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七年级数学下册专题02平行线中的拐点模型之铅笔头模型(原卷版+解析)
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这是一份七年级数学下册专题02平行线中的拐点模型之铅笔头模型(原卷版+解析)，共44页。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型2：铅笔头模型
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，
∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，
∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，
∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例1．（2023上·广东广州·八年级校考期中）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023下·绵阳市·七年级校考期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023下·辽宁鞍山·七年级统考期末）如图，已知，下列结论正确的是（ ）
A．∠BAC＝∠DCEB．∠BAC＝∠CEF
C．∠BAC＋∠ACE＝180°D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°
例4．（2023春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °．
例5．（2023下·湖北武汉·七年级期末）如图，， ， ，已知，则的度数为 ．
例6．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图所示，，若，下列各式：① ② ③ ④
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①④
例7．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）下列各图中的与平行．
图中的，
图中的，
图中的，
图中的 ，
据此推测，图中的
例8．（2023下·河南安阳·七年级统考期末）【学习新知】
射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．
(1)【初步应用】生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射到平面镜上，被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线，回答下列问题：
①当，（即时，求的度数；
②当时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学知识及新知说明理由．
（提示：三角形的内角和等于
(2)【拓展探究】如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线已知，若要使，请直接写出的度数 ________；
例9．（2023下·河南平顶山·七年级统考期中）我们知道，两条平行线被第三条直线所截，可以得到一些相等的角或者互补的角，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到将直线的位置关系转化为角的数量关系的作用．
问题初探：（1）如图1，，用等式表示之间的数量关系．
分析：过点作，则有，因为，所以，所以，
从而可以得到之间的数量关系．
请你直接写出之间的数量关系______．
类比再探：（2）如图2，，用等式表示之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：（3）利用上面（1）、（2）得出的结论完成下题：
已知，如图3，，与两个角的角平分线相交于点．
①若，求的度数．
②若的度数用表示，的度数用表示，则与的之间的关系式为______．
课后专项训练
1．（2023下·山西·七年级统考阶段练习）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保 持水平状态上升（即与始终平行），在该过程中始终等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，当时，的度数为（ ）
A．55°B．70°C．60°D．35°
3．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，直线，，则（ ）
A．150°B．180°C．210°D．240°
4．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知直线，点为直线上一点，为射线上一点，若，，交于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022上·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为 ．（用含n的式子表示）
7．（2023上·云南昆明·八年级统考期末）如图，在五边形中满足，则图形中的的值是 ．
8．（2023下·山西吕梁·七年级统考期中）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 °．
9．（2023下·河北唐山·七年级统考期中）如图，，，，则 ．
10．（2023下·甘肃·七年级校考期中）如图，，已知，．则 度．
11．（2023下·山西临汾·七年级统考期末）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是 ．
12．（2023下·河南许昌·七年级统考期末）如图，于，交于点，交于点．若， ．
13．（2023下·山东枣庄·七年级校考期中）如图，已知，，，，平分，则 ．
14．（2023·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，，则 ．
15．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，已知，若，，则α与β之间的数量关系为 ．
16．（2023下·辽宁铁岭·七年级统考期末）如图已知：，，平分，，有下列结论：①；②③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号）
17．（2023下·河南安阳·七年级校考期中）图1是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图2的平面示意图，弹弓的两边可看成是平行的，即，活动小组在探索与，之间的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，则此次瞄准是否最准确？
18．（2023下·上海浦东新·七年级校考期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？
解：过点E作，得（____________），
因为（____________），
（所作），所以（____________）．
得____________（____________）．
所以______°（等式性质）．
即______°，
因为（已知），所以______°（等式性质）．
19．（2023下·天津滨海新·七年级统考期末）如图1，四边形为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．
20．（2023下·江西南昌·七年级校考期中）【课本再现】
（1）①如图1，已知，直接写出，和满足的等式关系；
②如图2，已知，直接写出，和满足的等式关系；
【知识应用】（2）如图3是微信聊天对话框，图4是其示意图的一部分，已知，，写出，和满足的等式关系，并说明理由．
21．（2023·江西上饶·七年级统考期末）（1）如图1，AM∥CN，求证：
①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
22．（2023下·河南三门峡·七年级统考期末）下图所示的格线彼此平行，小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系，他先作出．
(1)如图1，点O在一条格线上，当时，__________；(2)如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明；（可根据证明的需要用a，b，c，…来表示图中的格线）；(3)在图3中，记与图中一条格线形成的锐角为，小明作射线，使得，记与图中一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系．
23．（2023下·山东淄博·七年级统考期中）阅读下列材料：
如图，，，分别是，上的点，点在，之间，连接，我们可以通过作辅助线证明结论：．
请你利用这个结论或证明思路，完成下列问题．
已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，．
(1)如图，若，，请直接写出的度数；
(2)如图，与的平分线交于点，用等式表示与的数量关系，并证明；
(3)如图，与的平分线交于点，直接用等式表示与的数量关系．
24．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图1，已知直线，点P为平面上一点，E、F分别为、上一点．(1)求证：；
(2)如图2，和的角平分线交于点R，直接写出与的数量关系．(3)如图3，在（2）条件下，G为上一点，且满足，当时，求的度数．
专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型2：铅笔头模型
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，
∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，
∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，
∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例1．（2023上·广东广州·八年级校考期中）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】本题考查平行线的判定和性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
∵，∴，∴
∴，
∴，故选C．
例2．（2023下·绵阳市·七年级校考期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作，则，再根据平行线的性质可以求出、，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得．
【详解】解：如图，过点作，，，
，，．
，．．
．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解题关键．
例3．（2023下·辽宁鞍山·七年级统考期末）如图，已知，下列结论正确的是（ ）
A．∠BAC＝∠DCEB．∠BAC＝∠CEF
C．∠BAC＋∠ACE＝180°D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质逐项判断即可．
【详解】解：A.由无法得出，错误；
B.由无法得出，错误；
C.∵，∴，∴，错误；
D.∵，∴，，
∴，正确；故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
例4．（2023春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °．
【答案】540
【分析】过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答．
【详解】过点E作，过点F作，如图，
∵，，，∴，，
∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，
∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，
∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案为：540．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线，是解答本题的关键．
例5．（2023下·湖北武汉·七年级期末）如图，， ， ，已知，则的度数为 ．
【答案】/60度
【分析】根据平角定义可求出的度数，如图所示，过点作，可求出，由此可求，根据， ，可求出的度数，如图所示，过点作，可得，由此即可求解．
【详解】解：∵，，∴，
如图所示，过点作，∵，∴，
∴，，，
∴，
∵，∴，
∵， ，
∴，如图所示，过点作，
∵，∴，∴，，
∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键．
例6．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图所示，，若，下列各式：① ② ③ ④
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①④
【答案】D
【分析】过点E作，点F作，根据平行公理得，根据平行线的性质逐一计算解题即可．
【详解】解：如图，过点E作，∵，∴，
∴，，∴，故①正确；
如图，过点F作，∵，∴，
∴，，
∴，即，故②不正确；
又∵，∴，
即，故③不正确；
∵，∴，
∵，∴，
，
故④正确；∴正确的为①④，故选D．
【点睛】本题考查平行线的性质，能作辅助线构造平行线转化角是解题的关键．
例7．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）下列各图中的与平行．
图中的，
图中的，
图中的，
图中的 ，
据此推测，图中的
【答案】
【分析】由特殊情况发现规律，即可得答案．
【详解】解：图中的，
图中的，
图中的，
图中的，
图中的．故答案为：，．
【点睛】本题考查平行线的性质，规律型：图形的变化类，关键是由特殊情况总结一般规律．
例8．（2023下·河南安阳·七年级统考期末）【学习新知】
射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．
(1)【初步应用】生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射到平面镜上，被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线，回答下列问题：
①当，（即时，求的度数；
②当时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学知识及新知说明理由．
（提示：三角形的内角和等于
(2)【拓展探究】如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线已知，若要使，请直接写出的度数 ________；
【答案】(1)①；②详见解析(2)
【分析】（1）①由可求，再根据已知的平行条件可得，从而求解；②由的度数求出，再根据，，可求出，根据平行线的判定和性质可得；（2）过点作，根据平行公理推论证明，根据平行线的性质，找出角与角之间的关系，求出，，进而可得，在由三角形内角和为，求出．
【详解】（1）解：（①∵，∴．
又∵，∴．
②由题意知，．∵，∴，∴，
∴，∴．
（2）如图，过点作，．
∴．∵，∴，
∵，∴，∴．
同理可得，∴．
又∵，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，找出角与角之间的关系．
例9．（2023下·河南平顶山·七年级统考期中）我们知道，两条平行线被第三条直线所截，可以得到一些相等的角或者互补的角，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到将直线的位置关系转化为角的数量关系的作用．
问题初探：（1）如图1，，用等式表示之间的数量关系．
分析：过点作，则有，因为，所以，所以，
从而可以得到之间的数量关系．
请你直接写出之间的数量关系______．
类比再探：（2）如图2，，用等式表示之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：（3）利用上面（1）、（2）得出的结论完成下题：
已知，如图3，，与两个角的角平分线相交于点．
①若，求的度数．
②若的度数用表示，的度数用表示，则与的之间的关系式为______．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②
【分析】（1）根据平行线的性质及平行于同一条直线的两条直线互相平行解答即可；
（2）根据平行线的性质及平行于同一条直线的两条直线互相平行解答即可；
（3）①根据平行线的性质及平行于同一条直线的两条直线互相平行，再根据角平分线的定义解答即可；②根据平行线的性质及平行于同一条直线的两条直线互相平行，再根据角平分线的定义解答即可．
【详解】解：过点作，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴；
（2），理由如下：过点作，∴，
∵，∴，∴，∴．
（3）过点作，过点作，
①∵，，∴，，
∴，
∴，∴，
∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴，
②∵，，∴，，
∴，
∴，∴，
∵，∴，∵平分，平分，
∴，，
∴，即．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行于同一条直线的两条直线互相平行，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023下·山西·七年级统考阶段练习）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保 持水平状态上升（即与始终平行），在该过程中始终等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作，利用平行线的性质可得，，从而可得，然后根据垂直定义可得，最后进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，，
，，，
，，
，，，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质的常见模型是解题的关键．
2．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，当时，的度数为（ ）
A．55°B．70°C．60°D．35°
【答案】A
【分析】根据入射角等于反射角以及“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．
【详解】解：∵，，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的性质，入射角等于反射角等知识，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
3．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，直线，，则（ ）
A．150°B．180°C．210°D．240°
【答案】C
【分析】根据题意作直线l平行于直线l1和l2，再根据平行线的性质求解即可.
【详解】解：作直线l平行于直线l1和l2．
，．
，．故选C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等是解题关键．
4．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点B作，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出，再解答即可．
【详解】解：过点B作，∴
∵，∴，∴
∴，∴，
∵∴∵，∴的度数为．故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，加辅助线，然后利用平行线的性质求解是解此题的关键．
5．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知直线，点为直线上一点，为射线上一点，若，，交于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，，得到，，根据平行线的性质得到，求得，根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：，，
设，，，，
，，
，，，
，，故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和，平角的定义是解题的关键．
6．（2022上·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为 ．（用含n的式子表示）
【答案】
【分析】首先过点E作，由平行线的传递性得，再根据两直线平行，内错角相等，得出，，由角平分线的定义得出，，再由两直线平行，内错角相等得出 ，由即可得出答案．
【详解】解：如图，过点E作，则，
，∴，，
又∵平分，平分，∴，，
∵，∴ ，，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和角平分线的定义．
7．（2023上·云南昆明·八年级统考期末）如图，在五边形中满足，则图形中的的值是 ．
【答案】85
【分析】根据平行线的性质先求∠B的度数，再根据五边形的内角和公式求x的值即可．
【详解】解：∵AB∥CD，∠C＝60°，∴∠B＝180°−∠C＝120°．
∴（5−2）×180°＝x°＋150°＋125°＋60°＋120°．∴x＝85．故答案为：85．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握平行线的性质和多边形内角和定理是解题的关键．
8．（2023下·山西吕梁·七年级统考期中）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 °．
【答案】100
【分析】过点作，过点作，根据平行线的性质和垂直的定义，进行求解即可．
【详解】解：过点作，过点作，
则：，∵，，，
∴，，，
∵，∴，∴，
∴，故答案为：100．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是过拐点构造平行线．
9．（2023下·河北唐山·七年级统考期中）如图，，，，则 ．
【答案】
【分析】延长交于点G，首先运用平行线的性质求出的度数，借助三角形的内角和，再由互补求出即可解决问题．
【详解】证明：如图，延长交于点G，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线的性质、互补等几何知识点及其应用问题．解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中，解题的关键是灵活运用平行线的性质、互补等几何知识点来分析、判断、解答．
10．（2023下·甘肃·七年级校考期中）如图，，已知，．则 度．
【答案】90
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
【详解】解：如图，过点P作，
∵，∴，∴，，
∵，，∴，，
∴，故答案为：90．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
11．（2023下·山西临汾·七年级统考期末）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是 ．
【答案】540°
【分析】分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，进而利用同旁内角互补可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小．
【详解】解：如图，根据题意可知：AB∥EF，
分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，所以AB∥CG∥DH∥EF，
则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°，
∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°，
∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°．故答案为：540°．
【点睛】考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小．
12．（2023下·河南许昌·七年级统考期末）如图，于，交于点，交于点．若， ．
【答案】45
【分析】如图，过点F作，根据平行线的性质和判定求解即可．
【详解】解：如图，过点F作，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴．故答案为：45．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定．
13．（2023下·山东枣庄·七年级校考期中）如图，已知，，，，平分，则 ．
【答案】/度
【分析】根据，得出，结合已知条件得出，根据角平分线的定义得出，进而根据，即可求解．
【详解】解：∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵平分，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
14．（2023·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，，则 ．
【答案】
【分析】根据，，，找出规律，得出．
【详解】解：当与之间有2个角时，如图所示：
∵，∴；
当与之间有3个角时，过点E作，
∵，∴，∴，，
∴，即，
同理可得：当与之间有4个角时，，
∴当与之间有n个角时，．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形规律探索，平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是根据已知图形找出规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
15．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，已知，若，，则α与β之间的数量关系为 ．
【答案】/
【分析】过C作，过D作，得到，由平行线的性质推出，得到，即可得出结果．
【详解】解：过C作，过D作，∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过点C作，过D作，得到，由平行线的性质即可解决问题．
16．（2023下·辽宁铁岭·七年级统考期末）如图已知：，，平分，，有下列结论：①；②③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①③④
【分析】根据平行公理判断①；延长、交于点G，根据，，得出，根据，，得出，即可得出，判断②；根据平行线的性质得出，根据平行线的性质得出，从而得出，根据，得出，判断③；
根据平行线的性质得出，根据角平分线的性质得出，即可得出，根据，得出，即可判断④．
【详解】解：，，，故①正确；
延长、交于点G，如图所示：
∵，∴，∴，
∵，∴，∵，，
∴，即，故②错误；
平分，，，，∴，
∵，∴，故③正确；
∵，∴，∵平分，∴，∴，
∵，∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①③④．故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
17．（2023下·河南安阳·七年级校考期中）图1是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图2的平面示意图，弹弓的两边可看成是平行的，即，活动小组在探索与，之间的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，则此次瞄准是否最准确？
【答案】此次瞄准不是最准确的，见解析
【分析】如图，过点P作，可得，可得，证明，可得，从而可得结论．
【详解】解：如图，过点P作，∴．
∵，∴．
∵，∴．
∵，，∴．∴．
∴．∴，∴此次瞄准不是最准确的．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，熟记两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键．
18．（2023下·上海浦东新·七年级校考期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？
解：过点E作，
得（____________），
因为（____________），
（所作），
所以（____________）．
得____________（____________）．
所以______°（等式性质）．
即______°，
因为（已知），
所以______°（等式性质）．
【答案】两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；
【分析】过点E作，根据平行公理推出，进而得出，则，即可求解．
【详解】解：过点E作，
得（两直线平行，同旁内角互补），
因为（已知），（所作），
所以（平行于同一直线的两直线互相平行）．
得（两直线平行，同旁内角互补）．
所以（等式性质）．即，
因为（已知），所以（等式性质）．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线公理以及两直线平行，同旁内角互补．
19．（2023下·天津滨海新·七年级统考期末）如图1，四边形为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．
【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）．
【分析】（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
【详解】（1）过E作EH∥AB（如图②）．∵原四边形是长方形，∴AB∥CD，
又∵EH∥AB，∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵EH∥AB，∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，
又∵∠1+∠2=∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；
（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．
20．（2023下·江西南昌·七年级校考期中）【课本再现】
（1）①如图1，已知，直接写出，和满足的等式关系；
②如图2，已知，直接写出，和满足的等式关系；
【知识应用】（2）如图3是微信聊天对话框，图4是其示意图的一部分，已知，，写出，和满足的等式关系，并说明理由．
【答案】（1）①；②；（2），理由见解析
【分析】（1）①过点E作，可得，根据平行线的性质得到，从而可得；②过点E作，可得，根据平行线的性质得到，，从而可得；（2）过点E作，结合（1）②中的结论可得，，进一步可得结论．
【详解】解：（1）①如图1，过点E作，
∵，∴，∴，
∴，即；
②如图，过点E作，∵，∴，
∴，，∴；
（2），理由是：如图，过点E作，
∵，∴，在折线中，同（1）②可得：
；同理可得：；
∴，即．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键是适当添加辅助线，灵活运用平行线的性质建立角的关系．
21．（2023·江西上饶·七年级统考期末）（1）如图1，AM∥CN，求证：
①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°，证明详见解析
【分析】（1）①过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG，依据平行线的性质，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到结论；②过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，依据平行线的性质，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到结论；（2）过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）•180°．
【详解】解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG
∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°
∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360° ∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°
②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，∵AM∥CN，∴EP∥FQ，
∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°
∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；
（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°．
证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，
∴结合（1）问得：所有角的和为（n+1）•180°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补得出结论．
22．（2023下·河南三门峡·七年级统考期末）下图所示的格线彼此平行，小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系，他先作出．
(1)如图1，点O在一条格线上，当时，__________；(2)如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明；（可根据证明的需要用a，b，c，…来表示图中的格线）；(3)在图3中，记与图中一条格线形成的锐角为，小明作射线，使得，记与图中一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系．
【答案】(1)(2)，证明见解析(3)或
【分析】（1）先标出和，然后再根据平行的性质可得，然后再利用角的和差解答即可；（2）如图：过点C作一条直线平行于格线，标出和 ，再根据平行的性质可得，然后再利用角和差解答即可；（3）分两种情况：当射线在的内部，当射线在的外部，然后利用平行线的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，
∴，故答案为：；
（2）解：，证明如下：如图所示，过点O作，
∵，∴，∴，
∵，∴；
（3）解：设与图中一条格线形成的锐角为，与另一条格线形成的锐角为
当射线在的内部，如图：
在图中随意选择两条格线标出、且过O点作平行于格线的辅助线，并标出和，
由格线平行可得， ∵
∴，即， ∴，即；
当射线在的外部，如图，过点O作平行于格线，∴，
∵，∴，∴；
综上所述：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．难点是作辅助线，第（2）要分类讨论，不要出现遗漏情况．
23．（2023下·山东淄博·七年级统考期中）阅读下列材料：
如图，，，分别是，上的点，点在，之间，连接，我们可以通过作辅助线证明结论：．
请你利用这个结论或证明思路，完成下列问题．
已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，．
(1)如图，若，，请直接写出的度数；
(2)如图，与的平分线交于点，用等式表示与的数量关系，并证明；
(3)如图，与的平分线交于点，直接用等式表示与的数量关系．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据题意可知，，可得，从而可得答案；
（2）由（1）同理可得：，，再证明，，从而可得答案；
（3）由（1）同理可得：，，再证明，从而可得结论．
【详解】（1）解：由题意知，，
，，．
．
（2）解：由（1）同理可得，，
与的平分线交于点，，，
．∴．
（3）解：由（1）同理可得，，
与的平分线交于点，，，
，
．∴．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，作出合适的辅助线是解本题的关键．
24．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图1，已知直线，点P为平面上一点，E、F分别为、上一点．(1)求证：；
(2)如图2，和的角平分线交于点R，直接写出与的数量关系．
(3)如图3，在（2）条件下，G为上一点，且满足，当时，求的度数．
【答案】(1)过程见解析(2)(3)
【分析】对于（1），作，根据平行线的性质得，，可得答案；
对于（2），由（1）得，同理，再根据角平分线的定义得，然后根据平角定义得出答案；
对于（3），先根据平行线的性质和已知条件得，再根据，及，得出关于，，的式子，然后结合，可求出，最后根据平行线的性质得出答案．
【详解】（1）过点P作，
∵，∴，∴，，
∴；
（2）由（1）得，同理．
∵和的平分线交于点R，∴，，
∴．
∵，，
∴，即；
（3）∵，∴．
∵，∴，∴．
∵，，∴，
∴，即．
∵，∴，解得．
∵，∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义等，构造辅助线是解题的关键．
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型2：铅笔头模型
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，
∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，
∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，
∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例1．（2023上·广东广州·八年级校考期中）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023下·绵阳市·七年级校考期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023下·辽宁鞍山·七年级统考期末）如图，已知，下列结论正确的是（ ）
A．∠BAC＝∠DCEB．∠BAC＝∠CEF
C．∠BAC＋∠ACE＝180°D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°
例4．（2023春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °．
例5．（2023下·湖北武汉·七年级期末）如图，， ， ，已知，则的度数为 ．
例6．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图所示，，若，下列各式：① ② ③ ④
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①④
例7．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）下列各图中的与平行．
图中的，
图中的，
图中的，
图中的 ，
据此推测，图中的
例8．（2023下·河南安阳·七年级统考期末）【学习新知】
射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．
(1)【初步应用】生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射到平面镜上，被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线，回答下列问题：
①当，（即时，求的度数；
②当时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学知识及新知说明理由．
（提示：三角形的内角和等于
(2)【拓展探究】如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线已知，若要使，请直接写出的度数 ________；
例9．（2023下·河南平顶山·七年级统考期中）我们知道，两条平行线被第三条直线所截，可以得到一些相等的角或者互补的角，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到将直线的位置关系转化为角的数量关系的作用．
问题初探：（1）如图1，，用等式表示之间的数量关系．
分析：过点作，则有，因为，所以，所以，
从而可以得到之间的数量关系．
请你直接写出之间的数量关系______．
类比再探：（2）如图2，，用等式表示之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：（3）利用上面（1）、（2）得出的结论完成下题：
已知，如图3，，与两个角的角平分线相交于点．
①若，求的度数．
②若的度数用表示，的度数用表示，则与的之间的关系式为______．
课后专项训练
1．（2023下·山西·七年级统考阶段练习）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保 持水平状态上升（即与始终平行），在该过程中始终等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，当时，的度数为（ ）
A．55°B．70°C．60°D．35°
3．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，直线，，则（ ）
A．150°B．180°C．210°D．240°
4．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知直线，点为直线上一点，为射线上一点，若，，交于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022上·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为 ．（用含n的式子表示）
7．（2023上·云南昆明·八年级统考期末）如图，在五边形中满足，则图形中的的值是 ．
8．（2023下·山西吕梁·七年级统考期中）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 °．
9．（2023下·河北唐山·七年级统考期中）如图，，，，则 ．
10．（2023下·甘肃·七年级校考期中）如图，，已知，．则 度．
11．（2023下·山西临汾·七年级统考期末）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是 ．
12．（2023下·河南许昌·七年级统考期末）如图，于，交于点，交于点．若， ．
13．（2023下·山东枣庄·七年级校考期中）如图，已知，，，，平分，则 ．
14．（2023·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，，则 ．
15．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，已知，若，，则α与β之间的数量关系为 ．
16．（2023下·辽宁铁岭·七年级统考期末）如图已知：，，平分，，有下列结论：①；②③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号）
17．（2023下·河南安阳·七年级校考期中）图1是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图2的平面示意图，弹弓的两边可看成是平行的，即，活动小组在探索与，之间的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，则此次瞄准是否最准确？
18．（2023下·上海浦东新·七年级校考期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？
解：过点E作，得（____________），
因为（____________），
（所作），所以（____________）．
得____________（____________）．
所以______°（等式性质）．
即______°，
因为（已知），所以______°（等式性质）．
19．（2023下·天津滨海新·七年级统考期末）如图1，四边形为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．
20．（2023下·江西南昌·七年级校考期中）【课本再现】
（1）①如图1，已知，直接写出，和满足的等式关系；
②如图2，已知，直接写出，和满足的等式关系；
【知识应用】（2）如图3是微信聊天对话框，图4是其示意图的一部分，已知，，写出，和满足的等式关系，并说明理由．
21．（2023·江西上饶·七年级统考期末）（1）如图1，AM∥CN，求证：
①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
22．（2023下·河南三门峡·七年级统考期末）下图所示的格线彼此平行，小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系，他先作出．
(1)如图1，点O在一条格线上，当时，__________；(2)如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明；（可根据证明的需要用a，b，c，…来表示图中的格线）；(3)在图3中，记与图中一条格线形成的锐角为，小明作射线，使得，记与图中一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系．
23．（2023下·山东淄博·七年级统考期中）阅读下列材料：
如图，，，分别是，上的点，点在，之间，连接，我们可以通过作辅助线证明结论：．
请你利用这个结论或证明思路，完成下列问题．
已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，．
(1)如图，若，，请直接写出的度数；
(2)如图，与的平分线交于点，用等式表示与的数量关系，并证明；
(3)如图，与的平分线交于点，直接用等式表示与的数量关系．
24．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图1，已知直线，点P为平面上一点，E、F分别为、上一点．(1)求证：；
(2)如图2，和的角平分线交于点R，直接写出与的数量关系．(3)如图3，在（2）条件下，G为上一点，且满足，当时，求的度数．
专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型2：铅笔头模型
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，
∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，
∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，
∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例1．（2023上·广东广州·八年级校考期中）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】本题考查平行线的判定和性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
∵，∴，∴
∴，
∴，故选C．
例2．（2023下·绵阳市·七年级校考期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作，则，再根据平行线的性质可以求出、，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得．
【详解】解：如图，过点作，，，
，，．
，．．
．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解题关键．
例3．（2023下·辽宁鞍山·七年级统考期末）如图，已知，下列结论正确的是（ ）
A．∠BAC＝∠DCEB．∠BAC＝∠CEF
C．∠BAC＋∠ACE＝180°D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质逐项判断即可．
【详解】解：A.由无法得出，错误；
B.由无法得出，错误；
C.∵，∴，∴，错误；
D.∵，∴，，
∴，正确；故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
例4．（2023春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °．
【答案】540
【分析】过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答．
【详解】过点E作，过点F作，如图，
∵，，，∴，，
∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，
∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，
∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案为：540．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线，是解答本题的关键．
例5．（2023下·湖北武汉·七年级期末）如图，， ， ，已知，则的度数为 ．
【答案】/60度
【分析】根据平角定义可求出的度数，如图所示，过点作，可求出，由此可求，根据， ，可求出的度数，如图所示，过点作，可得，由此即可求解．
【详解】解：∵，，∴，
如图所示，过点作，∵，∴，
∴，，，
∴，
∵，∴，
∵， ，
∴，如图所示，过点作，
∵，∴，∴，，
∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键．
例6．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图所示，，若，下列各式：① ② ③ ④
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①④
【答案】D
【分析】过点E作，点F作，根据平行公理得，根据平行线的性质逐一计算解题即可．
【详解】解：如图，过点E作，∵，∴，
∴，，∴，故①正确；
如图，过点F作，∵，∴，
∴，，
∴，即，故②不正确；
又∵，∴，
即，故③不正确；
∵，∴，
∵，∴，
，
故④正确；∴正确的为①④，故选D．
【点睛】本题考查平行线的性质，能作辅助线构造平行线转化角是解题的关键．
例7．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）下列各图中的与平行．
图中的，
图中的，
图中的，
图中的 ，
据此推测，图中的
【答案】
【分析】由特殊情况发现规律，即可得答案．
【详解】解：图中的，
图中的，
图中的，
图中的，
图中的．故答案为：，．
【点睛】本题考查平行线的性质，规律型：图形的变化类，关键是由特殊情况总结一般规律．
例8．（2023下·河南安阳·七年级统考期末）【学习新知】
射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．
(1)【初步应用】生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射到平面镜上，被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线，回答下列问题：
①当，（即时，求的度数；
②当时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学知识及新知说明理由．
（提示：三角形的内角和等于
(2)【拓展探究】如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线已知，若要使，请直接写出的度数 ________；
【答案】(1)①；②详见解析(2)
【分析】（1）①由可求，再根据已知的平行条件可得，从而求解；②由的度数求出，再根据，，可求出，根据平行线的判定和性质可得；（2）过点作，根据平行公理推论证明，根据平行线的性质，找出角与角之间的关系，求出，，进而可得，在由三角形内角和为，求出．
【详解】（1）解：（①∵，∴．
又∵，∴．
②由题意知，．∵，∴，∴，
∴，∴．
（2）如图，过点作，．
∴．∵，∴，
∵，∴，∴．
同理可得，∴．
又∵，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，找出角与角之间的关系．
例9．（2023下·河南平顶山·七年级统考期中）我们知道，两条平行线被第三条直线所截，可以得到一些相等的角或者互补的角，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到将直线的位置关系转化为角的数量关系的作用．
问题初探：（1）如图1，，用等式表示之间的数量关系．
分析：过点作，则有，因为，所以，所以，
从而可以得到之间的数量关系．
请你直接写出之间的数量关系______．
类比再探：（2）如图2，，用等式表示之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：（3）利用上面（1）、（2）得出的结论完成下题：
已知，如图3，，与两个角的角平分线相交于点．
①若，求的度数．
②若的度数用表示，的度数用表示，则与的之间的关系式为______．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②
【分析】（1）根据平行线的性质及平行于同一条直线的两条直线互相平行解答即可；
（2）根据平行线的性质及平行于同一条直线的两条直线互相平行解答即可；
（3）①根据平行线的性质及平行于同一条直线的两条直线互相平行，再根据角平分线的定义解答即可；②根据平行线的性质及平行于同一条直线的两条直线互相平行，再根据角平分线的定义解答即可．
【详解】解：过点作，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴；
（2），理由如下：过点作，∴，
∵，∴，∴，∴．
（3）过点作，过点作，
①∵，，∴，，
∴，
∴，∴，
∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴，
②∵，，∴，，
∴，
∴，∴，
∵，∴，∵平分，平分，
∴，，
∴，即．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行于同一条直线的两条直线互相平行，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023下·山西·七年级统考阶段练习）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保 持水平状态上升（即与始终平行），在该过程中始终等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作，利用平行线的性质可得，，从而可得，然后根据垂直定义可得，最后进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，，
，，，
，，
，，，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质的常见模型是解题的关键．
2．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，当时，的度数为（ ）
A．55°B．70°C．60°D．35°
【答案】A
【分析】根据入射角等于反射角以及“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．
【详解】解：∵，，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的性质，入射角等于反射角等知识，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
3．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，直线，，则（ ）
A．150°B．180°C．210°D．240°
【答案】C
【分析】根据题意作直线l平行于直线l1和l2，再根据平行线的性质求解即可.
【详解】解：作直线l平行于直线l1和l2．
，．
，．故选C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等是解题关键．
4．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点B作，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出，再解答即可．
【详解】解：过点B作，∴
∵，∴，∴
∴，∴，
∵∴∵，∴的度数为．故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，加辅助线，然后利用平行线的性质求解是解此题的关键．
5．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知直线，点为直线上一点，为射线上一点，若，，交于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，，得到，，根据平行线的性质得到，求得，根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：，，
设，，，，
，，
，，，
，，故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和，平角的定义是解题的关键．
6．（2022上·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为 ．（用含n的式子表示）
【答案】
【分析】首先过点E作，由平行线的传递性得，再根据两直线平行，内错角相等，得出，，由角平分线的定义得出，，再由两直线平行，内错角相等得出 ，由即可得出答案．
【详解】解：如图，过点E作，则，
，∴，，
又∵平分，平分，∴，，
∵，∴ ，，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和角平分线的定义．
7．（2023上·云南昆明·八年级统考期末）如图，在五边形中满足，则图形中的的值是 ．
【答案】85
【分析】根据平行线的性质先求∠B的度数，再根据五边形的内角和公式求x的值即可．
【详解】解：∵AB∥CD，∠C＝60°，∴∠B＝180°−∠C＝120°．
∴（5−2）×180°＝x°＋150°＋125°＋60°＋120°．∴x＝85．故答案为：85．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握平行线的性质和多边形内角和定理是解题的关键．
8．（2023下·山西吕梁·七年级统考期中）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 °．
【答案】100
【分析】过点作，过点作，根据平行线的性质和垂直的定义，进行求解即可．
【详解】解：过点作，过点作，
则：，∵，，，
∴，，，
∵，∴，∴，
∴，故答案为：100．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是过拐点构造平行线．
9．（2023下·河北唐山·七年级统考期中）如图，，，，则 ．
【答案】
【分析】延长交于点G，首先运用平行线的性质求出的度数，借助三角形的内角和，再由互补求出即可解决问题．
【详解】证明：如图，延长交于点G，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线的性质、互补等几何知识点及其应用问题．解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中，解题的关键是灵活运用平行线的性质、互补等几何知识点来分析、判断、解答．
10．（2023下·甘肃·七年级校考期中）如图，，已知，．则 度．
【答案】90
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
【详解】解：如图，过点P作，
∵，∴，∴，，
∵，，∴，，
∴，故答案为：90．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
11．（2023下·山西临汾·七年级统考期末）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是 ．
【答案】540°
【分析】分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，进而利用同旁内角互补可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小．
【详解】解：如图，根据题意可知：AB∥EF，
分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，所以AB∥CG∥DH∥EF，
则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°，
∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°，
∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°．故答案为：540°．
【点睛】考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小．
12．（2023下·河南许昌·七年级统考期末）如图，于，交于点，交于点．若， ．
【答案】45
【分析】如图，过点F作，根据平行线的性质和判定求解即可．
【详解】解：如图，过点F作，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴．故答案为：45．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定．
13．（2023下·山东枣庄·七年级校考期中）如图，已知，，，，平分，则 ．
【答案】/度
【分析】根据，得出，结合已知条件得出，根据角平分线的定义得出，进而根据，即可求解．
【详解】解：∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵平分，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
14．（2023·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，，则 ．
【答案】
【分析】根据，，，找出规律，得出．
【详解】解：当与之间有2个角时，如图所示：
∵，∴；
当与之间有3个角时，过点E作，
∵，∴，∴，，
∴，即，
同理可得：当与之间有4个角时，，
∴当与之间有n个角时，．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形规律探索，平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是根据已知图形找出规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
15．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，已知，若，，则α与β之间的数量关系为 ．
【答案】/
【分析】过C作，过D作，得到，由平行线的性质推出，得到，即可得出结果．
【详解】解：过C作，过D作，∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过点C作，过D作，得到，由平行线的性质即可解决问题．
16．（2023下·辽宁铁岭·七年级统考期末）如图已知：，，平分，，有下列结论：①；②③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①③④
【分析】根据平行公理判断①；延长、交于点G，根据，，得出，根据，，得出，即可得出，判断②；根据平行线的性质得出，根据平行线的性质得出，从而得出，根据，得出，判断③；
根据平行线的性质得出，根据角平分线的性质得出，即可得出，根据，得出，即可判断④．
【详解】解：，，，故①正确；
延长、交于点G，如图所示：
∵，∴，∴，
∵，∴，∵，，
∴，即，故②错误；
平分，，，，∴，
∵，∴，故③正确；
∵，∴，∵平分，∴，∴，
∵，∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①③④．故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
17．（2023下·河南安阳·七年级校考期中）图1是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图2的平面示意图，弹弓的两边可看成是平行的，即，活动小组在探索与，之间的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，则此次瞄准是否最准确？
【答案】此次瞄准不是最准确的，见解析
【分析】如图，过点P作，可得，可得，证明，可得，从而可得结论．
【详解】解：如图，过点P作，∴．
∵，∴．
∵，∴．
∵，，∴．∴．
∴．∴，∴此次瞄准不是最准确的．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，熟记两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键．
18．（2023下·上海浦东新·七年级校考期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？
解：过点E作，
得（____________），
因为（____________），
（所作），
所以（____________）．
得____________（____________）．
所以______°（等式性质）．
即______°，
因为（已知），
所以______°（等式性质）．
【答案】两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；
【分析】过点E作，根据平行公理推出，进而得出，则，即可求解．
【详解】解：过点E作，
得（两直线平行，同旁内角互补），
因为（已知），（所作），
所以（平行于同一直线的两直线互相平行）．
得（两直线平行，同旁内角互补）．
所以（等式性质）．即，
因为（已知），所以（等式性质）．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线公理以及两直线平行，同旁内角互补．
19．（2023下·天津滨海新·七年级统考期末）如图1，四边形为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．
【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）．
【分析】（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
【详解】（1）过E作EH∥AB（如图②）．∵原四边形是长方形，∴AB∥CD，
又∵EH∥AB，∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵EH∥AB，∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，
又∵∠1+∠2=∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；
（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．
20．（2023下·江西南昌·七年级校考期中）【课本再现】
（1）①如图1，已知，直接写出，和满足的等式关系；
②如图2，已知，直接写出，和满足的等式关系；
【知识应用】（2）如图3是微信聊天对话框，图4是其示意图的一部分，已知，，写出，和满足的等式关系，并说明理由．
【答案】（1）①；②；（2），理由见解析
【分析】（1）①过点E作，可得，根据平行线的性质得到，从而可得；②过点E作，可得，根据平行线的性质得到，，从而可得；（2）过点E作，结合（1）②中的结论可得，，进一步可得结论．
【详解】解：（1）①如图1，过点E作，
∵，∴，∴，
∴，即；
②如图，过点E作，∵，∴，
∴，，∴；
（2），理由是：如图，过点E作，
∵，∴，在折线中，同（1）②可得：
；同理可得：；
∴，即．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键是适当添加辅助线，灵活运用平行线的性质建立角的关系．
21．（2023·江西上饶·七年级统考期末）（1）如图1，AM∥CN，求证：
①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°，证明详见解析
【分析】（1）①过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG，依据平行线的性质，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到结论；②过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，依据平行线的性质，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到结论；（2）过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）•180°．
【详解】解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG
∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°
∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360° ∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°
②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，∵AM∥CN，∴EP∥FQ，
∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°
∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；
（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°．
证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，
∴结合（1）问得：所有角的和为（n+1）•180°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补得出结论．
22．（2023下·河南三门峡·七年级统考期末）下图所示的格线彼此平行，小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系，他先作出．
(1)如图1，点O在一条格线上，当时，__________；(2)如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明；（可根据证明的需要用a，b，c，…来表示图中的格线）；(3)在图3中，记与图中一条格线形成的锐角为，小明作射线，使得，记与图中一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系．
【答案】(1)(2)，证明见解析(3)或
【分析】（1）先标出和，然后再根据平行的性质可得，然后再利用角的和差解答即可；（2）如图：过点C作一条直线平行于格线，标出和 ，再根据平行的性质可得，然后再利用角和差解答即可；（3）分两种情况：当射线在的内部，当射线在的外部，然后利用平行线的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，
∴，故答案为：；
（2）解：，证明如下：如图所示，过点O作，
∵，∴，∴，
∵，∴；
（3）解：设与图中一条格线形成的锐角为，与另一条格线形成的锐角为
当射线在的内部，如图：
在图中随意选择两条格线标出、且过O点作平行于格线的辅助线，并标出和，
由格线平行可得， ∵
∴，即， ∴，即；
当射线在的外部，如图，过点O作平行于格线，∴，
∵，∴，∴；
综上所述：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．难点是作辅助线，第（2）要分类讨论，不要出现遗漏情况．
23．（2023下·山东淄博·七年级统考期中）阅读下列材料：
如图，，，分别是，上的点，点在，之间，连接，我们可以通过作辅助线证明结论：．
请你利用这个结论或证明思路，完成下列问题．
已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，．
(1)如图，若，，请直接写出的度数；
(2)如图，与的平分线交于点，用等式表示与的数量关系，并证明；
(3)如图，与的平分线交于点，直接用等式表示与的数量关系．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据题意可知，，可得，从而可得答案；
（2）由（1）同理可得：，，再证明，，从而可得答案；
（3）由（1）同理可得：，，再证明，从而可得结论．
【详解】（1）解：由题意知，，
，，．
．
（2）解：由（1）同理可得，，
与的平分线交于点，，，
．∴．
（3）解：由（1）同理可得，，
与的平分线交于点，，，
，
．∴．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，作出合适的辅助线是解本题的关键．
24．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图1，已知直线，点P为平面上一点，E、F分别为、上一点．(1)求证：；
(2)如图2，和的角平分线交于点R，直接写出与的数量关系．
(3)如图3，在（2）条件下，G为上一点，且满足，当时，求的度数．
【答案】(1)过程见解析(2)(3)
【分析】对于（1），作，根据平行线的性质得，，可得答案；
对于（2），由（1）得，同理，再根据角平分线的定义得，然后根据平角定义得出答案；
对于（3），先根据平行线的性质和已知条件得，再根据，及，得出关于，，的式子，然后结合，可求出，最后根据平行线的性质得出答案．
【详解】（1）过点P作，
∵，∴，∴，，
∴；
（2）由（1）得，同理．
∵和的平分线交于点R，∴，，
∴．
∵，，
∴，即；
（3）∵，∴．
∵，∴，∴．
∵，，∴，
∴，即．
∵，∴，解得．
∵，∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义等，构造辅助线是解题的关键．
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