高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题23三角函数的图象与性质及图象的变换(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题23三角函数的图象与性质及图象的变换(原卷版+解析)，共1页。试卷主要包含了(2023·新高考Ⅱ卷T9），(2023·全国乙，给出以下四个论断等内容，欢迎下载使用。

专题23 三角函数的图象与性质
最值或值域
正切函数图象
三角函数的图象与性质
三角函数的图象
五点法作图
三角函数的性质
单调性
奇偶性
周期性
对称性
比较大小
对称轴
求单调区间
对称中心
正弦函数图象
余弦函数图象
直接法
化一法
换元法
代换法
图象法
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅰ卷T6） 记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A. 1B. C. D. 3
2.(2023·新高考Ⅱ卷T9）（多选）函数的图象以中心对称，则（ ）
A. 在单调递减 B. 在有2个极值点
C. 直线是一条对称轴 D. 直线是一条切线
3.(2023·全国乙（文）T11） 函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A. B. C. D.
4.(2023·北京卷T5） 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递减B. 在上单调递增
C. 在上单调递减D. 在上单调递增
5.(2023·全国乙（理）T15） 记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
6.(2023·北京卷T13） 若函数的一个零点为，则______；______．
7．(2023·浙江高考)设函数f(x)＝sin x＋cs x(x∈R)．
(1)求函数y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))2的最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值．
8．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为( )
A．B．C．D．
9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)关于函数f(x)=有如下四个命题：
①f(x)的图像关于y轴对称． ②f(x)的图像关于原点对称．
③f(x)的图像关于直线x=对称． ④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
10．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)关于函数有下述四个结论：
①是偶函数； ②在区间单调递增；
③在有4个零点； ④的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( )
A．①②③ B．②④ C．①④ D．①③
11．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是
A．B．C．D．
12．(2023·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))－3cs x的最小值为________．
13．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)若在是减函数，则的最大值是( )
A．B．C．D．
14．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数，则下列结论错误的是( )
A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为 D．在单调递减
讲典例 备高考
类型一、三角函数的最值（或值域）
基础知识：
1．正弦、余弦、正切函数的最值
基本题型：
1．（直接法）函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上的最大值为( )
A．－2 B．1 C.eq \r(3) D．2
2、（化一法）函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \r(2)cs x·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))))的最大值是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
3、（换元法）已知x∈(0，π)，则f(x)＝cs 2x＋sin x的值域为( )
A．（0，eq \f(9,8)]B．[0,1)
C．(0,1) D．eq \b\lc\[\rc\](0，eq \f(9,8))
4．（换元法）函数y＝－cs2x－sin x的值域为________．
基本方法：
1．三角函数值域或最值的3种求法
（1）直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acs x＋k的三角函数，直接利用sin x，cs x的值域求出
（2）化一法：形如y＝asin x＋bcs x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)
（3）换元法：形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)，换元时，注意t的取值范围。
类型二、三角函数的单调性
基础知识：
1．正弦、余弦、正切函数的单调性
基本题型：
1、（求单调区间）函数y＝lgeq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(3π,2)－2x))的单调递增区间是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－eq \f(π,4)，kπ＋eq \f(π,4))) (k∈Z) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－eq \f(π,4)，kπ)) (k∈Z)
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－kπ＋eq \f(π,4)，kπ＋eq \f(3π,4))) (k∈Z) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋eq \f(π,4)，kπ＋eq \f(3π,4))) (k∈Z)
2．（求单调区间）函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)))，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是________．
3．（利用单调性比较大小）(多选)下列结论正确的是( )
A．sin 103°15′>sin 164°30′ B．sin 508°>sin 144°
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,10)))>cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,9))) D．cseq \f(44π,9)>cseq \f(47π,10)
4．（利用单调性比较大小）若函数的最小正周期为，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（已知单调性求参数范围）若函数f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x在[t,3t]上是减函数，则t的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(π,6)，eq \f(7π,6))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(π,12)，eq \f(7π,18)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(π,6)，eq \f(7π,18))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(π,6)，π))
6．（已知单调性求参数的值）若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C．2 D．3
7．（已知单调性求参数范围）若函数在上是递增函数，则的取值范围是________
8．（已知单调性求参数范围）已知函数，是奇函数，且在上单调递减.则的最大值是（ ）
A．B．C．D．2
基本方法：
1．利用函数的单调性比较大小
(1)比较同名三角函数的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的三角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小．
(2)比较不同名三角函数的大小，应先化成同名三角函数，再进行比较．
2．求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数中含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间．
注意：要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．
3、已知单调区间求参数范围的3种方法
（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
类型三、三角函数的对称性
基础知识：
1．正弦、余弦、正切函数的对称性
2．正弦、余弦、正切函数的对称性与周期性之间的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq \f(1,2)T，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)T，其中T为周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是eq \f(1,2)T，其中T为周期．
基本题型：
1．（已知对称轴求值）已知函数且对任意的，都有，若函数，则（ ）
A．B．C．D．
2．（已知对称轴求值）如果函数y＝3cs(2x＋φ)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，0))中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
3．（已知中心对称求单调区间）已知函数，其函数图像的一个对称中心是，则该函数的单调递增区间可以是（ ）
A． B．C．D．
4．（已知对称中心求值）已知函数（）的图象关于点对称，且在区间上单调，则的值为______.
5．（求对称中心）已知函数的最小正周期为，其图象过点，则其对称中心为（ ）
A．B．
C．D．
6．（求对称轴、对称中心）先将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋\f(3π,4)))图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,3)，纵坐标不变，再向右平移eq \f(π,8)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．函数g(x)图象的一条对称轴是x＝eq \f(π,4) B．函数g(x)图象的一个对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))
C．函数g(x)图象的一条对称轴是x＝eq \f(π,2) D．函数g(x)图象的一个对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，0))
基本方法：
1、三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法
(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象的对称轴和对称中心求解．
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x＝eq \f(2k＋1π－2φ,2ω)，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(kπ－φ,ω)，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acs(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．
2、由三角函数的利用对称性求解参数(范围)的规律：
利用三角公式将函数的解析式写成Asin(ωx＋φ)＋b或Acs(ωx＋φ)＋b或Atan(ωx＋φ)＋b的形式，利用函数的对称性得到含有参数的表达式，根据参数范围确定整数k的取值求解
类型四、三角函数的周期性
基础知识：
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
基本题型：
1、函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________．
2．(多选)下列函数中，以2π为周期的函数有( )
A．y＝taneq \f(x,2) B．y＝sineq \f(x,2)
C．y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin 2x)) D．y＝cseq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))
3．已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))的周期为π，则ω＝________.
基本方法：
1、求三角函数周期的基本方法
（1）定义法：利用三角函数周期的定义进行求解
（2）公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acs(ωx＋φ))的最小正周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|)
（3）图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期
（4）转化法：对于较为复杂的三角函数，可通过恒等变形将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或
y＝Acs(ωx＋φ)＋b或y＝Atan(ωx＋φ)＋b)的类型，再利用公式法求得周期
类型五、三角函数的奇偶性
基础知识：
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
基础题型：
1、已知函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋eq \f(π,4)＋φ))是奇函数，则φ的值可以是( )
A．0 B．－eq \f(π,4)
C.eq \f(π,2) D．π
2．若函数f(x)＝eq \r(3)sin(2x＋θ)＋cs(2x＋θ)为奇函数，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))上为减函数，则θ的一个值为( )
A．－eq \f(π,3) B．－eq \f(π,6) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
3．若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋θ))＋eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－θ))为偶函数，则θ的值为________．
基本方法：
奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，
而偶函数一般可化为y＝Acsωx＋b的形式
类型六、三角函数性质的综合应用
1、(多选)已知函数f(x)＝sin xcs x＋eq \f(\r(3),2)(1－2sin2x)，则有关函数f(x)的说法正确的是( )
A．f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,3)，0))对称 B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称 D．f(x)的最大值为eq \r(3)
2、(多选)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x| 有下述四个结论，正确的是( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递增
C．f(x)在[－π，π]上有4个零点 D．f(x)的最大值为2
3．函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋eq \f(π,4))) (ω>0)的图象关于x＝eq \f(π,2)对称，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,2)，π))上单调递增，则f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](－eq \f(π,2)，eq \f(π,3))上的最小值为( )
A．－eq \f(\r(2),2) B．－eq \r(2)
C．－2 D．－1
4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，0<|φ|A．f(1)C．f(2)5．若一个三角函数y＝f(x)既在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数，又是以π为最小正周期的偶函数，则其解析式可以是________．
新预测 破高考
1．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋θ＋eq \f(π,3) ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2) )) ))是偶函数，则θ的值为( )
A.eq \f(π,12) B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,3)
2．(多选)已知函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，则下列说法正确的是( )
A. y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))是奇函数 B．f(x)的最小正周期是π
C．f(x)图象的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)－\f(π,6)，0))，k∈Z D．f(x)图象的对称轴是x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)，k∈Z
3．已知函数，则下列对该函数性质的描述中不正确的是（ ）
A．的图像关于点成中心对称 B．的最小正周期为2
C．的单调增区间为 D．没有对称轴
4、函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))的单调减区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,12)，2kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5π,12)，2kπ＋\f(11π,12)))(k∈Z) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(5π,12)，kπ＋\f(11π,12)))(k∈Z)
5、已知函数f(x)＝2sin xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋eq \f(π,3)))＋eq \f(\r(3),2)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，eq \f(π,2)))，则函数f(x)的值域是 ( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－eq \f(\r(3),2)，eq \f(\r(3),2))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－eq \f(\r(3),2)，1))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，eq \f(1,2)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)))
6．(多选)已知函数f(x)＝eq \r(3)sin x＋cs x，下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的最大值为eq \r(3)＋1
C．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))上为减函数 D.eq \f(5π,6)为f(x)的一个零点
7、若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A． B．
C． D．
8．如果函数y＝3cs（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(2π,3)))上单调递增，则ω的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(8,3))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(8,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，2))
11．函数（其中，）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
12、已知函数f(x)＝msin ωx＋2cs ωx(m≠0，ω>0)图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为eq \f(π,6)，且f(0)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))＝6，则函数f(x)在下列区间单调递减的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，－\f(2π,3)))
13．已知函数的一个零点是，是的图像的一条对称轴，则取最小值时，的单调增区间是_______.
14．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))时，函数y＝3－3sin x－2cs2x的最小值是________．
15．函数在的零点个数为 ．
16．函数()的最大值是 ．
17、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，若f(x)在eq \b\lc\[\rc\](eq \f(π,6)，eq \f(π,2))上具有单调性，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(2π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,6)))，则f(x)的最小正周期是________．
18、已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的图象的相邻两条对称轴间的距离为eq \f(π,2)，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))＝________.
19．设定义在R上的函数f(x)＝sin(ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c(ω>0，－eq \f(π,12)<φ20．设f(x)＝mcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－eq \f(π,3)))＋m－1(m≠0)．
(1)若m＝2，求函数f(x)的零点；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](0，eq \f(π,2))时，－3≤f(x)≤4恒成立，求实数m的取值范围．
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
最值
时，
y＝sin x取得最大值1；
时，
y＝sin x取得最小值-1；
时，
y＝cs x取得最大值1；
时，
y＝cs x取得最小值-1；
无最值
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z))))
单调性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ)) (k∈Z)上是递增函数，
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(3π,2)＋2kπ)) (k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋kπ)) (k∈Z)上是递增函数
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
对称性
对称轴是x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，
对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，
对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋eq \f(π,2)，0)) (k∈Z)
对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z))))
周期性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是eq \a\vs4\al(2π)
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是eq \a\vs4\al(2π)
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是eq \a\vs4\al(π)
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
奇
偶
奇
2023高考一轮复习讲与练
专题23 三角函数的图象与性质
最值或值域
正切函数图象
三角函数的图象与性质
三角函数的图象
五点法作图
三角函数的性质
单调性
奇偶性
周期性
对称性
比较大小
对称轴
求单调区间
对称中心
正弦函数图象
余弦函数图象
直接法
化一法
换元法
代换法
图象法
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅰ卷T6） 记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A. 1B. C. D. 3
答案：A
【解析】
分析：由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以.
2.(2023·新高考Ⅱ卷T9）（多选）函数的图象以中心对称，则（ ）
A. 在单调递减 B. 在有2个极值点
C. 直线是一条对称轴 D. 直线是一条切线
答案：AD
【解析】
分析：根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，即，
又，所以时，，故．对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．
3.(2023·全国乙（文）T11） 函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
【解析】
分析：利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.
4.(2023·北京卷T5） 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递减B. 在上单调递增
C. 在上单调递减D. 在上单调递增
答案：C
【解析】
分析：化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
5.(2023·全国乙（理）T15） 记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
答案：
【解析】
分析：首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，），所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
6.(2023·北京卷T13） 若函数的一个零点为，则________；________．
答案： ①. 1 ②.
分析：先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】∵，∴，∴
7．(2023·浙江高考)设函数f(x)＝sin x＋cs x(x∈R)．
(1)求函数y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))2的最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值．
【解析】(1)因为f(x)＝sin x＋cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，所以y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))2＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,4)))＝1－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))
＝1－sin 2x，所以y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))2的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)由题意可知y＝f(x)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))×eq \r(2)sin x＝2sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin x＋\f(\r(2),2)cs x))
＝eq \r(2)sin2x＋eq \r(2)sin xcs x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋eq \f(\r(2),2).
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以2x∈[0，π]，所以2x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，1))，所以y＝f(x)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)＋1)).
综上可知，y＝f(x)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的最大值为eq \f(\r(2),2)＋1.
8．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为( )
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：
所以函数的最小正周期为
9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)关于函数f(x)=有如下四个命题：
①f(x)的图像关于y轴对称．
②f(x)的图像关于原点对称．
③f(x)的图像关于直线x=对称．
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
答案：②③
解析：对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误．
10．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)关于函数有下述四个结论：
①是偶函数； ②在区间单调递增；
③在有4个零点； ④的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( )
A．①②③ B．②④ C．①④ D．①③
答案：C
解析：作出函数的图象如图所示，由图可知，是偶函数，①正确，在区间单调递减，②错误，在有3个零点，③错误；的最大值为2，④正确，故选C．
11．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A.
12．(2023·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))－3cs x的最小值为________．
答案：－4
解析：f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))－3cs x＝－cs 2x－3cs x＝－2cs2x－3cs x＋1
＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2x＋\f(3,2)cs x))＋1＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x＋\f(3,4)))2＋eq \f(17,8)，
因为－1≤cs x≤1，所以当cs x＝1时，函数f(x)取得最小值－4.
13．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)若在是减函数，则的最大值是( )
A．B．C．D．
答案：A
解析：由已知，得，即，
解得，即，所以，得，
所以的最大值是，故选A．
14．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数，则下列结论错误的是( )
A．的一个周期为B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为D．在单调递减
答案： D
【解析】函数的周期为，，故A正确；又函数的对称轴为，即，，当时，得，故B正确；由，所以函数的零点为，当时，，故C正确；由，解得，所以函数的单调递减区间为，而，故D错误．
【点评】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或的形式．
（2）求的对称轴，只需令，求；求的对称中心的横坐标，只需令即可．
讲典例 备高考
类型一、三角函数的最值（或值域）
基础知识：
1．正弦、余弦、正切函数的最值
基本题型：
1．（直接法）函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上的最大值为( )
A．－2 B．1 C.eq \r(3) D．2
答案： C
【解析】当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))时，x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))≤eq \f(\r(3),2)，所以1≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))≤eq \r(3)，
所以函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上的最大值为eq \r(3).
2、（化一法）函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \r(2)cs x·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))))的最大值是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
答案： C
【解析】f(x)＝eq \r(2)cs xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \r(2)cs x·eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－cs x))＝sin xcs x－cs2x
＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(1,2)cs 2x－eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－eq \f(1,2)，∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，∴2x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，∴eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－eq \f(1,2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，0))，即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的最大值是0.
3、（换元法）已知x∈(0，π)，则f(x)＝cs 2x＋sin x的值域为( )
A．（0，eq \f(9,8)]B．[0,1)
C．(0,1) D．eq \b\lc\[\rc\](0，eq \f(9,8))
答案： D
【解析】由f(x)＝cs 2x＋sin x＝1－2sin2x＋sin x，设sin x＝t，∵x∈(0，π)，∴t∈(0,1]，
∴g(t)＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－eq \f(1,4)))2＋eq \f(9,8)，∴g(t)∈eq \b\lc\[\rc\](0，eq \f(9,8))，即f(x)＝cs 2x＋sin x的值域为eq \b\lc\[\rc\](0，eq \f(9,8)).
4．（换元法）函数y＝－cs2x－sin x的值域为________．
答案： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，1))
【解析】设sin x＝t，则cs2x＝1－t2，∴y＝－cs2x－sin x＝－(1－t2)－t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2－eq \f(5,4)，
∵t＝sin x∈[－1,1]，∴当t＝eq \f(1,2)时，ymin＝－eq \f(5,4)；当t＝－1时，ymax＝1.
因此，函数y＝－cs2x－sin x的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，1)).
基本方法：
1．三角函数值域或最值的3种求法
（1）直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acs x＋k的三角函数，直接利用sin x，cs x的值域求出
（2）化一法：形如y＝asin x＋bcs x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)
（3）换元法：形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)，换元时，注意t的取值范围。
类型二、三角函数的单调性
基础知识：
1．正弦、余弦、正切函数的单调性
基本题型：
1、（求单调区间）函数y＝lgeq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(3π,2)－2x))的单调递增区间是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－eq \f(π,4)，kπ＋eq \f(π,4))) (k∈Z) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－eq \f(π,4)，kπ)) (k∈Z)
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－kπ＋eq \f(π,4)，kπ＋eq \f(3π,4))) (k∈Z) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋eq \f(π,4)，kπ＋eq \f(3π,4))) (k∈Z)
答案：B
【解析】y＝lgcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))＝lg (－sin 2x)，由－sin 2x>0得sin 2x<0，即2kπ－π<2x<2kπ，k∈Z，
即kπ－eq \f(π,2)即求t＝－sin 2x的减区间，即求y＝sin 2x的增区间，由2kπ－eq \f(π,2)≤2x<2kπ，k∈Z，
得kπ－eq \f(π,4)≤x2．（求单调区间）函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)))，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是________．
答案：eq \b\lc\[\rc\](－eq \f(5π,3)，eq \f(π,3))
【解析】由－eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，得－eq \f(5π,3)＋4kπ≤x≤eq \f(π,3)＋4kπ(k∈Z)，
当k＝0时，得－eq \f(5π,3)≤x≤eq \f(π,3)，eq \b\lc\[\rc\](－eq \f(5π,3)，eq \f(π,3))⊆[－2π，2π]，且仅当k＝0时符合题意，
所以函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)))，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](－eq \f(5π,3)，eq \f(π,3)).
3．（利用单调性比较大小）(多选)下列结论正确的是( )
A．sin 103°15′>sin 164°30′ B．sin 508°>sin 144°
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,10)))>cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,9))) D．cseq \f(44π,9)>cseq \f(47π,10)
答案：AC
【解析】对A，因为正弦函数在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上为减函数，且90°<103°15′<164°30′<180°，故sin 103°15′>sin 164°30′，故A正确；
对B，因为sin 508°＝sin(360°＋148°)＝sin 148°，且正弦函数在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上为减函数，故sin 148°对C，因为余弦函数为偶函数，且在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上为减函数，又eq \f(3π,10)cseq \f(4π,9)，故cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,10)))>cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,9)))，故C正确；
对D, cseq \f(44π,9)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(8π,9)))＝cseq \f(8π,9)，cseq \f(47π,10)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(7,10)π))＝cseq \f(7,10)π，因为eq \f(π,2)4．（利用单调性比较大小）若函数的最小正周期为，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，令，即，当时，，即函数在上单调递增，又由，
又由，所以.
5．（已知单调性求参数范围）若函数f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x在[t,3t]上是减函数，则t的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(π,6)，eq \f(7π,6))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(π,12)，eq \f(7π,18)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(π,6)，eq \f(7π,18))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(π,6)，π))
答案：C
【解析】 f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋eq \f(π,3)))的递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(π,6)＋2kπ，eq \f(7π,6)＋2kπ))，k∈Z，又由t<3t得t>0，
由3t－t<π得06．（已知单调性求参数的值）若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C．2 D．3
答案：B
【解析】因为f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，所以当0≤ωx≤eq \f(π,2)，即0≤x≤eq \f(π,2ω)时，y＝sin ωx是增函数；
当eq \f(π,2)≤ωx≤eq \f(3π,2)，即eq \f(π,2ω)≤x≤eq \f(3π,2ω)时，y＝sin ωx是减函数．由f(x)＝sin ωx(ω>0)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增，
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减知，eq \f(π,2ω)＝eq \f(π,3)，所以ω＝eq \f(3,2).
7．（已知单调性求参数范围）若函数在上是递增函数，则的取值范围是________
答案：
【解析】由于数在上是递增函数，所以.由，则，由正切函数的递增区间可知：，所以，，由于，故取，所以.
8．（已知单调性求参数范围）已知函数，是奇函数，且在上单调递减.则的最大值是（ ）
A．B．C．D．2
答案：C
【解析】是奇函数，，且，，，
令，，解得，，由于函数在上单调递减，故，当时，整理得，故，可得的最大值为.
基本方法：
1．利用函数的单调性比较大小
(1)比较同名三角函数的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的三角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小．
(2)比较不同名三角函数的大小，应先化成同名三角函数，再进行比较．
2．求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数中含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间．
注意：要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．
3、已知单调区间求参数范围的3种方法
（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
类型三、三角函数的对称性
基础知识：
1．正弦、余弦、正切函数的对称性
2．正弦、余弦、正切函数的对称性与周期性之间的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq \f(1,2)T，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)T，其中T为周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是eq \f(1,2)T，其中T为周期．
基本题型：
1．（已知对称轴求值）已知函数且对任意的，都有，若函数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】根据函数对任意的，都有，可得函数的图象关于直线对称，故有，。
2．（已知对称轴求值）如果函数y＝3cs(2x＋φ)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，0))中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
答案：A
【解析】∵y＝3cs(2x＋φ)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，0))中心对称，即3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(4π,3)＋φ))＝0，
∴eq \f(8π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴φ＝－eq \f(13π,6)＋kπ，k∈Z，∴当k＝2时，|φ|有最小值eq \f(π,6).
3．（已知中心对称求单调区间）已知函数，其函数图像的一个对称中心是，则该函数的单调递增区间可以是（ ）
A． B．C．D．
答案：D
【解析】为函数的对称中心，，，解得，
，，，当时，，此时不单调，错误；当时，，此时不单调，错误；当时，，此时不单调，错误；当时，，此时单调递增，正确。
4．（已知对称中心求值）已知函数（）的图象关于点对称，且在区间上单调，则的值为______.
答案：
【解析】的图像关于点对称，所以，即，，得到，，在区间上单调，所以，即，所以，所以，而，所以，.
5．（求对称中心）已知函数的最小正周期为，其图象过点，则其对称中心为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】已知函数的最小正周期为，，即函数，
其图象过点，，而，，则函数，令，求得，，则该函数的对称中心为，，.
6．（求对称轴、对称中心）先将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋\f(3π,4)))图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,3)，纵坐标不变，再向右平移eq \f(π,8)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．函数g(x)图象的一条对称轴是x＝eq \f(π,4) B．函数g(x)图象的一个对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))
C．函数g(x)图象的一条对称轴是x＝eq \f(π,2) D．函数g(x)图象的一个对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，0))
答案：C
【解析】先将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋\f(3π,4)))图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,3)，纵坐标不变，可得函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,4)))的图象，再向右平移eq \f(π,8)个单位长度，得到函数g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8)))＋\f(3π,4)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝2cs2x的图象。令2x＝kπ，得x＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，所以函数g(x)图象的对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)，k∈Z。当k＝1时，对称轴方程为x＝eq \f(π,2)。显然eq \f(kπ,2)＝eq \f(π,4)没有整数解，所以x＝eq \f(π,4)不是函数g(x)的对称轴。令2x＝kπ＋eq \f(π,2)，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z，故函数g(x)图象的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,4)，0))，k∈Z。显然eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,8)和eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)没有整数解，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，0))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))不是函数g(x)的对称中心。
基本方法：
1、三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法
(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象的对称轴和对称中心求解．
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x＝eq \f(2k＋1π－2φ,2ω)，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(kπ－φ,ω)，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acs(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．
2、由三角函数的利用对称性求解参数(范围)的规律：
利用三角公式将函数的解析式写成Asin(ωx＋φ)＋b或Acs(ωx＋φ)＋b或Atan(ωx＋φ)＋b的形式，利用函数的对称性得到含有参数的表达式，根据参数范围确定整数k的取值求解
类型四、三角函数的周期性
基础知识：
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
基本题型：
1、函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________．
答案：eq \f(π,2)
【解析】因为f(x)＝sin22x＝eq \f(1－cs 4x,2)＝－eq \f(1,2)cs 4x＋eq \f(1,2)，所以最小正周期T＝eq \f(2π,4)＝eq \f(π,2).
2．(多选)下列函数中，以2π为周期的函数有( )
A．y＝taneq \f(x,2) B．y＝sineq \f(x,2)
C．y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin 2x)) D．y＝cseq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))
答案：ACD
【解析】A：y＝taneq \f(x,2)，最小正周期T＝eq \f(π,\f(1,2))＝2π，正确；B：y＝sineq \f(x,2)，最小正周期T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π，不正确；C：y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin 2x))，最小正周期为eq \f(π,2)，故2π也是它的一个周期，正确；D：y＝cs |x|＝cs x，最小正周期为2π，正确．
3．已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))的周期为π，则ω＝________.
答案：π
【解析】因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,2)))))＝－eq \f(1,2)sin 2ωx＋eq \f(1,2)，
所以2ω＝eq \f(2π,T)＝2，解得ω＝1.函数f(x)＝sin xcs x＋eq \f(\r(3),2)(1－2sin2x)的最小正周期为π
由题可知f(x)＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(\r(3),2)cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋eq \f(π,3))).所以函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，
基本方法：
1、求三角函数周期的基本方法
（1）定义法：利用三角函数周期的定义进行求解
（2）公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acs(ωx＋φ))的最小正周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|)
（3）图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期
（4）转化法：对于较为复杂的三角函数，可通过恒等变形将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或
y＝Acs(ωx＋φ)＋b或y＝Atan(ωx＋φ)＋b)的类型，再利用公式法求得周期
类型五、三角函数的奇偶性
基础知识：
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
基础题型：
1、已知函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋eq \f(π,4)＋φ))是奇函数，则φ的值可以是( )
A．0 B．－eq \f(π,4)
C.eq \f(π,2) D．π
答案：B
【解析】由y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋eq \f(π,4)＋φ))是奇函数，得eq \f(π,4)＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－eq \f(π,4)，k∈Z.令k＝0，得φ＝－eq \f(π,4).
2．若函数f(x)＝eq \r(3)sin(2x＋θ)＋cs(2x＋θ)为奇函数，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))上为减函数，则θ的一个值为( )
A．－eq \f(π,3) B．－eq \f(π,6) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案：D
【解析】由题意得f(x)＝eq \r(3)sin(2x＋θ)＋cs(2x＋θ)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋θ＋\f(π,6))).因为函数f(x)为奇函数，
所以θ＋eq \f(π,6)＝kπ(k∈Z)，故θ＝－eq \f(π,6)＋kπ(k∈Z)．当θ＝－eq \f(π,6)时，f(x)＝2sin 2x，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))上为增函数，
不合题意；当θ＝eq \f(5π,6)时，f(x)＝－2sin 2x，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))上为减函数，符合题意，故选D.
3．若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋θ))＋eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－θ))为偶函数，则θ的值为________．
答案：kπ－eq \f(π,6)，k∈Z
【解析】因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋θ))＋eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－θ))是偶函数，所以有f(x)＝f(－x)，于是有：
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋θ))＋eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－θ))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋θ))＋eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x－θ))，化简得：sin x(eq \r(3)sin θ＋cs θ)＝0，
要想x∈R恒成立，只需eq \r(3)sin θ＋cs θ＝0⇒tan θ＝－eq \f(\r(3),3)⇒θ＝kπ－eq \f(π,6)，k∈Z.
基本方法：
奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，
而偶函数一般可化为y＝Acsωx＋b的形式
类型六、三角函数性质的综合应用
1、(多选)已知函数f(x)＝sin xcs x＋eq \f(\r(3),2)(1－2sin2x)，则有关函数f(x)的说法正确的是( )
A．f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,3)，0))对称 B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称 D．f(x)的最大值为eq \r(3)
答案：AB
【解析】由题可知f(x)＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(\r(3),2)cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋eq \f(π,3))).当x＝eq \f(π,3)时，2x＋eq \f(π,3)＝π，故函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,3)，0))对称，故A正确；当x＝eq \f(π,6)时，2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(2π,3)，所以函数f(x)的图象不关于直线x＝eq \f(π,6)对称，故C错误；函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，故B正确；函数f(x)的最大值为1，故D错误．故选A、B.
2、(多选)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x| 有下述四个结论，正确的是( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递增
C．f(x)在[－π，π]上有4个零点 D．f(x)的最大值为2
答案：AD
【解析】A中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故A正确；
B中，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，函数单调递减，故B错误；
C中，当x＝0时，f(x)＝0，当x∈(0，π]时，f(x)＝2sin x，令f(x)＝0，得x＝π.又∵f(x)是偶函数，
∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，故C错误；
D中，∵sin|x|≤|sin x|，∴f(x)≤2|sin x|≤2，当x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)或x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，
f(x)能取得最大值2，故D正确．
3．函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋eq \f(π,4))) (ω>0)的图象关于x＝eq \f(π,2)对称，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,2)，π))上单调递增，则f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](－eq \f(π,2)，eq \f(π,3))上的最小值为( )
A．－eq \f(\r(2),2) B．－eq \r(2)
C．－2 D．－1
答案：B
【解析】因为函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋eq \f(π,4))) (ω>0)的图象关于x＝eq \f(π,2)对称，所以eq \f(π,2)ω＋eq \f(π,4)＝kπ(k∈Z)，解得ω＝2k－eq \f(1,2)(k∈Z)，而f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,2)，π))上单调递增，所以有eq \f(π,ω)≥eq \f(π,2)，故0<ω≤2，所以ω＝eq \f(3,2)，即f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(3,2)x＋eq \f(π,4))).因为－eq \f(π,2)≤x≤eq \f(π,3)，所以－eq \f(π,2)≤eq \f(3,2)x＋eq \f(π,4)≤eq \f(3π,4)，故f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](－eq \f(π,2)，eq \f(π,3))上的最小值为－eq \r(2).
4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，0<|φ|A．f(1)C．f(2)答案：B
【解析】根据f(x)的最小正周期为π，故可得T＝eq \f(2π,|ω|)＝π，解得ω＝2.又其关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,8)，0))中心对称，
故可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,4)＋φ))＝0，又|φ|∈，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，eq \f(π,2)))故可得φ＝－eq \f(π,4).则f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－eq \f(π,4))).
令2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x∈eq \b\lc\[\rc\]( kπ－eq \f(π,8)，kπ＋eq \f(3,8)π)，k∈Z，故f(x)在eq \b\lc\[\rc\]( －eq \f(π,8)，eq \f(3,8)π)上单调递增．又f(2)＝f，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(3,4)π－2))，且－eq \f(π,8)<05．若一个三角函数y＝f(x)既在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数，又是以π为最小正周期的偶函数，则其解析式可以是________．
答案：y＝－cs 2x
【解析】一个三角函数y＝f(x)是以π为最小正周期的偶函数，所以函数为f(x)＝cs 2x类型，
由y＝f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))内是增函数，可知函数是f(x)＝－cs x类型，所以函数的解析式为y＝－cs 2x.
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1．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋θ＋eq \f(π,3) ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2) )) ))是偶函数，则θ的值为( )
A.eq \f(π,12) B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,3)
答案：B
【解析】由f(x)是偶函数，可得θ＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，即θ＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z.令k＝0，得θ＝eq \f(π,6).
2．(多选)已知函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，则下列说法正确的是( )
A. y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))是奇函数 B．f(x)的最小正周期是π
C．f(x)图象的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)－\f(π,6)，0))，k∈Z D．f(x)图象的对称轴是x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)，k∈Z
答案：AC
【解析】A正确，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋\f(π,3)))＝tan 2x，是奇函数；
B错，函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期为T＝eq \f(π,2)；C正确，令2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，解得x＝－eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,4)，
k∈Z，所以f(x)图象的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋\f(kπ,4)，0))，k∈Z；D错，正切函数的图象没有对称轴．
3．已知函数，则下列对该函数性质的描述中不正确的是（ ）
A．的图像关于点成中心对称 B．的最小正周期为2
C．的单调增区间为 D．没有对称轴
答案：C
【解析】对于A：令,令，可得函数的一个对称中心为，故正确；对于B：函数f（x）的最小正周期为T＝，故正确；对于C：令，解不等式可得函数的单调递增区间为，故错误；对于D：正切函数不是轴对称图形，故正确．
4、函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))的单调减区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,12)，2kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5π,12)，2kπ＋\f(11π,12)))(k∈Z) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(5π,12)，kπ＋\f(11π,12)))(k∈Z)
答案：B
【解析】y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5,12)π，k∈Z.则函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))的单调减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)，选B.
5、已知函数f(x)＝2sin xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋eq \f(π,3)))＋eq \f(\r(3),2)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，eq \f(π,2)))，则函数f(x)的值域是 ( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－eq \f(\r(3),2)，eq \f(\r(3),2))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－eq \f(\r(3),2)，1))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，eq \f(1,2)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)))
答案：B
【解析】f(x)＝2sin xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋eq \f(\r(3),2)＝sin xcs x－eq \r(3)sin2x＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(\r(3),2)cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，eq \f(π,2)))时，2x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(π,3)，eq \f(4π,3)))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－eq \f(\r(3),2)，1)).
6．(多选)已知函数f(x)＝eq \r(3)sin x＋cs x，下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的最大值为eq \r(3)＋1
C．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))上为减函数 D.eq \f(5π,6)为f(x)的一个零点
答案：ACD
【解析】f(x)＝eq \r(3)sin x＋cs x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，f(x)的最小正周期为2π，故A正确；当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝1时，f(x)的最大值为2，故B错误；因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，所以x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,6)))⊆eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))上为减函数，故C正确；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋\f(π,6)))＝2sin π＝0，所以eq \f(5π,6)为f(x)的一个零点，故D正确．
7、若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】将函数的图像向左平移个单位长度的到 的图像，令 则，故选B．
8．如果函数y＝3cs（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】∵函数y＝3cs（2x+φ）的图象关于点中心对称.∴，∴当时，有.
9．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】根据题意，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则
.根据函数的单调增区间满足，解得.当时，函数的增区间为，当时，函数的增区间为.若满足函数在区间和上均单调递增，则 ，解得.
10．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(2π,3)))上单调递增，则ω的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(8,3))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(8,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，2))
答案：C
【解析】由函数y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k∈Z))上单调递增，得eq \f(1,ω)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)))≤x≤eq \f(1,ω)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)))，k∈Z时，f(x)单调递增，又∵f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(2π,3)))上单调递增，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,ω)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)))≤－\f(π,4)，,\f(1,ω)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)))≥\f(2π,3)，,ω>0，k∈Z，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ω≤\f(8,3)－8k，,ω≤3k＋\f(1,2)，))∴当k＝0时，有0<ω≤eq \f(1,2).
11．函数（其中，）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
答案：D
【解析】由图象可知，的最小正周期为，，
，，，，得，，，
因此，只需将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象.
12、已知函数f(x)＝msin ωx＋2cs ωx(m≠0，ω>0)图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为eq \f(π,6)，且f(0)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))＝6，则函数f(x)在下列区间单调递减的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，－\f(2π,3)))
答案：B
【解析】 f(x)＝msin ωx＋2cs ωx＝eq \r(m2＋4)sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan φ＝\f(2,m)))，记函数f(x)的最小正周期为T.
因为函数f(x)图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为eq \f(π,6)，所以eq \f(T,4)＝eq \f(π,6)，即T＝eq \f(2π,3)，所以ω＝eq \f(2π,T)＝3.
由f(0)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))＝6，得2＋eq \f(\r(3),2)m＋1＝6，解得m＝2eq \r(3)，
所以f(x)＝2eq \r(3)sin 3x＋2cs 3x＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6))).令eq \f(π,2)＋2kπ<3x＋eq \f(π,6)解得eq \f(π,9)＋eq \f(2kπ,3)所以函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,4)))上单调递减，故选B.
13．已知函数的一个零点是，是的图像的一条对称轴，则取最小值时，的单调增区间是_______.
答案：
【解析】由条件得 ，
又因为 ，此时，
又因为 ，
由.
14．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))时，函数y＝3－3sin x－2cs2x的最小值是________．
答案：－eq \f(1,8)
【解析】当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))时，sin x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，函数y＝3－3sin x－2cs2x＝2sin2x－3sin x＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(3,4)))2－eq \f(1,8)，故当sin x＝eq \f(3,4)时，函数y取得最小值为－eq \f(1,8).
15．函数在的零点个数为 ．
答案：
解析：由，，解得，
由即
由，可得，故函数在的零点个数为．
16．函数()的最大值是 ．
答案：1
【解析】∵ ，，∴
设，，∴ ，函数对称轴为，∴
17、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，若f(x)在eq \b\lc\[\rc\](eq \f(π,6)，eq \f(π,2))上具有单调性，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(2π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,6)))，则f(x)的最小正周期是________．
答案：C
【解析】由“feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(2π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(2π,3)))”知，直线x＝eq \f(7π,12)是f(x)图象的对称轴．
又f(x)在eq \b\lc\[\rc\](eq \f(π,6)，eq \f(π,2))上具有单调性，所以eq \b\lc\(\rc\) (eq \f(π,3)，0)是f(x)图象的对称中心．
于是有x＝eq \f(7π,12)是方程ωx＋φ＝k1π＋eq \f(π,2)，k1∈Z的一个解，
即φ＝k1π＋eq \f(π,2)－eq \f(7π,12)ω，k1∈Z；x＝eq \f(π,3)是方程ωx＋φ＝k2π，k2∈Z的一个解，即φ＝k2π－eq \f(π,3)ω，k2∈Z.
从而有eq \f(7π,12)ω－eq \f(π,3)ω＝k1π＋eq \f(π,2)－k2π，k1，k2∈Z，
取k1＝k2，得ω＝2，所以f(x)的最小正周期是π.
18、已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的图象的相邻两条对称轴间的距离为eq \f(π,2)，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))＝________.
答案：C
【解析】∵函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为eq \f(π,2)，∴eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)，得T＝π，即eq \f(2π,ω)＝π，得ω＝2，
即f(x)＝2sin(2x＋φ)，∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝2，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝2＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋φ))，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋φ))＝1，
∵0＜φ＜eq \f(π,2)，∴eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)，得φ＝eq \f(π,2)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)，则f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,8)＋\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,4)cs\f(π,3)＋cs\f(π,4)sin\f(π,3)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)×\f(1,2)＋\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)))＝eq \f(\r(2)＋\r(6),2).
19．设定义在R上的函数f(x)＝sin(ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c(ω>0，－eq \f(π,12)<φ答案：C
【解析】根据①f(x)的最小正周期为π，可得ω＝2，函数f(x)＝sin(2x＋φ)．再由④函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,12)对称，可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c(2×eq \f(π,12)＋φ ))为f(x)的最值，又－eq \f(π,12)<φ答案：①④⇒②③或①③⇒②④(写出一个即可)
20．设f(x)＝mcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－eq \f(π,3)))＋m－1(m≠0)．
(1)若m＝2，求函数f(x)的零点；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](0，eq \f(π,2))时，－3≤f(x)≤4恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由m＝2⇒f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－eq \f(π,3)))＋1，令f(x)＝0，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－eq \f(π,3)))＝－eq \f(1,2)，
即2x－eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(2π,3)或2x－eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(4π,3)(k∈Z)，解得x＝kπ＋eq \f(π,2)或x＝kπ＋eq \f(5π,6)(k∈Z)，
∴f(x)的零点是x＝kπ＋eq \f(π,2)或x＝kπ＋eq \f(5π,6)(k∈Z)．
(2)由0≤x≤eq \f(π,2)可得－eq \f(π,3)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(2π,3)，所以－eq \f(1,2)≤cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－eq \f(π,3)))≤1.
①当m>0时，易得eq \f(m,2)－1≤f(x)≤2m－1，由－3≤f(x)≤4恒成立可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fxmin≥－3，,fxmax≤4，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m,2)－1≥－3，,2m－1≤4，,m>0，))解得0②当m<0时，可得2m－1≤f(x)≤eq \f(m,2)－1，由－3≤f(x)≤4恒成立可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fxmin≥－3，,fxmax≤4，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1≥－3，,\f(m,2)－1≤4，,m<0，))解得－1≤m<0.
综上可得，m的取值范围是[－1,0)∪eq \b\lc\(\rc\](0，eq \f(5,2)).
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
最值
时，
y＝sin x取得最大值1；
时，
y＝sin x取得最小值-1；
时，
y＝cs x取得最大值1；
时，
y＝cs x取得最小值-1；
无最值
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z))))
单调性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ)) (k∈Z)上是递增函数，
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(3π,2)＋2kπ)) (k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋kπ)) (k∈Z)上是递增函数
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
对称性
对称轴是x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，
对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，
对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋eq \f(π,2)，0)) (k∈Z)
对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z))))
周期性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是eq \a\vs4\al(2π)
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是eq \a\vs4\al(2π)
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是eq \a\vs4\al(π)
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
奇
偶
奇