高考数学一轮复习考点规范练22两角和与差的正弦余弦与正切公式含解析新人教A版理

考点规范练22　两角和与差的正弦、余弦与正切公式

基础巩固

1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(　　)

A.- B C.- D

答案:D

解析:sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°·sin10°=sin(10°+20°)=sin30°=

2.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=(　　)

A.- B.- C D

答案:B

解析:由题意知tanθ=2,故cos2θ==-

3.(2020全国Ⅰ,理9)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(　　)

A. B. C. D.

答案:A

解析:原式化简得3cos2α-4cosα-4=0,解得cosα=-或cosα=2(舍去).

∵α∈(0,π),∴sinα=.

4.已知cos+sin α=,则sin的值为(　　)

A B C.- D.-

答案:C

解析:∵cos+sinα=cosα+sinα=,

cosα+sinα=

∴sin=-sin=-=-

5.若0<y≤x<,且tan x=3tan y,则x-y的最大值为(　　)

A B C D

答案:B

解析:∵0<y≤x<,∴x-y

又tanx=3tany,∴tan(x-y)==tan

当且仅当3tan2y=1时取等号,

∴x-y的最大值为,故选B.

6.函数f(x)=sin 2xsin-cos 2xcos在区间上的单调递增区间为　　　　　　　　. 

答案:

解析:f(x)=sin2xsin-cos2xcos=sin2xsin+cos2xcos=cos

当2kπ-π≤2x-2kπ(k∈Z),

即kπ-x≤kπ+(k∈Z)时,函数f(x)单调递增.

取k=0,得-x,

故函数f(x)在区间上的单调递增区间为

7.在△ABC中,C=60°,tan+tan=1,则tantan=　　　　　. 

答案:1-

解析:由C=60°,则A+B=120°,即=60°.

根据tan,tan+tan=1,

得,

解得tantan=1-

8.函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是　　　　　　,单调递减区间是　. 

答案:π　,k∈Z

解析:f(x)=sin2x+sinxcosx+1

=sin2x+1

=(sin2x-cos2x)+

=sin

故T==π.

令2kπ+2x-2kπ+,k∈Z,

解得kπ+x≤kπ+,k∈Z,

故f(x)的单调递减区间为,k∈Z.

9.已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-

(1)求sin(α-β)的值;

(2)求cos β的值.

解:(1)∵α,,∴-<α-β<

又tan(α-β)=-<0,∴-<α-β<0.

∴sin(α-β)=-

(2)由(1)可得,cos(α-β)=

∵α为锐角,且sinα=,∴cosα=

∴cosβ=cos[α-(α-β)]

=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)

=

=

能力提升

10.在平面直角坐标系中,点(3,t)和(2t,4)分别在以顶点为原点,始边为x轴的非负半轴的角α,α+45°的终边上,则t的值为(　　)

A.-6或1 B.6或1 C.6 D.1

答案:D

解析:由题意得tanα=,tan(α+45°)=

故tan(α+45°)=,化简得t2+5t-6=0,即(t-1)(t+6)=0,解得t=1或t=-6.若t=-6,则角α的终边在第四象限,α+45°的终边也在第四象限,与点(2t,4)的纵坐标矛盾.

所以t=-6舍去,故t的值为1,故选D.

11.设a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°,b=(sin 56°-cos 56°),c=,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b

答案:D

解析:a=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin(40°+127°)=sin167°=sin13°,

b=(sin56°-cos56°)=sin56°-cos56°=sin(56°-45°)=sin11°,

c=

=cos239°-sin239°=cos78°

=sin12°.

∵sin13°>sin12°>sin11°,

∴a>c>b.故选D.

12.已知sin,,则cos的值为　　　　. 

答案:-

解析:由得θ+

因为sin,

所以cos=-

cos=cos

=coscos-sinsin

=-

=-

13.已知sin 10°+mcos 10°=2cos 140°,则m=　　　　　. 

答案:-

解析:由sin10°+mcos10°=2cos140°可得,

m=

=

=

==-

14.设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3.已知f=0.

(1)求ω.

(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在区间上的最小值.

解:(1)因为f(x)=sin+sin,

所以f(x)=sinωx-cosωx-cosωx

=sinωx-cosωx

=

=sin

由题设知f=0,所以=kπ,k∈Z.

故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.

(2)由(1)得f(x)=sin,

所以g(x)=sinsin

因为x,所以x-,

当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-

高考预测

15.已知sin,则cos=(　　)

A.- B.- C D

答案:A

解析:依题意有cos=cos

=1-2sin2,

故cos=cos

=-cos

=-