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝60°．
∵∠1＝∠A+∠ADE，
∴∠ADE＝60°．
∵BF∥l1，
∴∠ABF＝∠ADE＝60°，
∴∠FBG＝90°﹣∠ABF＝30°．
∵BF∥l1，l1∥l2，
∴BF∥l2，
∴∠BGH+∠FBG＝180°，
∴∠BGH＝180°﹣∠FBG＝150°，
∴∠2＝∠BGH＝150°．
故选：D．
6．（2022春•崇川区校级月考）如图，直线a∥b，∠1＝28°，∠2＝50°，则∠3＝ 度，∠3+∠4+∠5＝ 度．
【答案】78,360
【解答】解：如图所示：过∠3的顶点作c∥a，
∵a∥b，
∴a∥b∥c，
∴∠1＝∠6，∠7＝∠2，
又∠3＝∠6+∠7，
∴∠3＝∠1+∠2＝78°；
又∠4+∠6＝∠7+∠5＝180°
∴∠3+∠4+∠5＝360°．
7．（2021秋•遂川县期末）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠2＝36°，则∠1的度数是 ．
【答案】54°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠D＝∠2＝36°，
∵FE⊥DB，
∴∠FED＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠FED﹣∠D＝54°，
故答案为：54°．
8．（2022春•蓬莱市期末）如图，直线l1∥l2，∠1＝34°，则∠2与∠3的度数和为 ．
【答案】214°
【解答】解：如图：过点B作BD∥l1，
∴∠4+∠ABD＝180°，
∵l1∥l2，
∴BD∥l2，
∴∠3+∠CBD＝180°，
∴∠4+∠ABD+∠CBD+∠3＝360°，
∴∠4+∠2+∠3＝360°，
∵∠1＝34°，
∴∠4＝180°﹣∠1＝146°，
∴∠2+∠3＝360°﹣∠4＝214°，
故答案为：214°．
9．（2022春•平遥县期中）如图，直线a∥b，∠1＝30°，则∠2+∠3＝ ．
【答案】210°
【解答】解：如图，
∵∠1+∠4＝180°，
∴∠4＝180°﹣∠1＝150°，
∵∠2+∠3+∠4＝360°，
∴∠2+∠3＝360°﹣∠4＝360°﹣150°＝210°．
故答案为：210°．
10．（2022•苏州模拟）如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
【答案】540°
【解答】解：连接BD，如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD＝360°，
∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB＝540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4＝540°．
故答案为：540°．
11．（2021春•泰山区期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠1＝115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度数是 ．
【答案】155°
【解答】解：过点B作BE∥AD，
∵AD∥CF
∴AD∥BE∥CF，
∴∠1+∠ABE＝180°，∠2+∠CBE＝180°；
∴∠1+∠2+∠ABC＝360°，
∵∠1＝115°，∠ABC＝90°，
∴∠2的度数为155°．
故答案为：155°．
12．（2022春•江源区期中）（1）如图，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，你能求出∠BCD的度数吗？
（2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗？并说明理由．
【解答】解：（1）如图，作CF∥AB，则CF∥DE，
∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+DCF＝180°，
∵∠B＝135°，∠D＝145°，
∴∠BCF＝45°，∠DCF＝35°，
∴∠BCD＝80°；
（2）∠B+∠BCD+∠D＝360°，
如上图，∵CF∥AB，则CF∥DE，
∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+DCF＝180°，
∴∠B+∠BCF+∠D+∠DCF＝360°，
即∠B+∠BCD+∠D＝360°．
【能力提升】
13．（2022春•揭西县月考）观察图形：已知a∥b，在第一个图中，可得 ，则按照以上规律，∠1+∠2+∠p1+…+∠pn＝ 度．
【答案】∠1+∠2＝180°，180（n+1）．
【解答】解：如图1：
∵a∥b，
∴∠1+∠2＝180°，
如图2：过点P1作PC∥a，
∴∠1+∠3＝180°，
∵a∥b，
∴PC∥b，
∴∠4+∠2＝180°，
∴∠1+∠3+∠4+∠2＝2×180°＝360°，
∴∠1+∠AP1B+∠B＝360°＝2×180；
如图3：过点P1作P1C∥a，过点P2作P2D∥b，
∴∠1+∠3＝180°，∠2+∠DP2B＝180°，
∵a∥b，
∴P1C∥P2D，
∴∠4+∠5＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠DP2B＝540°，
∴∠1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠2＝540°＝3×180°；
..．
则按照以上规律，∠1+∠2+∠p1+…+∠pn＝180°（n+1），
故答案为：180（n+1）．
14．（2022春•青秀区校级期中）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；
②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；
③如图（2）中，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；
④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝∠CDF，则∠M＝（）°．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG＝360°，即∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，①正确，
∵∠BED＝80°，∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∴∠ABE+∠CDE＝280°，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，
∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝140°，②正确，
与上同理，∠BMD＝∠ABM+∠CDM＝（∠ABF+∠CDF），
∴6∠BMD＝2（∠ABF+∠CDF）＝∠ABE+∠CDE，
∴6∠BMD+∠E＝360°，③正确，
由题意，④不一定正确，
∴①②③正确，
故选：C．
15．（2022春•佛山月考）问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．
（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠EPC+∠C＝180°，
∴∠APE＝180°﹣120°＝60°，∠EPC＝180°﹣130°＝50°，
∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝60°+50°＝110°；
（2）∠CPD＝∠α+∠β，
理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
②当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，
①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
②当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
16．（2022春•甘井子区期末）已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是 （直接写答案）．
【解答】（1）证明：∵∠AGE＝∠BGF，∠CHF＝∠EHD，
又∠AGE+∠CHF＝180°，
∴∠BGF+∠EHD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：过点M作MK∥CD，
则∠KMH＝∠CHM，
又AB∥CD；
∴AB∥MK；
∴∠AGM＝∠GMK，
∵∠GMH＝∠AGM+∠KMH
∴∠GMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GF是∠BGM的平分线，
∴∠FGM＝∠BGM＝ （180°−∠AGM）＝90°−α，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵∠GMH＝∠N+∠FGN，
∴2α+β＝2α+∠FGN，
∴∠FGN＝2β，
∴∠M＝2α+β＝∠N+∠FGN，
即：∠M＝∠N+∠FGN．
15．（2022春•宁阳县期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
【解答】解：
（1）55°
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，
故答案为55°．
（2）如图所示，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，
∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．
（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：
由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，
由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴2∠AFC+∠AEC＝360°．
②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE＝360°，
∵∠BAF＝
∠FAE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，
∴∠F＝（∠FAE+∠FCE），
∴∠FAE+∠FCE＝n∠F，
∴∠F+∠E+n∠F＝360°，
∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，
∴∠F＝．
模型二：“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型
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