【联考】广东省清远市“四校联盟”2022-2023学年高二下学期期中数学试题及参考答案

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一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设是可导函数，且，则（）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的定义计算即可得出答案.
【详解】解：∵，
∴.
故选：B.
2. 一质点的运动方程为，则时质点的瞬时速度为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求，就是时质点的瞬时速度.
【详解】，当时，，
所以当时质点的瞬时速度为.
故选：B
3. 某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（ ）
A. 6种B. 9种C. 18种D. 24种
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：间接法．4节课的全排列＝4×3×2×1＝24
减去体育课排第一节的情况：其他3节课的全排列 3×2×1＝6
所以 24－6＝18 ，故选C．
考点：简单的排列问题，主要考查排列的定义、排列数公式的应用．
点评：解答这类题目，一般有两种思路，即“直接法”与“间接法”．
4. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数的单调性即可判断.
【详解】由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
只有C选项的图象符合.
故选：C.
5. 三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有（）
A. 18 种B. 24 种C. 45 种D. 90 种
【答案】D
【解析】
【分析】根据每人教两个班，且没有区分，先从6个班中选2个给一位教师，再从4个班中选2个给一位教师，然后剩余的2个班分配给剩下的教师即可.
【详解】因为三名教师教六个班的课，每人教两个班，
所以分配方案共有种，
故选：D
【点睛】本题主要考查组合中的分配问题，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
6. 根据历年气象统计资料，某地区四月份刮西北风的概率为，既刮西北风又下雨的概率为.则该地四月份在刮西北风的条件下，下雨的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设该地区四月份刮西北风的事件为事件，该地区四月份下雨的事件为事件，
则，，进而根据条件概率公式计算即可.
【详解】解：设该地区四月份刮西北风事件为事件，该地区四月份下雨的事件为事件，
则，，
所以该地四月份在刮西北风的条件下，下雨的概率为.
故选：D
7. 袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】记骰子掷出的点数为i，，事件B: 取出的球全是白球，
分别求出利用条件概率公式即可求解
【详解】记骰子掷出的点数为i，，事件B: 取出的球全是白球，则,，
所以
所以若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：.
故选：C.
8. 已知函数有两个极值点，则下列说法错误的是（ ）
A.
B. 曲线在点 处的切线可能与直线垂直
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】对于A,求出函数的导数，根据函数有两个极值点，得到导数有两个变号零点，从而可求参数的取值范围，判断A;对于B,根据导数的几何意义可求得切线的斜率，判断B;对于C，由，即，利用整体代换思想得到，结合二次函数性质得到，判断C;对于D，由，即，利用整体代换思想，结合换元法，构造函数，即可判断D.
【详解】对于A，由题意得，
令，
当时，，递增，当时，，递减，
故，由题意知有两个变号零点，
故，即，故A正确；
对于B，线在点 处的切线的斜率为 ，
该切线如果与垂直，则斜率为-1，即 ，与矛盾，故B错误；
对于C，由题意可知，即，
则，
由A项分析可知 ，根据二次函数的性质可得 ，
故C正确；
对于D，由题意知，，即，
则，即，
要整，只需证，即证，
设，则只需证，
令，，
故是单调增函数，则，
故成立，故D正确，
故选：B
【点睛】本题考查了导数的应用，涉及到导数几何意义和零点问题以及证明不等式问题，综合性较强，思维能力要求较高，解答的关键是D选项的判断，要注意对等式的合理变式，从而构造函数，利用导数判断单调性.
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据导数的运算法则对选项逐一判断即可．
【详解】A选项，，故A选项正确；
B选项，，故B选项错误；
C选项，，故C选项正确；
D选项，，故D选项错误；
故选：AC
10. 下列给出的式子中正确的有（）.
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据组合数公式进行求解判断即可.
【详解】∵，∴A错误；
∵，∴B正确；
∵，∴C正确，
∵，∴D正确.
故选：BCD
11. 关于多项式的展开式，下列结论正确的是（）
A. 各项系数之和为1B. 二项式系数之和为
C. 存在常数项D. 的系数为12
【答案】ABC
【解析】
【分析】对A，令可得；对B，由可判断；对C，求出通项公式，令的指数为0，求解可判断；对D，令的指数为4可求出.
【详解】对于A，令，则可得各项系数之和为，故A正确；
对于B，二项式系数之和为，故B正确；
对于C，的展开式的通项公式为，令，解得，即常数项为第四项，故C正确；
对于D，，令，解得，则系数为，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】本题考查二项展开式的应用，解题的关键是正确求出二项展开式的通项公式.
12. 下列结论正确的是（）
A. 当，B. 当时，
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用导数法可判断ABC选项的正误，利用特殊值法可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，设，其中，则，
所以，函数在上为增函数，当时，，故，A对；
对于B选项，设，其中，.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，故，即，B错；
对于C选项，构造函数，其中，.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故，即，即，C对；
对于D选项，取，则，D错
故选：AC.
三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数在处取得极值，则实数________．
【答案】
【解析】
【分析】列出关于则实数的等式，即可求得实数的值.
【详解】，
因为函数在处取得极值，所以，
解之得，经检验符合题意.
故答案为：
14. 从数字1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1至中任取一个整数，记为，则取到为数字2的概率是___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出事件的条件概率，然后根据全概公式求出“取到的为数字2”的概率.
【详解】解：设事件表示“取到的为数字1”，事件表示“取到的为数字2”，事件表示“取到的为数字3”，事件表示“取到的为数字4”，事件表示“取到的为数字2”.
则.
由条件概率易得，，，
由全概率公式，可得
.
故答案为：
15. 若展开式的常数项等于，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出展开式中的系数与常数项，进而可得的常数项，从而可求得.
【详解】展开式的通项公式为：，故当时，项的系数为，即.
又展开式中无常数项，故展开式的常数项为，解得.
故答案为：
16. 用5种不同的颜色给如图标有A，B，C，D的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻（有公共边）两部分不同颜色，则不同的涂色方法共有___________.
【答案】
【解析】
【分析】分B，D两部分颜色相同与不同两种情况，再结合乘法计数原理求解即可.
【详解】当B，D两部分颜色相同时，先涂B，D两部分，有5种选择，再分别涂A，C均有4种选择，故共种情况；
当B，D两部分颜色不相同时，先涂B，D两部分，有种选择，再分别涂A，C均有3种选择，故共种情况；
故总共有种情况.
故答案为：
四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知点P和点Q是曲线上的两点，且点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4．求：
（1）割线的斜率；
（2）点P处的切线方程．
【答案】（1）3；（2）y+4＝0
【解析】
【分析】（1）根据函数的解析式求出P、Q的坐标，计算PQ的斜率；
（2）利用导数求出P点的斜率，写出过点P的切线方程．
【详解】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝1时，y＝﹣4，当x＝4，y＝5；
∴P（1，﹣4），Q（4，5）；
∴割线PQ的斜率为kPQ3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴y′＝2x﹣2；
当x＝1时，k＝2×1﹣2＝0；
∴点P处的切线方程为y﹣（﹣4）＝0，
即y+4＝0．
18. 已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式及前项的和.
【答案】（1）证明见解析；
（2），.
【解析】
【分析】（1）证明出，即可证得结论成立；
（2）由（1）的结论并确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，再利用分组求和法可求得.
【小问1详解】
证明：因为数列满足，，则，
且，则，，，以此类推可知，对任意的，，
所以，，故数列为等比数列.
【小问2详解】
解：由（1）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，则，
所以，，
因此，
.
19. 如图所示，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，SC＝3，AC⊥BC，CE＝2EB＝2，，CD＝ED．
（1）求证：DE⊥平面SCD；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点A到平面SCD的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明，，即可得证；
（2）分别求出两个平面的法向量，再利用向量法求解即可；
（3）利用向量法求解即可.
【小问1详解】
解：如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，
因为CD＝ED，所以点在线段的中垂线上，
则，
则，
所以，，
即，，
又平面，
所以平面；
【小问2详解】
由（1）可得即为平面的一个法向量，
，
设平面的法向量，
则有，令，则，所以，
则二面角为锐二面角，
则，
所以二面角的余弦值为；
【小问3详解】
由（2）得，为平面的一个法向量，
则点A到平面SCD的距离为．
20. 在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知，，分别为三个内角，，的对边，且______．
（1）求；
（2）若，则的面积为，求，．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择见解析；（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）若选①利用正弦定理将边化角，即可得到，从而求出；
若选②，利用余弦定理计算可得；
若选③，利用辅助角公式及特殊角的三角函数值计算可得；
（2）由（1）可得，利用三角形面积公式得到，再利用余弦定理得到，再解方程即可；
【详解】解：若选①
（1）∵．
由正弦定理得，，
∵，∴，即，
∵，∴．
（2）∵，，
∴，由余弦定理：，
即，即，
由，，所以，即
所以．
若选②
（1）∵，
由余弦定理，，
∵，∴．
（2）∵，，
∴，由余弦定理：，
即，即，
由，，所以，即，所以．
若选③
（1）∵，∴．
∵，，
∴，∴．
（2）∵，，
∴，由余弦定理：，
即，即，
由，，所以，即，所以．
21. 已知，
（1）求函数的单调区间；
（2）对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)减区间为，增区间为；(2).
【解析】
【详解】试题分析：
(1)对函数求导，结合原函数与导函数的性质可得函数的增区间为，减区间为.
(2)由恒成立的条件可构造函数，结合函数的性质可得实数的取值范围是.
试题解析：
（1）
增区间为，减区间为
（2）
则，故
令，则
由得，由得，
故时 取极（最）小值
所以
故只需即可
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
22. 在一张纸上有一圆，定点，折叠纸片上的某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点.
（1）证明：为定值，并求出点的轨迹的轨迹方程；
（2）若曲线上一点，点分别为在第一象限上的点与在第四象限上的点，若，求面积的取值范围.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对称关系得到，利用双曲线定义得到点的轨迹为以为焦点，实轴长为6的双曲线，求出轨迹方程；（2）设出，利用得到，代入双曲线方程中得到从而得到，表达出，利用对勾函数求出面积关于的单调性，求出最大值和最小值，得到面积的取值范围.
【小问1详解】
证明：如图，由点与关于对称，
则，
且
由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为6的双曲线，
设双曲线方程为：
所以双曲线方程为
【小问2详解】
由题意知，分别为双曲线的渐近线
设，
由，设.
，由于点在双曲线上
又，同理，设的倾斜角为，
则.
由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；
当时，；
【点睛】圆锥曲线求解面积的取值范围，要用一个变量表达出面积，然后利用基本不等式或求导，二次函数，对勾函数等性质求解面积的取值范围