专题02 铅笔头模型（解析版）

【模型1】

如图1：AB∥CD，则∠1+∠2＝　180°；

如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝360°；

如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；

如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。

【证明】：

在图1中，∵AB∥CD，

∴∠1+∠2＝180°；

在图2中，过E作AB的平行线EF，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠1+∠AEF＝180°，∠3+∠CEF＝180°，

∴∠1+∠2+∠3＝360°；

在图3中，过E作AB的平行线EN，过点F作AB的平行线FM，

∵AB∥CD，

∴EN∥CD∥FM，

∴∠1+∠AFM＝180°，∠MFE+∠FEN＝180°，∠NEC+∠4＝180°，

∴∠1+∠2+∠3＝540°；

在图4中，过各角的顶点依次作AB的平行线，

根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．

方法点拨

模型辨析：

①注意：拐角朝同一方向②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分。

1．如图所示，BA∥DE，∠B＝130°，∠D＝140°，则∠C的度数是（　　）

A．60° B．80° C．90° D．75°

【解答】解：过点C作CF∥AB∥DE，

∵CF∥AB∥DE，

∴∠BCF＝180°﹣∠B＝50°，∠DCF＝180°﹣∠D＝40°．

∴∠C＝∠BCF+∠DCF＝90°．

故选：C．

2．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝105°，则∠1+∠2＝（　　）°．

A．230 B．20 C．50 D．90

【解答】解：

如图，分别过A、B作l1的平行线AC和BD，

∵l1∥l2，

∴AC∥BD∥l1∥l2，

∴∠1＝∠EAC，∠2＝∠FBD，∠CAB+∠DBA＝180°，

∵∠EAB+∠FBA＝125°+105°＝230°，

∴∠EAC+∠CAB+∠DBA+∠FBD＝230°，

即∠1+∠2+180°＝230°，

∴∠1+∠2＝50°，

故选：C．

3．如图，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之间的关系式为（　　）

A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β+γ＝180° D．α+β﹣γ＝180°

【解答】解：过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

∴∠α+∠1＝180°，∠2＝∠γ，

∵∠β＝∠1+∠2＝180°﹣∠α+∠γ，

∴α+β﹣γ＝180°．

故选：D．

4．如图，a∥b，∠1＝55°，∠2＝130°，则∠3＝（　　）

A．100° B．105° C．110° D．115°

【解答】解：过A作c∥a，

∴∠3+∠4＝180°，

∵a∥b，

∴b∥c，

∴∠2+∠5＝180°，

∵∠2＝130°，

∴∠5＝50°，

∵∠1＝55°，

∴∠4＝180°﹣55°﹣50°＝75°，

∴∠3＝180°﹣75°＝105°，

故选：B．

5．如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，AB∥DE，∠A＝30°，∠ACE＝110°，则∠E的度数为（　　）

A．30° B．150° C．120° D．100°

【解答】解：过C作CQ∥AB，

∵AB∥DE，

∴AB∥DE∥CQ，

∵∠A＝30°，

∴∠A＝∠QCA＝30°，∠E+∠ECQ＝180°，

∵∠ACE＝110°，

∴∠ECQ＝110°﹣30°＝80°，

∴∠E＝180°﹣80°＝100°，

故选：D．

6．如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（　　）

A．630° B．720° C．800° D．900°

【解答】解：分别过E点，F点，G点，H点作L1，L2，L3，L4平行于AB

利用内错角和同旁内角，把这六个角转化一下，可得又5个180°的角

∴180×5＝900°．

故选：D．

7．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，则图中x的值是（　　）

A．75 B．65 C．60 D．55

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，

∵五边形ABCDE内角和为（5﹣2）×180°＝540°，

∴在五边形ABCDE中，∠E＝540°﹣135°﹣120°﹣60°﹣150°＝75°．

故图中x的值是75．

故选：A．

8．如图AB∥CD，∠1＝140°，∠2＝90°，则∠3的度数是（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°

【解答】解：过E作直线EF∥AB，

∵AB∥EF，AB∥CD

∴EF∥CD；

∴∠1+∠4＝180°，

又∠1＝140°，

∴∠4＝40°，

∵∠2＝90°，

∴∠5＝90°﹣∠4＝90°﹣40°＝50°．

∵EF∥CD，

∴∠3＝∠5＝50°．

故选：C．

二．解答题（共4小题）

9．如图，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D．证明：β＝2α

【解答】证法1：∵AB∥ED，

∴α＝∠A+∠E＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

过C作CF∥AB（如图1）

∵AB∥ED，

∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）

∵CF∥AB，

∴∠B＝∠1，（两直线平行，内错角相等）

又∵CF∥ED，

∴∠2＝∠D，（两直线平行，内错角相等）

∴β＝∠B+∠C+∠D＝∠1+∠BCD+∠2＝360°（周角定义）

∴β＝2α（等量代换）

证法2：∵AB∥ED，

∴α＝∠A+∠E＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

过C作CF∥AB（如图2）

∵AB∥ED，

∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）

∵CF∥AB，

∴∠B+∠1＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）

又∵CF∥ED，

∴∠2+∠D＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）

∴β＝∠B+∠C+∠D＝∠B+∠1+∠2+∠D＝180°+180°＝360°，

∴β＝2α（等量代换）

10．如图，已知AB∥CD，E，F分别是直线AB，CD之间的点，连接AE，CE，AF，CF，已知∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠ECD，当∠AEC＝105°时，求∠AFC的度数．

【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，则AB∥FN∥EM∥CD，

∵AB∥EM∥CD，

∴∠BAE+∠AEM＝180°，∠MEC+∠ECD＝180°，

∴∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°，

∵∠AEC＝105°，

∴∠BAE+∠DCE＝360°﹣105°＝255°，

∵∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠ECD，

∴∠BAF+∠DCF＝（∠BAE+∠ECD）＝255°＝85°，

∵AB∥FN∥CD，

∴∠BAF＝∠AFN，∠DCF＝∠CFN，

∴∠AFC＝∠AFN+∠DCF＝∠BAF+∠DCF＝85°．

答：∠AFC的度数是85°．

11．如图，已知AB∥CD，∠1＝100°，∠2＝120°，求∠α的度数．

【解答】解：过F作FG∥AB，

∵AB∥CD，

∴FG∥CD，

∴∠1＝∠EFG＝100°，∠2+∠GFC＝180°，即∠GFC＝60°，

∴∠α＝∠EFG﹣∠GFC＝100°﹣60°＝40°．

12．已知：直线AB、CR被直线UV所截，直线UV交直线AB于点B，交直线CR于点D，∠ABU+∠CDV＝180°．

（1）如图1，求证：AB∥CD；

（2）如图2，BE∥DF，∠MEB＝∠ABE+5°，∠FDR＝35°，求∠MEB的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，点N在直线AB上，分别连接EN、ED，MG∥EN，连接ME，∠GME＝∠GEM，∠EBD＝2∠NEG，EB平分∠DEN，MH⊥UV于点H，若∠EDC＝∠CDB，求∠GMH的度数．

【解答】（1）证明：如图1，∵∠ABU+∠CDV＝180°，∠ABU+∠ABV＝180°，

∴∠ABV＝∠CDV，

∴AB∥CD；

（2）解：如图2，由（1）知：AB∥CD，

∴∠ABD＝∠BDR，

∵BE∥DF，

∴∠EBD＝∠DBF，

∴∠ABD﹣∠EBD＝∠BDR﹣∠DBF，

∴∠ABE＝∠FDR＝35°，

∴∠MEB＝∠ABE+5°＝40°；

（3）如图3，设∠MEN＝α，

∵MG∥EN，

∴∠GME＝∠MEN＝α，

∵∠GME＝∠GEM＝α，

∴∠NEG＝2α，∠BEN＝2α+40°，

∴∠EBD＝2∠NEG＝4α，

∴∠ABD＝∠ABE+∠EBD＝35°+4α，

∵EB平分∠DEN，

∴∠BED＝∠BEN＝α+40°，

∴∠DEM＝α+80°，

∵AB∥CD，

∴∠CDB＝180°﹣∠ABD＝180°﹣（35°+4α）＝145°﹣4α，

∵∠EDC＝∠CDB，

∴∠BDE＝∠CDB＝（145°﹣4α），

∵∠EBD+∠BED+∠BDE＝180°，

∴4α+（α+40°）+（145°﹣4α）＝180°，

解得：α＝10°，

∴∠BDE＝（145°﹣4α）＝（145°﹣4×10°）＝90°，

∠DEM＝α+80°＝10°+80°＝90°，

∵MH⊥UV，

∴∠MHD＝90°，

∴∠EMH＝360°﹣∠MHD﹣∠BDE﹣∠DEM＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，

∴∠GMH＝∠EMH﹣∠GME＝90°﹣10°＝80°．

（2020•广元）如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（　　）

【解答】解：过点P作PA∥a，

∵a∥b，PA∥a，

∴a∥b∥PA，

∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，

∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，

∴∠1+∠2+∠3＝360°．

故选：B．