广东省清远市三校2023-2024学年高一下学期4月期中联合考试数学试题（原卷版+解析版）

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说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.答案须做在答题卡上；选择题填涂需用2B铅笔，主观题需用黑色字迹钢笔或签字笔作答.考试结束后只需交答题卡.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足，为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据模长公式结合复数的四则运算求解.
【详解】由题意可知：，
由，可得.
故选：B.
2. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可.
【详解】因为，，所以，
又且与垂直，
所以，解得.
故选：A
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断.
【详解】对于A：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，
所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；
对于B：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；
对于C：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，
以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，
故C错误；
对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误；
故选：B.
4. 如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用、表示，即可得出答案.
【详解】解：
.
故选：C.
5. 图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 四边形的周长为D. 四边形的面积为
【答案】D
【解析】
【分析】过作交于点，求出，即可判断B，再还原平面图，求出相应的线段长，即可判断.
【详解】如图过作交于点，
由等腰梯形且，又，，可得是等腰直角三角形，
即，故B错误；
还原平面图如下图，
则，，，故A错误；
过作交于点，则，
由勾股定理得，
故四边形的周长为：，即C错误；
四边形的面积为：，即D正确.
故选：D.
6. 已知平行四边形ABCD中，，点P在线段CD上（不包含端点），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的数量积的定义，由可得，再以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立坐标系，设，进而根据向量坐标的线性运算即数量积的坐标表示可得，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】∵，，，
∴，
即，即，
以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，
∴，，，，
设，
∴，
∴，
设，∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，，
则的取值范围是.
故选：A.
7. 已知函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好为奇函数，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求得的最小正周期为，得到，结合三角函数的图象变换，得到，由为奇函数，求得，进而求得的值.
【详解】因为函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，
可得函数的最小正周期为，所以，所以，
将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
又因为为奇函数，可得，即，
因为，当时，可得；当时，可得，
所以的值为或.
故选：D.
8. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，则AC＝（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】在中，设，根据题意利用正弦定理可得，然后利用余弦定理即可求解.
【详解】在中，，设，则，
由正弦定理可知，，即，则，
在中，，
，又，则，故，
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移是个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数是奇函数B. 函数的一个对称中心是
C. 若，则D. 函数的一个对称中心是
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A、B选项，根据正弦函数的性质即可判定；对于C、D选项，利用三角函数图像变换求解析式，再利用其性质判定选项即可.
【详解】因为，故A正确；
正弦函数的对称中心为，故B错误；
根据三角函数的图象变换可得：，
令，故其对称轴为，若，由对称性可得，显然成立，故C正确；
令，故其对称中心为，
显然无论k取何值，故D错误.
故选：AC
10. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）
A. 对应的点位于第二象限B. 为纯虚数
C. 的模长等于D. 的共轭复数为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意结合复数的相关概念与运算逐项分析判断.
【详解】对于A项：由题意可得：，则其对应的点为，
∵，则，
∴对应的点位于第二象限，故A项正确；
对于B项：由题意可得：为实数，故B项错误；
对于C项：由题意可得：，
则，故C项正确；
对于D项：由题意可得：，
则的共轭复数为，故D项正确；
故选：ACD.
11. 已知的内角、、所对的边分别为、、，则下列四个命题中正确的命题是（ ）
A. 若，则一定是等边三角形
B. 若，则一定是等腰三角形
C. 若，则一定是锐角三角形
D. 若，则一定是锐角三角形
【答案】AD
【解析】
【分析】利用正弦定理以及正切函数的单调性可判断A选项；利用正弦定理结合二倍角公式可得出、的关系，可判断B选项；利用余弦定理可判断C选项；由和角的正切公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，由正弦定理可得，
则，
因为至少有两个锐角，从而可得，
故为锐角三角形，
因为正切函数在上为增函数，故，
所以，为等边三角形，A对；
对于B选项，因为，由正弦定理可得，即，
因为、，所以，，,
又因为、中至少有一个为锐角，则，则、均为锐角，
所以，、，所以，或，即或，
为等腰三角形或直角三角形，B错；
对于C选项，时，由余弦定理可得，
即为锐角，但、是否都是锐角，不能保证，
因此不一定是锐角三角形，C错；
对于D选项，因为，
所以，
由、、，所以、、均为锐角，
所以为锐角三角形，所以D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，满足，则向量，的夹角为___________
【答案】
【解析】
【分析】先设向量，的夹角为，再由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算，求解即可.
【详解】由题意，可设向量，的夹角为，
向量，满足，
，，
由，则，
解得：，
又，，
故答案为：.
13. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答.
【详解】设面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，
侧面水平放置时，水的体积为
当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得，
所以当底面水平放置时，液面高为12.
故答案为：12
14. 已知中，角、、所对的边分别为、、，，的角平分线交于点，且，则的最小值为___．
【答案】
【解析】
【分析】利用等面积法可得出，化简可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为，的角平分线交于点，且，
因为，即，
即，即，所以，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知平面向量．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及垂直求解即可；
（2）由题意可得且与不共线，进而根据平面向量数量积和共线的坐标表示求解即可.
【小问1详解】
由，
所以，
设，
因为，
所以，
因为，所以，
解得，或，
所以的坐标为或.
【小问2详解】
由，
所以，
因为与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
，
解得且，
即实数的取值范围为.
16. 如图是一个奖杯三视图.
（1）求下部四棱台的侧面积；
（2）求奖杯的体积（结果取整数，取3）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据图形，计算侧面梯形高，再求侧面积；
（2）由三视图可知，奖杯分为3部分，分别计算各部分的体积，即可计算奖杯的体积.
【小问1详解】
由三视图可知，奖杯分三部分组成，最下部分是四棱台，
棱台上底面是边长为8cm，12cm的长方形，下底面是边长为16cm，24cm的长方形，高为3cm，
如图，四棱台前后侧面全等，左右侧面全等，前面侧面的高，
右侧面的高
所以四棱台侧面的面积.
【小问2详解】
棱台体积，
中间部分为长，宽，高分别为cm，4cm，20cm的长方体，体积为，
最上面一部分是球，直径为4cm，体积为，
所以奖杯的体积为.
17. 如图，在菱形ABCD中，，E，F分别是边AB，BC上的点，且，，连接ED、AF，交点为G．
（1）设，求t的值；
（2）求的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1），由三点共线得，，结合平面向量基本定理可求得；
（2）取作为平面的一组基底，用基底表示出向量，求出，，，由向量夹角公式即可求得答案.
【小问1详解】
，
又D，G，E三点共线，则，
则，
因为，不共线，由平面向量基本定理，得且，
解得.
【小问2详解】
取，作为平面的一组基底，
则，
则，
.
，
，
．
18. 已知函数．
（1）若，且，求的值；
（2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简解析式，由得到，从而求得，进而求得.
（2）由求得，利用正弦定理化简，通过的取值范围，求得的取值范围.
【小问1详解】
因为，
所以，
又，则，
所以，
又，
故.
【小问2详解】
由，又，
所以，即．
由正弦定理，可得，
因为是锐角三角形，
所以，即．
所以，
所以．
即的取值范围为.
19. 如图，已知与的夹角为，点C是的外接圆优孤上的一个动点（含端点A，B），记与的夹角为．
（1）求外接圆的直径；
（2）试将表示为的函数；
（3）设点M满足，若，其中，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在中，利用正、余弦定理运算求解；
（2）在中，利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；
（3）根据数量积用表示，根据（2）中的关系，利用三角恒等变换结合正弦函数运算求解.
【小问1详解】
在中，由余弦定理，
即，
由正弦定理可得.
【小问2详解】
连接，由题意可知，
在中，由正弦定理，则，
且为锐角，则，
可得，
由正弦定理，可得，
所以表示为的函数为.
【小问3详解】
由题意可得，
则，
，
即，解得，
可得
，其中
构建
，其中，
当，即时，取到最大值为，
所以的最大值为.