广西专用高考数学一轮复习考点规范练23两角和与差的正弦余弦与正切公式含解析新人教A版理

考点规范练23　两角和与差的正弦、余弦与正切公式

基础巩固

1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(　　)

A.- B C.- D

答案:D

解析:sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(10°+20°)=sin30°=

2.已知,且cos α=-,则tan等于(　　)

A.7 B C.- D.-7

答案:B

解析:因为,且cosα=-,

所以sinα=-,所以tanα=

所以tan

3.已知cos+sin α=,则sin的值为(　　)

A B C.- D.-

答案:C

解析:∵cos+sinα=cosα+sinα=,

cosα+sinα=

∴sin=-sin=-=-

4.(2020陕西西安模拟)已知sin α=2sin,则cos 2α=(　　)

A B.-7 C.- D.-3

答案:C

解析:∵sinα=2sin=2cosα,∴tanα=2.

∴cos2α=cos2α-sin2α==-

5.若0<y≤x<,且tan x=3tan y,则x-y的最大值为(　　)

A B C D

答案:B

解析:∵0<y≤x<,tanx=3tany,

∴x-y,tan(x-y)==tan

当且仅当3tan2y=1时取等号,∴x-y的最大值为,故选B.

6.函数f(x)=sin 2xsin-cos 2xcos在区间上的单调递增区间为　　　　　　　　. 

答案:

解析:f(x)=sin2xsin-cos2xcos=sin2xsin+cos2xcos=cos

当2kπ-π≤2x-2kπ(k∈Z),

即kπ-x≤kπ+(k∈Z)时,函数f(x)单调递增.

取k=0,得-x,故函数f(x)在区间上的单调递增区间为

7.(2020广西桂林二模)已知tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的两个实数根,则tan(α+β)=　　　　. 

答案:1

解析:由题意tanα,tanβ是方程6x2-5x+1=0的两个实数根,

可得tanα+tanβ=,tanαtanβ=,

∴tan(α+β)==1.

8.函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是　　　　,单调递减区间是　. 

答案:π　,k∈Z

解析:f(x)=sin2x+sinxcosx+1

=sin2x+1

=(sin2x-cos2x)+

=sin

故最小正周期T==π.

令2kπ+2x-2kπ+,k∈Z,

解得kπ+x≤kπ+,k∈Z,

故f(x)的单调递减区间为,k∈Z.

9.已知函数f(x)=sin,x∈R.

(1)求f的值;

(2)若cos θ=,,求f的值.

解:(1)f=sin=sin=-

(2)f=sin2θ-=sin(sin2θ-cos2θ).

因为cosθ=,,所以sinθ=

所以sin2θ=2sinθcosθ=,cos2θ=cos2θ-sin2θ=

所以f(sin2θ-cos2θ)=

能力提升

10.设a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°,b=(sin 56°-cos 56°),c=,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b

答案:D

解析:a=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin(40°+127°)=sin167°=sin13°,

b=(sin56°-cos56°)=sin56°-cos56°=sin(56°-45°)=sin11°,

c==cos239°-sin239°=cos78°=sin12°.

∵sin13°>sin12°>sin11°,∴a>c>b.故选D.

11.关于函数f(x)=sin x+sin 2x,下列说法不正确的是(　　)

A.2π是f(x)的一个周期

B.f(x)在区间[0,2π]上有3个零点

C.f(x)的最大值为

D.f(x)在区间上单调递增

答案:D

解析:∵y1=sinx的周期为2π,y2=sin2x的周期为π,

∴f(x)=sinx+sin2x的周期为2π,故A正确;

由f(x)=sinx+sin2x=0,得sinx+sinxcosx=0,得sinx=0或cosx=-1,

又x∈[0,2π],∴x=0,x=π,x=2π,

∴f(x)在区间[0,2π]上有3个零点,故B正确;

函数f(x)=sinx+sin2x的最大值在区间上取得,

由f'(x)=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-1=0,可得cosx=,

当x时,y=cosx单调递减,原函数单调递增,

当x时,y=cosx单调递减,原函数单调递减,

则当x=时,原函数取得最大值为sinsin,故C正确;

∵f=sinsin>1,f=sinsinπ=1,

∴f(x)在区间上不单调递增,故D错误.

12.(2020湖南长沙模拟)若sin α=2cos α,则=　　　　　. 

答案:

解析:∵sinα=2cosα,∴tanα=2,则tan2α==-

13.(2020山东滨州三模)已知α,β,,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则cos(α-β)=　　　　,α-β=　　　　. 

答案:　-

解析:由sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,

得sinα-sinβ=-sinγ,cosα-cosβ=cosγ,

所以(sinα-sinβ)2+(cosα-cosβ)2=(-sinγ)2+cos2γ;

即2-2sinαsinβ-2cosαcosβ=1,

所以2-2cos(α-β)=1,解得cos(α-β)=

又α,β,,所以sinα-sinβ=-sinγ<0,

所以sinα<sinβ,所以0<α<β<,

所以-<α-β<0,所以α-β=-

14.(2020宁夏银川一中四模)如图,考虑点A(1,0),P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P(cos(α+β),sin(α+β)),从这个图出发.

(1)推导公式:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;

(2)利用(1)的结果证明:cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],并计算sin 37.5°cos 37.5°的值.

解:(1)由题意可得|PA|=|P1P2|,

∴[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=(cosα-cosβ)2+(sinα+sinβ)2,

即2-2cos(α+β)=2-2cosαcosβ+2sinαsinβ,

所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

(2)由(1)可得,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,

∴cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],

∴sin37.5°cos37.5°=sin75°=sin(45°+30°)

=(sin45°cos30°+cos45°sin30°)==

高考预测

15.已知cos 2α=sincos,sin α≠0,则tan的值为(　　)

A.-2- B.2+

C.2+ D.2-

答案:A

解析:∵cos2α=sincos(π+α)=(-cosα)=cos2α-sinαcosα,

∴2cos2α-1=cos2α-sinαcosα,可得sin2α=sinαcosα,

∵sinα≠0,∴tanα=1,

∴tan=-2-