高考数学一轮复习考点探究与题型突破第24讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习考点探究与题型突破第24讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了二倍角的正弦、余弦、正切公式等内容，欢迎下载使用。


1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ．
C(α＋β)：cs(α＋β)＝csαcsβ－sin_αsinβ．
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcsβ＋cs_αsinβ．
S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ．
T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α，β，α＋β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α，β，α－β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2α：sin 2α＝2sinαcsα．
C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α．
T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,4)＋\f(kπ,2)，且α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
考点1 公式的直接应用
[名师点睛]
应用三角公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
[典例]
1．(2023·福建厦门·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）若，则=（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·江苏·高三专题练习）已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·江苏徐州·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．3D．
[举一反三]
1．(2023·北京四中高三阶段练习）角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·广东肇庆·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·福建南平·三模）在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点，现将角的终边按逆时针方向旋转，记此时角的终边与单位圆交于点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·江苏扬州·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·湖南师大附中二模）中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·海南海口·模拟预测）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
7．（多选）(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，其中为锐角，则以下命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．(2023·浙江绍兴·模拟预测）已知，则________，__________．
9．(2023·山东淄博·模拟预测）已知，，则______．
10．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知，，则的值为________．
考点2 三角函数公式的逆用与变形用
[名师点睛]
两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)和差角公式变形：
sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β，
cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β，
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)．
(3)倍角公式变形：降幂公式．
[典例]
1．(2023·浙江·高三专题练习）的值为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·福建泉州·模拟预测）已知，且，则α=（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·江苏苏州·模拟预测）已知，则实数的值为（ ）
A．B．2C．4D．8
4．(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C的值为（ ）
A．B．C．D．
[举一反三]
1．(2023·江苏·高三专题练习）的值为（ ）
A．1B．0C．-0.5D．0.5
2．(2023·重庆八中高三阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高三专题练习）已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值（即黄金分割值，该值恰好等于），则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·浙江·高三专题练习）（ ）
A．B．C．D．
5．（多选）(2023·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．(2023·重庆·三模）___________.
7．(2023·全国·高三专题练习）的值等于_________.
8．(2023·江苏南通·高三期末）写出一个满足tan20°＋4csθ＝的θ＝_________.
9．(2023·山东·青岛二中高三开学考试）______．
10．(2023·全国·高三专题练习）________.
考点3 角的变换与名的变换
[名师点睛]
1．三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，eq \f(α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))等．
3.三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
[典例]
1．(2023·河北唐山·二模）已知，函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知，，均为锐角，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·海南·模拟预测）设为第一象限角，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．3D．
[举一反三]
1．(2023·全国·高三专题练习）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·湖南·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）倍.
A．1B．C．D．
3．(2023·湖南株洲·一模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·浙江·高三专题练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·广东湛江·二模）若，，则___________.
7．(2023·全国·高三专题练习）已知，，，则_______；_______.
8．(2023·山东烟台·高三期末）已知，，则的值为______．
9．(2023·江苏·模拟预测）已知，则_________．
10．(2023·广东·三模）已知，则___________.
11．(2023·广东韶关·一模）若，则__________.
12．(2023·全国·高三专题练习）已知，为锐角，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
第24讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ．
C(α＋β)：cs(α＋β)＝csαcsβ－sin_αsinβ．
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcsβ＋cs_αsinβ．
S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ．
T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α，β，α＋β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α，β，α－β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2α：sin 2α＝2sinαcsα．
C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α．
T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,4)＋\f(kπ,2)，且α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
考点1 公式的直接应用
[名师点睛]
应用三角公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
[典例]
1．(2023·福建厦门·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】，，，
，，，
，，，，
.
故选：C.
2．(2023·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）若，则=（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】解：因为，，所以，
所以＝.
故选：D．
3．(2023·江苏·高三专题练习）已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】∵，
∴，
即，，
∵，∴，即，
∴．
故选：D．
4．(2023·江苏徐州·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．3D．
答案：A
【解析】.
故选：A．
[举一反三]
1．(2023·北京四中高三阶段练习）角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】角的终边过点，，
.
故选：B.
2．(2023·广东肇庆·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由，，得，
所以，
故选:B.
3．(2023·福建南平·三模）在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点，现将角的终边按逆时针方向旋转，记此时角的终边与单位圆交于点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由三角函数定义知：，将角的终边按逆时针方向旋转，此时角变为，
故点的横坐标为，
点的纵坐标为，
故点的坐标为.
故选：B.
4．(2023·江苏扬州·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由两角差的正弦公式展开可得：，则，
所以.
故选：A.
5．(2023·湖南师大附中二模）中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】如图所示，由图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，可得，
因为，可得，
所以，所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以.
故选：C.
6．(2023·海南海口·模拟预测）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
答案：A
【解析】由题意得，．
故选:A
7．（多选）(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，其中为锐角，则以下命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AB
【解析】因为，，
所以，故A正确；
因为，
所以
所以
，故B正确；
，
，
由得，，解得；故C不正确；
由得，，解得；
，故D不正确.
故选：AB.
8．(2023·浙江绍兴·模拟预测）已知，则________，__________．
答案： 1
【解析】
故答案为：，1．
9．(2023·山东淄博·模拟预测）已知，，则______．
答案：
【解析】由得，又，所以，
因为，，，所以，
因为，
所以．
故答案为：
10．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知，，则的值为________．
答案：
【解析】解：∵，∴．
故答案为：.
考点2 三角函数公式的逆用与变形用
[名师点睛]
两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)和差角公式变形：
sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β，
cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β，
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)．
(3)倍角公式变形：降幂公式．
[典例]
1．(2023·浙江·高三专题练习）的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】原式=.
故选：D.
2．(2023·福建泉州·模拟预测）已知，且，则α=（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为
所以，
整理得：，
因为，
所以，
所以，
解得：
故选：B
3．(2023·江苏苏州·模拟预测）已知，则实数的值为（ ）
A．B．2C．4D．8
答案：C
【解析】解：∵tan20°+msin20°，
∴m


4
故选：C
4．(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由已知可得tanA＋tanB＝(tanA·tanB－1)，
∴ tan(A＋B)＝＝－.
又0＜A＋B＜π，
∴ A＋B＝，∴ C＝.
故选：C
[举一反三]
1．(2023·江苏·高三专题练习）的值为（ ）
A．1B．0C．-0.5D．0.5
答案：D
【解析】.
故选：D.
2．(2023·重庆八中高三阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】,
,
即，则，
故选：D.
3．(2023·全国·高三专题练习）已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值（即黄金分割值，该值恰好等于），则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由已知可得，故，
则
.
故选:D.
4．(2023·浙江·高三专题练习）（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】.
故选：A.
5．（多选）(2023·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：CD
【解析】因为，
故选项A错误；
因为，
故选项B错误；
因为，
所以，
故选项C正确；
因为，
所以，
故选项D正确；
故选：CD.
6．(2023·重庆·三模）___________.
答案：
【解析】解：原式=.
故答案为：
7．(2023·全国·高三专题练习）的值等于_________.
答案：
【解析】
故答案为：
8．(2023·江苏南通·高三期末）写出一个满足tan20°＋4csθ＝的θ＝_________.
答案：（答案不唯一）．
【解析】由题意，
因此（实际上）．
故答案为：（答案不唯一）．
9．(2023·山东·青岛二中高三开学考试）______．
答案：1
【解析】因为，
所以．
故答案为：1
10．(2023·全国·高三专题练习）________.
答案：2
【解析】因为，
又，所以，
所以.
故答案为：2.
考点3 角的变换与名的变换
[名师点睛]
1．三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，eq \f(α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))等．
3.三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
[典例]
1．(2023·河北唐山·二模）已知，函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】解：令，，则或，
令，，则，
又，，
所以，，，，
因为，，
所以，，
所以，
故选：B.
2．(2023·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知，，均为锐角，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】均为锐角，即，，
，又，
，
又，.
故选：C.
3．(2023·海南·模拟预测）设为第一象限角，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】，且，得，
则，，，
.
故选：A
4．(2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．3D．
答案：B
【解析】∵，，
∴；
∵，∴，又，∴
∵，∴
∵，∴，
∴，
∴.
故选：B.
[举一反三]
1．(2023·全国·高三专题练习）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，则，又，故，
则，
故
.
故选：C.
2．(2023·湖南·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）倍.
A．1B．C．D．
答案：A
【解析】解：由题意可得，，
所以，
即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.
故选：A.
3．(2023·湖南株洲·一模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，则，故，
所以，，
故，因此，.
故选：C.
4．(2023·浙江·高三专题练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】解：由已知可得，
，，，.
故选：A.
5．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】解：因为，，其中，为锐角，
所以：，故A正确；
因为，
所以
，故B错误；
可得，故C正确；
可得，所以，故D错误．
故选：AC．
6．(2023·广东湛江·二模）若，，则___________.
答案：
【解析】因为，，
所以，
故答案为：
7．(2023·全国·高三专题练习）已知，，，则_______；_______.
答案： 3
【解析】因为，，所以，
所以，因为，
所以
所以，
故答案为：3；.
8．(2023·山东烟台·高三期末）已知，，则的值为______．
答案：
【解析】因，即，又，则，
所以.
故答案为：
9．(2023·江苏·模拟预测）已知，则_________．
答案：
【解析】由，可得，
因为，所以，所以，
又由
.
故答案为：.
10．(2023·广东·三模）已知，则___________.
答案：
【解析】原式
.
故答案为：.
11．(2023·广东韶关·一模）若，则__________.
答案：
【解析】因为，所以，所以，所以.
故答案为：
12．(2023·全国·高三专题练习）已知，为锐角，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【解】（1）因为为锐角，，
所以，
所以；
（2）因为，为锐角，所以，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
所以
，
所以，
所以，，
所以.