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高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题04二次函数与一元二次方程、不等式(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题04二次函数与一元二次方程、不等式(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了已知f＝－3x2＋ax＋b.，定义区间长度为这样的一个量，已知定义在R上的奇函数f满足等内容，欢迎下载使用。
练高考 明方向
1、【2022年新高考I卷第15题】
2、【2022年新高考II卷第15题】
3．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=( )
A．–4B．–2C．2D．4
4.【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．(2023全国卷Ⅰ)已知集合，则
A． B．
C． D．
6．(2023山东）设函数的定义域，函数的定义域为，则
A． B． C． D．
7．(2023江苏）记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是 ．
8．(2023山东）已知集合，，则=
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
9．(2023新课标Ⅰ）已知集合A={|}，B={|－2≤＜2}，则=
A．[－2, －1] B．[－1,1]
C．[－1,2） D．[1,2）
10．(2023重庆）关于的不等式（）的解集为，且，则
A． B． C． D．
11．(2023江苏）已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．
12．(2023重庆）设，不等式对恒成立，则的取值范围为 ．
13．(2023福建）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________．
14．(2023江苏）已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．
15．(2023江苏）设实数满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 ．
16．(2023天津）设函数，对任意，
恒成立，则实数的取值范围是 ．
讲典例 备高考
二次函数与一元二次方程、不等式
一元二次不等式
一元二次不等式恒成立
一元二次方程根的分布
三个二次之间的关系
含参的一元二次不等式系
类型一、一元二次方程、不等式
基础知识：
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．三个“二次”间的关系
注意：（1）记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
(2)解不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)时不要忘记当a＝0时的情形．
基本题型：
1．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))
C．[2，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))
2．若a<0，则关于x的不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2 C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2)))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<2或x>eq \f(1,a)))))
3．（多选题）下列不等式解集为空集的有（ ）
A．x2+2x+2≤0 B．x2+2x+1≤0C．|x+1|+|x+2|＜1D．|x+|＜2
4．（多选题）与不等式的解集相等的不等式为（ ）
A． B． C． D．
基本方法：解一元二次不等式的4个步骤
类型二、一元二次不等式恒成立
基础知识：1、不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．
①不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＜0.))
②不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c＜0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,Δ＜0.))
2、对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．
基本题型：
1．在R上定义运算: ，若不等式 对任意实数恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B． C．D．
2．设函数，若对于任意的x∈{x|1 ≤ x ≤ 3}，恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≤0B．0≤m<
C．m<0或03．（多选题）下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A．B．
C．D．
4．设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，.
（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围；
（3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
【基本方法】
1、一元二次不等式恒成立问题求解思路：
（1）一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解。
（2）一元二次不等式在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围。
2、解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
3、一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法
类型三、有关一元二不等式的能成立问题
1．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ）
A．13B．21C．26D．30
3．已知函数.若存在、，使得，则实数的取值范围_________.
类型四、“三个二次”之间的关系
基础知识：一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．
基本题型：
1．不等式的解集为，函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
3．（多选题）若不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．关于的不等式解集为
D．关于的不等式解集为
4．已知．若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（，b），则a+b的值为_____．
基本方法：给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．
类型五、一元二次方程根的分布
1．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（多选题）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______.
4．已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有实数根.
（1）若两根的平方和比两根之积大21，求实数m的值；
（2）若两根均大于1，求实数m的取值范围.
类型六、含参数的一元二次不等式
基础知识;对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
1．（两根大小引起的分类讨论）解关于的不等式：．（且）．
2．（二次项系数引起的分类讨论）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（二次项系数引起的分类讨论）使函数的定义域为的实数取值的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
4、（判别式引起的分类讨论）已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
5、（二次项系数及两根大小引起的分类讨论）解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)。
基本方法：
1、含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论
（1）若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论。
（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式。
（3）其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集。
新预测 破高考
1．已知集合，，则（ ）
A． B．C． D．
2．在R上的定义运算：则满足的解集为（ ）
A．(0，2)B．(-2，1)C． D．(-1，2)
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
4．（多选题）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的解集为或
5．（多选题）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（ ）
A．B．C．D．
6、定义区间长度为这样的一个量：的大小为区间右端点的值减去左端点的值.若关于的不等式有解，且解集区间长度不超过5个单位长度，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
7．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
8．已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9、已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－eq \r(2)) B．(－eq \r(2)，0) C．(－∞，0)∪(eq \r(2)，＋∞) D．(－∞，－eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞)
10．已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知方程有两个不等正根，则实数的取值范围是______.
12、设函数f(x)＝mx2－mx－1。若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围。
13．设集合，若，则实数的取值范围是_______；
14．已知函数若关于的不等式的解集是，则的值为_____．
15．若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是______.
16、已知函数.
（1）若，解关于x的不等式；
（2）若存在，使得成立，求整数a的最大值.
17、解关于x的不等式x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0.
18．已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
19．已知函数.
（1）若，，求函数的最小值；
（2）若，解关于的不等式.
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
有两相异实根x1，x2 (x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
{x|x＞x2或x＜x1}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
方法
解读
适合题型
判别
式法
(1)ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ≤0；))
(2)ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ≤0))
二次不等式在R上恒成立
分离参数法
如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解．a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min
适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求
主参换位法
把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]恒成立问题，若f(x)>0恒成立
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm>0，,fn>0，))
若f(x)<0恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm<0，,fn<0))
若在分离参数时会遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时
2023高考一轮复习讲与练
04 二次函数与一元二次方程、不等式
练高考 明方向
1、【2022年新高考I卷第15题】
2、【2022年新高考II卷第15题】
3．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=( )
A．–4B．–2C．2D．4
答案：B
【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：
．由于，故：，解得：．
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
4.【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】化简不等式，可知 推不出，由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B.
【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.
5．(2023全国卷Ⅰ)已知集合，则
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】因为，所以，故选B．
6．(2023山东）设函数的定义域，函数的定义域为，则
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由得，由得，故，选D.
7．(2023江苏）记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是 ．
答案：
【解析】由，解得，根据几何概型的计算公式得概率为．
8．(2023山东）已知集合，，则=
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
答案：C
【解析】．
9．(2023新课标Ⅰ）已知集合A={|}，B={|－2≤＜2}，则=
A．[－2, －1] B．[－1,1]
C．[－1,2） D．[1,2）
答案：A
【解析】 ，故=[2, 1]．
10．(2023重庆）关于的不等式（）的解集为，且，则
A． B． C． D．
答案：A
【解析】∵由 ()，得，即，∴.
∵，∴．故选A．
11．(2023江苏）已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．
答案：
【解析】由题意可得对于上恒成立，即，解得．
12．(2023重庆）设，不等式对恒成立，则的取值范围为 ．
答案：
【解析】由题意可得对于上恒成立，即，解得．
13．(2023福建）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________．
答案：(0，8)
【解析】因为不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．∴△=，解得0＜＜8．
14．(2023江苏）已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．
答案：9
【解析】因为的值域为[0,+∞），所以即,所以的两根，由一元二次方程根与系数的关系得解得=9.
15．(2023江苏）设实数满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 ．
答案：27
【解析】，，，的最大值是27．
16．(2023天津）设函数，对任意，
恒成立，则实数的取值范围是 ．
答案：D
【解析】依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立．当时函数取得最小值，所以，即，解得或．
讲典例 备高考
二次函数与一元二次方程、不等式
一元二次不等式
一元二次不等式恒成立
一元二次方程根的分布
三个二次之间的关系
含参的一元二次不等式系
类型一、一元二次方程、不等式
基础知识：
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．三个“二次”间的关系
注意：（1）记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
(2)解不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)时不要忘记当a＝0时的情形．
基本题型：
1．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))
C．[2，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))
答案：B
【解析】由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)(2x－3)≤0，解得eq \f(3,2)≤x≤2，故不等式的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)).
2．若a<0，则关于x的不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2 C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2)))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<2或x>eq \f(1,a)))))
答案：B
【解析】方程(ax－1)(x－2)＝0的两个根为x＝2和x＝eq \f(1,a)，因为a<0，所以eq \f(1,a)<2，
故不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)3．下列不等式解集为空集的有（ ）
A．x2+2x+2≤0 B．x2+2x+1≤0C．|x+1|+|x+2|＜1D．|x+|＜2
答案：ACD
分析：求解不等式的解集即可得到结果．
【详解】对于A，因为，所以无解，解集为；对于B，的解集为{﹣1}；对于C，因为，
所以的解集为；对于D，因为，
所以的解集为.
4．（多选题）与不等式的解集相等的不等式为（ ）
A． B． C． D．
答案：BC
分析：先求出解集，再依次解不等式判断即可.
【详解】，所以，解得，对于A选项：解得，故A不正确；对于B选项：等价于，解得，故B正确；
对于C选项：等价于，解得，故C正确；对于D选项：解得或，故D不正确.
基本方法：解一元二次不等式的4个步骤
类型二、一元二次不等式恒成立
基础知识：1、不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．
①不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＜0.))
②不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c＜0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,Δ＜0.))
2、对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．
基本题型：
1．在R上定义运算: ，若不等式 对任意实数恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B． C．D．
答案：D
【解析】由定义知，不等式等价于，所以对任意实数恒成立.因为，所以，解得 ，则实数的最大值为.
2．设函数，若对于任意的x∈{x|1 ≤ x ≤ 3}，恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≤0B．0≤m<
C．m<0或0答案：D
【解析】若对于任意的x∈{x|1 ≤ x ≤ 3}，恒成立，即可知：mx2－mx＋m－5 < 0在
x∈{x|1 ≤ x ≤ 3}上恒成立，令g(x)＝mx2－mx＋m－5，对称轴为，当m＝0时，－5 < 0恒成立，
当m < 0时，有g(x)开口向下且在[1,3]上单调递减，∴在[1,3]上，得m < 5，
故有m < 0，当m>0时，有g(x) 开口向上且在[1,3]上单调递增，∴在[1,3]上，得综上，实数m的取值范围为。
3．（多选题）下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A．B．
C．D．
答案：BC
分析：对讨论：；，；，结合二次函数的图象，解不等式可得的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.
【详解】因为关于的不等式对恒成立，
当时，原不等式即为恒成立；
当时，不等式对恒成立，可得，即，解得：.
当时，的图象开口向下，原不等式不恒成立，
综上：的取值范围为：.
所以“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有或.
4．设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意，函数其中，
①当时，，此时对于，恒成立，符合题意；
②当时，要使得对于，恒成立，则满足，解得，即；
③当时，的开口向下，且对称轴的方程为，可得函数在区间单调递减，要使得对于，恒成立，则满足，解得，即，
综上可得，实数的取值范围是.
5．已知函数，.
（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围；
（3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
答案：（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由题意得：对任意恒成立，即对任意恒成立，当时，取得最大值，，即的取值范围为.
（2）由题意得：存在，使得成立，即存在，使得成立，当时，取得最小值，，即的取值范围为.
（3）由题意得：当时，，当时，；
当时，，，解得：，即的取值范围为.
【基本方法】
1、一元二次不等式恒成立问题求解思路：
（1）一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解。
（2）一元二次不等式在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围。
2、解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
3、一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法
类型三、有关一元二不等式的能成立问题
1．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：把不等式化为，求出在区间[1，4]内的最大值，即可得出的取值范围．
【详解】不等式在内有解等价于时，.当时，，所以.
2．已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ）
A．13B．21C．26D．30
答案：B
分析：设，根据题意得出，从而求的值；
【详解】设，其图象是开口向上，对称轴为的抛物线，如图所示，若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得，又因为，所以，故所有符合条件的a的值之和是.
3．已知函数.若存在、，使得，则实数的取值范围_________.
答案：.
分析：分析可得，利用二次函数的基本性质求出和，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】只需，因为函数的图象开口朝上，且对称轴为直线，所以，，，所以，，解得.
类型四、“三个二次”之间的关系
基础知识：一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．
基本题型：
1．不等式的解集为，函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】由题知，和1是的两根，由根与系数的关系知，，求得：，，所以，开口向下，令，即，解得两个根分别为-2，1.
2．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】由不等式的解集为，知，是不等式不等式对应方程的两个根，所以有，，由以上两式得，，所以即为，分解因式得，不等式对应方程的根为，，由口诀“大于取两边，小于取中间”得不等式的解为；
3．（多选题）若不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．关于的不等式解集为
D．关于的不等式解集为
答案：ABD
分析：先由题意及根与系数的关系得到，，即可判断A、B；对于C、D：把不等式转化为，即可求解.
【详解】因为不等式的解集为，所以，故，此时，所以A正确, B正确；，解得：或.所以D正确；C错误.
4．已知．若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（，b），则a+b的值为_____．
答案：
【详解】因为f（x）＞0的解集为（，b），即不等式的解集为（，b），
所以的两根分别为，且，由韦达定理得，
解得，所以.
基本方法：给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．
类型五、一元二次方程根的分布
1．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【详解】由题意，记方程的两根分别为，，因为一元二次方程有一个正根和一个负根，所以，解得，则充分不必要条件的范围应是集合的真子集，
2．（多选题）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABD
【解析】
分析：由韦达定理得根与系数的关系，对选项逐一判断
【详解】，即的解集为，可知，且，故A，D正确，，
故C错误，由对称性可知，，故B正确，
3．设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______.
答案：
【详解】因为、是关于的方程的两个实数根，所以，解得 ，所以，
则 ，
所以的最小值为。
4．已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有实数根.
（1）若两根的平方和比两根之积大21，求实数m的值；
（2）若两根均大于1，求实数m的取值范围.
答案：（1）；（2）
【详解】（1）设方程的根为
则
或（舍），即；
（2）设
由题意得：且
即实数m的取值范围为。
类型六、含参数的一元二次不等式
基础知识;对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
1．（两根大小引起的分类讨论）解关于的不等式：．（且）．
答案：时，解集为：或；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为：
【解析】因为，所以；
若，解得：；
若，，解得：；
若，，解得：；
若，，解得：或；
综上：时，解集为：或；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为：
2．（二次项系数引起的分类讨论）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】根据题意，分两种情况讨论：
①当时，即，
若，原不等式为，可得，则不等式的解集为，不是空集；
若，原不等式为，无解，不符合题意.
②当，即，
若不等式的解集为空集，则，解得，
则当不等式的解集不为空集，则或且，
综上可得：实数的取值范围为.
3．（二次项系数引起的分类讨论）使函数的定义域为的实数取值的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：求得的定义域为时的取值范围，由此确定正确选项.
【详解】函数的定义域为，则时，符合.时，需满足.综上所述，函数的定义域为，则的取值范围是.
所以使函数的定义域为的实数取值的一个充分不必要条件是.
4、（判别式引起的分类讨论）已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
【解析】(1)∵f(1)>0，∴－3＋a(6－a)＋b>0.即a2－6a＋3－b<0.Δ＝(－6)2－4(3－b)＝24＋4b.
①当Δ≤0，即b≤－6时，原不等式的解集为∅.
②当Δ>0，即b>－6时，方程a2－6a＋3－b＝0有两根a1＝3－eq \r(6＋b)，a2＝3＋eq \r(6＋b)，
∴不等式的解集为(3－eq \r(6＋b)，3＋eq \r(6＋b))．
综上所述：当b≤－6时，原不等式的解集为∅；
当b>－6时，原不等式的解集为(3－eq \r(6＋b)，3＋eq \r(6＋b))．
(2)由f(x)>0，得－3x2＋a(6－a)x＋b>0，即3x2－a(6－a)x－b<0.∵它的解集为(－1,3)，
∴－1与3是方程3x2－a(6－a)x－b＝0的两根．∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＋3＝\f(a6－a,3)，,－1×3＝－\f(b,3)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3－\r(3)，,b＝9))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3＋\r(3)，,b＝9.))
5、（二次项系数及两根大小引起的分类讨论）解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)。
【解析】若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1。
若a<0，原不等式等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，解得x1。
若a>0，原不等式等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0。
当a＝1时，eq \f(1,a)＝1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0无解； ②当a>1时，eq \f(1,a)<1，解eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0，得eq \f(1,a)③当01，解eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0，得1综上所述，当a<0时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x<\f(1,a)或x>1))； 当a＝0时，解集为{x|x>1}；
当01时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(1,a)基本方法：
1、含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论
（1）若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论。
（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式。
（3）其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集。
新预测 破高考
1．已知集合，，则（ ）
A． B．C． D．
答案：A
【详解】集合或，集合或，
则，或
2．在R上的定义运算：则满足的解集为（ ）
A．(0，2)B．(-2，1)C． D．(-1，2)
答案：B
【解析】因为运算：所以，即，
解得.所以的解集为：(-2，1).
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
答案：A
【详解】“”等价于 “或”，“”能推出“或”，
而“或”不能推出“”，所以“”是“”的充分非必要条件，
4．（多选题）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的解集为或
答案：ABC
分析：根据题意可得且的根为，利用韦达定理可得，分别代入计算判断正误．
【详解】根据二次函数开口与二次不等式之间的关系可知，A正确；的根为，则，即，∴，B正确；，C正确；，即，则，解得，∴的解集为，D错误．
5．（多选题）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：AD
分析：解不等式、，根据已知条件可得出这两个不等式解集的包含关系，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】解不等式得，解不等式，即，解得或，因为“”是“”的充分不必要条件，
则或，所以，或，解得或，
6、定义区间长度为这样的一个量：的大小为区间右端点的值减去左端点的值.若关于的不等式有解，且解集区间长度不超过5个单位长度，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】因为关于的不等式有解，所以，解得或，设方程的两个根分别为和，则，，又因为解集区间长度不超过5个单位长度，所以，所以，即，所以，解得，综上可得实数的取值范围是.故选：B.
7．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
答案：C
【解析】依题意得对恒成立， 令 ，
又时，， 所以当时，即时，取得最大值， ， 故实数的取值范围是。
8．已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】要原方程有两个负实根，必须：.
或，∴实数的取值范围是.
9、已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－eq \r(2)) B．(－eq \r(2)，0) C．(－∞，0)∪(eq \r(2)，＋∞) D．(－∞，－eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞)
答案：A
【解析】因为f(x)在R上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f(x)在R上是增函数，结合题意得－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立⇒mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,Δ＝16－8m2<0))⇒m∈(－∞，－eq \r(2))。
10．已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】因为为偶函数，所以，即，∴，
因为在上单调递减，所以，∴，可化为，
即，解得或.
11．已知方程有两个不等正根，则实数的取值范围是______.
答案：
【详解】有两个不等正根，则，解得.
12、设函数f(x)＝mx2－mx－1。若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围。
答案：{m|m【解析】要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2eq \f(3,4)m－6<0在x∈[1,3]上恒成立。
令g(x)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6，x∈[1,3]，当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)⇒
7m－6<0，所以m13．设集合，若，则实数的取值范围是_______；
答案：
【解析】，因为，
当时，，，此时，，满足题设；
当时，，，要使，需满足，即；
综上所述，
14．已知函数若关于的不等式的解集是，则的值为_____．
答案：
【解析】因为函数,关于的不等式的解集是，的两根为：和；所以有：且；且；。
15．若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是______.
答案：
【解析】由，得，则对于恒成立，令，则；令，
则；综上：.
16、已知函数.
（1）若，解关于x的不等式；
（2）若存在，使得成立，求整数a的最大值.
答案：（1）答案见解析；（2）.
分析：（1）对分三种情况讨论得解；（2）由题得，再利用基本不等式即得解.
【详解】（1）由，得，， 当，即，或时，的根，原不等式的解集为或；当，即，或时，的根，原不等式的解集为；当，即时，原不等式的解集为.
（2）由，得，再由得， 所以存在，使得成立就等价于.而（当且仅当时等号成立），
所以，解得，故整数a的最大值为.
17、解关于x的不等式x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0.
【解析】∵x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0，∴(x－2a)[x－(a＋1)]>0，
令f(x)＝(x－2a)[x－(a＋1)]，则f(x)的图象开口向上，且与x轴交点横坐标分别为2a，a＋1.
①当2a＝a＋1，即a＝1时，解得x≠2；
②当2a>a＋1，即a>1时，解得x2a；
③当2aa＋1.
综上，当a<1时，不等式的解集为{x|x<2a或x>a＋1}；
当a＝1时，不等式的解集为{x|x<2或x>2}；
18．已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
答案：（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1）∵，∴，即；
当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
综上所述，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
（2）∵对任意的，恒成立，∴恒成立，
即恒成立．当时，不等式为恒成立；当时，，∵，∴，∴，当且仅当时，即，时取“=”．∴．当时，．
∵，∴．令，则，∵函数在上单调递增，
∴当，即时，函数取到最大值，∴．
综上所述，的取值范围是．
19．已知函数.
（1）若，，求函数的最小值；
（2）若，解关于的不等式.
答案：（1）8；（2）当时， ；当时，；当时，；当时，；当时，.
【解析】（1）若，，则，∵，
∴，当且仅当，即时取得最小值8；
（2）若，则.
1、若，化为，即；
2、若，的两根为1，.
若，则，则不等式的解集为；
若，则，则不等式的解集为；
若，化为，；
若，则，则不等式的解集为.
综上，当时， ；当时，；当时，；当时，；当时，.
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
有两相异实根x1，x2 (x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
{x|x＞x2或x＜x1}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
方法
解读
适合题型
判别
式法
(1)ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ≤0；))
(2)ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ≤0))
二次不等式在R上恒成立
分离参数法
如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解．a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min
适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求
主参换位法
把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]恒成立问题，若f(x)>0恒成立
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm>0，,fn>0，))
若f(x)<0恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm<0，,fn<0))
若在分离参数时会遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时
练高考 明方向
1、【2022年新高考I卷第15题】
2、【2022年新高考II卷第15题】
3．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=( )
A．–4B．–2C．2D．4
4.【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．(2023全国卷Ⅰ)已知集合，则
A． B．
C． D．
6．(2023山东）设函数的定义域，函数的定义域为，则
A． B． C． D．
7．(2023江苏）记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是 ．
8．(2023山东）已知集合，，则=
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
9．(2023新课标Ⅰ）已知集合A={|}，B={|－2≤＜2}，则=
A．[－2, －1] B．[－1,1]
C．[－1,2） D．[1,2）
10．(2023重庆）关于的不等式（）的解集为，且，则
A． B． C． D．
11．(2023江苏）已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．
12．(2023重庆）设，不等式对恒成立，则的取值范围为 ．
13．(2023福建）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________．
14．(2023江苏）已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．
15．(2023江苏）设实数满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 ．
16．(2023天津）设函数，对任意，
恒成立，则实数的取值范围是 ．
讲典例 备高考
二次函数与一元二次方程、不等式
一元二次不等式
一元二次不等式恒成立
一元二次方程根的分布
三个二次之间的关系
含参的一元二次不等式系
类型一、一元二次方程、不等式
基础知识：
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．三个“二次”间的关系
注意：（1）记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
(2)解不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)时不要忘记当a＝0时的情形．
基本题型：
1．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))
C．[2，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))
2．若a<0，则关于x的不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2
3．（多选题）下列不等式解集为空集的有（ ）
A．x2+2x+2≤0 B．x2+2x+1≤0C．|x+1|+|x+2|＜1D．|x+|＜2
4．（多选题）与不等式的解集相等的不等式为（ ）
A． B． C． D．
基本方法：解一元二次不等式的4个步骤
类型二、一元二次不等式恒成立
基础知识：1、不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．
①不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＜0.))
②不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c＜0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,Δ＜0.))
2、对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．
基本题型：
1．在R上定义运算: ，若不等式 对任意实数恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B． C．D．
2．设函数，若对于任意的x∈{x|1 ≤ x ≤ 3}，恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≤0B．0≤m<
C．m<0或0
A．B．
C．D．
4．设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，.
（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围；
（3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
【基本方法】
1、一元二次不等式恒成立问题求解思路：
（1）一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解。
（2）一元二次不等式在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围。
2、解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
3、一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法
类型三、有关一元二不等式的能成立问题
1．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ）
A．13B．21C．26D．30
3．已知函数.若存在、，使得，则实数的取值范围_________.
类型四、“三个二次”之间的关系
基础知识：一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．
基本题型：
1．不等式的解集为，函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
3．（多选题）若不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．关于的不等式解集为
D．关于的不等式解集为
4．已知．若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（，b），则a+b的值为_____．
基本方法：给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．
类型五、一元二次方程根的分布
1．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（多选题）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______.
4．已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有实数根.
（1）若两根的平方和比两根之积大21，求实数m的值；
（2）若两根均大于1，求实数m的取值范围.
类型六、含参数的一元二次不等式
基础知识;对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
1．（两根大小引起的分类讨论）解关于的不等式：．（且）．
2．（二次项系数引起的分类讨论）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（二次项系数引起的分类讨论）使函数的定义域为的实数取值的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
4、（判别式引起的分类讨论）已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
5、（二次项系数及两根大小引起的分类讨论）解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)。
基本方法：
1、含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论
（1）若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论。
（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式。
（3）其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集。
新预测 破高考
1．已知集合，，则（ ）
A． B．C． D．
2．在R上的定义运算：则满足的解集为（ ）
A．(0，2)B．(-2，1)C． D．(-1，2)
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
4．（多选题）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的解集为或
5．（多选题）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（ ）
A．B．C．D．
6、定义区间长度为这样的一个量：的大小为区间右端点的值减去左端点的值.若关于的不等式有解，且解集区间长度不超过5个单位长度，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
7．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
8．已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9、已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－eq \r(2)) B．(－eq \r(2)，0) C．(－∞，0)∪(eq \r(2)，＋∞) D．(－∞，－eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞)
10．已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知方程有两个不等正根，则实数的取值范围是______.
12、设函数f(x)＝mx2－mx－1。若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围。
13．设集合，若，则实数的取值范围是_______；
14．已知函数若关于的不等式的解集是，则的值为_____．
15．若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是______.
16、已知函数.
（1）若，解关于x的不等式；
（2）若存在，使得成立，求整数a的最大值.
17、解关于x的不等式x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0.
18．已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
19．已知函数.
（1）若，，求函数的最小值；
（2）若，解关于的不等式.
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
有两相异实根x1，x2 (x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
{x|x＞x2或x＜x1}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
方法
解读
适合题型
判别
式法
(1)ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ≤0；))
(2)ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ≤0))
二次不等式在R上恒成立
分离参数法
如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解．a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min
适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求
主参换位法
把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]恒成立问题，若f(x)>0恒成立
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm>0，,fn>0，))
若f(x)<0恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm<0，,fn<0))
若在分离参数时会遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时
2023高考一轮复习讲与练
04 二次函数与一元二次方程、不等式
练高考 明方向
1、【2022年新高考I卷第15题】
2、【2022年新高考II卷第15题】
3．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=( )
A．–4B．–2C．2D．4
答案：B
【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：
．由于，故：，解得：．
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
4.【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】化简不等式，可知 推不出，由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B.
【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.
5．(2023全国卷Ⅰ)已知集合，则
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】因为，所以，故选B．
6．(2023山东）设函数的定义域，函数的定义域为，则
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由得，由得，故，选D.
7．(2023江苏）记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是 ．
答案：
【解析】由，解得，根据几何概型的计算公式得概率为．
8．(2023山东）已知集合，，则=
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
答案：C
【解析】．
9．(2023新课标Ⅰ）已知集合A={|}，B={|－2≤＜2}，则=
A．[－2, －1] B．[－1,1]
C．[－1,2） D．[1,2）
答案：A
【解析】 ，故=[2, 1]．
10．(2023重庆）关于的不等式（）的解集为，且，则
A． B． C． D．
答案：A
【解析】∵由 ()，得，即，∴.
∵，∴．故选A．
11．(2023江苏）已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．
答案：
【解析】由题意可得对于上恒成立，即，解得．
12．(2023重庆）设，不等式对恒成立，则的取值范围为 ．
答案：
【解析】由题意可得对于上恒成立，即，解得．
13．(2023福建）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________．
答案：(0，8)
【解析】因为不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．∴△=，解得0＜＜8．
14．(2023江苏）已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．
答案：9
【解析】因为的值域为[0,+∞），所以即,所以的两根，由一元二次方程根与系数的关系得解得=9.
15．(2023江苏）设实数满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 ．
答案：27
【解析】，，，的最大值是27．
16．(2023天津）设函数，对任意，
恒成立，则实数的取值范围是 ．
答案：D
【解析】依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立．当时函数取得最小值，所以，即，解得或．
讲典例 备高考
二次函数与一元二次方程、不等式
一元二次不等式
一元二次不等式恒成立
一元二次方程根的分布
三个二次之间的关系
含参的一元二次不等式系
类型一、一元二次方程、不等式
基础知识：
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．三个“二次”间的关系
注意：（1）记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
(2)解不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)时不要忘记当a＝0时的情形．
基本题型：
1．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))
C．[2，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))
答案：B
【解析】由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)(2x－3)≤0，解得eq \f(3,2)≤x≤2，故不等式的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)).
2．若a<0，则关于x的不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2
答案：B
【解析】方程(ax－1)(x－2)＝0的两个根为x＝2和x＝eq \f(1,a)，因为a<0，所以eq \f(1,a)<2，
故不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)
A．x2+2x+2≤0 B．x2+2x+1≤0C．|x+1|+|x+2|＜1D．|x+|＜2
答案：ACD
分析：求解不等式的解集即可得到结果．
【详解】对于A，因为，所以无解，解集为；对于B，的解集为{﹣1}；对于C，因为，
所以的解集为；对于D，因为，
所以的解集为.
4．（多选题）与不等式的解集相等的不等式为（ ）
A． B． C． D．
答案：BC
分析：先求出解集，再依次解不等式判断即可.
【详解】，所以，解得，对于A选项：解得，故A不正确；对于B选项：等价于，解得，故B正确；
对于C选项：等价于，解得，故C正确；对于D选项：解得或，故D不正确.
基本方法：解一元二次不等式的4个步骤
类型二、一元二次不等式恒成立
基础知识：1、不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．
①不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＜0.))
②不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c＜0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,Δ＜0.))
2、对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．
基本题型：
1．在R上定义运算: ，若不等式 对任意实数恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B． C．D．
答案：D
【解析】由定义知，不等式等价于，所以对任意实数恒成立.因为，所以，解得 ，则实数的最大值为.
2．设函数，若对于任意的x∈{x|1 ≤ x ≤ 3}，恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≤0B．0≤m<
C．m<0或0
【解析】若对于任意的x∈{x|1 ≤ x ≤ 3}，恒成立，即可知：mx2－mx＋m－5 < 0在
x∈{x|1 ≤ x ≤ 3}上恒成立，令g(x)＝mx2－mx＋m－5，对称轴为，当m＝0时，－5 < 0恒成立，
当m < 0时，有g(x)开口向下且在[1,3]上单调递减，∴在[1,3]上，得m < 5，
故有m < 0，当m>0时，有g(x) 开口向上且在[1,3]上单调递增，∴在[1,3]上，得综上，实数m的取值范围为。
3．（多选题）下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A．B．
C．D．
答案：BC
分析：对讨论：；，；，结合二次函数的图象，解不等式可得的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.
【详解】因为关于的不等式对恒成立，
当时，原不等式即为恒成立；
当时，不等式对恒成立，可得，即，解得：.
当时，的图象开口向下，原不等式不恒成立，
综上：的取值范围为：.
所以“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有或.
4．设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意，函数其中，
①当时，，此时对于，恒成立，符合题意；
②当时，要使得对于，恒成立，则满足，解得，即；
③当时，的开口向下，且对称轴的方程为，可得函数在区间单调递减，要使得对于，恒成立，则满足，解得，即，
综上可得，实数的取值范围是.
5．已知函数，.
（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围；
（3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
答案：（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由题意得：对任意恒成立，即对任意恒成立，当时，取得最大值，，即的取值范围为.
（2）由题意得：存在，使得成立，即存在，使得成立，当时，取得最小值，，即的取值范围为.
（3）由题意得：当时，，当时，；
当时，，，解得：，即的取值范围为.
【基本方法】
1、一元二次不等式恒成立问题求解思路：
（1）一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解。
（2）一元二次不等式在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围。
2、解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
3、一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法
类型三、有关一元二不等式的能成立问题
1．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：把不等式化为，求出在区间[1，4]内的最大值，即可得出的取值范围．
【详解】不等式在内有解等价于时，.当时，，所以.
2．已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ）
A．13B．21C．26D．30
答案：B
分析：设，根据题意得出，从而求的值；
【详解】设，其图象是开口向上，对称轴为的抛物线，如图所示，若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得，又因为，所以，故所有符合条件的a的值之和是.
3．已知函数.若存在、，使得，则实数的取值范围_________.
答案：.
分析：分析可得，利用二次函数的基本性质求出和，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】只需，因为函数的图象开口朝上，且对称轴为直线，所以，，，所以，，解得.
类型四、“三个二次”之间的关系
基础知识：一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．
基本题型：
1．不等式的解集为，函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】由题知，和1是的两根，由根与系数的关系知，，求得：，，所以，开口向下，令，即，解得两个根分别为-2，1.
2．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】由不等式的解集为，知，是不等式不等式对应方程的两个根，所以有，，由以上两式得，，所以即为，分解因式得，不等式对应方程的根为，，由口诀“大于取两边，小于取中间”得不等式的解为；
3．（多选题）若不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．关于的不等式解集为
D．关于的不等式解集为
答案：ABD
分析：先由题意及根与系数的关系得到，，即可判断A、B；对于C、D：把不等式转化为，即可求解.
【详解】因为不等式的解集为，所以，故，此时，所以A正确, B正确；，解得：或.所以D正确；C错误.
4．已知．若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（，b），则a+b的值为_____．
答案：
【详解】因为f（x）＞0的解集为（，b），即不等式的解集为（，b），
所以的两根分别为，且，由韦达定理得，
解得，所以.
基本方法：给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．
类型五、一元二次方程根的分布
1．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【详解】由题意，记方程的两根分别为，，因为一元二次方程有一个正根和一个负根，所以，解得，则充分不必要条件的范围应是集合的真子集，
2．（多选题）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABD
【解析】
分析：由韦达定理得根与系数的关系，对选项逐一判断
【详解】，即的解集为，可知，且，故A，D正确，，
故C错误，由对称性可知，，故B正确，
3．设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______.
答案：
【详解】因为、是关于的方程的两个实数根，所以，解得 ，所以，
则 ，
所以的最小值为。
4．已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有实数根.
（1）若两根的平方和比两根之积大21，求实数m的值；
（2）若两根均大于1，求实数m的取值范围.
答案：（1）；（2）
【详解】（1）设方程的根为
则
或（舍），即；
（2）设
由题意得：且
即实数m的取值范围为。
类型六、含参数的一元二次不等式
基础知识;对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
1．（两根大小引起的分类讨论）解关于的不等式：．（且）．
答案：时，解集为：或；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为：
【解析】因为，所以；
若，解得：；
若，，解得：；
若，，解得：；
若，，解得：或；
综上：时，解集为：或；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为：
2．（二次项系数引起的分类讨论）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】根据题意，分两种情况讨论：
①当时，即，
若，原不等式为，可得，则不等式的解集为，不是空集；
若，原不等式为，无解，不符合题意.
②当，即，
若不等式的解集为空集，则，解得，
则当不等式的解集不为空集，则或且，
综上可得：实数的取值范围为.
3．（二次项系数引起的分类讨论）使函数的定义域为的实数取值的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：求得的定义域为时的取值范围，由此确定正确选项.
【详解】函数的定义域为，则时，符合.时，需满足.综上所述，函数的定义域为，则的取值范围是.
所以使函数的定义域为的实数取值的一个充分不必要条件是.
4、（判别式引起的分类讨论）已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
【解析】(1)∵f(1)>0，∴－3＋a(6－a)＋b>0.即a2－6a＋3－b<0.Δ＝(－6)2－4(3－b)＝24＋4b.
①当Δ≤0，即b≤－6时，原不等式的解集为∅.
②当Δ>0，即b>－6时，方程a2－6a＋3－b＝0有两根a1＝3－eq \r(6＋b)，a2＝3＋eq \r(6＋b)，
∴不等式的解集为(3－eq \r(6＋b)，3＋eq \r(6＋b))．
综上所述：当b≤－6时，原不等式的解集为∅；
当b>－6时，原不等式的解集为(3－eq \r(6＋b)，3＋eq \r(6＋b))．
(2)由f(x)>0，得－3x2＋a(6－a)x＋b>0，即3x2－a(6－a)x－b<0.∵它的解集为(－1,3)，
∴－1与3是方程3x2－a(6－a)x－b＝0的两根．∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＋3＝\f(a6－a,3)，,－1×3＝－\f(b,3)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3－\r(3)，,b＝9))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3＋\r(3)，,b＝9.))
5、（二次项系数及两根大小引起的分类讨论）解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)。
【解析】若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1。
若a<0，原不等式等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，解得x
若a>0，原不等式等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0。
当a＝1时，eq \f(1,a)＝1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0无解； ②当a>1时，eq \f(1,a)<1，解eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0，得eq \f(1,a)
当0
1、含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论
（1）若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论。
（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式。
（3）其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集。
新预测 破高考
1．已知集合，，则（ ）
A． B．C． D．
答案：A
【详解】集合或，集合或，
则，或
2．在R上的定义运算：则满足的解集为（ ）
A．(0，2)B．(-2，1)C． D．(-1，2)
答案：B
【解析】因为运算：所以，即，
解得.所以的解集为：(-2，1).
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
答案：A
【详解】“”等价于 “或”，“”能推出“或”，
而“或”不能推出“”，所以“”是“”的充分非必要条件，
4．（多选题）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的解集为或
答案：ABC
分析：根据题意可得且的根为，利用韦达定理可得，分别代入计算判断正误．
【详解】根据二次函数开口与二次不等式之间的关系可知，A正确；的根为，则，即，∴，B正确；，C正确；，即，则，解得，∴的解集为，D错误．
5．（多选题）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：AD
分析：解不等式、，根据已知条件可得出这两个不等式解集的包含关系，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】解不等式得，解不等式，即，解得或，因为“”是“”的充分不必要条件，
则或，所以，或，解得或，
6、定义区间长度为这样的一个量：的大小为区间右端点的值减去左端点的值.若关于的不等式有解，且解集区间长度不超过5个单位长度，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】因为关于的不等式有解，所以，解得或，设方程的两个根分别为和，则，，又因为解集区间长度不超过5个单位长度，所以，所以，即，所以，解得，综上可得实数的取值范围是.故选：B.
7．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
答案：C
【解析】依题意得对恒成立， 令 ，
又时，， 所以当时，即时，取得最大值， ， 故实数的取值范围是。
8．已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】要原方程有两个负实根，必须：.
或，∴实数的取值范围是.
9、已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－eq \r(2)) B．(－eq \r(2)，0) C．(－∞，0)∪(eq \r(2)，＋∞) D．(－∞，－eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞)
答案：A
【解析】因为f(x)在R上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f(x)在R上是增函数，结合题意得－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立⇒mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,Δ＝16－8m2<0))⇒m∈(－∞，－eq \r(2))。
10．已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】因为为偶函数，所以，即，∴，
因为在上单调递减，所以，∴，可化为，
即，解得或.
11．已知方程有两个不等正根，则实数的取值范围是______.
答案：
【详解】有两个不等正根，则，解得.
12、设函数f(x)＝mx2－mx－1。若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围。
答案：{m|m
令g(x)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6，x∈[1,3]，当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)⇒
7m－6<0，所以m
答案：
【解析】，因为，
当时，，，此时，，满足题设；
当时，，，要使，需满足，即；
综上所述，
14．已知函数若关于的不等式的解集是，则的值为_____．
答案：
【解析】因为函数,关于的不等式的解集是，的两根为：和；所以有：且；且；。
15．若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是______.
答案：
【解析】由，得，则对于恒成立，令，则；令，
则；综上：.
16、已知函数.
（1）若，解关于x的不等式；
（2）若存在，使得成立，求整数a的最大值.
答案：（1）答案见解析；（2）.
分析：（1）对分三种情况讨论得解；（2）由题得，再利用基本不等式即得解.
【详解】（1）由，得，， 当，即，或时，的根，原不等式的解集为或；当，即，或时，的根，原不等式的解集为；当，即时，原不等式的解集为.
（2）由，得，再由得， 所以存在，使得成立就等价于.而（当且仅当时等号成立），
所以，解得，故整数a的最大值为.
17、解关于x的不等式x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0.
【解析】∵x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0，∴(x－2a)[x－(a＋1)]>0，
令f(x)＝(x－2a)[x－(a＋1)]，则f(x)的图象开口向上，且与x轴交点横坐标分别为2a，a＋1.
①当2a＝a＋1，即a＝1时，解得x≠2；
②当2a>a＋1，即a>1时，解得x
③当2a
综上，当a<1时，不等式的解集为{x|x<2a或x>a＋1}；
当a＝1时，不等式的解集为{x|x<2或x>2}；
18．已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
答案：（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1）∵，∴，即；
当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
综上所述，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
（2）∵对任意的，恒成立，∴恒成立，
即恒成立．当时，不等式为恒成立；当时，，∵，∴，∴，当且仅当时，即，时取“=”．∴．当时，．
∵，∴．令，则，∵函数在上单调递增，
∴当，即时，函数取到最大值，∴．
综上所述，的取值范围是．
19．已知函数.
（1）若，，求函数的最小值；
（2）若，解关于的不等式.
答案：（1）8；（2）当时， ；当时，；当时，；当时，；当时，.
【解析】（1）若，，则，∵，
∴，当且仅当，即时取得最小值8；
（2）若，则.
1、若，化为，即；
2、若，的两根为1，.
若，则，则不等式的解集为；
若，则，则不等式的解集为；
若，化为，；
若，则，则不等式的解集为.
综上，当时， ；当时，；当时，；当时，；当时，.
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
有两相异实根x1，x2 (x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
{x|x＞x2或x＜x1}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
方法
解读
适合题型
判别
式法
(1)ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ≤0；))
(2)ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ≤0))
二次不等式在R上恒成立
分离参数法
如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解．a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min
适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求
主参换位法
把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]恒成立问题，若f(x)>0恒成立
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm>0，,fn>0，))
若f(x)<0恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm<0，,fn<0))
若在分离参数时会遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时
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