高中数学第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式优秀课后复习题

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1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 SKIPIF 1 < 0 若方程组有唯一解，则两条直线相
交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 .
2．两点间的距离公式
平面内两点 SKIPIF 1 < 0 间的距离公式为 SKIPIF 1 < 0 .
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|= SKIPIF 1 < 0 .
3．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点 SKIPIF 1 < 0 ，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d= SKIPIF 1 < 0 .
4．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则它们之间的距离为d= SKIPIF 1 < 0 .
5．中点坐标公式
公式：
设平面上两点 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【题型1 求两直线的交点坐标】
【方法点拨】
(1)求两直线的交点坐标，通常情况下解由两直线方程组成的方程组即可.
(2)若已知交点坐标求直线方程中的变量，直接代入交点坐标即可.
【例1】（2022·全国·高二专题练习）直线与直线的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·贵州·高二学业考试）直线与直线的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知，，，则ABC垂心的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【题型2 经过两直线交点的直线方程】
【方法点拨】
①经过两直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的交点的直线方程为
SKIPIF 1 < 0 (除直线 SKIPIF 1 < 0 )，其中 SKIPIF 1 < 0 是待定系数；结合已知条件求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解.
②联立两直线方程，求出交点坐标，结合已知条件设出所求直线方程，代入点即可得解.
【例2】（2022·全国·高二专题练习）过原点和直线与的交点的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】（2022·北京高二期中）过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A．B．
C． D．
【变式2-2】（2022·江苏·高二课时练习）过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为( )
A．B．
C．D．
【变式2-3】（2022·江苏省高二阶段练习）已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【题型3 两点间的距离公式的应用】
【方法点拨】
平面上两点间距离公式的应用主要有以下两种：
(1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式
建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解.
(2)利用两点间距离公式可以判断三角形的形状.从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三
角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
【例3】（2022·江苏·高二课时练习）已知点，，那么A，B两点之间的距离等于（ ）
A．8B．6C．3D．0
【变式3-1】（2021·广西·高二期中）已知，，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式3-2】（2021·福建三明·高二期中）已知直线：与直线：的交点为，则点与点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（ ）
A．10B．13C．16D．20
【题型4 点到直线的距离公式的应用】
【方法点拨】
(1)求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线
的距离公式求解即可.
(2)若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.
(3)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离，某些距离的最值问题可以转化为点到直
线的距离问题来求解.
(4)因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题.
【例4】（2022·河南·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点､原点到直线的距离不都为1的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2022·江苏·高二阶段练习）点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-2】（2022·全国·高二课时练习）直线l经过点，且与点和点的距离之比为1：2，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．或D．
【变式4-3】（2022·河南·高二阶段练习）已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型5 两条平行直线间的距离公式的应用】
【方法点拨】
第一步：将两条直线的方程转化为一般式方程；
第二步：转化两条直线的方程中的一个方程，使得它们x，y的系数对应相同；
第三步：使用公式直接求解两条平行直线间的距离.
【例5】（2022·河北·高二阶段练习）已知，若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A．B．C．D．或
【变式5-1】（2022·河南·高二阶段练习）已知直线与互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4B．C．D．
【变式5-2】（2022·辽宁·高二开学考试）与两平行线：，：等距离的直线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．
【变式5-3】（2022·江苏·高二课时练习）若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．或
【题型6 与距离有关的最值问题】
【方法点拨】
点到直线的距离是点与直线上的点的距离的最小值，两条平行直线间的距离是在两条平行直线上各任意取
一点所得两点间距离的最小值，它们的应用非常广泛，在某些证明问题或最值问题的解答中尤其常见.
最值问题的常用求法有两种：
(1)利用解析几何知识，先设一个函数，然后用函数求最值的方法进行求解.
(2)几何法：根据几何图形直观判断哪种情况下取得最值.
常用结论有：两点之间线段最短；直角三角形的斜边大于直角边；三角形的两边之和(差)大(小)于第三边.
【例6】（2022·全国·高三专题练习）原点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）
A．1，B．，C．，D．1，
【变式6-2】（2022·江苏·高二阶段练习）直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为( )
A．1B．3C．4D．2