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人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程综合训练题
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程综合训练题，共53页。试卷主要包含了圆的切线问题，圆的弦长问题，圆与圆的位置关系，与圆有关的轨迹问题，与圆有关的最值问题，直线与圆的实际应用，圆的综合问题等内容，欢迎下载使用。
类型一 圆的切线问题（5道）
1．(2023·广东汕尾·高二期末）已知圆C过两点，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点作圆C的切线，求切线方程．
2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知点，圆C：，l：.
(1)若直线过点M，且被圆C截得的弦长为，求该直线的方程；
(2)设P为已知直线l上的动点，过点P向圆C作一条切线，切点为Q，求的最小值.
3．(2023·贵州遵义·高二期末（文））在平面直角坐标系中，光线过点，经轴反射后与圆：有交点
(1)当反射后光线经过圆心，求光线的方程；
(2)当反射后光线与圆相切，求光线的方程．
4．(2023·上海徐汇·高二期末）已知是圆外一点．
(1)过M作圆O的切线l，求切线l的方程；
(2)过M任意作一条割线，交圆O于AB两点，求弦AB的中点C的轨迹方程．
5．(2023·广东·红岭中学高二期末）已知圆的方程为：.
(1)求的值，使圆的周长最小；
(2)过作直线，使与满足（1）中条件的圆相切，求的方程，并求切线段的长.
答案：(1)
(2)直线方程为或，切线段长度为4
类型二 圆的弦长问题（7道）
6．(2023·重庆长寿·高二期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．
(1)求BC边上的中线AD的所在直线方程；
(2)求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．
7．(2023·广东深圳·高二期末）已知圆C：的半径为1．
(1)求实数a的值；
(2)判断直线l：与圆C是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长．
8．(2023·贵州·六盘水市第五中学高二期末）已知圆．
(1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程；
(2)设直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值．
9．(2023·内蒙古赤峰·高二期末（理））圆内有一点，AB为圆的过点P且倾斜角为的弦．
(1)当时，求的长；
(2)当弦AB最短时，求直线AB的方程．
10．(2023·湖北·高二期末）已知圆C：，直线l恒过点
(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.
11．(2023·重庆·高二期末）已知点，直线，圆.
(1)若连接点与圆心的直线与直线垂直，求实数的值；
(2)若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求实数的值．
12．(2023·重庆市青木关中学校高二期末）已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，.
(1)求圆C的标准方程；
(2)过斜率为 的直线与圆C相交于M，N，两点，求弦MN的长.
类型三 圆与圆的位置关系（7道）
13．(2023·江苏镇江·高二期末）圆经过两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)求圆与圆的公共弦的长.
14．(2023·吉林·梅河口市第五中学高二期末）已知O：与圆C：相交.
(1)求正数a的取值范围；
(2)若圆C与圆O的公共弦所在直线的方程是，求圆C的半径.
15．(2023·四川绵阳·高二期末）已知圆C：．
(1)若，直线l：与C相交于A，B两点，求弦AB的长；
(2)已知点，，若C上存在点P，使得，求r的取值范围．
16．(2023·上海市复旦实验中学高二期末）已知圆C：，其中．
(1)已知圆C与圆：外切，求m的值；
(2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值．
17．(2023·江苏南通·高二期末）已知圆，点.
(1)若，半径为的圆过点，且与圆相外切，求圆的方程；
(2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求.
18．(2023·广西·宾阳中学高二期末（理））已知圆C的圆心为，且圆C经过点．
(1)求圆C的一般方程；
(2)若圆与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．
19．(2023·浙江嘉兴·高二期末）已知圆，圆.
(1)若圆与圆外切，求实数的值；
(2)若圆与圆相交于两点，弦的长为，求实数的值.
类型四 与圆有关的轨迹问题（6道）
20．(2023·湖北·沙市中学高二期末）已知点到两个定点的距离比为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)若过点的直线被点的轨迹截得的弦长为，求直线的方程．
21．(2023·山西晋中·高二期末）在平面直角坐标系中，已知.
(1)求直线的方程；
(2)平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为24，求动点的轨迹方程.
22．(2023·江西·南昌大学附属中学高二期末（理））已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)直线过点且与点的轨迹交于A，两点，若，求直线的方程.
23．(2023·福建龙岩·高二期末）已知平面直角坐标系上一动点满足：到点的距离是到点的距离的2倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若点与点关于直线对称，求的最大值.
24．(2023·湖南永州·高二期末）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点.
(1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；
(2)P为矩形场地AD边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP的距离为，且直线FP与点M的轨迹没有公共点，求P点横坐标的取值范围.
25．(2023·江苏·高二期末）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，AB的中点P的轨迹为曲线T，圆心为的圆C经过点B．
(1)求曲线T的方程，并判断曲线T与圆C的位置关系；
(2)过x轴上一点G任作一直线（不与轴重合）与曲线T相交于M、S两点，连接BM，BS，恒有，求G点坐标．
类型五 与圆有关的最值问题（7道）
26．(2023·天津河北·高二期末）已知点和圆.
(1)求圆的圆心坐标和半径；
(2)设为圆上的点，求的取值范围.
27．(2023·广东揭阳·高二期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B；
(1)求直线AB的方程；
(2)若M为圆上的一点，求面积的最大值．
28．(2023·浙江宁波·高二期末）已知过点的圆的圆心M在直线上，且y轴被该圆截得的弦长为4．
(1)求圆M的标准方程；
(2)设点，若点P为x轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标．
29．(2023·四川资阳·高二期末（理））已知圆C的圆心为，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)直线l：与圆C相交于M，N两点，P（异于点M，N）为圆C上一点，求△PMN面积的最大值．
30．(2023·四川凉山·高二期末（理））已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.
31．(2023·安徽·合肥市第八中学高二期末）已知圆，直线：，
(1)求证：直线与圆C相交；
(2)直线 与圆C交于A，B两点，判断何时最长，何时最短？当最短时，求m的值以及最短长度．
32．(2023·全国·高二期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
(3)设直线与圆相交于两点，点为圆上的一动点，求的面积的最大值．
类型六 直线与圆的实际应用（2道）
33．(2023·湖北·武汉市第十九中学高二期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；
(2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
34．(2023·浙江·安吉县上墅私立高级中学高二期末）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）.规划在公路上选两个点､，并修建两段直线型道路､.规划要求，线段､上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点到直线的距离分别为和（为垂足），测得，，（单位：百米）.
(1)若道路与桥垂直，求道路的长；
(2)在规划要求下，点能否选在处？并说明理由.
类型七 圆的综合问题（6道）
35．(2023·江苏·海门中学高二期末）圆与轴的交点分别为，且与直线，都相切．
(1)求圆的方程；
(2)圆上是否存在点满足？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由.
36．(2023·辽宁·高二期末）如图，在平面直角坐标系上，已知圆的直径，定直线到圆心的距离为，且直线垂直于直线，点是圆上异于、的任意一点，直线、分别交与、两点．
(1)求过点且与圆相切的直线方程；
(2)若，求以为直径的圆方程；
(3)当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．
37．(2023·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线与圆交于两点在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
38．(2023·新疆·高二期末）已知圆C的圆心C在直线上，且与直线相切于点.
(1)求圆C的方程；
(2)过点的直线与圆C交于两点，线段的中点为M，直线与直线的交点为N.判断是否为定值.若是，求出这个定值，若不是，说明理由.
39．(2023·青海海东·高二期末（理））已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过，两点.
(1)求圆C的标准方程.
(2)设直线与圆C交于A，B（异于坐标原点O）两点，若以AB为直径的圆过原点，试问直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.
40．(2023·四川内江·高二期末（文））已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心在轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于．
(1)求圆的标准方程；
(2)设过点的直线与圆交于不同的两点、，以、为邻边作平行四边形．是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程，如果不存在，请说明理由．
拓展五：圆的方程大题专项训练（40道）
类型一 圆的切线问题（5道）
1．(2023·广东汕尾·高二期末）已知圆C过两点，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点作圆C的切线，求切线方程．
答案：(1)．（或标准形式）
(2)或
【解题思路】（1）根据题意，求出的中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案；
（2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案．
【解题过程】(1)
解：根据题意，因为圆过两点，，
设的中点为，则，
因为，所以的中垂线方程为，即
又因为圆心在直线上，联立，解得，所以圆心，半径，故圆的方程为，
(2)
解：当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切
当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为即（*）
由圆心C到切线的距离，可得
将代入（*），得切线方程为
综上，所求切线方程为或
2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知点，圆C：，l：.
(1)若直线过点M，且被圆C截得的弦长为，求该直线的方程；
(2)设P为已知直线l上的动点，过点P向圆C作一条切线，切点为Q，求的最小值.
答案：(1)或
(2)
【解题思路】（1）求出圆的圆心到直线的距离，再利用垂径定理计算列方程计算；
（2）由题意可知当最小时，连线与已知直线垂直，求出，再利用计算即可.
【解题过程】(1)
由题意可知圆的圆心到直线的距离为
①当直线斜率不存在时，圆的圆心到直线距离为1，满足题意；
②当直线斜率存在时，设过的直线方程为：，即
由点到直线距离公式列方程得： 解得
综上，过的直线方程为或.
(2)
由题意可知当最小时，连线与已知直线垂直，
由勾股定理知：，
所以的最小值为.
3．(2023·贵州遵义·高二期末（文））在平面直角坐标系中，光线过点，经轴反射后与圆：有交点
(1)当反射后光线经过圆心，求光线的方程；
(2)当反射后光线与圆相切，求光线的方程．
答案：(1)
(2)或
【解题思路】（1）求出点关于轴对称的点为，由光线的折射性质，反射光线经过圆心，由，代入可求出光线的斜率，即可求出光线的方程；
（2）设反射光线方程为，由反射后光线与圆相切可求出，即可求出光线的方程.
【解题过程】(1)
点关于轴对称的点为，由光线的折射性质，反射光线经过圆心，所以，
易知，所以，
所以光线的方程为.
(2)
设经过的直线方程为由于折射光线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即,
化简得：,
解得或,
所光线的方程为或.
4．(2023·上海徐汇·高二期末）已知是圆外一点．
(1)过M作圆O的切线l，求切线l的方程；
(2)过M任意作一条割线，交圆O于AB两点，求弦AB的中点C的轨迹方程．
答案：(1)和
(2)（在圆内部）
【解题思路】（1）根据切线斜率存在和不存在分类讨论可得；
（2）由圆性质得，点在以为直径的圆上，求出圆的方程可得结论．
【解题过程】(1)
圆的圆心是原点，半径是2，
过且斜率不存在的直线是与圆相切，
当过的切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由，解得，
所以切线方程为，即，
所以切线方程为和；
(2)
是中点，则，即，所以点在以为直径的圆上，
中点坐标为，，
所以以为直径的圆方程为，即，
所以点轨迹方程为（在圆内部）．
5．(2023·广东·红岭中学高二期末）已知圆的方程为：.
(1)求的值，使圆的周长最小；
(2)过作直线，使与满足（1）中条件的圆相切，求的方程，并求切线段的长.
答案：(1)
(2)直线方程为或，切线段长度为4
【解题思路】（1）先求圆的标准方程，由半径最小则周长最小；
（2）由，则圆的方程为：，直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与轴垂直和直线与轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.进一步，利用圆的几何性质可求解切线的长度.
【解题过程】(1)
，
配方得：，
当时，圆的半径有最小值2，此时圆的周长最小.
(2)
由（1）得，，圆的方程为：.
当直线与轴垂直时，，此时直线与圆相切，符合条件；
当直线与轴不垂直时，设为，
由直线与圆相切得：，解得，
所以切线方程为，即.
综上，直线方程为或.
圆心与点的距离，
则切线长度为.
类型二 圆的弦长问题（7道）
6．(2023·重庆长寿·高二期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．
(1)求BC边上的中线AD的所在直线方程；
(2)求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）先求BC边的中点D的坐标，再得AD的斜率即可求解；
（2）先求△ABC的外接圆O，再求圆心到直线.直线l的距离，再由勾股定理可求解.
【解题过程】(1)
∵，
∴BC边的中点D的坐标为，
∴中线AD的斜率为，
∴中线AD的直线方程为：，即
(2)
设△ABC的外接圆O的方程为，
∵A、B、C三点在圆上，
∴
解得：
∴外接圆O的方程为，即，
其中圆心O为，半径,
又圆心O到直线l的距离为,
∴被截得的弦长的一半为,
∴被截得的弦长为.
7．(2023·广东深圳·高二期末）已知圆C：的半径为1．
(1)求实数a的值；
(2)判断直线l：与圆C是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长．
答案：(1)；
(2)直线l与圆C相交，.
【解题思路】（1）利用配方法进行求解即可；
（2）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式进行求解即可.
【解题过程】(1)
将化为标准方程得：
．
因为圆C的半径为1，所以，得．
(2)
由（1）知圆C的圆心为，半径为1．
设圆心C到直线l的距离为d，则，
所以直线l与圆C相交，设其交点为A，B，则，即．
8．(2023·贵州·六盘水市第五中学高二期末）已知圆．
(1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程；
(2)设直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值．
答案：(1)
(2)，最大值为.
【解题思路】（1）利用垂径定理求出斜率，即可求出直线的方程；（2）利用几何法表示出弦长与d的关系，利用基本不等式求出的面积S的最大值．
【解题过程】(1)
圆化为标准方程为：.
则.
设所求的直线为m.由圆的几何性质可知：，所以，
所以所求的直线为：，即.
(2)
设圆心C到直线l的距离为d，则，且，所以
因为直线与圆C交于A，B两点，所以,解得：且.
而的面积：
因为
所以（其中时等号成立）.
所以S的最大值为.
9．(2023·内蒙古赤峰·高二期末（理））圆内有一点，AB为圆的过点P且倾斜角为的弦．
(1)当时，求的长；
(2)当弦AB最短时，求直线AB的方程．
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）先求出直线的方程，然后求圆心到直线的距离，再利用圆心距，弦和半径的关系可求出的长，
（2）由圆的性质可知当时，弦AB最短，从而可求出直线AB的方程
【解题过程】(1)
直线AB的斜率，圆的半径．
则直线AB的点斜式方程为，即．
则圆心到直线AB的距离．
由垂径定理，得，
所以,
解得．
(2)
当弦AB最短时，P为AB的中点，
由题意，则．
则直线AB的点斜式方程为，即．
10．(2023·湖北·高二期末）已知圆C：，直线l恒过点
(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.
答案：(1)或
(2)或
【解题思路】(1)分类讨论直线l的斜率存在与不存在，利用圆心到直线l的距离等于圆的半径计算即可；
(2)由题意知直线l的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的垂径定理计算即可.
【解题过程】(1)
由题意可知，圆C的圆心为，半径，
①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为，
化为一般式：，若直线l与圆相切，
则，即，解得，
：，即l：，
综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为或；
(2)
由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，
直线l的方程为，即，
设圆心到直线l的距离为d，则，
由垂径定理可得，，即，
整理得，，解得或，
则直线l的方程为或
11．(2023·重庆·高二期末）已知点，直线，圆.
(1)若连接点与圆心的直线与直线垂直，求实数的值；
(2)若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求实数的值．
答案：(1)3
(2)实数的值为和
【解题思路】（1）由直线垂直，斜率乘积为可得值；
（2）求出加以到直线的距离，由勾股定理求弦长，从而可得参数值．
【解题过程】(1)
圆，，，，
， ，
(2)
圆半径为，设圆心到直线的距离为，
则
又由点到直线距离公式得：
化简得：，解得：或
所以实数的值为和.
12．(2023·重庆市青木关中学校高二期末）已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，.
(1)求圆C的标准方程；
(2)过斜率为 的直线与圆C相交于M，N，两点，求弦MN的长.
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）由圆的性质可得圆心在线段的垂直平分线上，由题意求出的垂直平分线方程，从而得出圆心坐标，再求出半径，得到答案.
（2）由题意先求出满足条件的直线方程，求出圆心到直线的距离，由垂经定理可得圆的弦长.
【解题过程】(1)
由题意设圆C的标准方程为
设的中点为，则,由圆的性质可得
则, 又，所以
则直线的方程为，即
则圆C的圆心在直线上，即，故
所以圆心,半径
所以圆C的标准方程为
(2)
过斜率为的直线方程为：
圆心到该直线的距离为
所以
类型三 圆与圆的位置关系（7道）
13．(2023·江苏镇江·高二期末）圆经过两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)求圆与圆的公共弦的长.
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）设圆的方程为，代入所过的点后可求，从而可求圆的方程.
（2）利用两圆的方程可求公共弦的方程，利用垂径定理可求公共弦的弦长.
【解题过程】(1)
设圆的方程为，
，
，
所以圆的方程为；
(2)
由圆的方程和圆的方程可得公共弦的方程为：
，
整理得到：，
到公共弦的距离为，
故公共弦的弦长为：.
14．(2023·吉林·梅河口市第五中学高二期末）已知O：与圆C：相交.
(1)求正数a的取值范围；
(2)若圆C与圆O的公共弦所在直线的方程是，求圆C的半径.
答案：(1)；
(2)1.
【解题思路】（1）根据两圆相交的性质进行求解即可；
（2）根据两圆相交弦的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.
【解题过程】(1)
圆C的标准方程是，
因为圆C与圆O相交，所以，
即，解得，
所以正数a的取值范围是；
(2)
将圆O与圆C的方程相减，得
两圆的公共弦所在直线的方程是，即，
所以，解得.
所以圆C的标准方程是，
所以圆C的半径是1.
15．(2023·四川绵阳·高二期末）已知圆C：．
(1)若，直线l：与C相交于A，B两点，求弦AB的长；
(2)已知点，，若C上存在点P，使得，求r的取值范围．
答案：(1)；
(2).
【解题思路】（1）根据圆的垂径定理进行求解即可；
（2）根据圆的性质，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.
【解题过程】(1)
圆心坐标为：，它到直线的距离为：
，所以弦AB的长：；
(2)
假设C上存在点P，使得，因此点P也在以为直径的圆上，
设该圆的圆心为，则有即，
该圆的半径为：， ，
因为点P即在圆C上，也在圆上，所以两圆相交或相切，因此有：
，故r的取值范围为：.
16．(2023·上海市复旦实验中学高二期末）已知圆C：，其中．
(1)已知圆C与圆：外切，求m的值；
(2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值．
答案：(1)；
(2).
【解题思路】（1）解方程即得解；
（2）解方程即得解.
【解题过程】（1）解：由圆，可得，则圆心，半径，由圆，可得圆心，半径，因为两圆外切，则，解得．
（2）解：圆的圆心坐标为，半径为．圆心到直线的距离，又直线与圆相交所得的弦长为，，解得．的值为．
17．(2023·江苏南通·高二期末）已知圆，点.
(1)若，半径为的圆过点，且与圆相外切，求圆的方程；
(2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求.
答案：(1)或
(2)
【解题思路】（1）设圆心，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出圆的方程；
（2）分析可知直线、的斜率存在，设过点且斜率存在的直线的方程为，即，利用勾股定理可得出，可知直线、的斜率、是关于的二次方程的两根，求出、的坐标，结合韦达定理可求得的值.
【解题过程】(1)
解：设圆心，圆的圆心为，
由题意可得，解得或，
因此，圆的方程为或.
(2)
解：若过点的直线斜率不存在，则该直线的方程为，
圆心到直线的距离为，不合乎题意.
设过点且斜率存在的直线的方程为，即，
由题意可得，整理可得，
设直线、的斜率分别为、，
则、为关于的二次方程的两根，
，
由韦达定理可得，，
在直线的方程中，令，可得，即点
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以，，解得.
18．(2023·广西·宾阳中学高二期末（理））已知圆C的圆心为，且圆C经过点．
(1)求圆C的一般方程；
(2)若圆与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）设圆C的一般方程为．由圆C的圆心和圆C经过点求解；
（2）根据圆与圆C恰有两条公切线，由圆O与圆C相交求解.
【解题过程】(1)
解：设圆C的一般方程为．
∵圆C的圆心，
∴即
又圆C经过点，
∴．
解得．
经检验得圆C的一般方程为；
(2)
由（1）知圆C的圆心为，半径为5．
∵圆与圆C恰有两条公切线，
∴圆O与圆C相交．
∴．
∵，
∴．
∴m的取值范围是．
19．(2023·浙江嘉兴·高二期末）已知圆，圆.
(1)若圆与圆外切，求实数的值；
(2)若圆与圆相交于两点，弦的长为，求实数的值.
答案：(1)
(2)或
【解题思路】（1）求出圆心、半径，结合两点间的距离公式即可求解；（2）法一，联立方程组，利用点到直线的距离公式，弦心距公式即可求解；法二，由题意知，圆与圆关于直线对称，利用弦心距公式即可求解.
【解题过程】(1)
圆，即为，所以，
圆，所以，
因为两圆外切，所以，得，
化简得，所以.
(2)
法一：圆，即为，
将圆与圆的方程联立，得到方程组
两式相减得公共弦的方程为：，
由于，得点到直线的距离：，
所以，即，即，
解得或者.
法二：因为，所以圆与圆关于直线对称，
因为，得点到直线的距离：
，
所以，
解得或者.
类型四 与圆有关的轨迹问题（6道）
20．(2023·湖北·沙市中学高二期末）已知点到两个定点的距离比为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)若过点的直线被点的轨迹截得的弦长为，求直线的方程．
答案：(1)
(2)或
【解题思路】（1）设出，表达出，直接法求出轨迹方程；（2）在第一问的基础上，先考虑直线斜率不存在时是否符合要求，再考虑斜率存在时，设出直线方程，表达出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出直线方程.
【解题过程】(1)
设,则，，故，两边平方得：
(2)
当直线斜率不存在时，直线为，此时弦长为，满足题意；
当直线斜率存在时，设直线，则圆心到直线距离为，由垂径定理得：，解得：，此时直线的方程为，
综上：直线的方程为或.
21．(2023·山西晋中·高二期末）在平面直角坐标系中，已知.
(1)求直线的方程；
(2)平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为24，求动点的轨迹方程.
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）结合点斜式求得直线的方程.
（2）设，根据已知条件列方程，化简求得的轨迹方程.
【解题过程】(1)
，
于是直线的方程为，即
(2)
设动点，于是，
代入坐标得，
化简得，
于是动点的轨迹方程为
22．(2023·江西·南昌大学附属中学高二期末（理））已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)直线过点且与点的轨迹交于A，两点，若，求直线的方程.
答案：(1)；
(2)x＝1或y＝1.
【解题思路】(1)设线段中点为，点，用x，y表示，代入方程即可；
(2)分l斜率存在和不存在进行讨论，根据弦长求出l方程.
【解题过程】(1)
设线段中点为，点，
，，
，，
，
即点C的轨迹方程为.
(2)
直线l的斜率不存在时，l为x＝1，
代入得，则弦长满足题意；
直线l斜率存在时，设直线l斜率为k，其方程为，即，
圆的圆心到l的距离，
则；
综上，l为x＝1或y＝1.
23．(2023·福建龙岩·高二期末）已知平面直角坐标系上一动点满足：到点的距离是到点的距离的2倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若点与点关于直线对称，求的最大值.
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）直接法求动点的轨迹方程，设点，列方程即可.
（2）点关于直线对称的对称点问题，可以先求出点到直线的距离最值的两倍就是的距离，也可以求出点的轨迹方程直接求解的距离.
【解题过程】(1)
设，由题意，得：
，
化简得，
所以点的轨迹方程为
(2)
方法一：设，因为点与点关于点对称，
则点坐标为，
因为点在圆，即上运动，
所以，
所以点的轨迹方程为，
所以两圆的圆心分别为，半径均为2，
则.
方法二：由可得：
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆
轨迹的圆心到直线的距离为：
24．(2023·湖南永州·高二期末）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点.
(1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；
(2)P为矩形场地AD边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP的距离为，且直线FP与点M的轨迹没有公共点，求P点横坐标的取值范围.
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）分别以为轴，建立平面直角坐标系，由题意，利用两点间的距离公式可得答案.
(2)由题意可得点的轨迹所在圆的圆心到直线的距离，点的轨迹与轴的交点到直线的距离，从而可得答案.
【解题过程】(1)
分别以为轴，建立平面直角坐标系，则，
设成功点，可得
即,化简得
因为点需在矩形场地内，所以
故所求轨迹方程为
(2)
设，直线方程为
直线FP与点M的轨迹没有公共点,则圆心到直线的距离大于
依题意，动点需满足两个条件：
点的轨迹所在圆的圆心到直线的距离
即,解得
②点的轨迹与轴的交点到直线的距离
即,解得
综上所述，P点横坐标的取值范围是
25．(2023·江苏·高二期末）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，AB的中点P的轨迹为曲线T，圆心为的圆C经过点B．
(1)求曲线T的方程，并判断曲线T与圆C的位置关系；
(2)过x轴上一点G任作一直线（不与轴重合）与曲线T相交于M、S两点，连接BM，BS，恒有，求G点坐标．
答案：(1)，相离
(2)
【解题思路】（1）设出的坐标，利用是线段的中点，确定坐标之间的关系，根据点在圆上运动，可得中点P的轨迹，
即曲线T的方程，再利用题设写出圆的方程，利用两圆圆心距与半径和比较大小确定曲线T与圆的位置关系；
（2）先由图像分析，过点G的直线与曲线T相交于M、S两点，要满足，可知点G必在圆内，
再讨论斜率存不存在，①当直线的斜率不存在时，显然有；②当直线的斜率存在时，
设出直线的方程，由，联立方程直线和圆的方程，求出点G点坐标即可.
【解题过程】(1)
设点坐标为，，
是线段的中点，且，由中点坐标公式得：，即，
又点A在圆上运动，，化简得，
所以曲线T的方程为：，又圆的圆心为，设圆方程：，
又圆经过点，代入圆方程得，所以圆方程：，
两圆的圆心距，所以曲线T与圆的位置关系是相离.
(2)
如图所示，若点G在圆外，直线与曲线T相交于M、S在点G的同侧，有，所以点G必在圆内.
设点，过点G的直线分类讨论斜率存在和不存在两种情况：
当直线的斜率不存在时，由圆的对称性知必有；
当直线的斜率存在时，设直线的方程，联立方程得：
，化简整理得，
设，则，
由题意知，，则直线MB，SB的倾斜角互补，即
则，
将代入上式可得，又，
所以，化简整理得，
即，解得，所以G点坐标为.
类型五 与圆有关的最值问题（7道）
26．(2023·天津河北·高二期末）已知点和圆.
(1)求圆的圆心坐标和半径；
(2)设为圆上的点，求的取值范围.
答案：(1)圆心的坐标为，半径；
(2)
【解题思路】（1）利用配方法化圆的一般方程为标准方程，可得圆心坐标与半径；
（2）由两点间的距离公式求得，得到与，则的取值范围可求．
【解题过程】(1)
解：由，得，
圆心的坐标为，半径；
(2)
解：，，
，．
，
的取值范围是．
27．(2023·广东揭阳·高二期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B；
(1)求直线AB的方程；
(2)若M为圆上的一点，求面积的最大值．
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）求出以为直径的圆的方程，结合已知圆的方程，将两圆方程相减可求得两圆公共弦所在直线方程；
（2）求出圆上的点M到直线AB的距离的最大值，求出，利用三角形面积公式求得答案.
【解题过程】(1)
圆的圆心坐标为，半径为1，
则的中点坐标为，，
以为圆心，为直径的圆的方程为，
由，得①，
由，得②，
①②得：．
直线的方程为；
(2)
圆心 到直线的距离为
故圆上的点M到直线的距离的最大值为 ，
而 ,
故面积的最大值为 .
28．(2023·浙江宁波·高二期末）已知过点的圆的圆心M在直线上，且y轴被该圆截得的弦长为4．
(1)求圆M的标准方程；
(2)设点，若点P为x轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标．
答案：(1)
(2)，
【解题思路】（1）用待定系数法设出圆心，根据圆过点和弦长列出方程求解即可；
（2）当三点共线时有最小值，求出直线MN的方程，令y=0即可.
【解题过程】(1)
由题意可设圆心，
因为y轴被圆M截得的弦长为4，
所以，
又，
则，
化简得，解得，
则圆心，半径，
所以圆M的标准方程为．
(2)
点关于x轴的对称点为，
则，
当且仅当M，P，三点共线时等号成立，
因为，则直线的方程为，即，
令，得，则．
29．(2023·四川资阳·高二期末（理））已知圆C的圆心为，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)直线l：与圆C相交于M，N两点，P（异于点M，N）为圆C上一点，求△PMN面积的最大值．
答案：(1)；
(2).
【解题思路】（1）设直径两端点分别为，，由中点公式求参数a、b，进而求半径，即可得圆C的方程；
（2）利用弦心距、半径、弦长的几何关系求，再由圆心到直线l的距离求P到直线l的距离的最大值，即可得△PMN面积的最大值．
【解题过程】(1)
设直径两端点分别为，，则，，
所以，，则圆C的半径，
所以C的方程为．
(2)
圆心C到直线l的距离，则，
点P到直线l的距离的最大值为，
所以，△PMN面积的最大值为．
30．(2023·四川凉山·高二期末（理））已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.
答案：（1）；（2）.
【解题思路】（1）设圆的方程为：，由已知列出方程组，解之可得圆的方程；
（2）由已知得四边形的面积为，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根据点到直线的距离公式可求得答案.
【解题过程】解：（1）设圆的方程为：，
根据题意得，
故所求圆M的方程为： ；
（2）如图，
四边形的面积为，即
又，所以，
而，即.
因此要求的最小值，只需求的最小值即可，
的最小值即为点到直线的距离
所以，
四边形面积的最小值为.
31．(2023·安徽·合肥市第八中学高二期末）已知圆，直线：，
(1)求证：直线与圆C相交；
(2)直线 与圆C交于A，B两点，判断何时最长，何时最短？当最短时，求m的值以及最短长度．
【解题思路】（1）先求出直线l过定点，再验证点在圆内，从而可证明.
(2) 由题意当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，从而可得答案.
【解题过程】(1)
证明：直线l的方程可化为，
联立解得
所以直线恒过定点．
因为，所以点在圆C内部，所以直线l与圆C相交．
(2)
令，当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长，
当直线时，直线被圆截得的弦长最短．
直线l的斜率为，．
由．解得．
此时直线l的方程是．
圆心到直线的距离为，
．所以最短弦长是．
32．(2023·全国·高二期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
(3)设直线与圆相交于两点，点为圆上的一动点，求的面积的最大值．
答案：(1)
(2)或
(3)
【解题思路】（1）解法一，根据题意设圆的标准方程为，进而待定系数法求解即可；解法二：由题知圆心在线段的垂直平分线上，进而结合题意得圆的圆心与半径，写出方程；
（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可；
（3）由几何法求弦长得，进而到直线距离的最大值为，再计算面积即可.
【解题过程】(1)
解：解法一：设圆的标准方程为，
由已知得，
解得，
所以圆的标准方程为；
解法二：由圆经过点和，可知圆心在线段的垂直平分线上，
将代入，得，即，
半径，
所以圆的标准方程为；
(2)
解：当直线的斜率存在时，设，即，
由直线与圆相切，得，解得，
此时，
当直线的斜率不存在时，直线显然与圆相切．
所以直线的方程为或；
(3)
解：圆心到直线的距离，
所以，
则点到直线距离的最大值为，
所以的面积的最大值
类型六 直线与圆的实际应用（2道）
33．(2023·湖北·武汉市第十九中学高二期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；
(2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
答案：(1)；
(2)会驶入安全预警区，行驶时长为半小时
【解题思路】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；
（2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.
【解题过程】(1)
由题意得，∴；
(2)
设圆的方程为，
因为该圆经过三点，∴，得到.
所以该圆的方程为：，
化成标准方程为：.
设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：，
圆心（6，8）到直线的距离，
所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.
直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时.
即在安全警示区内行驶时长为半小时.
34．(2023·浙江·安吉县上墅私立高级中学高二期末）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）.规划在公路上选两个点､，并修建两段直线型道路､.规划要求，线段､上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点到直线的距离分别为和（为垂足），测得，，（单位：百米）.
(1)若道路与桥垂直，求道路的长；
(2)在规划要求下，点能否选在处？并说明理由.
答案：(1)15（百米）
(2)点选在处不满足规划要求，理由见解析
【解题思路】（1）建立适当的坐标系，得圆及直线的方程，进而得解.
（2）不妨点选在处，求方程并求其与圆的交点，在线段上取点不符合条件，得结论.
【解题过程】(1)
如图，过作，垂足为.
以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.
因为为圆的直径，，所以圆的方程为.
因为，，所以，故直线的方程为，
则点，的纵坐标分别为3，
从而，，
直线的斜率为.
因为，所以直线的斜率为，
直线的方程为.令，得，，
所以.
因此道路的长为15（百米）.
(2)
若点选在处，连结，可求出点，又，
所以线段.
由解得或，
故不妨取，得到在线段上的点，
因为，
所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径5.
因此点选在处不满足规划要求.
类型七 圆的综合问题（6道）
35．(2023·江苏·海门中学高二期末）圆与轴的交点分别为，且与直线，都相切．
(1)求圆的方程；
(2)圆上是否存在点满足？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：(1)
(2)存在，或
【解题思路】（1）由题意，设圆心，由圆与两直线相切，可得圆心到两直线的距离都等于圆的半径，进而可求，然后求出半径即可得答案；
（2）假设圆上存在点满足，利用向量数量积的坐标运算化简，再联立圆的方程即可求解.
【解题过程】(1)
解：因为圆与轴的交点分别为，，
所以圆心在弦的垂直平分线上，设圆心，
又圆与直线，都相切，
所以，解得，
所以圆心，半径，
所以圆的方程为；
(2)
解：假设圆上存在点满足，
则，即①，
又，即②，
联立①②可得或，
所以存在点或满足.
36．(2023·辽宁·高二期末）如图，在平面直角坐标系上，已知圆的直径，定直线到圆心的距离为，且直线垂直于直线，点是圆上异于、的任意一点，直线、分别交与、两点．
(1)求过点且与圆相切的直线方程；
(2)若，求以为直径的圆方程；
(3)当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．
答案：(1)或
(2)
(3)过定点，定点坐标为
【解题思路】（1）对所求直线的斜率是否存在进行分类讨论，在所求直线斜率不存在时，直接验证直线与圆相切；在所求直线斜率存在时，设所求直线方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，求出的值，综合可得出所求直线的方程；
（2）分点在轴上方、点在轴下方两种情况讨论，求出点、的坐标，可得出所求圆的圆心坐标和半径，即可得出所求圆的方程；
（3）设直线的方程为，其中，求出点、的坐标，可求得以线段为直径的圆的方程，并化简圆的方程，可求得定点的坐标.
【解题过程】(1)
解：易知圆的方程为，圆心为原点，半径为，
若所求直线的斜率不存在，则所求直线的方程为，此时直线与圆相切，合乎题意，
若所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为，即，
由已知可得，解得，此时所求直线的方程为.
综上所述，过点且与圆相切的直线方程为或.
(2)
解：易知直线的方程为，、，
若点在轴上方，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
线段的中点为，且，此时，所求圆的方程为；
若点在轴下方，同理可求得所求圆的方程为.
综上所述，以为直径的圆方程为.
(3)
解：不妨设直线的方程为，其中，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
线段的中点为，，
所以，以线段为直径的圆的方程为，
即，由，解得，
因此，当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的定点.
37．(2023·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线与圆交于两点在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：(1)；
(2)存在，.
【解题思路】（1）设出圆心，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求出的值可得圆心坐标，进而可得圆的方程；
（2）由题可设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理及可得，即得.
【解题过程】(1)
由已知可设圆心，则，
解得或（舍）.
所以圆.
(2)
由题可设直线的方程为，
由，
得到：显然成立，
所以.①
若轴平分，则，
所以：，
整理得：，
将①代入整理得对任意的恒成立，则.
∴存在点为时，使得轴平分.
38．(2023·新疆·高二期末）已知圆C的圆心C在直线上，且与直线相切于点.
(1)求圆C的方程；
(2)过点的直线与圆C交于两点，线段的中点为M，直线与直线的交点为N.判断是否为定值.若是，求出这个定值，若不是，说明理由.
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）设过点且与直线垂直的直线为，将代入直线方程，即可求出，再与求交点坐标，得到圆心坐标，再求出半径，即可得解；
（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率不存在直接求出、的坐标，即可求出，当直线的斜率存在，设直线为、、，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，即可表示出的坐标，再求出的坐标，即可表示出、，即可得解；
【解题过程】(1)
解：设过点且与直线垂直的直线为，
则，解得，即，
由，解得，即圆心坐标为，
所以半径，
所以圆的方程为
(2)
解：当直线的斜率存在时，设过点的直线为，
所以，消去得，
设、，则，，
所以，所以的中点，
由解得，即，
所以，，
所以；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由，解得或，
即、，所以，所以
又解得，即，
所以，所以，
综上可得.
39．(2023·青海海东·高二期末（理））已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过，两点.
(1)求圆C的标准方程.
(2)设直线与圆C交于A，B（异于坐标原点O）两点，若以AB为直径的圆过原点，试问直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.
答案：(1)
(2)过定点，定点为
【解题思路】（1）设出圆C的标准方程，由题意列出方程从而可得答案.
（2）设，，将直线的方程与圆C的方程联立，得出韦达定理，由条件可得，从而得出答案.
【解题过程】(1)
设圆C的标准方程为
由题意可得解得，，.
故圆C的标准方程为.
(2)
设，.联立
整理的
，则，，
故.
因为以AB为直径的圆过原点，所以，
即
则，
化简得.
当时，直线，直线l过原点，此时不满足以AB为直径的圆过原点.
所以，则，则直线过定点.
40．(2023·四川内江·高二期末（文））已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心在轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于．
(1)求圆的标准方程；
(2)设过点的直线与圆交于不同的两点、，以、为邻边作平行四边形．是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程，如果不存在，请说明理由．
答案：(1)；
(2)不存在，理由见解析.
【解题思路】（1）设圆心，设圆的半径为，可得出，根据已知条件可得出关于实数的方程，求出的值，可得出的值，进而可得出圆的标准方程；
（2）分析可知直线的斜率存在，可设直线的方程为，设点、，将直线的方程与圆的方程联立，由可求得的取值范围，列出韦达定理，分析可得，可求得点的坐标，由已知可得出，求出的值，检验即可得出结论.
【解题过程】(1)
解：设圆心，设圆的半径为，则，由题意可得，
由勾股定理可得，则，
由题意可得，解得，则，
因此，圆的标准方程为.
(2)
解：若直线的斜率不存在，此时直线与轴重合，则、、三点共线，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，可设直线的方程为，设点、，
联立，可得，
，解得或，
由韦达定理可得，，则，
因为四边形为平行四边形，则，
因为，则，则，解得，
因为或，
因此，不存直线，使得直线与恰好平行.
类型一 圆的切线问题（5道）
1．(2023·广东汕尾·高二期末）已知圆C过两点，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点作圆C的切线，求切线方程．
2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知点，圆C：，l：.
(1)若直线过点M，且被圆C截得的弦长为，求该直线的方程；
(2)设P为已知直线l上的动点，过点P向圆C作一条切线，切点为Q，求的最小值.
3．(2023·贵州遵义·高二期末（文））在平面直角坐标系中，光线过点，经轴反射后与圆：有交点
(1)当反射后光线经过圆心，求光线的方程；
(2)当反射后光线与圆相切，求光线的方程．
4．(2023·上海徐汇·高二期末）已知是圆外一点．
(1)过M作圆O的切线l，求切线l的方程；
(2)过M任意作一条割线，交圆O于AB两点，求弦AB的中点C的轨迹方程．
5．(2023·广东·红岭中学高二期末）已知圆的方程为：.
(1)求的值，使圆的周长最小；
(2)过作直线，使与满足（1）中条件的圆相切，求的方程，并求切线段的长.
答案：(1)
(2)直线方程为或，切线段长度为4
类型二 圆的弦长问题（7道）
6．(2023·重庆长寿·高二期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．
(1)求BC边上的中线AD的所在直线方程；
(2)求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．
7．(2023·广东深圳·高二期末）已知圆C：的半径为1．
(1)求实数a的值；
(2)判断直线l：与圆C是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长．
8．(2023·贵州·六盘水市第五中学高二期末）已知圆．
(1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程；
(2)设直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值．
9．(2023·内蒙古赤峰·高二期末（理））圆内有一点，AB为圆的过点P且倾斜角为的弦．
(1)当时，求的长；
(2)当弦AB最短时，求直线AB的方程．
10．(2023·湖北·高二期末）已知圆C：，直线l恒过点
(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.
11．(2023·重庆·高二期末）已知点，直线，圆.
(1)若连接点与圆心的直线与直线垂直，求实数的值；
(2)若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求实数的值．
12．(2023·重庆市青木关中学校高二期末）已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，.
(1)求圆C的标准方程；
(2)过斜率为 的直线与圆C相交于M，N，两点，求弦MN的长.
类型三 圆与圆的位置关系（7道）
13．(2023·江苏镇江·高二期末）圆经过两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)求圆与圆的公共弦的长.
14．(2023·吉林·梅河口市第五中学高二期末）已知O：与圆C：相交.
(1)求正数a的取值范围；
(2)若圆C与圆O的公共弦所在直线的方程是，求圆C的半径.
15．(2023·四川绵阳·高二期末）已知圆C：．
(1)若，直线l：与C相交于A，B两点，求弦AB的长；
(2)已知点，，若C上存在点P，使得，求r的取值范围．
16．(2023·上海市复旦实验中学高二期末）已知圆C：，其中．
(1)已知圆C与圆：外切，求m的值；
(2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值．
17．(2023·江苏南通·高二期末）已知圆，点.
(1)若，半径为的圆过点，且与圆相外切，求圆的方程；
(2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求.
18．(2023·广西·宾阳中学高二期末（理））已知圆C的圆心为，且圆C经过点．
(1)求圆C的一般方程；
(2)若圆与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．
19．(2023·浙江嘉兴·高二期末）已知圆，圆.
(1)若圆与圆外切，求实数的值；
(2)若圆与圆相交于两点，弦的长为，求实数的值.
类型四 与圆有关的轨迹问题（6道）
20．(2023·湖北·沙市中学高二期末）已知点到两个定点的距离比为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)若过点的直线被点的轨迹截得的弦长为，求直线的方程．
21．(2023·山西晋中·高二期末）在平面直角坐标系中，已知.
(1)求直线的方程；
(2)平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为24，求动点的轨迹方程.
22．(2023·江西·南昌大学附属中学高二期末（理））已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)直线过点且与点的轨迹交于A，两点，若，求直线的方程.
23．(2023·福建龙岩·高二期末）已知平面直角坐标系上一动点满足：到点的距离是到点的距离的2倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若点与点关于直线对称，求的最大值.
24．(2023·湖南永州·高二期末）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点.
(1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；
(2)P为矩形场地AD边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP的距离为，且直线FP与点M的轨迹没有公共点，求P点横坐标的取值范围.
25．(2023·江苏·高二期末）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，AB的中点P的轨迹为曲线T，圆心为的圆C经过点B．
(1)求曲线T的方程，并判断曲线T与圆C的位置关系；
(2)过x轴上一点G任作一直线（不与轴重合）与曲线T相交于M、S两点，连接BM，BS，恒有，求G点坐标．
类型五 与圆有关的最值问题（7道）
26．(2023·天津河北·高二期末）已知点和圆.
(1)求圆的圆心坐标和半径；
(2)设为圆上的点，求的取值范围.
27．(2023·广东揭阳·高二期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B；
(1)求直线AB的方程；
(2)若M为圆上的一点，求面积的最大值．
28．(2023·浙江宁波·高二期末）已知过点的圆的圆心M在直线上，且y轴被该圆截得的弦长为4．
(1)求圆M的标准方程；
(2)设点，若点P为x轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标．
29．(2023·四川资阳·高二期末（理））已知圆C的圆心为，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)直线l：与圆C相交于M，N两点，P（异于点M，N）为圆C上一点，求△PMN面积的最大值．
30．(2023·四川凉山·高二期末（理））已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.
31．(2023·安徽·合肥市第八中学高二期末）已知圆，直线：，
(1)求证：直线与圆C相交；
(2)直线 与圆C交于A，B两点，判断何时最长，何时最短？当最短时，求m的值以及最短长度．
32．(2023·全国·高二期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
(3)设直线与圆相交于两点，点为圆上的一动点，求的面积的最大值．
类型六 直线与圆的实际应用（2道）
33．(2023·湖北·武汉市第十九中学高二期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；
(2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
34．(2023·浙江·安吉县上墅私立高级中学高二期末）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）.规划在公路上选两个点､，并修建两段直线型道路､.规划要求，线段､上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点到直线的距离分别为和（为垂足），测得，，（单位：百米）.
(1)若道路与桥垂直，求道路的长；
(2)在规划要求下，点能否选在处？并说明理由.
类型七 圆的综合问题（6道）
35．(2023·江苏·海门中学高二期末）圆与轴的交点分别为，且与直线，都相切．
(1)求圆的方程；
(2)圆上是否存在点满足？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由.
36．(2023·辽宁·高二期末）如图，在平面直角坐标系上，已知圆的直径，定直线到圆心的距离为，且直线垂直于直线，点是圆上异于、的任意一点，直线、分别交与、两点．
(1)求过点且与圆相切的直线方程；
(2)若，求以为直径的圆方程；
(3)当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．
37．(2023·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线与圆交于两点在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
38．(2023·新疆·高二期末）已知圆C的圆心C在直线上，且与直线相切于点.
(1)求圆C的方程；
(2)过点的直线与圆C交于两点，线段的中点为M，直线与直线的交点为N.判断是否为定值.若是，求出这个定值，若不是，说明理由.
39．(2023·青海海东·高二期末（理））已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过，两点.
(1)求圆C的标准方程.
(2)设直线与圆C交于A，B（异于坐标原点O）两点，若以AB为直径的圆过原点，试问直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.
40．(2023·四川内江·高二期末（文））已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心在轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于．
(1)求圆的标准方程；
(2)设过点的直线与圆交于不同的两点、，以、为邻边作平行四边形．是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程，如果不存在，请说明理由．
拓展五：圆的方程大题专项训练（40道）
类型一 圆的切线问题（5道）
1．(2023·广东汕尾·高二期末）已知圆C过两点，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点作圆C的切线，求切线方程．
答案：(1)．（或标准形式）
(2)或
【解题思路】（1）根据题意，求出的中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案；
（2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案．
【解题过程】(1)
解：根据题意，因为圆过两点，，
设的中点为，则，
因为，所以的中垂线方程为，即
又因为圆心在直线上，联立，解得，所以圆心，半径，故圆的方程为，
(2)
解：当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切
当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为即（*）
由圆心C到切线的距离，可得
将代入（*），得切线方程为
综上，所求切线方程为或
2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知点，圆C：，l：.
(1)若直线过点M，且被圆C截得的弦长为，求该直线的方程；
(2)设P为已知直线l上的动点，过点P向圆C作一条切线，切点为Q，求的最小值.
答案：(1)或
(2)
【解题思路】（1）求出圆的圆心到直线的距离，再利用垂径定理计算列方程计算；
（2）由题意可知当最小时，连线与已知直线垂直，求出，再利用计算即可.
【解题过程】(1)
由题意可知圆的圆心到直线的距离为
①当直线斜率不存在时，圆的圆心到直线距离为1，满足题意；
②当直线斜率存在时，设过的直线方程为：，即
由点到直线距离公式列方程得： 解得
综上，过的直线方程为或.
(2)
由题意可知当最小时，连线与已知直线垂直，
由勾股定理知：，
所以的最小值为.
3．(2023·贵州遵义·高二期末（文））在平面直角坐标系中，光线过点，经轴反射后与圆：有交点
(1)当反射后光线经过圆心，求光线的方程；
(2)当反射后光线与圆相切，求光线的方程．
答案：(1)
(2)或
【解题思路】（1）求出点关于轴对称的点为，由光线的折射性质，反射光线经过圆心，由，代入可求出光线的斜率，即可求出光线的方程；
（2）设反射光线方程为，由反射后光线与圆相切可求出，即可求出光线的方程.
【解题过程】(1)
点关于轴对称的点为，由光线的折射性质，反射光线经过圆心，所以，
易知，所以，
所以光线的方程为.
(2)
设经过的直线方程为由于折射光线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即,
化简得：,
解得或,
所光线的方程为或.
4．(2023·上海徐汇·高二期末）已知是圆外一点．
(1)过M作圆O的切线l，求切线l的方程；
(2)过M任意作一条割线，交圆O于AB两点，求弦AB的中点C的轨迹方程．
答案：(1)和
(2)（在圆内部）
【解题思路】（1）根据切线斜率存在和不存在分类讨论可得；
（2）由圆性质得，点在以为直径的圆上，求出圆的方程可得结论．
【解题过程】(1)
圆的圆心是原点，半径是2，
过且斜率不存在的直线是与圆相切，
当过的切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由，解得，
所以切线方程为，即，
所以切线方程为和；
(2)
是中点，则，即，所以点在以为直径的圆上，
中点坐标为，，
所以以为直径的圆方程为，即，
所以点轨迹方程为（在圆内部）．
5．(2023·广东·红岭中学高二期末）已知圆的方程为：.
(1)求的值，使圆的周长最小；
(2)过作直线，使与满足（1）中条件的圆相切，求的方程，并求切线段的长.
答案：(1)
(2)直线方程为或，切线段长度为4
【解题思路】（1）先求圆的标准方程，由半径最小则周长最小；
（2）由，则圆的方程为：，直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与轴垂直和直线与轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.进一步，利用圆的几何性质可求解切线的长度.
【解题过程】(1)
，
配方得：，
当时，圆的半径有最小值2，此时圆的周长最小.
(2)
由（1）得，，圆的方程为：.
当直线与轴垂直时，，此时直线与圆相切，符合条件；
当直线与轴不垂直时，设为，
由直线与圆相切得：，解得，
所以切线方程为，即.
综上，直线方程为或.
圆心与点的距离，
则切线长度为.
类型二 圆的弦长问题（7道）
6．(2023·重庆长寿·高二期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．
(1)求BC边上的中线AD的所在直线方程；
(2)求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）先求BC边的中点D的坐标，再得AD的斜率即可求解；
（2）先求△ABC的外接圆O，再求圆心到直线.直线l的距离，再由勾股定理可求解.
【解题过程】(1)
∵，
∴BC边的中点D的坐标为，
∴中线AD的斜率为，
∴中线AD的直线方程为：，即
(2)
设△ABC的外接圆O的方程为，
∵A、B、C三点在圆上，
∴
解得：
∴外接圆O的方程为，即，
其中圆心O为，半径,
又圆心O到直线l的距离为,
∴被截得的弦长的一半为,
∴被截得的弦长为.
7．(2023·广东深圳·高二期末）已知圆C：的半径为1．
(1)求实数a的值；
(2)判断直线l：与圆C是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长．
答案：(1)；
(2)直线l与圆C相交，.
【解题思路】（1）利用配方法进行求解即可；
（2）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式进行求解即可.
【解题过程】(1)
将化为标准方程得：
．
因为圆C的半径为1，所以，得．
(2)
由（1）知圆C的圆心为，半径为1．
设圆心C到直线l的距离为d，则，
所以直线l与圆C相交，设其交点为A，B，则，即．
8．(2023·贵州·六盘水市第五中学高二期末）已知圆．
(1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程；
(2)设直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值．
答案：(1)
(2)，最大值为.
【解题思路】（1）利用垂径定理求出斜率，即可求出直线的方程；（2）利用几何法表示出弦长与d的关系，利用基本不等式求出的面积S的最大值．
【解题过程】(1)
圆化为标准方程为：.
则.
设所求的直线为m.由圆的几何性质可知：，所以，
所以所求的直线为：，即.
(2)
设圆心C到直线l的距离为d，则，且，所以
因为直线与圆C交于A，B两点，所以,解得：且.
而的面积：
因为
所以（其中时等号成立）.
所以S的最大值为.
9．(2023·内蒙古赤峰·高二期末（理））圆内有一点，AB为圆的过点P且倾斜角为的弦．
(1)当时，求的长；
(2)当弦AB最短时，求直线AB的方程．
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）先求出直线的方程，然后求圆心到直线的距离，再利用圆心距，弦和半径的关系可求出的长，
（2）由圆的性质可知当时，弦AB最短，从而可求出直线AB的方程
【解题过程】(1)
直线AB的斜率，圆的半径．
则直线AB的点斜式方程为，即．
则圆心到直线AB的距离．
由垂径定理，得，
所以,
解得．
(2)
当弦AB最短时，P为AB的中点，
由题意，则．
则直线AB的点斜式方程为，即．
10．(2023·湖北·高二期末）已知圆C：，直线l恒过点
(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.
答案：(1)或
(2)或
【解题思路】(1)分类讨论直线l的斜率存在与不存在，利用圆心到直线l的距离等于圆的半径计算即可；
(2)由题意知直线l的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的垂径定理计算即可.
【解题过程】(1)
由题意可知，圆C的圆心为，半径，
①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为，
化为一般式：，若直线l与圆相切，
则，即，解得，
：，即l：，
综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为或；
(2)
由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，
直线l的方程为，即，
设圆心到直线l的距离为d，则，
由垂径定理可得，，即，
整理得，，解得或，
则直线l的方程为或
11．(2023·重庆·高二期末）已知点，直线，圆.
(1)若连接点与圆心的直线与直线垂直，求实数的值；
(2)若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求实数的值．
答案：(1)3
(2)实数的值为和
【解题思路】（1）由直线垂直，斜率乘积为可得值；
（2）求出加以到直线的距离，由勾股定理求弦长，从而可得参数值．
【解题过程】(1)
圆，，，，
， ，
(2)
圆半径为，设圆心到直线的距离为，
则
又由点到直线距离公式得：
化简得：，解得：或
所以实数的值为和.
12．(2023·重庆市青木关中学校高二期末）已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，.
(1)求圆C的标准方程；
(2)过斜率为 的直线与圆C相交于M，N，两点，求弦MN的长.
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）由圆的性质可得圆心在线段的垂直平分线上，由题意求出的垂直平分线方程，从而得出圆心坐标，再求出半径，得到答案.
（2）由题意先求出满足条件的直线方程，求出圆心到直线的距离，由垂经定理可得圆的弦长.
【解题过程】(1)
由题意设圆C的标准方程为
设的中点为，则,由圆的性质可得
则, 又，所以
则直线的方程为，即
则圆C的圆心在直线上，即，故
所以圆心,半径
所以圆C的标准方程为
(2)
过斜率为的直线方程为：
圆心到该直线的距离为
所以
类型三 圆与圆的位置关系（7道）
13．(2023·江苏镇江·高二期末）圆经过两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)求圆与圆的公共弦的长.
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）设圆的方程为，代入所过的点后可求，从而可求圆的方程.
（2）利用两圆的方程可求公共弦的方程，利用垂径定理可求公共弦的弦长.
【解题过程】(1)
设圆的方程为，
，
，
所以圆的方程为；
(2)
由圆的方程和圆的方程可得公共弦的方程为：
，
整理得到：，
到公共弦的距离为，
故公共弦的弦长为：.
14．(2023·吉林·梅河口市第五中学高二期末）已知O：与圆C：相交.
(1)求正数a的取值范围；
(2)若圆C与圆O的公共弦所在直线的方程是，求圆C的半径.
答案：(1)；
(2)1.
【解题思路】（1）根据两圆相交的性质进行求解即可；
（2）根据两圆相交弦的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.
【解题过程】(1)
圆C的标准方程是，
因为圆C与圆O相交，所以，
即，解得，
所以正数a的取值范围是；
(2)
将圆O与圆C的方程相减，得
两圆的公共弦所在直线的方程是，即，
所以，解得.
所以圆C的标准方程是，
所以圆C的半径是1.
15．(2023·四川绵阳·高二期末）已知圆C：．
(1)若，直线l：与C相交于A，B两点，求弦AB的长；
(2)已知点，，若C上存在点P，使得，求r的取值范围．
答案：(1)；
(2).
【解题思路】（1）根据圆的垂径定理进行求解即可；
（2）根据圆的性质，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.
【解题过程】(1)
圆心坐标为：，它到直线的距离为：
，所以弦AB的长：；
(2)
假设C上存在点P，使得，因此点P也在以为直径的圆上，
设该圆的圆心为，则有即，
该圆的半径为：， ，
因为点P即在圆C上，也在圆上，所以两圆相交或相切，因此有：
，故r的取值范围为：.
16．(2023·上海市复旦实验中学高二期末）已知圆C：，其中．
(1)已知圆C与圆：外切，求m的值；
(2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值．
答案：(1)；
(2).
【解题思路】（1）解方程即得解；
（2）解方程即得解.
【解题过程】（1）解：由圆，可得，则圆心，半径，由圆，可得圆心，半径，因为两圆外切，则，解得．
（2）解：圆的圆心坐标为，半径为．圆心到直线的距离，又直线与圆相交所得的弦长为，，解得．的值为．
17．(2023·江苏南通·高二期末）已知圆，点.
(1)若，半径为的圆过点，且与圆相外切，求圆的方程；
(2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求.
答案：(1)或
(2)
【解题思路】（1）设圆心，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出圆的方程；
（2）分析可知直线、的斜率存在，设过点且斜率存在的直线的方程为，即，利用勾股定理可得出，可知直线、的斜率、是关于的二次方程的两根，求出、的坐标，结合韦达定理可求得的值.
【解题过程】(1)
解：设圆心，圆的圆心为，
由题意可得，解得或，
因此，圆的方程为或.
(2)
解：若过点的直线斜率不存在，则该直线的方程为，
圆心到直线的距离为，不合乎题意.
设过点且斜率存在的直线的方程为，即，
由题意可得，整理可得，
设直线、的斜率分别为、，
则、为关于的二次方程的两根，
，
由韦达定理可得，，
在直线的方程中，令，可得，即点
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以，，解得.
18．(2023·广西·宾阳中学高二期末（理））已知圆C的圆心为，且圆C经过点．
(1)求圆C的一般方程；
(2)若圆与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）设圆C的一般方程为．由圆C的圆心和圆C经过点求解；
（2）根据圆与圆C恰有两条公切线，由圆O与圆C相交求解.
【解题过程】(1)
解：设圆C的一般方程为．
∵圆C的圆心，
∴即
又圆C经过点，
∴．
解得．
经检验得圆C的一般方程为；
(2)
由（1）知圆C的圆心为，半径为5．
∵圆与圆C恰有两条公切线，
∴圆O与圆C相交．
∴．
∵，
∴．
∴m的取值范围是．
19．(2023·浙江嘉兴·高二期末）已知圆，圆.
(1)若圆与圆外切，求实数的值；
(2)若圆与圆相交于两点，弦的长为，求实数的值.
答案：(1)
(2)或
【解题思路】（1）求出圆心、半径，结合两点间的距离公式即可求解；（2）法一，联立方程组，利用点到直线的距离公式，弦心距公式即可求解；法二，由题意知，圆与圆关于直线对称，利用弦心距公式即可求解.
【解题过程】(1)
圆，即为，所以，
圆，所以，
因为两圆外切，所以，得，
化简得，所以.
(2)
法一：圆，即为，
将圆与圆的方程联立，得到方程组
两式相减得公共弦的方程为：，
由于，得点到直线的距离：，
所以，即，即，
解得或者.
法二：因为，所以圆与圆关于直线对称，
因为，得点到直线的距离：
，
所以，
解得或者.
类型四 与圆有关的轨迹问题（6道）
20．(2023·湖北·沙市中学高二期末）已知点到两个定点的距离比为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)若过点的直线被点的轨迹截得的弦长为，求直线的方程．
答案：(1)
(2)或
【解题思路】（1）设出，表达出，直接法求出轨迹方程；（2）在第一问的基础上，先考虑直线斜率不存在时是否符合要求，再考虑斜率存在时，设出直线方程，表达出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出直线方程.
【解题过程】(1)
设,则，，故，两边平方得：
(2)
当直线斜率不存在时，直线为，此时弦长为，满足题意；
当直线斜率存在时，设直线，则圆心到直线距离为，由垂径定理得：，解得：，此时直线的方程为，
综上：直线的方程为或.
21．(2023·山西晋中·高二期末）在平面直角坐标系中，已知.
(1)求直线的方程；
(2)平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为24，求动点的轨迹方程.
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）结合点斜式求得直线的方程.
（2）设，根据已知条件列方程，化简求得的轨迹方程.
【解题过程】(1)
，
于是直线的方程为，即
(2)
设动点，于是，
代入坐标得，
化简得，
于是动点的轨迹方程为
22．(2023·江西·南昌大学附属中学高二期末（理））已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)直线过点且与点的轨迹交于A，两点，若，求直线的方程.
答案：(1)；
(2)x＝1或y＝1.
【解题思路】(1)设线段中点为，点，用x，y表示，代入方程即可；
(2)分l斜率存在和不存在进行讨论，根据弦长求出l方程.
【解题过程】(1)
设线段中点为，点，
，，
，，
，
即点C的轨迹方程为.
(2)
直线l的斜率不存在时，l为x＝1，
代入得，则弦长满足题意；
直线l斜率存在时，设直线l斜率为k，其方程为，即，
圆的圆心到l的距离，
则；
综上，l为x＝1或y＝1.
23．(2023·福建龙岩·高二期末）已知平面直角坐标系上一动点满足：到点的距离是到点的距离的2倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若点与点关于直线对称，求的最大值.
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）直接法求动点的轨迹方程，设点，列方程即可.
（2）点关于直线对称的对称点问题，可以先求出点到直线的距离最值的两倍就是的距离，也可以求出点的轨迹方程直接求解的距离.
【解题过程】(1)
设，由题意，得：
，
化简得，
所以点的轨迹方程为
(2)
方法一：设，因为点与点关于点对称，
则点坐标为，
因为点在圆，即上运动，
所以，
所以点的轨迹方程为，
所以两圆的圆心分别为，半径均为2，
则.
方法二：由可得：
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆
轨迹的圆心到直线的距离为：
24．(2023·湖南永州·高二期末）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点.
(1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；
(2)P为矩形场地AD边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP的距离为，且直线FP与点M的轨迹没有公共点，求P点横坐标的取值范围.
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）分别以为轴，建立平面直角坐标系，由题意，利用两点间的距离公式可得答案.
(2)由题意可得点的轨迹所在圆的圆心到直线的距离，点的轨迹与轴的交点到直线的距离，从而可得答案.
【解题过程】(1)
分别以为轴，建立平面直角坐标系，则，
设成功点，可得
即,化简得
因为点需在矩形场地内，所以
故所求轨迹方程为
(2)
设，直线方程为
直线FP与点M的轨迹没有公共点,则圆心到直线的距离大于
依题意，动点需满足两个条件：
点的轨迹所在圆的圆心到直线的距离
即,解得
②点的轨迹与轴的交点到直线的距离
即,解得
综上所述，P点横坐标的取值范围是
25．(2023·江苏·高二期末）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，AB的中点P的轨迹为曲线T，圆心为的圆C经过点B．
(1)求曲线T的方程，并判断曲线T与圆C的位置关系；
(2)过x轴上一点G任作一直线（不与轴重合）与曲线T相交于M、S两点，连接BM，BS，恒有，求G点坐标．
答案：(1)，相离
(2)
【解题思路】（1）设出的坐标，利用是线段的中点，确定坐标之间的关系，根据点在圆上运动，可得中点P的轨迹，
即曲线T的方程，再利用题设写出圆的方程，利用两圆圆心距与半径和比较大小确定曲线T与圆的位置关系；
（2）先由图像分析，过点G的直线与曲线T相交于M、S两点，要满足，可知点G必在圆内，
再讨论斜率存不存在，①当直线的斜率不存在时，显然有；②当直线的斜率存在时，
设出直线的方程，由，联立方程直线和圆的方程，求出点G点坐标即可.
【解题过程】(1)
设点坐标为，，
是线段的中点，且，由中点坐标公式得：，即，
又点A在圆上运动，，化简得，
所以曲线T的方程为：，又圆的圆心为，设圆方程：，
又圆经过点，代入圆方程得，所以圆方程：，
两圆的圆心距，所以曲线T与圆的位置关系是相离.
(2)
如图所示，若点G在圆外，直线与曲线T相交于M、S在点G的同侧，有，所以点G必在圆内.
设点，过点G的直线分类讨论斜率存在和不存在两种情况：
当直线的斜率不存在时，由圆的对称性知必有；
当直线的斜率存在时，设直线的方程，联立方程得：
，化简整理得，
设，则，
由题意知，，则直线MB，SB的倾斜角互补，即
则，
将代入上式可得，又，
所以，化简整理得，
即，解得，所以G点坐标为.
类型五 与圆有关的最值问题（7道）
26．(2023·天津河北·高二期末）已知点和圆.
(1)求圆的圆心坐标和半径；
(2)设为圆上的点，求的取值范围.
答案：(1)圆心的坐标为，半径；
(2)
【解题思路】（1）利用配方法化圆的一般方程为标准方程，可得圆心坐标与半径；
（2）由两点间的距离公式求得，得到与，则的取值范围可求．
【解题过程】(1)
解：由，得，
圆心的坐标为，半径；
(2)
解：，，
，．
，
的取值范围是．
27．(2023·广东揭阳·高二期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B；
(1)求直线AB的方程；
(2)若M为圆上的一点，求面积的最大值．
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）求出以为直径的圆的方程，结合已知圆的方程，将两圆方程相减可求得两圆公共弦所在直线方程；
（2）求出圆上的点M到直线AB的距离的最大值，求出，利用三角形面积公式求得答案.
【解题过程】(1)
圆的圆心坐标为，半径为1，
则的中点坐标为，，
以为圆心，为直径的圆的方程为，
由，得①，
由，得②，
①②得：．
直线的方程为；
(2)
圆心 到直线的距离为
故圆上的点M到直线的距离的最大值为 ，
而 ,
故面积的最大值为 .
28．(2023·浙江宁波·高二期末）已知过点的圆的圆心M在直线上，且y轴被该圆截得的弦长为4．
(1)求圆M的标准方程；
(2)设点，若点P为x轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标．
答案：(1)
(2)，
【解题思路】（1）用待定系数法设出圆心，根据圆过点和弦长列出方程求解即可；
（2）当三点共线时有最小值，求出直线MN的方程，令y=0即可.
【解题过程】(1)
由题意可设圆心，
因为y轴被圆M截得的弦长为4，
所以，
又，
则，
化简得，解得，
则圆心，半径，
所以圆M的标准方程为．
(2)
点关于x轴的对称点为，
则，
当且仅当M，P，三点共线时等号成立，
因为，则直线的方程为，即，
令，得，则．
29．(2023·四川资阳·高二期末（理））已知圆C的圆心为，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)直线l：与圆C相交于M，N两点，P（异于点M，N）为圆C上一点，求△PMN面积的最大值．
答案：(1)；
(2).
【解题思路】（1）设直径两端点分别为，，由中点公式求参数a、b，进而求半径，即可得圆C的方程；
（2）利用弦心距、半径、弦长的几何关系求，再由圆心到直线l的距离求P到直线l的距离的最大值，即可得△PMN面积的最大值．
【解题过程】(1)
设直径两端点分别为，，则，，
所以，，则圆C的半径，
所以C的方程为．
(2)
圆心C到直线l的距离，则，
点P到直线l的距离的最大值为，
所以，△PMN面积的最大值为．
30．(2023·四川凉山·高二期末（理））已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.
答案：（1）；（2）.
【解题思路】（1）设圆的方程为：，由已知列出方程组，解之可得圆的方程；
（2）由已知得四边形的面积为，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根据点到直线的距离公式可求得答案.
【解题过程】解：（1）设圆的方程为：，
根据题意得，
故所求圆M的方程为： ；
（2）如图，
四边形的面积为，即
又，所以，
而，即.
因此要求的最小值，只需求的最小值即可，
的最小值即为点到直线的距离
所以，
四边形面积的最小值为.
31．(2023·安徽·合肥市第八中学高二期末）已知圆，直线：，
(1)求证：直线与圆C相交；
(2)直线 与圆C交于A，B两点，判断何时最长，何时最短？当最短时，求m的值以及最短长度．
【解题思路】（1）先求出直线l过定点，再验证点在圆内，从而可证明.
(2) 由题意当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，从而可得答案.
【解题过程】(1)
证明：直线l的方程可化为，
联立解得
所以直线恒过定点．
因为，所以点在圆C内部，所以直线l与圆C相交．
(2)
令，当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长，
当直线时，直线被圆截得的弦长最短．
直线l的斜率为，．
由．解得．
此时直线l的方程是．
圆心到直线的距离为，
．所以最短弦长是．
32．(2023·全国·高二期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
(3)设直线与圆相交于两点，点为圆上的一动点，求的面积的最大值．
答案：(1)
(2)或
(3)
【解题思路】（1）解法一，根据题意设圆的标准方程为，进而待定系数法求解即可；解法二：由题知圆心在线段的垂直平分线上，进而结合题意得圆的圆心与半径，写出方程；
（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可；
（3）由几何法求弦长得，进而到直线距离的最大值为，再计算面积即可.
【解题过程】(1)
解：解法一：设圆的标准方程为，
由已知得，
解得，
所以圆的标准方程为；
解法二：由圆经过点和，可知圆心在线段的垂直平分线上，
将代入，得，即，
半径，
所以圆的标准方程为；
(2)
解：当直线的斜率存在时，设，即，
由直线与圆相切，得，解得，
此时，
当直线的斜率不存在时，直线显然与圆相切．
所以直线的方程为或；
(3)
解：圆心到直线的距离，
所以，
则点到直线距离的最大值为，
所以的面积的最大值
类型六 直线与圆的实际应用（2道）
33．(2023·湖北·武汉市第十九中学高二期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；
(2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
答案：(1)；
(2)会驶入安全预警区，行驶时长为半小时
【解题思路】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；
（2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.
【解题过程】(1)
由题意得，∴；
(2)
设圆的方程为，
因为该圆经过三点，∴，得到.
所以该圆的方程为：，
化成标准方程为：.
设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：，
圆心（6，8）到直线的距离，
所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.
直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时.
即在安全警示区内行驶时长为半小时.
34．(2023·浙江·安吉县上墅私立高级中学高二期末）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）.规划在公路上选两个点､，并修建两段直线型道路､.规划要求，线段､上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点到直线的距离分别为和（为垂足），测得，，（单位：百米）.
(1)若道路与桥垂直，求道路的长；
(2)在规划要求下，点能否选在处？并说明理由.
答案：(1)15（百米）
(2)点选在处不满足规划要求，理由见解析
【解题思路】（1）建立适当的坐标系，得圆及直线的方程，进而得解.
（2）不妨点选在处，求方程并求其与圆的交点，在线段上取点不符合条件，得结论.
【解题过程】(1)
如图，过作，垂足为.
以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.
因为为圆的直径，，所以圆的方程为.
因为，，所以，故直线的方程为，
则点，的纵坐标分别为3，
从而，，
直线的斜率为.
因为，所以直线的斜率为，
直线的方程为.令，得，，
所以.
因此道路的长为15（百米）.
(2)
若点选在处，连结，可求出点，又，
所以线段.
由解得或，
故不妨取，得到在线段上的点，
因为，
所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径5.
因此点选在处不满足规划要求.
类型七 圆的综合问题（6道）
35．(2023·江苏·海门中学高二期末）圆与轴的交点分别为，且与直线，都相切．
(1)求圆的方程；
(2)圆上是否存在点满足？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：(1)
(2)存在，或
【解题思路】（1）由题意，设圆心，由圆与两直线相切，可得圆心到两直线的距离都等于圆的半径，进而可求，然后求出半径即可得答案；
（2）假设圆上存在点满足，利用向量数量积的坐标运算化简，再联立圆的方程即可求解.
【解题过程】(1)
解：因为圆与轴的交点分别为，，
所以圆心在弦的垂直平分线上，设圆心，
又圆与直线，都相切，
所以，解得，
所以圆心，半径，
所以圆的方程为；
(2)
解：假设圆上存在点满足，
则，即①，
又，即②，
联立①②可得或，
所以存在点或满足.
36．(2023·辽宁·高二期末）如图，在平面直角坐标系上，已知圆的直径，定直线到圆心的距离为，且直线垂直于直线，点是圆上异于、的任意一点，直线、分别交与、两点．
(1)求过点且与圆相切的直线方程；
(2)若，求以为直径的圆方程；
(3)当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．
答案：(1)或
(2)
(3)过定点，定点坐标为
【解题思路】（1）对所求直线的斜率是否存在进行分类讨论，在所求直线斜率不存在时，直接验证直线与圆相切；在所求直线斜率存在时，设所求直线方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，求出的值，综合可得出所求直线的方程；
（2）分点在轴上方、点在轴下方两种情况讨论，求出点、的坐标，可得出所求圆的圆心坐标和半径，即可得出所求圆的方程；
（3）设直线的方程为，其中，求出点、的坐标，可求得以线段为直径的圆的方程，并化简圆的方程，可求得定点的坐标.
【解题过程】(1)
解：易知圆的方程为，圆心为原点，半径为，
若所求直线的斜率不存在，则所求直线的方程为，此时直线与圆相切，合乎题意，
若所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为，即，
由已知可得，解得，此时所求直线的方程为.
综上所述，过点且与圆相切的直线方程为或.
(2)
解：易知直线的方程为，、，
若点在轴上方，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
线段的中点为，且，此时，所求圆的方程为；
若点在轴下方，同理可求得所求圆的方程为.
综上所述，以为直径的圆方程为.
(3)
解：不妨设直线的方程为，其中，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
线段的中点为，，
所以，以线段为直径的圆的方程为，
即，由，解得，
因此，当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的定点.
37．(2023·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线与圆交于两点在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：(1)；
(2)存在，.
【解题思路】（1）设出圆心，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求出的值可得圆心坐标，进而可得圆的方程；
（2）由题可设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理及可得，即得.
【解题过程】(1)
由已知可设圆心，则，
解得或（舍）.
所以圆.
(2)
由题可设直线的方程为，
由，
得到：显然成立，
所以.①
若轴平分，则，
所以：，
整理得：，
将①代入整理得对任意的恒成立，则.
∴存在点为时，使得轴平分.
38．(2023·新疆·高二期末）已知圆C的圆心C在直线上，且与直线相切于点.
(1)求圆C的方程；
(2)过点的直线与圆C交于两点，线段的中点为M，直线与直线的交点为N.判断是否为定值.若是，求出这个定值，若不是，说明理由.
答案：(1)
(2)
【解题思路】（1）设过点且与直线垂直的直线为，将代入直线方程，即可求出，再与求交点坐标，得到圆心坐标，再求出半径，即可得解；
（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率不存在直接求出、的坐标，即可求出，当直线的斜率存在，设直线为、、，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，即可表示出的坐标，再求出的坐标，即可表示出、，即可得解；
【解题过程】(1)
解：设过点且与直线垂直的直线为，
则，解得，即，
由，解得，即圆心坐标为，
所以半径，
所以圆的方程为
(2)
解：当直线的斜率存在时，设过点的直线为，
所以，消去得，
设、，则，，
所以，所以的中点，
由解得，即，
所以，，
所以；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由，解得或，
即、，所以，所以
又解得，即，
所以，所以，
综上可得.
39．(2023·青海海东·高二期末（理））已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过，两点.
(1)求圆C的标准方程.
(2)设直线与圆C交于A，B（异于坐标原点O）两点，若以AB为直径的圆过原点，试问直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.
答案：(1)
(2)过定点，定点为
【解题思路】（1）设出圆C的标准方程，由题意列出方程从而可得答案.
（2）设，，将直线的方程与圆C的方程联立，得出韦达定理，由条件可得，从而得出答案.
【解题过程】(1)
设圆C的标准方程为
由题意可得解得，，.
故圆C的标准方程为.
(2)
设，.联立
整理的
，则，，
故.
因为以AB为直径的圆过原点，所以，
即
则，
化简得.
当时，直线，直线l过原点，此时不满足以AB为直径的圆过原点.
所以，则，则直线过定点.
40．(2023·四川内江·高二期末（文））已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心在轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于．
(1)求圆的标准方程；
(2)设过点的直线与圆交于不同的两点、，以、为邻边作平行四边形．是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程，如果不存在，请说明理由．
答案：(1)；
(2)不存在，理由见解析.
【解题思路】（1）设圆心，设圆的半径为，可得出，根据已知条件可得出关于实数的方程，求出的值，可得出的值，进而可得出圆的标准方程；
（2）分析可知直线的斜率存在，可设直线的方程为，设点、，将直线的方程与圆的方程联立，由可求得的取值范围，列出韦达定理，分析可得，可求得点的坐标，由已知可得出，求出的值，检验即可得出结论.
【解题过程】(1)
解：设圆心，设圆的半径为，则，由题意可得，
由勾股定理可得，则，
由题意可得，解得，则，
因此，圆的标准方程为.
(2)
解：若直线的斜率不存在，此时直线与轴重合，则、、三点共线，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，可设直线的方程为，设点、，
联立，可得，
，解得或，
由韦达定理可得，，则，
因为四边形为平行四边形，则，
因为，则，则，解得，
因为或，
因此，不存直线，使得直线与恰好平行.
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