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七年级数学下册专题02 平行线模型-“铅笔”模型
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这是一份七年级数学下册专题02 平行线模型-“铅笔”模型，共30页。
专题02 平行线模型-“铅笔”模型
专题说明
上节课利用平行线的性质和判定学习了平行线模型-“猪蹄”模型（M型），相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课继续学习平行线模型-“铅笔”模型。
【模型刨析】
模型二：“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
【典例分析】
【典例1】（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．
请写出具体求解过程．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【变式1-1】（2022春•常州期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，试猜想∠P＝ °；
探究：（2）在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
拓展：（3）将图①变为图②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度数．
【变式1-2】（2022春•鹿邑县月考）如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系，并证明你的结论．
【变式1-3】（2022秋•南岗区校级月考）已知：如图，AB∥CD
（1）如图1，求证：∠A+∠E+∠D＝360°；
（2）如图2，若AF平分∠EAB，DF平分∠EDC．探究∠AFD与∠AED的数量关系 （直接写出结论）．
（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AH∥ED交DC于点H，AD平分∠EAH，∠DAG：∠FDC＝1：2，AF延长线交CD于点G．求：∠BAH的度数．
【夯实基础】
1.（2022秋•朝阳区校级期末）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，则∠ABC＝ 度．
2．（2021秋•雁塔区校级期末）如图，直线l1∥l2，若∠1＝35°，则∠2+∠3＝ ．
3．（2022春•大兴区期末）如图，已知AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE．
（1）猜想∠BED时，∠B，∠D的数量关系，并证明；
（2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．
①依题意补全图形；
②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．
4．（2021秋•九江期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n．
（1）当m∥n时，若∠1＝50°，则∠2＝ ，∠3＝ ；
（2）当m∥n时，若∠1＝x°（0＜x＜90），则∠3＝ ；
（3）根据（1）（2）结果，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3为多少度时，m∥n．请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明）
5．（2022春•普兰店区期中）直线AB∥CD，点E在AB和CD之间任一点，射线EF经过点B．
（1）如图1，若DE∥AC，∠CAB＝130°，∠ABF＝80°，求∠DEB的度数；
（2）如图2，若∠CAB＝a，∠CDE＝2∠ACD，若∠BED＝140°，求∠ABE的度数（用含α式子表示）．
（3）如图3，若∠ABE的角平分线与∠CDE的角平分线交于点Q，试找出∠E和∠Q的数量关系并说明理由．
6.（2022春•宾阳县期中）如图，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°．
（1）如图1，求∠BEO+∠DFO的值：
（2）如图2，当∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点M时，求∠EMF的度数：
（3）如图3，直线MN交∠BEO、∠CFO的角平分线分别于点M，N，求∠EMN﹣∠FNM的值．
7．（2022春•南昌期中）如图，已知AB∥CD，CP∥DN．
（1）求证：∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°；
（2）求证：∠BAM+∠AMD﹣∠CDM＝180°；
（3）当，，且∠AMD＝150°时，求∠APC的度数．
【能力提升】
8．（2022春•高淳区校级期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．
（1）若∠H＝80°，则∠H的4系补周角的度数为 °．
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE、DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k值（用含n的式子表示）．
9．（2022春•宁阳县期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
专题02 平行线模型-“铅笔”模型
专题说明
上节课利用平行线的性质和判定学习了平行线模型-“猪蹄”模型（M型），相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课继续学习平行线模型-“铅笔”模型。
【模型刨析】
模型二：“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
【典例分析】
【典例1】（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．
请写出具体求解过程．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【解答】解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，
∴∠APC＝45°+55°＝100°；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
【变式1-1】（2022春•常州期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，试猜想∠P＝ 80 °；
探究：（2）在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
拓展：（3）将图①变为图②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度数．
【解答】解：（1）如图①，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，
∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，
∵∠1＝130°，∠2＝150°，
∴∠EPM＝50°，∠MPF＝30°，
∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝50°+30°＝80°，
故答案为：80；
（2）∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2，理由如下：
如图①，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，
∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，
∴∠EPM＝180°﹣∠1，∠MPF＝180°﹣∠2，
∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝360°﹣∠1﹣∠2；
（3）如图②，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，
由（2）知，∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2，
∵PM∥AB，
∴∠1+∠EPM＝180°，
∴∠EPM＝180°﹣∠1，
∵∠EPG＝∠EPM+∠MPG＝75°，
∴∠MPG＝75°﹣∠EPM＝75°﹣（180°﹣∠1）＝∠1﹣105°，
∴∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2＝360°﹣（∠1﹣105°）﹣∠2＝465°﹣（∠1+∠2），
∵∠1+∠2＝325°，
∴∠PGF＝465°﹣325°＝140°．
【变式1-2】（2022春•鹿邑县月考）如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）如图1，过点E作EN∥AB，
∵EN∥AB，
∴∠ABE+∠BEN＝180°，
∵AB∥CD，AB∥NE，
∴NE∥CD，
∴∠CDE+∠NED＝180°，
∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝70°，
∴∠ABE+∠CDE＝290°，
∵∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F，
∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝145°，
过点F作FG∥AB，
∵FG∥AB，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵AB∥CD，FG∥AB，
∴FG∥CD，
∴∠CDF＝∠GFD，
∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝145°；
（2）结论：∠E+6∠M＝360°，
证明：∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，
由（1）得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴6x+6y+∠E＝360°，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，
∴∠M＝x+y，
∴∠E+6∠M＝360°．
【变式1-3】（2022秋•南岗区校级月考）已知：如图，AB∥CD
（1）如图1，求证：∠A+∠E+∠D＝360°；
（2）如图2，若AF平分∠EAB，DF平分∠EDC．探究∠AFD与∠AED的数量关系 （直接写出结论）．
（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AH∥ED交DC于点H，AD平分∠EAH，∠DAG：∠FDC＝1：2，AF延长线交CD于点G．求：∠BAH的度数．
【解答】解：（1）过点E作EM∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∵EM∥AB，
∴∠A+∠AEM＝180°，
∵EM∥CD，
∴∠DEM+∠D＝180°，
∴（∠A+∠AEM）+（∠DEM+∠D）＝360°，
即∠A+∠AED+∠D＝360°
（2）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，如图，
∵FN∥AB，
∴∠NFA＝∠BAF．
∵AF平分∠EAB，
∴∠EAB＝2∠BAF．
∴∠EAB＝2∠NAF．
∵FN∥AB，AB∥CD，
∴FN∥CD．
∴∠NFD＝∠FDC．
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDC＝2∠FDC，
∴∠EDC＝2∠NFD．
∴∠BAE+∠EDC＝2（∠NFA+∠NFD）＝2∠AFD．
由（1）知：∠EAB+∠AED+∠EDC＝360°．
∴∠AED＝360°﹣（∠EAB+∠EDC）＝360°﹣2∠AFD，
2∠AFD+∠AED＝360°；
故答案为：2∠AFD+∠AED＝360°；
（3）∵AD平分∠EAH，
∴∠EAH＝2∠EAD，
∵AF平分∠EAB，
∴∠EAB＝2∠EAG，
∴∠HAB＝∠EAB﹣∠EAH＝2∠EAG﹣2∠EAD＝2∠DAG，
∵∠DAG：∠FDC＝1：2，
∴可设∠DAG＝x°，∠FDC＝2x°，则∠HAB＝2x°，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDC＝2∠FDC＝2×2x°＝4x°，
∵ED∥AH，
∴∠EDC+∠AHD＝180°，
∴∠AHD＝180°﹣4x°，
∵AB∥CD，
∴∠HAB＝∠AHD，
∴2x＝180﹣4x，
∴x＝30，
∴∠BAH＝2×30°＝60°．
、
【夯实基础】
1.（2022秋•朝阳区校级期末）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，则∠ABC＝ 度．
【答案】135
【解答】解：如图，过点B作BF∥CD，
∵CD∥AE，
∴CD∥BF∥AE，
∴∠1+∠BCD＝180°，∠2+∠BAE＝180°，
∵∠BCD＝135°，∠BAE＝90°，
∴∠1＝45°，∠2＝90°，
∴∠ABC＝∠1+∠2＝135°．
故答案为：135．
2．（2021秋•雁塔区校级期末）如图，直线l1∥l2，若∠1＝35°，则∠2+∠3＝ ．
【答案】215°
【解答】解：过点E作EF∥11，
∵11∥12，EF∥11，
∴EF∥11∥12，
∴∠1＝∠AEF＝35°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝35°+180°＝215°．
故答案为：215°．
3．（2022春•大兴区期末）如图，已知AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE．
（1）猜想∠BED时，∠B，∠D的数量关系，并证明；
（2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．
①依题意补全图形；
②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．
【解答】（1）∠B+∠BED+∠D＝360°．
证明：过点E作EG∥AB．
∴∠B+∠BEG＝180°．
∵AB∥CD，EG∥AB，
∴EG∥CD，
∴∠DEG+∠D＝180°，
∴∠B+∠BEG+∠DEG+∠D＝180°+180°．
即∠B+∠BED+∠D＝360°；
（2）解：①如图所示：
②由（1）得∠ABC+∠BED+∠CDE＝360°，
∵∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F，
∴∠ABC＝2∠FBE，∠CDE＝2∠FDE，
∴2∠FBE+∠BED+2∠CDE＝360°，即∠FBE+∠BED+∠CDE＝180°，
∵∠BFD+∠FBE+∠BED+∠CDE＝360°，
∴．
4．（2021秋•九江期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n．
（1）当m∥n时，若∠1＝50°，则∠2＝ ，∠3＝ ；
（2）当m∥n时，若∠1＝x°（0＜x＜90），则∠3＝ ；
（3）根据（1）（2）结果，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3为多少度时，m∥n．请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明）
【解答】解：（1）∵m∥n，
∴∠4+∠2＝180°，
∵∠5＝∠1＝50°，
∴∠4＝80°，
∴∠2＝100°，
∴∠6＝∠7＝40°，
∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠6＝90°，
故答案为：100°；90°；
（2）∵m∥n，
∴∠4+∠2＝180°，
∵∠5＝∠1＝x°，
∴∠4＝180°﹣2x°，
∴∠2＝2x°，
∴∠6＝∠7＝90°﹣x°，
∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠6＝180°﹣x°﹣90°+x°＝90°，
故答案为：90°；
（3）根据（1）、（2）猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3是90°时，总有m∥n，
证明：∵∠3＝90°，
∴∠5+∠6＝90°，
∴∠1+∠7＝90°，
∴∠1+∠5+∠6+∠7＝180°，
又∵∠1+∠4+∠5+∠2+∠6+∠7＝360°，
∴∠4+∠2＝180°，
∴m∥n．
5．（2022春•普兰店区期中）直线AB∥CD，点E在AB和CD之间任一点，射线EF经过点B．
（1）如图1，若DE∥AC，∠CAB＝130°，∠ABF＝80°，求∠DEB的度数；
（2）如图2，若∠CAB＝a，∠CDE＝2∠ACD，若∠BED＝140°，求∠ABE的度数（用含α式子表示）．
（3）如图3，若∠ABE的角平分线与∠CDE的角平分线交于点Q，试找出∠E和∠Q的数量关系并说明理由．
【解答】解：（1）过点E作EH∥AB，
∴∠ABF＝∠BEH＝80°，
∵AB∥CD，∠CAB＝130°，
∴∠ACD＝180°﹣∠CAB＝50°，EH∥CD，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠EDG＝50°，
∵EH∥CD，
∴∠EDG＝∠HED＝50°，
∴∠BED＝∠BEH+∠HED＝130°，
∴∠DEB的度数为130°；
（2）过点E作EP∥AB，
∴∠ABE+∠BEP＝180°，
∵AB∥CD，
∴∠CDE+∠DEP＝180°，
∴∠ABE+∠BEP+∠CDE+∠DEP＝360°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝180°﹣∠CAB＝180°﹣α，
∵∠CDE＝2∠ACD，
∴∠CDE＝2（180°﹣α）＝360°﹣2α，
∵∠BED＝140°，
∴∠ABE＝360°﹣∠BED﹣∠CDE＝360°﹣140°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣140°，
∴∠ABE的度数为2α﹣140°；
（3）∠BED+2∠BQD＝360°，
理由：延长BQ交直线CD于点K，
设∠ABQ＝x，∠CDQ＝y，
∵BQ平分∠ABE，DQ平分∠CDE，
∴∠ABE＝2∠ABQ＝2x，∠CDE＝2∠CDQ＝2y，
∵AB∥CD，
∴∠BKD＝∠ABQ＝x，
∴∠BQD＝∠BKD+∠CDQ＝x+y，
由（2）得：∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∴∠BED＝360°﹣∠ABE﹣∠CDE＝360°﹣2x﹣2y，
∴∠BED+2∠BQD＝360°﹣2x﹣2y+2（x+y）＝360°，
∴∠BED+2∠BQD＝360°．
6.（2022春•宾阳县期中）如图，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°．
（1）如图1，求∠BEO+∠DFO的值：
（2）如图2，当∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点M时，求∠EMF的度数：
（3）如图3，直线MN交∠BEO、∠CFO的角平分线分别于点M，N，求∠EMN﹣∠FNM的值．
【解答】解：（1）过点O作OG∥AB，如图：
∵AB∥CD，OG∥AB，
∴AB∥OG∥CD，
∴∠BEO+∠EOG＝180°，∠DFO+∠FOG＝180°，
∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG＝360°，
即∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°，
∵∠EOF＝100°，
∴∠BEO+∠DFO＝260°；
（2）过点M作MH∥AB，如图：
∵AB∥CD，MH∥AB，
∴AB∥MH∥CD，
∴∠EMH＝∠BEM，∠FMH＝∠DFM，
∴∠EMF＝∠EMH+∠FMH＝∠BEM+∠DFM，
由（1）中的结论可得：
∠BEO+∠DFO＝260°，
∵EM，FM分别平分∠BEO和∠DFO，
∴∠BEM＝∠BEO，∠DFM＝∠DFO，
∴∠BEM+∠DFM＝（∠BEO+∠DFO）＝×260°＝130°，
∴∠EMF＝130°；
（3）过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，如图：
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y，
∵∠BEO+∠DFO＝260°，
∴∠BEO+∠DFO＝2x+180°﹣2y＝260°，
∴x﹣y＝40°，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴∠EMK＝∠BEM＝x，∠HNF＝∠CFN＝y，∠KMN＝∠HNM，
∴∠EMN﹣∠FNM＝∠EMK+∠KMN﹣（∠HNM+∠HNF）
＝x+∠KMN﹣∠HNM﹣y
＝x﹣y
＝40°，
∴∠EMN﹣∠FNM的值为40°．
7．（2022春•南昌期中）如图，已知AB∥CD，CP∥DN．
（1）求证：∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°；
（2）求证：∠BAM+∠AMD﹣∠CDM＝180°；
（3）当，，且∠AMD＝150°时，求∠APC的度数．
【解答】（1）证明：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠BAP+∠APE＝180°，∠CPE+∠DCP＝180°，
∴∠BAP+∠APE+∠CPE+∠DCP＝360°，
即∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°；
（2）证明：过点M作MQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MQ∥CD，
∴∠BAM+∠AMQ＝180°，∠CDM＝∠DMQ，
∵∠AMD＝∠AMQ+∠DMQ，
∴∠AMQ＝∠AMD﹣∠CDM，
∴∠BAM+∠AMD﹣∠CDM＝180°；
（3）解：延长AM交CD于点E，延长AP交CD的延长线于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠AED＝180°，
∵∠AMD＝∠MED+∠MDE＝150°，
∴180°﹣∠BAM+∠MDE＝150°，
∵∠NDM＝∠NDC，
∴∠MDE＝∠NDC，
∵∠BAM＝∠BAP，
∴∠BAP﹣∠NDC＝30°，
∴∠BAP﹣∠NDC＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BAP+∠AFC＝180°，
∵CP∥DN，
∴∠PCF＝∠NDC，
∴∠APC＝∠AFC+∠PCF
＝180°﹣∠BAP+∠NDC
＝180°﹣（∠BAP﹣∠NDC）
＝180°﹣45°
＝135°．
【能力提升】
8．（2022春•高淳区校级期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．
（1）若∠H＝80°，则∠H的4系补周角的度数为 °．
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE、DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k值（用含n的式子表示）．
【解答】解：（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得：
80+4x＝360，
解得x＝70，
∠H的4系补周角的度数为70°，
故答案为：70；
（2）①过E作EF∥AB，如图1，
∴∠B＝∠BEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，∠D＝60°，
∴∠DEF＝∠D＝60°，
∵∠B+60°＝∠BEF+∠DEF，
即∠B+60°＝∠BED，
∵∠B是∠BED的3系补周角，
∴∠BED＝360°﹣3∠B，
∴∠B+60°＝360°﹣3∠B，
∴∠B＝75°；
②如图2，当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，
过点P作PM∥AB，过点F作FN∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴CD∥PM，CD∥FN，
∴∠ABP＝∠BPM，∠CDP＝∠DPM，∠ABF+∠BFN＝180°，∠CDF+∠DFN＝180°，
∴∠ABF+∠BFD+∠CDF
＝∠ABF+∠BFN+∠CDF+∠DFN
＝180°+180°
＝360°，
∵∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点P，
∴∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，
∴∠BPD＝∠BPM+∠DPM＝（∠ABE+∠CDE），
∵∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE，
∴∠BPD＝（∠ABF+∠CDF），
∴∠BPD＝（∠ABF+∠CDF），
∴∠BPD＝（360°﹣∠BFD），
∴∠BFD+2n∠BPD＝360°，
∴∠BPD是∠BFD的k系补周角，
此时，k＝2n．
9．（2022春•宁阳县期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
【解答】解：
（1）55°
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，
故答案为55°．
（2）如图所示，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，
∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．
（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：
由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，
由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴2∠AFC+∠AEC＝360°．
②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE＝360°，
∵∠BAF＝
∠FAE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，
∴∠F＝（∠FAE+∠FCE），
∴∠FAE+∠FCE＝n∠F，
∴∠F+∠E+n∠F＝360°，
∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，
∴∠F＝．
专题02 平行线模型-“铅笔”模型
专题说明
上节课利用平行线的性质和判定学习了平行线模型-“猪蹄”模型（M型），相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课继续学习平行线模型-“铅笔”模型。
【模型刨析】
模型二：“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
【典例分析】
【典例1】（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．
请写出具体求解过程．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【变式1-1】（2022春•常州期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，试猜想∠P＝ °；
探究：（2）在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
拓展：（3）将图①变为图②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度数．
【变式1-2】（2022春•鹿邑县月考）如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系，并证明你的结论．
【变式1-3】（2022秋•南岗区校级月考）已知：如图，AB∥CD
（1）如图1，求证：∠A+∠E+∠D＝360°；
（2）如图2，若AF平分∠EAB，DF平分∠EDC．探究∠AFD与∠AED的数量关系 （直接写出结论）．
（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AH∥ED交DC于点H，AD平分∠EAH，∠DAG：∠FDC＝1：2，AF延长线交CD于点G．求：∠BAH的度数．
【夯实基础】
1.（2022秋•朝阳区校级期末）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，则∠ABC＝ 度．
2．（2021秋•雁塔区校级期末）如图，直线l1∥l2，若∠1＝35°，则∠2+∠3＝ ．
3．（2022春•大兴区期末）如图，已知AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE．
（1）猜想∠BED时，∠B，∠D的数量关系，并证明；
（2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．
①依题意补全图形；
②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．
4．（2021秋•九江期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n．
（1）当m∥n时，若∠1＝50°，则∠2＝ ，∠3＝ ；
（2）当m∥n时，若∠1＝x°（0＜x＜90），则∠3＝ ；
（3）根据（1）（2）结果，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3为多少度时，m∥n．请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明）
5．（2022春•普兰店区期中）直线AB∥CD，点E在AB和CD之间任一点，射线EF经过点B．
（1）如图1，若DE∥AC，∠CAB＝130°，∠ABF＝80°，求∠DEB的度数；
（2）如图2，若∠CAB＝a，∠CDE＝2∠ACD，若∠BED＝140°，求∠ABE的度数（用含α式子表示）．
（3）如图3，若∠ABE的角平分线与∠CDE的角平分线交于点Q，试找出∠E和∠Q的数量关系并说明理由．
6.（2022春•宾阳县期中）如图，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°．
（1）如图1，求∠BEO+∠DFO的值：
（2）如图2，当∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点M时，求∠EMF的度数：
（3）如图3，直线MN交∠BEO、∠CFO的角平分线分别于点M，N，求∠EMN﹣∠FNM的值．
7．（2022春•南昌期中）如图，已知AB∥CD，CP∥DN．
（1）求证：∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°；
（2）求证：∠BAM+∠AMD﹣∠CDM＝180°；
（3）当，，且∠AMD＝150°时，求∠APC的度数．
【能力提升】
8．（2022春•高淳区校级期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．
（1）若∠H＝80°，则∠H的4系补周角的度数为 °．
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE、DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k值（用含n的式子表示）．
9．（2022春•宁阳县期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
专题02 平行线模型-“铅笔”模型
专题说明
上节课利用平行线的性质和判定学习了平行线模型-“猪蹄”模型（M型），相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课继续学习平行线模型-“铅笔”模型。
【模型刨析】
模型二：“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
【典例分析】
【典例1】（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．
请写出具体求解过程．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【解答】解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，
∴∠APC＝45°+55°＝100°；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
【变式1-1】（2022春•常州期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，试猜想∠P＝ 80 °；
探究：（2）在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
拓展：（3）将图①变为图②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度数．
【解答】解：（1）如图①，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，
∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，
∵∠1＝130°，∠2＝150°，
∴∠EPM＝50°，∠MPF＝30°，
∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝50°+30°＝80°，
故答案为：80；
（2）∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2，理由如下：
如图①，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，
∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，
∴∠EPM＝180°﹣∠1，∠MPF＝180°﹣∠2，
∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝360°﹣∠1﹣∠2；
（3）如图②，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，
由（2）知，∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2，
∵PM∥AB，
∴∠1+∠EPM＝180°，
∴∠EPM＝180°﹣∠1，
∵∠EPG＝∠EPM+∠MPG＝75°，
∴∠MPG＝75°﹣∠EPM＝75°﹣（180°﹣∠1）＝∠1﹣105°，
∴∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2＝360°﹣（∠1﹣105°）﹣∠2＝465°﹣（∠1+∠2），
∵∠1+∠2＝325°，
∴∠PGF＝465°﹣325°＝140°．
【变式1-2】（2022春•鹿邑县月考）如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）如图1，过点E作EN∥AB，
∵EN∥AB，
∴∠ABE+∠BEN＝180°，
∵AB∥CD，AB∥NE，
∴NE∥CD，
∴∠CDE+∠NED＝180°，
∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝70°，
∴∠ABE+∠CDE＝290°，
∵∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F，
∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝145°，
过点F作FG∥AB，
∵FG∥AB，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵AB∥CD，FG∥AB，
∴FG∥CD，
∴∠CDF＝∠GFD，
∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝145°；
（2）结论：∠E+6∠M＝360°，
证明：∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，
由（1）得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴6x+6y+∠E＝360°，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，
∴∠M＝x+y，
∴∠E+6∠M＝360°．
【变式1-3】（2022秋•南岗区校级月考）已知：如图，AB∥CD
（1）如图1，求证：∠A+∠E+∠D＝360°；
（2）如图2，若AF平分∠EAB，DF平分∠EDC．探究∠AFD与∠AED的数量关系 （直接写出结论）．
（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AH∥ED交DC于点H，AD平分∠EAH，∠DAG：∠FDC＝1：2，AF延长线交CD于点G．求：∠BAH的度数．
【解答】解：（1）过点E作EM∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∵EM∥AB，
∴∠A+∠AEM＝180°，
∵EM∥CD，
∴∠DEM+∠D＝180°，
∴（∠A+∠AEM）+（∠DEM+∠D）＝360°，
即∠A+∠AED+∠D＝360°
（2）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，如图，
∵FN∥AB，
∴∠NFA＝∠BAF．
∵AF平分∠EAB，
∴∠EAB＝2∠BAF．
∴∠EAB＝2∠NAF．
∵FN∥AB，AB∥CD，
∴FN∥CD．
∴∠NFD＝∠FDC．
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDC＝2∠FDC，
∴∠EDC＝2∠NFD．
∴∠BAE+∠EDC＝2（∠NFA+∠NFD）＝2∠AFD．
由（1）知：∠EAB+∠AED+∠EDC＝360°．
∴∠AED＝360°﹣（∠EAB+∠EDC）＝360°﹣2∠AFD，
2∠AFD+∠AED＝360°；
故答案为：2∠AFD+∠AED＝360°；
（3）∵AD平分∠EAH，
∴∠EAH＝2∠EAD，
∵AF平分∠EAB，
∴∠EAB＝2∠EAG，
∴∠HAB＝∠EAB﹣∠EAH＝2∠EAG﹣2∠EAD＝2∠DAG，
∵∠DAG：∠FDC＝1：2，
∴可设∠DAG＝x°，∠FDC＝2x°，则∠HAB＝2x°，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDC＝2∠FDC＝2×2x°＝4x°，
∵ED∥AH，
∴∠EDC+∠AHD＝180°，
∴∠AHD＝180°﹣4x°，
∵AB∥CD，
∴∠HAB＝∠AHD，
∴2x＝180﹣4x，
∴x＝30，
∴∠BAH＝2×30°＝60°．
、
【夯实基础】
1.（2022秋•朝阳区校级期末）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，则∠ABC＝ 度．
【答案】135
【解答】解：如图，过点B作BF∥CD，
∵CD∥AE，
∴CD∥BF∥AE，
∴∠1+∠BCD＝180°，∠2+∠BAE＝180°，
∵∠BCD＝135°，∠BAE＝90°，
∴∠1＝45°，∠2＝90°，
∴∠ABC＝∠1+∠2＝135°．
故答案为：135．
2．（2021秋•雁塔区校级期末）如图，直线l1∥l2，若∠1＝35°，则∠2+∠3＝ ．
【答案】215°
【解答】解：过点E作EF∥11，
∵11∥12，EF∥11，
∴EF∥11∥12，
∴∠1＝∠AEF＝35°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝35°+180°＝215°．
故答案为：215°．
3．（2022春•大兴区期末）如图，已知AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE．
（1）猜想∠BED时，∠B，∠D的数量关系，并证明；
（2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．
①依题意补全图形；
②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．
【解答】（1）∠B+∠BED+∠D＝360°．
证明：过点E作EG∥AB．
∴∠B+∠BEG＝180°．
∵AB∥CD，EG∥AB，
∴EG∥CD，
∴∠DEG+∠D＝180°，
∴∠B+∠BEG+∠DEG+∠D＝180°+180°．
即∠B+∠BED+∠D＝360°；
（2）解：①如图所示：
②由（1）得∠ABC+∠BED+∠CDE＝360°，
∵∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F，
∴∠ABC＝2∠FBE，∠CDE＝2∠FDE，
∴2∠FBE+∠BED+2∠CDE＝360°，即∠FBE+∠BED+∠CDE＝180°，
∵∠BFD+∠FBE+∠BED+∠CDE＝360°，
∴．
4．（2021秋•九江期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n．
（1）当m∥n时，若∠1＝50°，则∠2＝ ，∠3＝ ；
（2）当m∥n时，若∠1＝x°（0＜x＜90），则∠3＝ ；
（3）根据（1）（2）结果，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3为多少度时，m∥n．请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明）
【解答】解：（1）∵m∥n，
∴∠4+∠2＝180°，
∵∠5＝∠1＝50°，
∴∠4＝80°，
∴∠2＝100°，
∴∠6＝∠7＝40°，
∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠6＝90°，
故答案为：100°；90°；
（2）∵m∥n，
∴∠4+∠2＝180°，
∵∠5＝∠1＝x°，
∴∠4＝180°﹣2x°，
∴∠2＝2x°，
∴∠6＝∠7＝90°﹣x°，
∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠6＝180°﹣x°﹣90°+x°＝90°，
故答案为：90°；
（3）根据（1）、（2）猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3是90°时，总有m∥n，
证明：∵∠3＝90°，
∴∠5+∠6＝90°，
∴∠1+∠7＝90°，
∴∠1+∠5+∠6+∠7＝180°，
又∵∠1+∠4+∠5+∠2+∠6+∠7＝360°，
∴∠4+∠2＝180°，
∴m∥n．
5．（2022春•普兰店区期中）直线AB∥CD，点E在AB和CD之间任一点，射线EF经过点B．
（1）如图1，若DE∥AC，∠CAB＝130°，∠ABF＝80°，求∠DEB的度数；
（2）如图2，若∠CAB＝a，∠CDE＝2∠ACD，若∠BED＝140°，求∠ABE的度数（用含α式子表示）．
（3）如图3，若∠ABE的角平分线与∠CDE的角平分线交于点Q，试找出∠E和∠Q的数量关系并说明理由．
【解答】解：（1）过点E作EH∥AB，
∴∠ABF＝∠BEH＝80°，
∵AB∥CD，∠CAB＝130°，
∴∠ACD＝180°﹣∠CAB＝50°，EH∥CD，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠EDG＝50°，
∵EH∥CD，
∴∠EDG＝∠HED＝50°，
∴∠BED＝∠BEH+∠HED＝130°，
∴∠DEB的度数为130°；
（2）过点E作EP∥AB，
∴∠ABE+∠BEP＝180°，
∵AB∥CD，
∴∠CDE+∠DEP＝180°，
∴∠ABE+∠BEP+∠CDE+∠DEP＝360°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝180°﹣∠CAB＝180°﹣α，
∵∠CDE＝2∠ACD，
∴∠CDE＝2（180°﹣α）＝360°﹣2α，
∵∠BED＝140°，
∴∠ABE＝360°﹣∠BED﹣∠CDE＝360°﹣140°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣140°，
∴∠ABE的度数为2α﹣140°；
（3）∠BED+2∠BQD＝360°，
理由：延长BQ交直线CD于点K，
设∠ABQ＝x，∠CDQ＝y，
∵BQ平分∠ABE，DQ平分∠CDE，
∴∠ABE＝2∠ABQ＝2x，∠CDE＝2∠CDQ＝2y，
∵AB∥CD，
∴∠BKD＝∠ABQ＝x，
∴∠BQD＝∠BKD+∠CDQ＝x+y，
由（2）得：∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∴∠BED＝360°﹣∠ABE﹣∠CDE＝360°﹣2x﹣2y，
∴∠BED+2∠BQD＝360°﹣2x﹣2y+2（x+y）＝360°，
∴∠BED+2∠BQD＝360°．
6.（2022春•宾阳县期中）如图，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°．
（1）如图1，求∠BEO+∠DFO的值：
（2）如图2，当∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点M时，求∠EMF的度数：
（3）如图3，直线MN交∠BEO、∠CFO的角平分线分别于点M，N，求∠EMN﹣∠FNM的值．
【解答】解：（1）过点O作OG∥AB，如图：
∵AB∥CD，OG∥AB，
∴AB∥OG∥CD，
∴∠BEO+∠EOG＝180°，∠DFO+∠FOG＝180°，
∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG＝360°，
即∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°，
∵∠EOF＝100°，
∴∠BEO+∠DFO＝260°；
（2）过点M作MH∥AB，如图：
∵AB∥CD，MH∥AB，
∴AB∥MH∥CD，
∴∠EMH＝∠BEM，∠FMH＝∠DFM，
∴∠EMF＝∠EMH+∠FMH＝∠BEM+∠DFM，
由（1）中的结论可得：
∠BEO+∠DFO＝260°，
∵EM，FM分别平分∠BEO和∠DFO，
∴∠BEM＝∠BEO，∠DFM＝∠DFO，
∴∠BEM+∠DFM＝（∠BEO+∠DFO）＝×260°＝130°，
∴∠EMF＝130°；
（3）过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，如图：
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y，
∵∠BEO+∠DFO＝260°，
∴∠BEO+∠DFO＝2x+180°﹣2y＝260°，
∴x﹣y＝40°，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴∠EMK＝∠BEM＝x，∠HNF＝∠CFN＝y，∠KMN＝∠HNM，
∴∠EMN﹣∠FNM＝∠EMK+∠KMN﹣（∠HNM+∠HNF）
＝x+∠KMN﹣∠HNM﹣y
＝x﹣y
＝40°，
∴∠EMN﹣∠FNM的值为40°．
7．（2022春•南昌期中）如图，已知AB∥CD，CP∥DN．
（1）求证：∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°；
（2）求证：∠BAM+∠AMD﹣∠CDM＝180°；
（3）当，，且∠AMD＝150°时，求∠APC的度数．
【解答】（1）证明：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠BAP+∠APE＝180°，∠CPE+∠DCP＝180°，
∴∠BAP+∠APE+∠CPE+∠DCP＝360°，
即∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°；
（2）证明：过点M作MQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MQ∥CD，
∴∠BAM+∠AMQ＝180°，∠CDM＝∠DMQ，
∵∠AMD＝∠AMQ+∠DMQ，
∴∠AMQ＝∠AMD﹣∠CDM，
∴∠BAM+∠AMD﹣∠CDM＝180°；
（3）解：延长AM交CD于点E，延长AP交CD的延长线于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠AED＝180°，
∵∠AMD＝∠MED+∠MDE＝150°，
∴180°﹣∠BAM+∠MDE＝150°，
∵∠NDM＝∠NDC，
∴∠MDE＝∠NDC，
∵∠BAM＝∠BAP，
∴∠BAP﹣∠NDC＝30°，
∴∠BAP﹣∠NDC＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BAP+∠AFC＝180°，
∵CP∥DN，
∴∠PCF＝∠NDC，
∴∠APC＝∠AFC+∠PCF
＝180°﹣∠BAP+∠NDC
＝180°﹣（∠BAP﹣∠NDC）
＝180°﹣45°
＝135°．
【能力提升】
8．（2022春•高淳区校级期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．
（1）若∠H＝80°，则∠H的4系补周角的度数为 °．
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE、DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k值（用含n的式子表示）．
【解答】解：（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得：
80+4x＝360，
解得x＝70，
∠H的4系补周角的度数为70°，
故答案为：70；
（2）①过E作EF∥AB，如图1，
∴∠B＝∠BEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，∠D＝60°，
∴∠DEF＝∠D＝60°，
∵∠B+60°＝∠BEF+∠DEF，
即∠B+60°＝∠BED，
∵∠B是∠BED的3系补周角，
∴∠BED＝360°﹣3∠B，
∴∠B+60°＝360°﹣3∠B，
∴∠B＝75°；
②如图2，当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，
过点P作PM∥AB，过点F作FN∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴CD∥PM，CD∥FN，
∴∠ABP＝∠BPM，∠CDP＝∠DPM，∠ABF+∠BFN＝180°，∠CDF+∠DFN＝180°，
∴∠ABF+∠BFD+∠CDF
＝∠ABF+∠BFN+∠CDF+∠DFN
＝180°+180°
＝360°，
∵∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点P，
∴∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，
∴∠BPD＝∠BPM+∠DPM＝（∠ABE+∠CDE），
∵∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE，
∴∠BPD＝（∠ABF+∠CDF），
∴∠BPD＝（∠ABF+∠CDF），
∴∠BPD＝（360°﹣∠BFD），
∴∠BFD+2n∠BPD＝360°，
∴∠BPD是∠BFD的k系补周角，
此时，k＝2n．
9．（2022春•宁阳县期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
【解答】解：
（1）55°
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，
故答案为55°．
（2）如图所示，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，
∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．
（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：
由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，
由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴2∠AFC+∠AEC＝360°．
②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE＝360°，
∵∠BAF＝
∠FAE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，
∴∠F＝（∠FAE+∠FCE），
∴∠FAE+∠FCE＝n∠F，
∴∠F+∠E+n∠F＝360°，
∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，
∴∠F＝．
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