[数学]广东省清远市四校联盟2023-2024学年高二下学期期中检测试题(解析版)

这是一份[数学]广东省清远市四校联盟2023-2024学年高二下学期期中检测试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题只有一项是符合要求，共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】求导得：，
所以，
即，解得：.
故选：C
2. 已知五个区域A，B，C，D，E依次相邻，如图所示，现在给这5个区域涂色，要求相邻的两个区域不能涂相同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法有（ ）
A. 1140B. 1200C. 1280D. 1400
【答案】C
【解析】依题意，分5步依次对涂色，
所以不同的涂色方法有（种）.
故选：C
3. 设函数y＝xsin x＋cs x的图象上点P(t，f(t))处的切线斜率为k，则函数k＝g(t)的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】可得：．
可得：，
由于，函数是奇函数，排除选项，C；
当时，，排除选项D．
故选：B
4. 要从某小组6名男生和3名女生中随机选出3人去参加社会实践活动，则抽取的3人中，男生至少为1人的选法种数为（ ）
A. 55B. 63C. 65D. 83
【答案】D
【解析】男生至少为人的反面是人全是女生，总数为，人全是女生为，所以共有种.
故选：D.
5. 已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A.
B.
C
D.
【答案】A
【解析】由图形可知，在点处的切线斜率大于割线的斜率，割线的斜率大于在点处的斜率，且都大于零，
即，
则．
故选：A．
6. 在的展开式中，项的系数为（ ）
A. 10B. 12C. 15D. 21
【答案】C
【解析】由二项式定理，得的展开式中，
项的系数为：．
故选：C．
7. 展开式中，的系数为（ ）
A. 15B. 20C. 30D. 40
【答案】C
【解析】，
，
所以的系数为．
故选：C．
8. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设，当时，，
故函数在上为减函数.
又因是R上的奇函数，
由可知是R上的偶函数，
故在上是增函数.
因，，，
，，，则，
故得，即，
故.
故选：D.
二、多选题（本大题有多项是符合要求的，全部选对6分，有选错0分，部分选对得部分分，共3小题，每小题6分，共18分）
9. 高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A. 如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B. 如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
C. 如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D. 如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
【答案】ABC
【解析】安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，
选项A：如果社区A必须有同学选择，
则不同的安排方法有（种）.判断正确；
选项B：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种）.判断正确；
选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，
则不同的安排方法共有（种）.判断正确；
选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，
再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，
则不同的安排方法共有（种）.判断错误.
故选：ABC
10. 下列不等式中，对任意的恒成立的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A，令，，
则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，即恒成立，
所以对任意的恒成立，A正确；
对于B，令，，则，
所以在上单调递减，所以，
所以对任意的恒成立，故B错误；
对于C，令，，则，
令，
易知，使，即，，
当时，，单调递减；
当,时，，单调递增；
所以，
所以，即对任意的恒成立，C正确；
对于D，令，，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又因为，所以，即，
所以，
即，
所以，D错误．
故选：AC．
11. 关于函数，下列判断正确的是（ ）
A. 是的极小值点
B. 函数图像上的点到直线的最短距离为
C. 函数有且只有1个零点
D. 不存在正实数k，使成立
【答案】AB
【解析】对A：函数的定义域为，，
当时，；当时，；
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，故A正确；
对B：设直线与函数的图像相切，切点坐标为，
由，可得，解得，
所以，即切点为，
则切点到直线的距离为，
即函数图像上的点到直线的最短距离为，故B正确；
对C：因，所以，
当时，；当时，；
故函数在上单调递减，在上单调递增，则，
所以函数不存在零点，故C不正确，
对D：由选项C可知：，即恒成立，
所以存在正实数k，使恒成立，故D错误．
故选：AB．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 若质点按照规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点在时的瞬时速度为______．
【答案】28
【解析】，
则，
．
故答案为：28．
13. 已知，则______．
【答案】10
【解析】由两边求导得，
，
取，可得：.
故答案为：10.
14. 已知，是的导函数，即，，，，，若当时，，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】根据题意，可得，
，，
，，，
依此规律，可得：．
所以，
由，
可得．
所以当时，，即为当时，，
即时，恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以，即的取值范围是．
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤），
15. 在①只有第5项的二次式系数最大；②第3项与第7项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为．
从以上三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面问题．
已知，，若的展开式中，______．
（1）求的值；
（2）求的系数；
（3）求的值．
解：（1）选择① 时，只有第5项的二次式系数最大，则二项展开式共有9项，故；
选择② 时，有，由组合数的性质可得，；
选择③ 时，因所有二项式系数的和为，解得.
（2）由（1）可得，其通项公式为：，
由可得，故的系数即为；
（3）由通项知为负数，为正数.
在中，取，可得，，
取，可得，①，
取，可得，②，
由 ：，将代入整理得，；
由:,整理得，，
而
.
16 设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
解：（1）函数的定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
（2）因为且的图与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得，
故即.
17. 2024年3月31日在连南举行半程马拉松赛，为确保马拉松赛事顺利举行，组委会在沿途一共设置了7个饮水点，每两个饮水点中间再设置一个服务站，一共6个服务站．由含甲、乙在内的13支志愿者服务队负责这13个站点的服务工作，每一个站点有且仅有一支服务队负责服务．
（1）求甲队只去首尾的饮水点，且乙队只去与甲队不相邻的服务站的概率；
（2）为了解志愿者服务队的工作效果，将四名工作人员随机分派到A，B，C三个站点进行抽查，每人被分派到哪个站点互不影响，求三个站点中恰有一个站点未分配到任何工作人员的概率．
解：（1）由题意可知，甲队和乙队共有种不同的安排方法，
甲队只去首尾的饮水点，且乙队只去与甲队不相邻的服务站，共有种，
所以所求概率为；
（2）将四名工作人员随机分派到，，三个站点进行抽查，共有种不同的安排方法，
三个站点中恰有一个站点未分配到任何工作人员，共有种不同的安排方法，
所以所求概率为．
18. 2024年是龙年，为了弘扬中华传统文化，和增添节日氛围，某校在春季学期开学典礼时举行了舞龙活动．现2班的同学接受了设计舞龙服装的任务，如图，有一块半椭圆形布料，其长半轴长为2，短半轴长为1，计划先将此块布料切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．
（1）求面积以为自变量的函数关系式，并写出其定义域；
（2）求梯形布料面积的最大值．
解：（1）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），
易知椭圆的方程为：，
因为是半椭圆的短轴，的端点在椭圆上，且，
所以，,，
所以；
（2）因为，
令，
则
，
又因为，
令，解得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，
所以．
即梯形面积的最大值为．
19. 已知定义在正实数集上的函数，．
（1）设两曲线，有公共点为，且在点处的切线相同，若，求点的横坐标；
（2）在（1）的条件下，求证：；
（3）若，，函数在定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围．
解：（1）函数的定义域为，设曲线的公共点，
求导得，依题意，，
即，
由，得，，
所以点的横坐标为.
（2）由（1）知，设，，
求导得，当时，，当时，，
则函数在上递减，在上递增，
因此，
即当时，，所以.
（3）依题意，，定义域为，
由，得，令，
由函数在定义域内有两个不同的零点，得直线与函数的图象有两个交点，
而，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，而，且当时，恒有，
则当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点，即函数有两个不同零点，
所以实数的取值范围是.