2025高考数学一轮复习-4.3.1-两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式-专项训练【含解析】

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1．在△ABC中，cs Acs B>sin Asin B，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
2．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(2 021π,3)))＝( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,4)D．eq \f(2,3)
3．已知α满足sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),6)，则eq \f(tan α,tan2α＋1)＝( )
A．3B．－3
C．eq \f(4,9)D．－eq \f(4,9)
4．已知sin(α＋β)＝eq \f(2,3)，sin(α－β)＝eq \f(1,3)，则eq \f(tan α,tan β)＝( )
A．－eq \f(1,3)B．eq \f(1,3)
C．－3D．3
5．角α和β满足sin(α＋β)＝2sin(α－β)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan β＝( )
A．－eq \f(1,3)B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,3)D．3
6．(多选)(2024·南京月考)下列说法正确的是( )
A．cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)
B．1－sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2)))2
C．eq \f(1,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))
D．eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°)＝eq \f(\r(3),3)
7．(多选)若sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(3),3)，α∈(0，π)，则( )
A．cs α＝eq \f(1,3)
B．sin α＝eq \f(2,3)
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(6)＋2\r(3),6)
D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－\f(π,4)))＝eq \f(2\r(3)－\r(6),6)
8．若cs 2x＝eq \f(1,9)，则sin x＝__________．
9．已知tan α＝2，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝________．
tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)．
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
11．函数f(x)＝4cs2eq \f(x,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
12．(多选)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？假设θ＝∠BAC，现有下述四个结论，其中正确的是( )
A．水深为12尺B．芦苇长为15尺
C．tan eq \f(θ,2)＝eq \f(2,3)D．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－eq \f(17,7)
13．已知α－β＝eq \f(π,6)，tan α－tan β＝3，则cs(α＋β)＝________．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝eq \f(\r(5),5)，点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10)．
(1)求cs(α－β)的值；
(2)求2α－β的值．
15．在钝角三角形ABC中，已知C为钝角，A，B都是锐角，P＝sin(A＋B)，Q＝sin A＋sin B，R＝cs A＋cs B．
(1)当A＝30°，B＝30°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小；
(2)当A＝30°，B＝45°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小；
(3)由(1)，(2)你能得到什么结论，并证明你的结论；
(4)已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan eq \f(A,2)＋eq \f(2cs \f(A,2),sin \f(A,2)＋cs \f(B－C,2))，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论．
两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式-专项训练【解析版】
1．在△ABC中，cs Acs B>sin Asin B，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
解析：C 依题意可知cs Acs B－sin Asin B＝cs(A＋B)>0，所以－cs C>0，所以cs C<0，所以C为钝角．故选C．
2．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(2 021π,3)))＝( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,4)D．eq \f(2,3)
解析：B cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(2 021π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋674π－\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2＝eq \f(1,3)．故选B．
3．已知α满足sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),6)，则eq \f(tan α,tan2α＋1)＝( )
A．3B．－3
C．eq \f(4,9)D．－eq \f(4,9)
解析：D ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),6)＝eq \f(\r(2),2)(sin α＋cs α)，即sin α＋cs α＝eq \f(1,3)，平方可得1＋2sin αcs α＝eq \f(1,9)，∴sin 2α＝－eq \f(8,9)，故eq \f(tan α,tan2α＋1)＝eq \f(1,2)×eq \f(2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1,2)sin 2α＝－eq \f(4,9)，故选D．
4．已知sin(α＋β)＝eq \f(2,3)，sin(α－β)＝eq \f(1,3)，则eq \f(tan α,tan β)＝( )
A．－eq \f(1,3)B．eq \f(1,3)
C．－3D．3
解析：D 由题意可得，sin αcs β＋cs αsin β＝eq \f(2,3)，sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(1,3)，所以sin αcs β＝eq \f(1,2)，cs αsin β＝eq \f(1,6)，所以eq \f(tan α,tan β)＝eq \f(sin αcs β,cs αsin β)＝3．故选D．
5．角α和β满足sin(α＋β)＝2sin(α－β)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan β＝( )
A．－eq \f(1,3)B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,3)D．3
解析：A 因为sin(α＋β)＝2sin(α－β)，所以sin α·cs β＋cs α·sin β＝2sin α·cs β－2cs α·sin β，所以sin α·cs β＝3cs α·sin β，故taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan β＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·eq \f(sin β,cs β)＝eq \f(cs α·sin β,－sin α·cs β)＝－eq \f(1,3)．故选A．
6．(多选)(2024·南京月考)下列说法正确的是( )
A．cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)
B．1－sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2)))2
C．eq \f(1,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))
D．eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°)＝eq \f(\r(3),3)
解析：ABD ∵cs 2α＝2cs2α－1，∴cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，故A正确；
1－sin α＝sin2eq \f(α,2)＋cs2eq \f(α,2)－2sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2)))2，故B正确；
eq \f(1,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))，故C错误；
eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°)＝eq \f(tan 45°－tan 15°,1＋tan 45°·tan 15°)＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，故D正确．故选A、B、D．
7．(多选)若sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(3),3)，α∈(0，π)，则( )
A．cs α＝eq \f(1,3)
B．sin α＝eq \f(2,3)
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(6)＋2\r(3),6)
D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－\f(π,4)))＝eq \f(2\r(3)－\r(6),6)
解析：AC ∵sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(3),3)，α∈(0，π)，∴eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，cs eq \f(α,2)＝ eq \r(1－sin2\f(α,2))＝eq \f(\r(6),3)．则cs α＝1－2sin2eq \f(α,2)＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2＝eq \f(1,3)，故A正确；
sin α＝2sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＝2×eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(2\r(2),3)，故B错误；
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,4)))＝sin eq \f(α,2)cs eq \f(π,4)＋cs eq \f(α,2)sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(6),3)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)＋2\r(3),6)，故C正确；
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－\f(π,4)))＝sin eq \f(α,2)cs eq \f(π,4)－cs eq \f(α,2)sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(6),3)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)－2\r(3),6)，故D错误．故选A、C．
8．若cs 2x＝eq \f(1,9)，则sin x＝__________．
解析：∵cs 2x＝1－2sin2x＝eq \f(1,9)，可得sin2x＝eq \f(4,9)，故sin x＝±eq \f(2,3)．
答案：±eq \f(2,3)
9．已知tan α＝2，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝________．
解析：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝－sin 2α＝－2sin αcs α＝eq \f(－2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(－2tan α,tan2α＋1)＝－eq \f(4,5)．
答案：－eq \f(4,5)
10．已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)．
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解：(1)因为tan α＝eq \f(4,3)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)，
所以sin α＝eq \f(4,3)cs α．
因为sin2α＋cs2α＝1，所以cs2α＝eq \f(9,25)，
因此cs 2α＝2cs2α－1＝－eq \f(7,25)．
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(2\r(5),5)，
因此tan(α＋β)＝－2．
因为tan α＝eq \f(4,3)，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－eq \f(24,7)，
因此tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)]
＝eq \f(tan 2α－tanα＋β,1＋tan 2αtanα＋β)＝－eq \f(2,11)．
11．函数f(x)＝4cs2eq \f(x,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
解析：B 因为f(x)＝4cs2eq \f(x,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))－2sin x－|ln(x＋1)|＝2(1＋cs x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，所以函数f(x)的零点个数为函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|图象的交点的个数，作出函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|图象如图，
由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．
12．(多选)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？假设θ＝∠BAC，现有下述四个结论，其中正确的是( )
A．水深为12尺B．芦苇长为15尺
C．tan eq \f(θ,2)＝eq \f(2,3)D．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－eq \f(17,7)
解析：ACD 设BC＝x，则AC＝x＋1，∵AB＝5，∴52＋x2＝(x＋1)2，∴x＝12，即水深为12尺，A正确；芦苇长为13尺，B错误；tan θ＝eq \f(12,5)，由tan θ＝eq \f(2tan \f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))，解得tan eq \f(θ,2)＝eq \f(2,3)(负值已舍去)，C正确；∵tan θ＝eq \f(12,5)，∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋tan θ,1－tan θ)＝－eq \f(17,7)，D正确．故选A、C、D．
13．已知α－β＝eq \f(π,6)，tan α－tan β＝3，则cs(α＋β)＝________．
解析：由tan α－tan β＝3，得eq \f(sin α,cs α)－eq \f(sin β,cs β)＝3，即eq \f(sin αcs β－cs αsin β,cs αcs β)＝3．∴sin(α－β)＝3cs αcs β．又知α－β＝eq \f(π,6)，∴cs αcs β＝eq \f(1,6)．而cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(\r(3),2)，∴sin αsin β＝eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,6)．∴cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝eq \f(1,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\f(1,6)))＝eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),2)．
答案：eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),2)
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝eq \f(\r(5),5)，点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10)．
(1)求cs(α－β)的值；
(2)求2α－β的值．
解：(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，因为S△OAM＝eq \f(1,2)|OA|·|OM|sin α＝eq \f(\r(5),5)，所以sin α＝eq \f(2\r(5),5)，又α为锐角，所以cs α＝eq \f(\r(5),5)．因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10)，所以sin β＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝－eq \f(7\r(2),10)，所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7\r(2),10)))＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(2),10)＝－eq \f(\r(10),10)．
(2)因为sin α＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝－eq \f(7\r(2),10)，cs(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7\r(2),10)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(2),10)＝－eq \f(3\r(10),10)，所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcs(α－β)＋cs αsin(α－β)＝－eq \f(\r(2),2)，
因为α为锐角，sin α＝eq \f(2\r(5),5)>eq \f(\r(2),2)，所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
又β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以2α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以2α－β＝－eq \f(π,4)．
15．在钝角三角形ABC中，已知C为钝角，A，B都是锐角，P＝sin(A＋B)，Q＝sin A＋sin B，R＝cs A＋cs B．
(1)当A＝30°，B＝30°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小；
(2)当A＝30°，B＝45°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小；
(3)由(1)，(2)你能得到什么结论，并证明你的结论；
(4)已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan eq \f(A,2)＋eq \f(2cs \f(A,2),sin \f(A,2)＋cs \f(B－C,2))，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论．
解：(1)当A＝30°，B＝30°时，
P＝sin(30°＋30°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2)，
Q＝sin 30°＋sin 30°＝2sin 30°＝1，
R＝cs 30°＋cs 30°＝2cs 30°＝eq \r(3)，∴P(2)当A＝30°，B＝45°时，
P＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cs 45°＋cs 30°sin 45°
＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
Q＝sin 30°＋sin 45°＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1＋\r(2),2)，
R＝cs 30°＋cs 45°＝eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(3)＋\r(2),2)，
∵P－Q＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)－eq \f(1＋\r(2),2)＝eq \f(\r(6)－\r(2)－2,4)<0，∴P∵Q－R＝eq \f(1＋\r(2),2)－eq \f(\r(3)＋\r(2),2)＝eq \f(1－\r(3),2)<0，∴Q∴P(3)由(1)，(2)猜想P∵C为钝角，∴0∴A∴cs A>cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))＝sin B，
cs B>cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝sin A，
∴R－Q＝cs A＋cs B－sin A－sin B>sin B＋sin A－sin A－sin B＝0，即R>Q．
∵P－Q＝sin(A＋B)－sin A－sin B
＝sin Acs B＋cs Asin B－sin A－sin B
＝sin A(cs B－1)＋sin B(cs A－1)<0，
∴P综上可得P(4)任意交换两个角的位置，y的值不变．证明如下：
∵A，B，C是△ABC的三个内角，A＋B＋C＝π，
∴eq \f(A,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(B＋C,2)．
y＝tan eq \f(A,2)＋eq \f(2cs \f(A,2),sin \f(A,2)＋cs \f(B－C,2))
＝tan eq \f(A,2)＋eq \f(2sin\f(B＋C,2),cs \f(B＋C,2)＋cs \f(B－C,2))
＝tan eq \f(A,2)＋eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(B,2)cs \f(C,2)＋cs \f(B,2)sin \f(C,2))),2cs \f(B,2)cs \f(C,2))
＝tan eq \f(A,2)＋tan eq \f(B,2)＋tan eq \f(C,2)，
因此任意交换两个角的位置，y的值不变．