[数学]广东省清远市2023-2024学年高二下学期期中联合考试试题(解析版)

这是一份[数学]广东省清远市2023-2024学年高二下学期期中联合考试试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.答案须做在答题卡上；选择题填涂需用2B铅笔，主观题需用黑色字迹钢笔或签字笔作答.考试结束后只需交答题卡.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 甲、乙、丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意甲、乙、丙每位同学的第三门高考选考科目都有种选择，
按照分步乘法计数原理可知不同的选法种数为.
故选：A
2. 已知函数，则的单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由求导得，，
因，由可得，即的单调递减区间是.故选：B.
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】当时，，排除C选项；
求导，
令，得或，
当或时，，
当时，，
所以在和上递增，
在上递减，
故选：B
4. 设曲线在处的切线方程为，则a的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】依题意，曲线，求导得：，
则，
因曲线在处的切线方程为，则，即，
解得，
所以a的值为-2.
故选：A
5. 若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为( )
A. 29B. 29－1C. 39D. 39－1
【答案】D
【解析】 (1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，
令x＝0，得a0＝1；
令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39，
∴a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1.
故选：D
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，则，
所以当时，当时，
即上单调递增，在上单调递减，
又，，，
又，所以，
即.
故选：A
7. “赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，经过训练后，龙舟队的名队员在左、右桨位中至少会一个，其中有人会划左桨，人会划右桨．现要选派人划左桨、人划右桨共人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A. 26种B. 31种C. 36种D. 37种
【答案】D
【解析】依题意名队员中有人会划左桨，人会划右桨，
则既会划左桨又会划右桨的有人，记这两人分别为、，
所以只会划左桨有人，只会划右桨有人，
据此分种情况讨论：
①从只会划左桨的人中选人划左桨，从剩下的人中选人划右桨，则有种选法；
②从只会划左桨人中选人划左桨，从、中选人划左桨，
再从剩下的会划右桨的个人中选人划右桨，则有种选法；
③从只会划左桨的人中选人划左桨，、这人划左桨，
另外会划右桨的人划右桨，则有种选法，
综上可得一共有种不同的选法.
故选：D．
8. 若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵递增，∴恒成立，
令，即恒成立，
因为，，
当时，，
而在上为增函数，故存在，使得，
当时，，递减，
当时，，递增，
所以，
即，，即
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BC
【解析】对于A项，因，则，故A项错误；
对于B项，由求导得，，
当时，，解得，故B项正确；
对于C项，由求导得，，故C项正确；
对于D项，由，求导得，，故D项错误.
故选：BC.
10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B. 课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
C. 课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法
D. 课程“礼”排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有96种排法
【答案】ACD
【解析】A：6门中选2门共有种选法，故A正确；
B：利用间接法，课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，没有限制条件时共有种排法，故“乐”“射”排在不相邻的两周有种排法，故B错误；
C：课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，即把这三个当作一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确；
D：先特殊后一般，先把“礼”排在第一周，再排“数”，有种排法，再把剩下4个全排列，有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数存在三个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 若时，，则t的最小值为2
D. 当时，方程有且只有两个实根
【答案】BD
【解析】，令，解得或，
当或时，，故函数在，上单调递减，当时，，故函数在上单调递增，
且函数有极小值，有极大值，当趋近负无穷大时，趋近正无穷大，当趋近正无穷大时，趋近于零，故作函数草图如下，
由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2．
故选：BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 不等式的解集为________.
【答案】
【解析】由题意得，解得且，
又，即，
即，解得，
综上可知，故解集为.
故答案为：
13. 一条铁路线上原有个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了个车站，客运车票增加了种，则________.
【答案】
【解析】由题意可得，
因为、均为正整数且，所以也为正整数，且，
又且与均为质数，所以，解得，所以.
故答案为：.
14. 若是函数的两个极值点，且，则实数的取值范围为_____________．
【答案】
【解析】，是的两个极值点，
是的两根，又当时，方程不成立，
与有两个不同的交点；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
则图象如下图所示，
由图象可知：且；
，；
当时，不妨令，
则，即，，解得：，
当时，，
若，则，即的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 若是函数的极大值点．
（1）求a的值；
（2）求函数在区间上的最值．
解：（1），
由题意知或
时，，
在区间递增；
在区间递减，
是的极大值点，符合题意.
时，，
在区间递增；
在区间递减，
是的极小值点，不符合题意.
则.
（2）由（1）知，且在，单调递增，
在单调递减，又，，，，
则，.
16. 已知一企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，若该企业一年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且
（1）写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润是多少?
（注：年利润年销售收入-年总成本）
解：（1）由题意当时，，
当时，，
综上可得.
（2）①当时，，
则，
所以当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减.
所以当时，取最大值，且.
②当时，，
当且仅当，即时等号成立.
综上，当年产量为千件时，该企业生产此产品所获年利润最大，最大利润为万元.
17. 二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的倍．求：
（1）展开式中所有二项式系数的和；
（2）展开式中所有的有理项．
解：（1）二项式展开式的通项为（且），
所以第五项的二项式系数，第三项的系数为，
依题意可得，即，所以，
则，
所以展开式中所有二项式系数的和为.
（2）由（1）可得二项式展开式的通项为（且），
令，又且，则或或，
所以有理项有，，.
18. 已知函数．
（1）当时，过点直线与图象相切，求直线的方程；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
解：（1）当时，设切点为，
又，所以，
则切线方程为，
又切线过点，所以，即，
因，所以，故切线方程为，
即.
（2）函数的定义域为，且，
当时恒成立，所以在上单调递增，则至多有一个零点，不符合题意；
当时，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
要使得有两个零点，则，
因为，所以，即，解得，
当时，，，所以，
则在上存在唯一零点，
令，则，
所以当时，所以在上单调递增，
又，
所以当时，即恒成立，
当且时
，
所以在上存在唯一零点，
从而可得在上存在两个零点，
综上可得，的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若存在，，使得恒成立，求实数m的取值范围．
解：（1）定义域
，
若,则,令,得，
当单调递减，
当单调递增，
若,得或，
若,则对恒成立,所以上单调递减，
若,则，
当单调递减，
当单调递增，
当单调递减，
若,则，
当单调递减，
当单调递增，
当单调递减，
综上，
若在上单调递减,在上单调递增，
若在上单调递减，
若在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减，
若在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减，
（2）因为,所以,即在[1,2]上单调递减，
所以在，
所以，
所以，
即,对恒成立，
设，
则,令,得，
当单调递增，
当单调递减，
所以，
所以实数的取值范围为.