广西专用高考数学一轮复习考点规范练22两角和与差的正弦余弦与正切公式含解析新人教A版文

考点规范练22　两角和与差的正弦、余弦与正切公式

基础巩固

1.cos 160°sin 10°-sin 20°cos 10°=(　　)

A.- B. 

C.- D.

2.(2021广西名校模拟预测)已知tanα-=3,则tan 2α=(　　)

A.-4 B.- C.4 D.

3.(2021新高考Ⅰ)若tan θ=-2,则=(　　)

A.- B.- C. D.

4.(2021山东烟台一中模拟)已知锐角α,β满足sin α-cosα=,tan α+tan β+tan αtan β=,则α,β的大小关系是(　　)

A.α<<β B.β<<α

C.<α<β D.<β<α

5.已知α∈0,,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(　　)

A. B.

C. D.

6.已知cos+sin α=,则sin的值为(　　)

A. B. 

C.- D.-

7.(2021广西贵港一模)已知2cos2α=3sin α,则cos 2α=　　　　　. 

8.(2021广西钦州一模)对任意两实数a,b,定义运算“?”:a?b=则函数f(x)=sin x?cosx的最大值为　. 

9.函数f(x)=sin 2xsin-cos 2xcos在区间-上的单调递增区间为　　　　　　　　. 

10.函数f(x)=sin2x+sin xcosx+1的最小正周期是　　　　　　　　　,单调递减区间是　　　　　　　　　　. 

11.已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-.

(1)求sin(α-β)的值;

(2)求cosβ的值.

能力提升

12.设a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°,b=(sin 56°-cos 56°),c=,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.a>b>c B.b>a>c

C.c>a>b D.a>c>b

13.关于函数f(x)=sin x+sin 2x,下列说法错误的是(　　)

A.2π是f(x)的一个周期

B.f(x)在区间[0,2π]上有3个零点

C.f(x)的最大值为

D.f(x)在区间上单调递增

14.若sin α=2cos α,则=　　　　　. 

15.如图,考虑点A(1,0),P1(cosα,sin α),P2(cosβ,-sin β),P(cos(α+β),sin(α+β)),从这个图出发.

(1)推导公式:cos(α+β)=cosαcosβ-sin αsin β;

(2)利用(1)的结果证明:cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],并计算sin 37.5°cos 37.5°的值.

16.已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图象经过如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变,再将所得到的图象向右平移个单位长度.

(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程.

(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β.

①求实数m的取值范围;

②证明:cos(α-β)=-1.

高考预测

17.(2021贵州遵义航天高级中学三模)在平面直角坐标系中,已知角的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边顺时针旋转角α后过点P(1,-),则将角2α的终边逆时针旋转后所得角的余弦值等于(　　)

A. B.- C. D.-

答案：

1.C　解析cos160°sin10°-sin20°cos10°=-sin10°cos20°-sin20°cos10°=-sin(10°+20°)=-.

2.A　解析已知tan=3,求得tanα=-,

则tan2α==-4.

3.C　解析=sinθ(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθcosθ=.

4.B　解析∵α为锐角,sinα-cosα=,∴<α<.又tanα+tanβ+tanαtanβ=,

∴tan(α+β)=,又0<β<,∴α+β=,

又α>,∴β<<α.

5.B　解析∵2sin2α=cos2α+1,∴4sinαcosα=2cos2α.

∵α∈0,,∴cosα>0,sinα>0,∴2sinα=cosα.

又sin2α+cos2α=1,∴5sin2α=1,即sin2α=.

∵sinα>0,∴sinα=.故选B.

6.C　解析∵cos+sinα=cosα+sinα=,

∴cosα+sinα=.

∴sin=-sin=-=-.

7.　解析因为2cos2α=3sinα,

所以2(1-sin2α)=3sinα,

即2sin2α+3sinα-2=0,

解得sinα=或sinα=-2(舍去),

所以cos2α=1-2sin2α=1-2×.

8.2　解析f(x)=sinx?cosx=2|sin x-cosx|=2∈[0,2],

所以f(x)=sinx?cosx的最大值为2.

9.　解析f(x)=sin2xsin-cos2xcos=sin2xsin+cos2xcos=cos.

当2kπ-π≤2x-≤2kπ(k∈Z),

即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,函数f(x)单调递增.

取k=0,得-≤x≤,故函数f(x)在区间上的单调递增区间为.

10.π　,k∈Z　解析f(x)=sin2x+sinxcosx+1=sin2x+1=(sin2x-cos2x)+sin.故最小正周期T==π.

令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,

解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,

故f(x)的单调递减区间为,k∈Z.

11.解(1)∵α,β∈,∴-<α-β<.

又tan(α-β)=-<0,

∴-<α-β<0.

利用同角三角函数的基本关系可得sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,

且=-,

解得sin(α-β)=-.

(2)由(1)可得,cos(α-β)=.

∵α为锐角,且sinα=,∴cosα=.

∴cosβ=cos[α-(α-β)]

=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)

=.

12.D　解析由题意,可得a=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin(40°+127°)=sin167°=sin13°,

b=(sin56°-cos56°)=sin56°-cos56°=sin(56°-45°)=sin11°,

c==cos239°-sin239°=cos78°=sin12°.

∵sin13°>sin12°>sin11°,∴a>c>b.故选D.

13.D　解析∵y1=sinx的周期为2π,y2=sin2x的周期为π,

∴f(x)=sinx+sin2x的周期为2π,故A正确;

由f(x)=sinx+sin2x=0,得sinx+sinxcosx=0,得sinx=0或cosx=-1,

又x∈[0,2π],∴x=0,x=π,x=2π,∴f(x)在区间[0,2π]上有3个零点,故B正确;

函数f(x)=sinx+sin2x的最大值在区间上取得,

由f'(x)=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-1=0,

可得cosx=,

当x∈时,y=cosx单调递减,原函数单调递增,

当x∈时,y=cosx单调递减,原函数单调递减,

则当x=时,原函数取得最大值为sinsin,故C正确;

∵f=sinsin>1,f=sinsinπ=1,

∴f(x)在区间上不单调递增,故D错误.

14.　解析∵sinα=2cosα,∴tanα=2,

则tan2α==-.

∴.

15.解(1)∵|PA|=|P1P2|,

∴[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=(cosα-cosβ)2+(sinα+sinβ)2,

即2-2cos(α+β)=2-2cosαcosβ+sinαsinβ,

所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

(2)由(1)可得,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,

∴cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],

∴sin37.5°cos37.5°=sin75°=sin(45°+30°)=×(sin45°cos30°+cos45°sin30°)=×=.

16.(1)解将g(x)=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cosx的图象,再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos的图象,故f(x)=2sinx.

从而函数f(x)=2sinx的图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).

(2)①解f(x)+g(x)=2sinx+cosx

=

=sin(x+φ).

依题意,sin(x+φ)=在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当<1时成立,

故m的取值范围是(-).

②证明因为α,β是方程sin(x+φ)=m在区间[0,2π)内的两个不同的解,

所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.

当1≤m<时,α+β+2φ=2×,

即α-β=π-2(β+φ);

当-<m<1时,α+β+2φ=2×,

即α-β=3π-2(β+φ).

所以cos(α-β)=-cos[2(β+φ)]=2sin2(β+φ)-1=2-1=-1.

17.C　解析由三角函数的定义可得sin=-,

将角2α的终边逆时针旋转后所得角为2α+,

所以cos=cos=2cos2-1=2sin2-1=2sin2-1=2×-1=.