2023-2024学年广东省清远市四校联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省清远市四校联盟高一（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=3−4i，则( )
A. z的虚部为−4iB. |z|=3+4i
C. z−=3+4iD. z在复平面内对应的点在第三象限
2.下列命题正确的是( )
A. 若a，b，c均为非零向量，则a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c
B. 若a，b为相反向量，则a+b=0
C. a,b为相等向量⇔a//b
D. 若a,b均为单位向量，则|a+b|≤|a|+|b|
3.边长为1的正方形O′A′B′C′，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的面积是( )
A. 2
B. 2
C. 2 2
D. 24
4.若向量a，b满足|a|=3，|a−b|=5，a⋅b=1，则|b|=( )
A. 2B. 3 2C. 2 2D. 3
5.在△ABC中，已知B=120°，AC= 19，AB=2，则BC=( )
A. 1B. 2C. 5D. 3
6.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
A. 20+12 3B. 28 2C. 563D. 28 23
7.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则AD⋅BC=( )
A. 23B. −74C. 52D. −83
8.如图，为测量出山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN为m．( )
A. 100B. 150C. 200D. 250
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(−2,1)，b=(−1,t)，则下列说法正确的是( )
A. 若a⊥b，则t的值为−2
B. 若a/​/b，则t的值为12
C. 若t=0，则b在a上的投影向量为−2
D. 若(a+b)⊥(a−b)，则|a+b|=|a−b|
10.已知函数f(x)=sin(x−π3)，g(x)=cs(2x−π3)，以下四种变换方式能得到函数g(x)的图象的是( )
A. 将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得图象向左平移7π12个单位长度
B. 将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得图象向左平移π4个单位长度
C. 将函数f(x)的图象向左平移π2个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12
D. 将函数f(x)的图象向左平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A>0,ω>0,|φ|<π2)部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. A=ω=2
B. 函数y=f(x)的图象关于直线x=−5π12对称
C. 函数y=f(x)在[−π4,0]上单调递增
D. 将函数y= 3sin2x−cs2x的图象向左平移π2个单位得到函数y=f(x)的图象
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A(1,2)，B(2,3)，C(−1,−1)，则AB⋅AC= ______．
13.如图为2017年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b，(A>0,φ>0,π2<φ<π)的半个周期的图象，则该天8h的温度为______．
14.球面上三点A、B、C所确定的截面到球心O的距离等于球半径的1213，且AB=6，BC=8，AC=10，则该球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)在复数范围内解关于x的方程：x2+3x+4=0．
(2)设i是虚数单位，求复数1+ai2−i为纯虚数的充要条件；
(3)在平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数2+i，4+3i，3+5i，求点D对应的复数．
16.(本小题15分)
如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M．
(1)求∠EMF的余弦值；
(2)设AM=λAF，求λ的值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a−c)csB=bcsC．
(1)求B的大小；
(2)若点D满足BC=2BD，且AD= 3，当a=4时，求b的值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=sinωx(ω>0)．
(1)当ω=23时，求函数f(x)的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离；
(2)设ω=2，在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)=23sinA，a=2，求△ABC面积的最大值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=1−2cs2(2x+π62)+ 3sin(2x+π6)．
(1)求函数f(x)在[−π2,π2]上的取值范围；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，记方程g(x)=23在x∈[0,43π]上的根从小到大依次为x1，x2，x3…xn−1，xn，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+⋯+2xn−1+xn的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵复数z=3−4i，
∴z的虚部是−4，故A错误；
∴|z|= 32+42=5，故B错误；
∴z−=3+4i；故C正确；
∴z在复平面上对应点是(3,−4)，在第四象限，故D错误．
故选：C．
根据复数的有关定义和复数的意义分别判断即可．
本题考查了复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：对于A，由于向量的数量积是一个实数，
所以a⋅(b⋅c)=λa表示与a共线的向量，其中λ=b⋅c；(a⋅b)⋅c=μc表示与c共线的向量，其中μ=a⋅b．
因此，等式a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c不一定成立，故A项不正确；
对于B，若a、b互为相反向量，则a+b=0，而不是a+b=0，故B项不正确；
对于C，若a、b是相等向量，则a、b方向相同且大小相等，
而a/​/b表示向量a、b的方向相同或相反，因此a=b与a/​/b不等价，故C项不正确；
对于D，若a,b均为单位向量，则|a+b|2=|a|2+|b|2+2a⋅b，
因为|a|=|b|=1，所以a⋅b=|a|⋅|b|cs=cs≤1，
由此可得|a+b|2=2+2a⋅b≤4，所以|a+b|≤2，结合|a|+|b|=2，可知|a+b|≤|a|+|b|，故D项正确．
故选：D．
根据平面向量数量积的定义与运算性质与向量相等的概念，判断出A项的正误；根据相反向量的定义，判断出B项的正误；根据两个向量平行的充要条件，判断出C项的正误；根据向量的模的公式与单位向量的定义，判断出D项的正误．
本题主要考查平面向量的基本概念、两个向量平行的条件、向量的数量积及其性质等知识，属于中档题．
3.【答案】C
【解析】解：如图所示，
由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变与横轴平行的性质不变，
正方形的对角线在y′轴上，
可求得其长度为 2，故在平面图中其在y轴上，
且其长度变为原来的2倍，长度为2 2，其原来的图形是平行四边形，
所以它的面积是1×2 2=2 2cm2．
故选：C．
根据斜二测画法的规则，还原出原来的图形，求出它的面积即可．
本题考查了斜二测画法的规则与应用问题，解题时应还原出原来的图形，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：|a−b|2=a2+b2−2a⋅b=9+b2−2=25，得b2=18，即|b|=3 2．
故选：B．
根据向量数量积公式，化简求值．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了余弦定理，属于基础题．
设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，利用余弦定理得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而得到BC的长度．
【解答】
解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
结合余弦定理，可得19=a2+4−2×a×2×cs120°，
即a2+2a−15=0，解得a=3，或a=−5(舍去)，
所以BC=3．
故选：D．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查四棱台的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于中档题．
过A作AE⊥A1B1，得A1E=4−22=1，AE= AA12−A1E2= 3.连接AC，A1C1，过A作AG⊥A1C1，求出A1G= 2，从而AG= AA12−A1G2= 2，由此能求出正四棱台的体积．
【解答】
解：如图，
ABCD−A1B1C1D1为正四棱台，AB=2，A1B1=4，AA1=2．
在等腰梯形A1B1BA中，过A作AE⊥A1B1，可得A1E=4−22=1，
AE= AA12−A1E2= 4−1= 3．
连接AC，A1C1，
AC= 4+4=2 2，A1C1= 16+16=4 2，
过A作AG⊥A1C1，A1G=4 2−2 22= 2，
AG= AA12−A1G2= 4−2= 2，
∴正四棱台的体积为：
V=S上+S下+ S上⋅S下3×h
=22+42+ 22×423× 2
=28 23．
故选D．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考察了向量的数量积的定义的应用，解题中要注意向量加法、减法的三角形法则及向量共线定理的应用，属于基础题．
由DC=2BD可得BD=13BC，利用向量的加法的三角形法则可求AD=AB+BD=23AB+13AC，BC=AC−AB，利用向量的数量积的定义代入可求．
【解答】
解：由DC=2BD可得，BD=13BC，
∴AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC，
∵BC=AC−AB，
∴AD⋅BC=(23AB+13AC)⋅(AC−AB)=−23AB2+13AC2+13AB⋅AC
=−23×4+13×1+13×1×2×(−12)=−83．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】解：由题意：C点的仰角∠CAB=45°，山高BC=100m，
勾股定理，可得AC=100 2．
在△MCA中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，那么∠AMC=45°
AC=100 2．
正弦定理：AM×sin∠AMC=AC×sin∠MCA
即AM×sin45°=AC×sin60°
可得：AM=100 3．
在Rt△MAN中，∠MAN=60°，
可得：MN=100 3×sin60°=150．
故选：B．
根据C点的仰角∠CAB=45°，山高BC=100m，利用勾股定理求解出AC，正弦定理求解出AM，在△MAN中即可求解山高MN．
本题考查正弦定理在三角形的实际应用，考查计算能力．属于基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，向量a=(−2,1)，b=(−1,t)，若a⊥b，则a⋅b=2+t=0，解可得t=−2，A正确；
对于B，向量a=(−2,1)，b=(−1,t)，若a/​/b，则(−2)×t=1×(−1)，解可得t=12，B正确；
对于C，若t=0，则b=(−1,0)，则b在a上的投影向量为a⋅b|a|2a=2 5a，C错误；
对于D，若(a+b)⊥(a−b)，则(a+b)⋅(a−b)=a2−b2=0，则有|a|=|b|，则|a+b|=|a−b|不一定成立，D错误．
故选：AB．
根据题意，由向量垂直的判断方法可得A正确，由向量平行的坐标表示方法可得B正确，由投影向量的计算公式分析C，由向量数量积的性质分析D，综合可得答案．
本题考查向量的坐标计算，涉及向量平行、垂直的判断，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：g(x)=cs(2x−π3)=cs(2x+π6−π2)=sin(2x+π6)，
由三角函数图象间的变换规律知：
将函数f(x)=sin(x−π3)的图象向左平移π2个单位长度，得到函数h(x)=sin(x+π6)的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到函数g(x)=sin(2x+π6)=cs(2x−π3)的图象；
将函数f(x)=sin(x−π3)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到函数m(x)=sin(2x−π3)的图象，再将所得图象向左平移π4个单位长度，得到函数g(x)=sin[2(x+π4)−π3]=sin(2x+π6)=cs(2x−π3)的图象．
故选：BC．
先利用诱导公式将函数g(x)=cs(2x−π3)变为正弦型三角函数；再利用三角函数图象间的变换规律即可得出答案．
本题主要考查了三角函数图象的变换，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：由图可知A=2，函数f(x)的周期T=4×(π3−π12)=π，
由T=2πω，解得ω=2，
因为f(π12)=2，可得2sin(π12×2+φ)=2，
解得φ=π3+2kπ(k∈Z)，
由|φ|<π2，
则φ=π3，
所以f(x)=2sin(2x+π3)，故A正确；
对于B，由f(−5π12)=2sin(−5π6+π3)=2sin(−π2)=−2，
根据正弦函数的对称性，可知直线x=−5π12是函数f(x)的对称轴，故B正确；
对于C，由x∈[−π4,0]，
则2x+π3∈[−π6,π3]，
根据正弦函数的单调性，函数f(x)在[−π4,0]上单调递增，故C正确；
对于D，由y= 3sin2x−cs2x=2( 32sin2x−12cs2x)=2sin(2x−π6)，
该函数图象向左平移π2个单位可得新函数的解析式为y=2sin[2(x+π2)−π6]=2sin(2x+5π6)≠f(x)，故D错误．
故选：ABC．
由题意可求函数周期，利用周期公式可求ω=2，将(π12,2)代入函数f(x)，结合|φ|<π2，可求φ=π3，即可得解函数解析式即可判断A；根据正弦函数的对称性，即可判断B；根据正弦函数的单调性，即可判断C；利用三角函数图象变换即可判断D．
本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及正弦函数的性质，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．
12.【答案】−5
【解析】解：∵A(1,2)，B(2,3)，C(−1,−1)，
∴AB=(1,1)，AC=(−2,−3)，
∴AB⋅AC=1×(−2)+1×(−3)=−5．
故答案为：−5．
先求出AB，AC的坐标，再利用向量的数量积运算求解．
本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
13.【答案】20−5 2
【解析】解：根据函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期图象知，
A+b=30−A+b=10，解得A=10，b=20；
又T2=14−6=8，
所以T=16，所以ω=2πT=π8；
又x=6时，y=10，即10sin(π8×6+φ)+20=10，
解得φ=2kπ−5π4，k∈Z；
又π2<φ<π，
所以φ=3π4；
所以y=10sin(π8x+3π4)+20，
x=8时，y=10sin(π8×8+3π4)+20=−5 2+20；
即该天8h的温度为20−5 2．
故答案为：20−5 2．
根据函数y的图象求出函数解析式，再计算x=8时y的值．
本题考查了根据函数的部分图象求解析式的应用问题，是基础题．
14.【答案】676π
【解析】解：因为AB=6，BC=8，AC=10，则AB2+BC2=AC2，
所以，AB⊥BC，
所以，△ABC的外接圆半径为r=12AC=5，
设球O的半径为R，由题意可知，R2=r2+(1213R)2，
即513R=r=5，解得R=13，
因此，球O的表面积为S=4πR2=4π×132=676π．
故答案为：676π．
求出△ABC的外接圆半径，根据勾股定理可得出关于R的等式，即可解得R的值，再利用球体的表面积公式可求得球O的表面积．
本题考查球的表面积问题，属于中档题．
15.【答案】解：(1)∵x2+3x+4=0，
∴x=−3± 7i2，
∴x2+3x+4=0的解为x1=−32− 72i，x2=−32+ 72i.
(2)1+ai2−i=(1+ai)(2+i)(2−i)(2+i)=2+2ai+i+ai24−i2=2−a5+2a+15i，
∵复数1+ai2−i为纯虚数，
∴2−a5=02a+15≠0，解得a=2，
∴复数1+ai2−i为纯虚数的充要条件是a=2．
(3)设点D对应的复数为a+bi，(a,b∈R)，
∵在平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数2+i，4+3i，3+5i，
∴A(2,1)，B(4,3)，C(3,5)，D(a,b)，
∴BC=(−1,2)，AD=(a−2,b−1)，
由平行四边形的性质得BC=AD，
∴(−1,2)=(a−2,b−1)，
∴a−2=−1b−1=2，解得a=1，b=3，
∴点D对应的复数为1+3i．
【解析】(1)利用求根公式和复数的性质求解．
(2)利用复数的运算法则和纯虚数的定义求解．
(3)设点D对应的复数为a+bi，(a,b∈R)，则A(2,1)，B(4,3)，C(3,5)，D(a,b)，由平行四边形的性质得BC=AD，由此能求出点D对应的复数．
本题考查复数运算法则、纯虚数的定义、求根公式、复数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：(1)以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则D(0,6)，E(3,0)，A(0,0)，F(6,2)，
所以DE=(3,−6)，AF=(6,2)，
因为∠EMF是DE与AF的夹角，
所以cs∠EMF=cs〈DE,AF〉=18−12 9+36⋅ 36+4= 210，
所以∠EMF的余弦值为 210．
(2)因为AM=λAF，所以AM=(6λ,2λ)，则M(6λ,2λ)，
又D，M，E三点共线，所以设DM=tDE，0即(6λ,2λ−6)=t(3,−6)，则6λ=3t2λ−6=−6t，解得λ=37．
【解析】(1)建立平面坐标系，利用夹角的坐标表示计算即可；
(2)利用向量共线的充要条件待定系数计算即可．
本题主要考查向量夹角的余弦公式，平面向量共线定理，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为(2a−c)csB=bcsC，即2acsB=bcsC+ccsB，
所以由正弦定理可得2sinAcsB=sinBcsC+sinCcsB=sin(B+C)=sinA，
又A为三角形内角，sinA>0，
所以可得csB=12，
因为B∈(0,π)，
所以B=π3；
(2)因为点D满足BC=2BD，且AD= 3，a=4，B=π3，
所以BD=CD=2，
在△ABD中，由余弦定理可得AD2=BA2+BD2−2BA⋅BD⋅csB，可得3=BA2+4−2×BA×2×12，整理可得BA2−2BA+1=0，
解得BA=c=1，
所以在△ABC中，由余弦定理可得b= a2+c2−2accsB= 42+12−2×4×1×12= 13．
【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式，三角形内角和定理化简已知等式可得csB=12，结合B∈(0,π)，即可求解B的值；
(2)由题意可求BD=CD=2，在△ABD中，由余弦定理可得BA2−2BA+1=0，解得BA=c=1，在△ABC中，由余弦定理可得b的值．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形内角和定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.【答案】解：(1)ω=23时，所以函数y=f(x)的最小正周期为T=2π23=3π，
图象相邻两条对称轴的距离：T2=3π2．
(2)ω=2，在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)=23sinA，a=2，
所以sin(2A)=23sinA=2sinAcsA，
解得csA=13；
由a=2，则a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−23bc≥2bc−23bc=43bc，
即43bc≤a2=4，当且仅当b=c时取“=”；
所以bc≤3，
所以△ABC面积的最大值为S△max=12bcsinA=12×3×2 23= 2．
【解析】(1)化函数f(x)为正弦型函数，再求它的最小正周期和单调递减区间；
(2)根据A为钝角求出A的取值范围，由此求得A的值，
再利用余弦定理和基本不等式，即可求出△ABC面积的最大值．
本题考查了三角恒等变换和正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)=1−2cs2(2x+π62)+ 3sin(2x+π6)= 3sin(2x+π6)−cs(2x+π6)=2sin2x，
由于x∈[−π2,π2]，
所以2x∈[−π,π]，
故f(x)∈[−2,2]．
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得y=2sin(2x−π3)的图象，再把横坐标缩小为原来的12，
得到函数g(x)=2sin(4x−π3)的图象，
由方程g(x)=43，即2sin(4x−π3)=43，即sin(4x−π3)=23，
因为x∈[π6,4π3]，可得4x−π3∈[π3,5π]设θ=4x−π3，
其中θ∈[π3,5π]，
即sinθ=23，而sinπ3= 32>23结合正弦函数y=sinθ的图象，
，
可得方程sinθ=23在区[π3,5π]有5个解，
即n=5，其中θ1+θ2=3π，θ2+θ3=5πθ3+θ4=7π，θ4+θ5=9π，
即4x1−π3+4x2−π3=3π4x2−π3+4x3−π3=5π4x3−π3+4x4−π3=7π，4x4−π3+4x5−π3=9π．
解得x1+x2=11π12．x2+x3=17π12，x3+x4=23π12，x4+x5=29π12，
所以x1+2x2+2x3+⋯+2x4+x5=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)=20π3．
【解析】(1)利用二倍角公式将f(x)化简确定函数f(x)的解析式，进一步求出函数的值域；
(2)先根据三角函数变换得到g(x)解析式，从而根据方程g(x)=根据三角函数的对称性，找到x1，x2，x3，…，xn的数量关系．
本题考查二倍角公式，三角函数周期，奇偶性，平移变换，对称的性质，方程的零点问题，属于中档题．