七年级数学下册高分突破专题06实数相关概念(5大类考点)(原卷版+解析)

这是一份七年级数学下册高分突破专题06实数相关概念(5大类考点)(原卷版+解析)，共19页。试卷主要包含了0101101110…，14，是分数，属于有理数；，05，等内容，欢迎下载使用。


考点1 无理数的概念
1.有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
2、无限不循环小数叫做无理数。
3、有理数和无理数统称实数。
考点2 平方根和算术平方根
1、平方根：如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个x就叫a的平方根，表示为±，也叫二次方根。只有非负数才有平方根。
2、算数平方根： 若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根。记为“”读作“根号a”。算术平方根都是非负数。
考点3 立方根
立方根：如果一个数x的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根。任何数都有立方根。
典例分析
【考点1 无理数的概念】
【典例1】（2022秋•射阳县月考）在数，1.010010001，，0，﹣2π，﹣2.62662666…，3.1415中，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-1】（2022春•蚌埠期末）在0，π，0.0101101110…（每两个0之间的1依次增加），3.14，中，无理数的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式1-2】（2022•福建）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A．B．C．D．π
【变式1-3】（2011•宜昌校级一模）在0.03，0.3，π，，中，无理数有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【考点2 平方根、算术平方根与立方根的概念】
【典例2】（2021秋•新乐市期末）16的平方根是（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．8
【变式2-1】（2022春•红河州期末）9的平方根是（ ）
A．±3B．3C．±D．
【变式2-2】（2022春•沙依巴克区校级期末）的平方根是（ ）
A．4B．2C．4或﹣4D．2或﹣2
【典例3】（2022春•江夏区校级月考）25的算术平方根是（ ）
A．﹣5B．5C．±5D．
【变式3-1】（2022春•绵阳期末）已知，则x＝（ ）
A．16B．8C．2D．±2
【变式3-2】（2022春•威县期末）式子表示（ ）
A．﹣4的算术平方根B．8的算术平方根
C．16的平方根D．16的算术平方根
【典例3】（2022•陇县二模）的立方根为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2022•武威模拟）﹣8的立方根是（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．﹣512
【变式3-2】（2022春•宜城市期末）如果x是64的立方根，那么x的算术平方根是（ ）
A．4B．2C．D．±4
【考点3 无理数的估算】
【典例4】（2022春•涪陵区校级期中）估计2﹣1的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【变式4-1】（2022春•大足区期末）估计+1的值（ ）
A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间
【变式4-2】（2022春•滨海新区期末）估计大小在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
【变式4-3】（2005•芜湖）估算的值（ ）
A．在4和5之间B．在5和6之间C．在6和7之间D．在7和8之间
真题再现
1．（2023•任城区校级开学）的平方根是（ ）
A．8B．±8C．±2D．±4
2．（2022秋•内江期末）下列各式中运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋•运城期末）将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是（ ）
A．B．C．D．2
4．（2022秋•广饶县校级期末）若，|b|＝5，且ab＜0，则a+b的算术平方根为（ ）
A．4B．2C．±2D．3
5．（2022秋•东明县校级期末）在，﹣，2.030030003，﹣，0，π，3.3这些数中，无理数的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
6．（2022秋•莲池区校级期末）估计的值在（ ）
A．3到4 之间B．4到5之间C．1到2 之间D．2到3 之间
7．（2022秋•宁强县期末）的值等于（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．5
8．（2022秋•增城区期末）4的平方根是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．16
9．（2022秋•通川区校级期末）﹣27的立方根与9的平方根之和是（ ）
A．0B．6C．﹣12或6D．0或﹣6
10．（2022秋•荥阳市校级期末）对于实数p，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：72，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对512只需进行（ ）次操作后变为2．
A．3B．4C．5D．6
11．（2022秋•南关区校级期末）若n为整数，n＜＜n+1，则n的值为（ ）
A．1B．0C．2D．3
12．（2022秋•和平区校级期末）已知，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＜bB．a＞bC．a＝bD．无法确定
13．（2021秋•阜城县期末）根据图中呈现的运算关系，可知a＝ ，b＝ ．
14．（2022春•仓山区校级期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是2，求2a﹣b的平方根．
15．（2021秋•成华区期末）已知m+n﹣5的算术平方根是3，m﹣n+4的立方根是﹣2，试求的值．
16．（2022春•满洲里市校级期末）小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长．
17．（2022春•汝南县月考）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3．
（1）求长方体的水池长、宽、高为多少？
（2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？
18．（2021春•阿荣旗校级期中）求下列各式中的x
（1）25x2﹣36＝0；
（2）（x+3）3＝27．
19．（2022春•罗定市期中）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
专题06 实数相关概念（5大类考点）
解题思路
考点1 无理数的概念
1.有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
2、无限不循环小数叫做无理数。
3、有理数和无理数统称实数。
考点2 平方根和算术平方根
1、平方根：如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个x就叫a的平方根，表示为±，也叫二次方根。只有非负数才有平方根。
2、算数平方根： 若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根。记为“”读作“根号a”。算术平方根都是非负数。
考点3 立方根
立方根：如果一个数x的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根。任何数都有立方根。
典例分析
【考点1 无理数的概念】
【典例1】（2022秋•射阳县月考）在数，1.010010001，，0，﹣2π，﹣2.62662666…，3.1415中，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：在数，1.010010001，，0，﹣2π，﹣2.62662666…，3.1415中，无理数有﹣2π，﹣2.62662666…，共2个．
故选：B．
【变式1-1】（2022春•蚌埠期末）在0，π，0.0101101110…（每两个0之间的1依次增加），3.14，中，无理数的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【解答】解：0是整数，属于有理数；
3.14，是分数，属于有理数；
无理数有π，0.0101101110…（每两个0之间的1依次增加），共2个．
故选：C．
【变式1-2】（2022•福建）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A．B．C．D．π
【答案】B
【解答】解：根据题意，设点P表示的数为p，
则1＜p＜2，
∵1，
∴这个无理数是．
故选：B．
【变式1-3】（2011•宜昌校级一模）在0.03，0.3，π，，中，无理数有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解答】解：题目中无理数为π，．
故选：A．
【考点2 平方根、算术平方根与立方根的概念】
【典例2】（2021秋•新乐市期末）16的平方根是（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．8
【答案】C
【解答】解：16的平方根是±4．
故选：C．
【变式2-1】（2022春•红河州期末）9的平方根是（ ）
A．±3B．3C．±D．
【答案】A
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3．
故选：A．
【变式2-2】（2022春•沙依巴克区校级期末）的平方根是（ ）
A．4B．2C．4或﹣4D．2或﹣2
【答案】D
【解答】解：∵，（±2）2＝4，故选D
【典例3】（2022春•江夏区校级月考）25的算术平方根是（ ）
A．﹣5B．5C．±5D．
【答案】B
【解答】解：25的算术平方根为：＝5．
故选：B．
【变式3-1】（2022春•绵阳期末）已知，则x＝（ ）
A．16B．8C．2D．±2
【答案】A
【解答】解：∵，
∴x＝16．
故选：A．
【变式3-2】（2022春•威县期末）式子表示（ ）
A．﹣4的算术平方根B．8的算术平方根
C．16的平方根D．16的算术平方根
【答案】D
【解答】解：＝，即16的算术平方根．
故选：D．
【典例3】（2022•陇县二模）的立方根为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵（﹣）3＝，
∴的立方根是．
故选：A．
【变式3-1】（2022•武威模拟）﹣8的立方根是（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．﹣512
【答案】A
【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故选：A．
【变式3-2】（2022春•宜城市期末）如果x是64的立方根，那么x的算术平方根是（ ）
A．4B．2C．D．±4
【答案】B
【解答】解：∵43＝64，
∴64的立方根是4，
即x＝4，
∵22＝4，
∴x的算术平方根是2．
故选：B
【考点3 无理数的估算】
【典例4】（2022春•涪陵区校级期中）估计2﹣1的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【答案】B
【解答】解：原式＝﹣1，
∵9＜12＜16，
∴3＜＜4，
∴2＜﹣1＜3，
故选：B．
【变式4-1】（2022春•大足区期末）估计+1的值（ ）
A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间
【答案】D
【解答】解：∵9＜11＜16，
∴3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
∴估计+1的值在4和5之间，
故选：D．
【变式4-2】（2022春•滨海新区期末）估计大小在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
【答案】C
【解答】解：∵＜，
∴4＜5，
∴在4～5之间．
故选：C．
【变式4-3】（2005•芜湖）估算的值（ ）
A．在4和5之间B．在5和6之间C．在6和7之间D．在7和8之间
【答案】D
【解答】解：原式＝5+，
又∵4＜6＜9，
∴23，
∴其值在7和8之间．
故选：D．
真题再现
1．（2023•任城区校级开学）的平方根是（ ）
A．8B．±8C．±2D．±4
【答案】C
【解答】解：的平方根，即8的平方根是：±＝±2，
故选：C．
2．（2022秋•内江期末）下列各式中运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：A． ，故本选项错误，不符合题意；
B． ，故本选项正确，符合题意；
C． ，故本选项错误，不符合题意；
D． ，故本选项错误，不符合题意．
故选：B．
3．（2022秋•运城期末）将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解答】解：∵长方形的长为2，宽为1，
∴长方形的面积：2×1＝2，
设正方形的边长为a，则可得：a2＝2，
∴，
∵a是正方形的边长，即a＞0，
∴，
故选：C．
4．（2022秋•广饶县校级期末）若，|b|＝5，且ab＜0，则a+b的算术平方根为（ ）
A．4B．2C．±2D．3
【答案】B
【解答】解：∵，
∴a＝9，
∵|b|＝5，
∴b＝±5，
∵ab＜0，
∴a＝9，b＝﹣5，
∴a+b＝9﹣5＝4，
∴a+b的算术平方根为，
故选：B．
5．（2022秋•东明县校级期末）在，﹣，2.030030003，﹣，0，π，3.3这些数中，无理数的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】C
【解答】解：在，﹣，2.030030003，﹣，0，π，3.3这些数中，无理数有，﹣，π，共3个．
故选：C．
6．（2022秋•莲池区校级期末）估计的值在（ ）
A．3到4 之间B．4到5之间C．1到2 之间D．2到3 之间
【答案】C
【解答】解：∵＜＜，
∴4＜＜5，
∴﹣3的值在1到2之间．
故选：C．
7．（2022秋•宁强县期末）的值等于（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．5
【答案】A
【解答】解：∵32＝9，
∴，
故选：A．
8．（2022秋•增城区期末）4的平方根是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．16
【答案】A
【解答】解：∵（±2 ）2＝4，
∴4的平方根是±2，
故选：A．
9．（2022秋•通川区校级期末）﹣27的立方根与9的平方根之和是（ ）
A．0B．6C．﹣12或6D．0或﹣6
【答案】D
【解答】解：﹣27的立方根是﹣3，9的平方根是±3，
﹣3+3＝0，﹣3+（﹣3）＝﹣6．
故选：D．
10．（2022秋•荥阳市校级期末）对于实数p，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：72，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对512只需进行（ ）次操作后变为2．
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解答】解：现在对256进行如下操作：
512{}＝23{23}＝5{5}＝3{3}＝2，
∴对512只需进行4次操作后变为2，
故选：B．
11．（2022秋•南关区校级期末）若n为整数，n＜＜n+1，则n的值为（ ）
A．1B．0C．2D．3
【答案】D
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∵n为整数，n＜＜n+1，
∴n＝3，
故选：D．
12．（2022秋•和平区校级期末）已知，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＜bB．a＞bC．a＝bD．无法确定
【答案】A
【解答】解：a＝﹣5＝﹣，b＝﹣2＝﹣，
∵50＞20，
∴＞，
∴﹣＜﹣，
∴﹣5＜﹣2，
∴a＜b．
故选：A．
13．（2021秋•阜城县期末）根据图中呈现的运算关系，可知a＝ ，b＝ ．
【答案】﹣2020，﹣2020．
【解答】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m，a的立方根是﹣m，
∴m3＝2020，（﹣m）3＝a，
∴a＝﹣2020；
又∵n的平方根是2020和b，
∴b＝﹣2020．
故答案为：﹣2020，﹣2020．
14．（2022春•仓山区校级期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是2，求2a﹣b的平方根．
【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1＝9，
a＝5，
∵3a+b﹣1的立方根是2，
∴3a+b﹣1＝8，
∴b＝﹣6，
∴2a﹣b＝16，
∴2a﹣b的平方根是±4．
15．（2021秋•成华区期末）已知m+n﹣5的算术平方根是3，m﹣n+4的立方根是﹣2，试求的值．
【解答】解：根据题意得，
解得，
所以3m﹣n+2＝﹣8，2m+1＝3，
所以＝﹣2．
16．（2022春•满洲里市校级期末）小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长．
【解答】解：设第二个纸盒的棱长为acm，
∵已知第一个正方体纸盒的棱长为3cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大189cm3，
∴a3﹣33＝189，
∴a3＝189+27＝216，
a3＝216＝63
∴a＝6cm．
17．（2022春•汝南县月考）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3．
（1）求长方体的水池长、宽、高为多少？
（2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？
【解答】解：（1）∵有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3，
∴设长方体的水池长、宽、高为2x，2x，4x，
∴2x•2x•4x＝16000，
∴16x3＝16000，
∴x3＝1000，
解得：x＝10，
∴长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm；
（2）设该小球的半径为rcm，则：
πr3＝×16 000，
∴r3＝×16 000×，
∴r≈4.05，
答：该小球的半径为4.05cm．
18．（2021春•阿荣旗校级期中）求下列各式中的x
（1）25x2﹣36＝0；
（2）（x+3）3＝27．
【解答】解：（1）25x2﹣36＝0，
25x2＝36，
x2＝，
x＝±；
（2）（x+3）3＝27，
x+3＝3，
x＝0．
19．（2022春•罗定市期中）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3；
（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．