还剩41页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题40椭圆及直线与椭圆位置关系(原卷版+解析)
展开
这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题40椭圆及直线与椭圆位置关系(原卷版+解析)，共44页。试卷主要包含了(2023·全国甲，故选C等内容，欢迎下载使用。
专题40 椭圆及其几何性质
椭圆及其几何性质
椭圆定义
离心率
焦点三角形
椭圆方程
面积
周长
练高考 明方向
1.(2023·全国甲（文）T11） 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
2.(2023·全国甲（理）T10） 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3.(2023·新高考Ⅰ卷T16） 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
4．(2023年高考全国乙卷理科)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
5．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．
6．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则( )
A．B．C．D．
7．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为( )
8．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为( )
A．B．C．D．
9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆，的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为( )
A．B．C．D．
10．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为坐标原点,是椭圆C:的左焦点,分别为的左、右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过OE的中点,则的离心率为( )
A．B．C．D．
11．(2023高考数学新课标1理科)已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A．B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A．B． QUOTE C．D
12．(2023高考数学新课标理科)设F1，F2是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为( )
A．B．C．D．
13．(2023年高考全国甲卷理科)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
14．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为___________．
15．(2023高考数学新课标1理科)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 。
16．(2023高考数学课标2理科)设,分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．
(Ⅰ)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b．
讲典例 备高考
类型一、椭圆定义的应用
基础知识：
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2、集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若a基本题型：
1、已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
2．若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,6)＝1(x≠0)
基本方法：
1．椭圆定义的应用范围
(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．
(2)解决与焦点有关的距离问题．
类型二、求椭圆标准方程
基础知识：
椭圆的标准方程：
焦点在x轴上：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) 焦点在y轴上：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
基本题型：
1．已知点是椭圆上的一点，椭圆的长轴长是焦距的倍，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,6)＝1(x≠0)
3、若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 D．以上答案都不对
4．过点A(3，－2)且与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1 B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1
C.eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,15)＝1 D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,15)＝1
5．已知以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－4))和Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，3))，则此椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(y2,25)＋x2＝1 B.eq \f(x2,25)＋y2＝1
C.eq \f(x2,25)＋y2＝1或eq \f(y2,25)＋x2＝1 D．以上都不对
6．（多选题）已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（ ）
A．B．C．D．
基本方法：
1．求椭圆标准方程的2种常用方法
（1）定义法：根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
（2）待定系数法（先定位，在定量）：
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；
若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，
2．设椭圆标准方程的技巧：
(1)如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为(A＞0，B＞0，A≠B)．
(32)与椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1共焦点的椭圆可设为eq \f(x2,m＋k)＋eq \f(y2,n＋k)＝1(k＞－m，k＞－n且m≠n)．
(3)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有相同离心率的椭圆，可设为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝k1(k1＞0，焦点在x轴上)
或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝k2(k2＞0，焦点在y轴上)．
类型三、求椭圆离心率的值或范围
基础知识：
椭圆的几何性质：
基本题型：
1、如图，过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若eq \f(1,3)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(3,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
2．已知点P在椭圆上，点分别为点C的左､右焦点，并满足，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选题）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为椭圆的下顶点和上顶点，为椭圆的右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率可以为（ ）
A．B．C．D．
5、已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
基本方法：
求椭圆离心率或其取值范围的方法
(1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2求出e2，再开方．
(2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
注：在解关于椭圆的离心率e的二次方程时，要注意根据椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．
类型四、焦点三角形的周长或面积
基础知识
焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．
若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)；
④S△PF1F2＝b2·tan eq \f(θ,2).
基本题型：
1. 已知椭圆的左、右焦点分别为、,短轴长为,离心率为,过点的直线交椭圆于,两点,则的周长为( )
A. B. C. D.
2．设点P为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a＞2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为( )
A．1 B.2
C.3 D．4
3．（多选题）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为10 B．面积的最大值为
C．当时，的面积为 D．存在点P使得
4．设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
5．椭圆的左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点M，N，当 的周长最大时，的面积是___________.
6、已知椭圆C的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，过点F2与x轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A点，
点A关于坐标原点的对称点为B，且∠AF1B＝120°，S△F1AB＝eq \f(2\r(3),3)，则椭圆C的方程为 。
类型五、与椭圆有关的最值（范围）问题
基本题型：
1、设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq \r(3) ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq \r(3) ]∪[4，＋∞)
2．已知P在椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为( )
A.eq \f(\r(218),3) B.eq \f(76,3) C．5 D．2eq \r(5)
3．是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，设，则的最大值与最小值之和是（ ）
A．16B．9C．7D．25
4．已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
6．若焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))的最大值为________．
基本方法：
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质求解.
(2)利用函数，尤其是二次函数求解．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求解．
(4)利用一元二次方程的判别式求解．
新预测 破高考
1、若方程eq \f(x2,7－k)＋eq \f(y2,k－5)＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为( )
A．(5,7) B．(5,6) C．(6,7) D．(5,6)∪(6,7)
2．已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
3．已知动点M到两个定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,9)＋y2＝1 B.eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1
C.eq \f(y2,9)＋x2＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
4．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为16，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．过原点作直线与椭圆交于不同的两点，，为椭圆的左焦点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6、椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点,若,均是线段的三等分点,的周长为,则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
7．（多选题）点，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（ ）
A．B．C．D．
8．已知点P在椭圆上，点分别为点C的左､右焦点，并满足，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．(多选)已知P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cs∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则( )
A．△PF1F2的周长为12 B．S△PF1F2＝2eq \r(2)
C．点P到x轴的距离为eq \f(2\r(10),5) D．eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝2
10．（多选题）已知椭圆C∶(a>b>0)的左，右两焦点分别是F1，F2，其中F1F2=2c.直线l∶y=k(x+c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点则下列说法中正确的有（ ）
A．△ABF2的周长为4a
B．若AB的中点为M，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率
11、如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____．
12、我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后，在地球轨道上经历3次调相轨道变轨，奔向月球，进入月球轨道．“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是eq \f(R,2)，eq \f(5R,2)(如图所示)，则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为________．
13．设，分别为椭圆（）的左，右焦点，为内一点，为上任意一点，若的最小值为，则的方程为__________.
14、已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于轴上方的一点，若直线的斜率为，且，则椭圆的离心率为________．
15、若的两个顶点，，周长为，则第三个顶点的轨迹方程是____________．
16．设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是_______.
①当点不在轴上时，的周长是6； ②当点不在轴上时，面积的最大值为
③存在点，使； ④的取值范围是
17、如果椭圆的一个焦点坐标为,过此焦点且垂直于轴的弦的长等于,则这个椭圆的标准方程为_______.
18．已知椭圆的焦点分别为、，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆短轴长的取值范围是____________．
19．已知椭圆的短轴长为8，上顶点为A，左顶点为，分别是椭圆的左､右焦点，且的面积为4，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为___________.
A．
B．
C．
D．
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
x∈[－a，a]，y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0,1)
c2＝a2－b2
2023高考一轮复习讲与练
专题40 椭圆及其几何性质
椭圆及其几何性质
椭圆定义
离心率
焦点三角形
椭圆方程
面积
周长
练高考 明方向
1.(2023·全国甲（文）T11） 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
分析：根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】因为离心率，解得，，分别为C左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为
所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.
2.(2023·全国甲（理）T10） 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
分析：设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】，设，则，则，
故，又，则，
所以，即，所以椭圆的离心率.
3.(2023·新高考Ⅰ卷T16） 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
答案：13
分析：利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，∴，
∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
4．(2023年高考全国乙卷理科)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案：C
解析：设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．
5．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．
答案：（1）；（2），．
解析：（1），轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，
联立，解得，则，
抛物线的方程为，联立，解得，，
，即，，即，即，
，解得，因此，椭圆的离心率为；
（2）由（1）知，，椭圆的方程为，
联立，消去并整理得，解得或（舍去），
由抛物线的定义可得，解得．
因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为．
6．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则( )
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
7．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为( )
答案：B
解析：如图，设，则，由，可得，
，所以点为椭圆的上顶点或下顶点．在中，由余弦定理可得
，所以，即，即，又，所以椭圆方程为．
8．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为( )
A．B．C．D．
答案：D
解析：因为为等腰三角形，，所以，由余弦定理得，
所以，而，由已知，得，即，故选D．
9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆，的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切
所以圆心到直线的距离，整理可得
所以，故选A．
【点评】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：
①求出，代入公式e＝；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)．
10．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为坐标原点,是椭圆C:的左焦点,分别为的左、右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过OE的中点,则的离心率为( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意,设直线的方程为,分别令与,得点,
,由△OBE∽△CBM,得,即,整理得,所以椭圆的离心率,故选A.
11．(2023高考数学新课标1理科)已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A．B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A．B． QUOTE C．D
答案：Ｄ
解析：设，则=2，=－2，
① ； ②，由①-②得，
∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴椭圆方程为，故选D．
12．(2023高考数学新课标理科)设F1，F2是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为( )
A．B．C．D．
答案：C
解析：如上图，是底角为的等腰三角形可得=2c
在中，
即，又∵，所以
将等式两边同时除以a，得．
13．(2023年高考全国甲卷理科)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
答案：
解析：因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以， ，即四边形面积等于．
14．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为___________．
答案：
【解析】由已知可得，．
．设点的坐标为，则，又，解得，
，解得（舍去），的坐标为．
法二、在得出．．
，∴．
∴，
的坐标为．
法三、由题知，又由焦半径公式，得，从而得到，的坐标为．
15．(2023高考数学新课标1理科)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 。
答案：
解析：设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为．
16．(2023高考数学课标2理科)设,分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．
(Ⅰ)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b．
答案：解析：（Ⅰ），解得
（Ⅱ）依据题意，原点为的中点，与轴垂直，所以直线
与轴的交点是线段的中点，故，即
由，得，设，且，易知，则
，代入椭圆方程得
又代入上式，解得．
讲典例 备高考
类型一、椭圆定义的应用
基础知识：
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2、集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若a基本题型：
1、已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
答案：B
【解析】点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．
2．若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：由等式表示的几何意义，结合相应圆锥曲线定义即可得解.
【详解】因动点满足关系式，则该等式表示点到两个定点的距离的和为8，而，即动点M的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，于是短半轴长b有，所以动点M的轨迹方程为.
3．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,6)＝1(x≠0)
答案：B
【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆的一部分，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，
∴椭圆的方程是eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)．
基本方法：
1．椭圆定义的应用范围
(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．
(2)解决与焦点有关的距离问题．
类型二、求椭圆标准方程
基础知识：
椭圆的标准方程：
焦点在x轴上：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) 焦点在y轴上：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
基本题型：
1．已知点是椭圆上的一点，椭圆的长轴长是焦距的倍，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：看问题：求椭圆的方程（属于轨迹方程问题）
想方法：求轨迹方程基本方法：
（1）待定系数法：已知曲线类型用此法； （2）定义法；
（3）代入法（相关点法）；（4）直译法（直接法）；（5）参数法。
看条件：是椭圆上的一点，想定义想坐标，
椭圆的长轴长是焦距的倍，则，注意
定措施：用待定系数法，即利用条件建立方程组去求a,b,c.，从而可得得椭圆方程．
【详解】由题意，解得，所以椭圆方程为．
2．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,6)＝1(x≠0)
答案：B
分析：看问题：求顶点A的轨迹方程（属于轨迹方程问题）
想方法：求轨迹方程基本方法：
（1）待定系数法：已知曲线类型用此法； （2）定义法；
（3）代入法（相关点法）；（4）直译法（直接法）；（5）参数法。
看条件：△ABC的周长为20，即|AB|＋|AC|＋|BC|＝20，
顶点B(0，－4)，C(0,4)，则|BC|＝8，
定措施：由已知得|AB|＋|AC|＝12＞8，符合椭圆的定义，故用定义法，．
【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆的一部分，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，
∴椭圆的方程是eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)．
3、若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 D．以上答案都不对
答案：C
【解析】直线x－2y＋2＝0与坐标轴的两个交点分别为(0,1)和(－2,0)．若椭圆的焦点在x轴上，则c＝2，
b＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，则b＝2，c＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1.故选C.
4．过点A(3，－2)且与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1 B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1
C.eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,15)＝1 D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,15)＝1
答案：A
【解析】由题意知c2＝5，可设椭圆方程为eq \f(x2,λ＋5)＋eq \f(y2,λ)＝1(λ>0)，则eq \f(9,λ＋5)＋eq \f(4,λ)＝1，
解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1.
5．已知以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－4))和Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，3))，则此椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(y2,25)＋x2＝1 B.eq \f(x2,25)＋y2＝1
C.eq \f(x2,25)＋y2＝1或eq \f(y2,25)＋x2＝1 D．以上都不对
答案：A
【解析】设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝\f(1,25)，))
∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,25)＋x2＝1.
6．（多选题）已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：ACD
分析：
分别分析A，B为椭圆E的两个顶点的位置，从而求得参数a，b，写出标准方程.
【详解】
∵∴仅有4种情况符合条件，即A为右顶点时，B为左顶点或上、下顶点；A为上顶点时，B为左顶点；
∴①当A为右顶点时，B为左顶点，此时，解得，椭圆方程为，故D正确；
②当A为右顶点时，B为上或下顶点，此时，解得，椭圆方程为，故A正确；
③A为上顶点时，B为左顶点时，此时，解得，椭圆方程为，故C正确；
基本方法：
1．求椭圆标准方程的2种常用方法
（1）定义法：根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
（2）待定系数法（先定位，在定量）：
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；
若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，
2．设椭圆标准方程的技巧：
(1)如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为(A＞0，B＞0，A≠B)．
(32)与椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1共焦点的椭圆可设为eq \f(x2,m＋k)＋eq \f(y2,n＋k)＝1(k＞－m，k＞－n且m≠n)．
(3)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有相同离心率的椭圆，可设为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝k1(k1＞0，焦点在x轴上)
或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝k2(k2＞0，焦点在y轴上)．
类型三、求椭圆离心率的值或范围
基础知识：
椭圆的几何性质：
基本题型：
1、如图，过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若eq \f(1,3)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(3,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
答案：C
分析：由题意可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝eq \f(a2－c2,a)，于是k＝eq \f(a2－c2,aa＋c).又eq \f(1,3)化简可得eq \f(1,3)2．已知点P在椭圆上，点分别为点C的左､右焦点，并满足，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：由题意画出图形，再由椭圆定义及勾股定理列式求解椭圆的离心率．
【详解】如图，由，得△为直角三角形，则，
又，，由，可得，
则，即，，又，
解得．故选：C．
3．是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：求出、，由可求得的值.
【详解】不妨设点在第一象限，因为轴，所以，将代入椭圆方程得，因为，可得，即，因为，所以，，解得.
4．（多选题）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为椭圆的下顶点和上顶点，为椭圆的右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率可以为（ ）
A．B．C．D．
答案：ABD
分析：分析可得，可得出关于的二次不等式，结合可求得的取值范围，即得出结果.
【详解】如下图所示，可得、、、，则，，因为为钝角，则，可得，即，
因为，解得.所以，ABD选项满足条件.
5、已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
答案：
【解析】由题意可设，，线段中点为，且，可得为的重心，设，，由重心坐标公式可得，，，
即有的中点，可得，，由题意可得点在椭圆内，可得，由，可得，即有.故答案为：.
基本方法：
求椭圆离心率或其取值范围的方法
(1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2求出e2，再开方．
(2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
注：在解关于椭圆的离心率e的二次方程时，要注意根据椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．
类型四、焦点三角形的周长或面积
基础知识
焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．
若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)；
④S△PF1F2＝b2·tan eq \f(θ,2).
基本题型：
1. 已知椭圆的左、右焦点分别为、,短轴长为,离心率为,过点的直线交椭圆于,两点,则的周长为( )
A. B. C. D.
答案：C
【解析】由题意,椭圆的短轴长为,离心率为,
所以,,则,所以,
所以的周长为.
2．设点P为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a＞2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为( )
A．1 B.2
C.3 D．4
答案：D
分析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝2a， ①,m2＋n2＝4c2， ②))
由①2得m2＋n2＋2mn＝4a2，∴2mn＝4a2－4c2＝4b2＝16，∴mn＝8. ∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)mn＝eq \f(1,2)×8＝4.
3．（多选题）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为10 B．面积的最大值为
C．当时，的面积为 D．存在点P使得
答案：AB
分析：由椭圆的方程可得，由的周长为可判断A，当点位于短轴端点时，的面积最大，可判断B，利用余弦定理可椭圆的定义求出，可判断C，设，则，由可得，解出方程可判断D.
【详解】由椭圆的方程可得，的周长为，故A正确
当点位于短轴端点时，的面积最大，最大值为，故B正确，当时，由余弦定理可得，所以，所以，可得，所以的面积为，故C错误
设，则，由可得，从而可得解得，不成立，故D错误，故选：AB
4．设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
答案：(3，eq \r(15))
分析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1上，所以联立方程可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋42＋y2＝64，,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝±\r(15).))又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3, eq \r(15))．
5．椭圆的左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点M，N，当 的周长最大时，的面积是___________.
答案：
分析：设椭圆的右焦点为，根据题意可得到，并且当且仅当三点共线时等号成立，，由此可求出的长，进而可求的面积.
【详解】设椭圆的右焦点为，则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的周长，此时，
所以此时的面积为.
6、已知椭圆C的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，过点F2与x轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A点，
点A关于坐标原点的对称点为B，且∠AF1B＝120°，S△F1AB＝eq \f(2\r(3),3)，则椭圆C的方程为 。
答案：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.．
【解析】由题意，设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，如图，连接BF2，由椭圆的对称性易得四边形AF1BF2为平行四边形，由∠AF1B＝120°，
得∠F2AF1＝60°，又AF2⊥F1F2，设|AF2|＝|BF1|＝m(m＞0)，
则|F1F2|＝eq \r(3)m，|AF1|＝2m，又S△F1AB＝eq \f(1,2)·|BF1|·|F1F2|＝eq \f(1,2)×m×eq \r(3)m＝eq \f(2\r(3),3)，解得m＝eq \f(2\r(3),3)，又由2c＝|F1F2|＝eq \r(3)m＝2,2a＝|AF1|＋|AF2|＝3m＝2eq \r(3)，解得c＝1，a＝eq \r(3)，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(2)，则椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
类型五、与椭圆有关的最值（范围）问题
基本题型：
1、设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq \r(3) ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq \r(3) ]∪[4，＋∞)
答案：A
分析：当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则eq \f(a,b)≥tan 60°＝eq \r(3)，即eq \f(\r(3),\r(m))≥eq \r(3)，解得0＜m≤1.当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则eq \f(a,b)≥tan 60°＝eq \r(3)，即eq \f(\r(m),\r(3))≥eq \r(3)，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.
2．已知P在椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为( )
A.eq \f(\r(218),3) B.eq \f(76,3) C．5 D．2eq \r(5)
答案：C
分析：设P(x0，y0)，则由题意得xeq \\al(2,0)＝4(1－yeq \\al(2,0))，所以|PA|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0－4)2＝4(1－yeq \\al(2,0))＋yeq \\al(2,0)－8y0＋16＝
－3yeq \\al(2,0)－8y0＋20＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(4,3)))2＋eq \f(76,3)，又－1≤y0≤1，所以当y0＝－1时，|PA|2取得最大值25，
即|PA|的最大值为5.故选C.
3．是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，设，则的最大值与最小值之和是（ ）
A．16B．9C．7D．25
答案：D
分析：设，根据标准方程求得，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论.
【详解】因为椭圆方程为椭圆，所以. 设， 则, 又.∴.
故.所以的最大值与最小值的和为.故选：D.
4．已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：延长、相交于点，连接，利用椭圆的定义分析得出，设点，求出的取值范围，利用椭圆的方程计算得出，由此可得出结果.
【详解】
如下图，延长、相交于点，连接，
因为，则，因为为的角平分线，所以，，则点为的中点，因为为的中点，所以，，设点，由已知可得，，，则且，且有，
，故，所以，.故选：C.
5．已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
分析：若存在点P满足条件，则圆x2＋y2＝c2与椭圆有公共点，则∠F1BF2≥90°(B为短轴端点)，
即b≤c＜a，即b2≤c2，∴a2－c2≤c2，∴a2≤2c2，∴eq \f(\r(2),2)≤e＜1.
6．若焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))的最大值为________．
答案：4
分析：由题意知a＝2，因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.设点P的坐标为(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，因为F(－1,0)，A(2,0)，所以eq \(PF,\s\up7(―→))＝(－1－x0，－y0)，eq \(PA,\s\up7(―→))＝(2－x0，－y0)，所以eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))＝xeq \\al(2,0)－x0－2＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)－x0＋1＝eq \f(1,4)(x0－2)2，则当x0＝－2时，eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))取得最大值4.
基本方法：
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质求解.
(2)利用函数，尤其是二次函数求解．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求解．
(4)利用一元二次方程的判别式求解．
新预测 破高考
1、若方程eq \f(x2,7－k)＋eq \f(y2,k－5)＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为( )
A．(5,7) B．(5,6) C．(6,7) D．(5,6)∪(6,7)
答案：D
【解析】由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7－k＞0，,k－5＞0，,7－k≠k－5，))解得5＜k＜7且k≠6.
2．已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
答案：B
【详解】根据椭圆定义，，则，当且仅当时取“=”，此时三角形是等腰三角形，易知，所以的面积为
故选：B.
3．已知动点M到两个定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,9)＋y2＝1 B.eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1
C.eq \f(y2,9)＋x2＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
答案：D
【解析】由题意有6>2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，
所以b2＝a2－c2＝5，故椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1.故选D.
4．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为16，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：由题中所给结论得，由的周长为16结合椭圆定义得，进而可得结果.
【详解】依题意得，则，由的周长为16结合椭圆定义可得，所以，，又椭圆焦点在轴上，故椭圆方程为.
5．过原点作直线与椭圆交于不同的两点，，为椭圆的左焦点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：作出图形，设椭圆的右焦点为，连接，进而证明四边形为平行四边形，再结合椭圆的定义求解即可.
【详解】如图，设椭圆的右焦点为，连接，因为过原点作直线与椭圆交于不同的两点，，所以原点平分线段，又因为原点平分线段，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又因为，所以.
6、椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点,若,均是线段的三等分点,的周长为,则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
答案：A
【解析】由椭圆的定义知,则的周长为
,所以,所以椭圆的方程为.不妨设点
在第一象限,则由,均是线段的三等分点, 得是线段的中点,又,所以点
的横坐标为,由,得, 所以,所以,.把点的坐
标代入椭圆方程得,即,化简得,又, 所以,解得,所以,所以椭圆的标准方程为.
7．（多选题）点，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：ACD
分析：
设椭圆上顶点为B，由题满足，即，可得，即可得出答案.
【详解】
设椭圆方程为，设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，则需，，即，，则，所以选项ACD满足.
8．已知点P在椭圆上，点分别为点C的左､右焦点，并满足，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：由题意画出图形，再由椭圆定义及勾股定理列式求解椭圆的离心率．
【详解】如图，由，得△为直角三角形，则，
又，，由，可得，
则，即，，又，
解得．故选：C．
9．(多选)已知P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cs∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则( )
A．△PF1F2的周长为12 B．S△PF1F2＝2eq \r(2)
C．点P到x轴的距离为eq \f(2\r(10),5) D．eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝2
答案：BCD
分析：由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝eq \r(5)，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝
6＋2eq \r(5)，故A选项错误；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1||PF2|cs∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－eq \f(2,3)|PF1||PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，故S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×6×eq \f(2\r(2),3)＝2eq \r(2)，故B选项正确；设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·d＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)d＝2eq \r(2)，解得d＝eq \f(2\r(10),5)，
故C选项正确；eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝|eq \(PF1,\s\up7(―→))|·|eq \(PF2,\s\up7(―→))|·cs∠F1PF2＝6×eq \f(1,3)＝2，故D选项正确．
10．（多选题）已知椭圆C∶(a>b>0)的左，右两焦点分别是F1，F2，其中F1F2=2c.直线l∶y=k(x+c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点则下列说法中正确的有（ ）
A．△ABF2的周长为4a
B．若AB的中点为M，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率
答案：AC
分析：选项A. 由椭圆的定义可判断；选项B. 由点差法可求解判断；选项C. ，,求出的范围，从而建立不等式求出离心率，可判断；选定D. AB的最小值为通径,从而可得，可判断.
【详解】由直线l∶y=k(x+c)过点，即弦过椭圆的左焦点.
，所以A正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则M，有，，所以，由作差得∶，所以则有，所以B错误；，所以，则有，可得，所以C正确；由过焦点的弦中通经最短，则AB的最小值为通径，则有，
即，解得a=2c，所以，D错误.故选：AC
11、如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____．
答案：
【解析】作点B关于原点的对称点B1，可得S，则有，
所以．将直线AB1方程，代入椭圆方程后，，
整理可得：（b2+8a2）y2﹣4b2cy+8b4＝0，由韦达定理解得，，
三式联立，可解得离心率．故答案为：．
12、我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后，在地球轨道上经历3次调相轨道变轨，奔向月球，进入月球轨道．“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是eq \f(R,2)，eq \f(5R,2)(如图所示)，则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为________．
答案：eq \f(2,5)
【解析】根据题意，设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，因为地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是eq \f(R,2)，eq \f(5R,2)，则a＝eq \f(5R,2)，c＝|OF1|＝R，则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(R,\f(5R,2))＝eq \f(2,5).
13．设，分别为椭圆（）的左，右焦点，为内一点，为上任意一点，若的最小值为，则的方程为__________.
答案：
分析：由题意知，，则；由三角形的三边关系可知，从而可求出，由椭圆的定义知，，从而可求出，进而可求出椭圆的标准方程.
【详解】由椭圆定义可知，且，则，因为，所以，所以，所以，故的方程为.
14、已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于轴上方的一点，若直线的斜率为，且，则椭圆的离心率为________．
答案：．
【解析】设，由直线的斜率为，知，且，即得，由及椭圆定义知，由余弦定理即可得，，即，化简得，故或3（舍）
即．
15、若的两个顶点，，周长为，则第三个顶点的轨迹方程是____________．
答案：
分析：根据题意可得，由椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，去除不符合题意的点，进而可得点的轨迹方程.
【详解】因为的两个顶点，，所以，因为三角形周长为，即，所以，由椭圆的定义：动点到定点，两点的距离之和等于定值，且距离之和大于两定点间的距离，所以点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，所以，，，可得椭圆的方程为：，又因为三点不共线，所以点不能在轴上，所以顶点的轨迹方程是：，
16．设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是_______.
①当点不在轴上时，的周长是6； ②当点不在轴上时，面积的最大值为
③存在点，使； ④的取值范围是
答案：①②④
【详解】由椭圆方程可知,,从而.据椭圆定义,,又,所以的周长是6,①正确.设点,因为,则.因为,则面积的最大值为,②正确.由椭圆性质可知,当点为椭圆短轴的一个端点时,为最大.此时,,又,则为正三角形,,所以不存在点,使,③错误.由图可知,当点为椭圆的右顶点时,取最大值,此时；当点为椭圆的左顶点时,取最小值,此时,所以, ④正确,
17、如果椭圆的一个焦点坐标为,过此焦点且垂直于轴的弦的长等于,则这个椭圆的标准方程为_______.
答案：
【解析】设椭圆的标准方程为. 把代入,得,
即. ∵过焦点且垂直于轴的弦长为, ∴,
由, 可得∴所求椭圆的标准方程为.
18．已知椭圆的焦点分别为、，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆短轴长的取值范围是____________．
答案：
分析：设椭圆的焦点在轴上，可得出椭圆与圆有公共点，联立两圆方程，可得出关于的不等式，解出的取值范围即可得解.
【详解】不妨设椭圆的焦点在轴上，则，，椭圆的标准方程为，以为直径的圆的方程为，联立，可得，所以，，
，可得，因此，椭圆短轴长的取值范围是.故选：D.
19．已知椭圆的短轴长为8，上顶点为A，左顶点为，分别是椭圆的左､右焦点，且的面积为4，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为___________.
答案：
分析：先根据的面积和短轴长得出a，b，c的值，求得 的范围，再通分化简为关于的函数，利用二次函数求得最值，即得取值范围．
【详解】由已知得，故，
∵的面积为，∴，∴，又，故，
∴，， ∴，
又而，即，∴当时，最大，为；
当或时，最小，为，即，
∴，即.即的取值范围为.
A．
B．
C．
D．
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
x∈[－a，a]，y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0,1)
c2＝a2－b2
专题40 椭圆及其几何性质
椭圆及其几何性质
椭圆定义
离心率
焦点三角形
椭圆方程
面积
周长
练高考 明方向
1.(2023·全国甲（文）T11） 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
2.(2023·全国甲（理）T10） 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3.(2023·新高考Ⅰ卷T16） 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
4．(2023年高考全国乙卷理科)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
5．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．
6．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则( )
A．B．C．D．
7．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为( )
8．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为( )
A．B．C．D．
9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆，的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为( )
A．B．C．D．
10．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为坐标原点,是椭圆C:的左焦点,分别为的左、右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过OE的中点,则的离心率为( )
A．B．C．D．
11．(2023高考数学新课标1理科)已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A．B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A．B． QUOTE C．D
12．(2023高考数学新课标理科)设F1，F2是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为( )
A．B．C．D．
13．(2023年高考全国甲卷理科)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
14．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为___________．
15．(2023高考数学新课标1理科)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 。
16．(2023高考数学课标2理科)设,分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．
(Ⅰ)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b．
讲典例 备高考
类型一、椭圆定义的应用
基础知识：
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2、集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若a
1、已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
2．若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,6)＝1(x≠0)
基本方法：
1．椭圆定义的应用范围
(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．
(2)解决与焦点有关的距离问题．
类型二、求椭圆标准方程
基础知识：
椭圆的标准方程：
焦点在x轴上：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) 焦点在y轴上：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
基本题型：
1．已知点是椭圆上的一点，椭圆的长轴长是焦距的倍，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,6)＝1(x≠0)
3、若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 D．以上答案都不对
4．过点A(3，－2)且与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1 B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1
C.eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,15)＝1 D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,15)＝1
5．已知以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－4))和Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，3))，则此椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(y2,25)＋x2＝1 B.eq \f(x2,25)＋y2＝1
C.eq \f(x2,25)＋y2＝1或eq \f(y2,25)＋x2＝1 D．以上都不对
6．（多选题）已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（ ）
A．B．C．D．
基本方法：
1．求椭圆标准方程的2种常用方法
（1）定义法：根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
（2）待定系数法（先定位，在定量）：
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；
若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，
2．设椭圆标准方程的技巧：
(1)如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为(A＞0，B＞0，A≠B)．
(32)与椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1共焦点的椭圆可设为eq \f(x2,m＋k)＋eq \f(y2,n＋k)＝1(k＞－m，k＞－n且m≠n)．
(3)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有相同离心率的椭圆，可设为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝k1(k1＞0，焦点在x轴上)
或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝k2(k2＞0，焦点在y轴上)．
类型三、求椭圆离心率的值或范围
基础知识：
椭圆的几何性质：
基本题型：
1、如图，过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若eq \f(1,3)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
2．已知点P在椭圆上，点分别为点C的左､右焦点，并满足，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选题）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为椭圆的下顶点和上顶点，为椭圆的右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率可以为（ ）
A．B．C．D．
5、已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
基本方法：
求椭圆离心率或其取值范围的方法
(1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2求出e2，再开方．
(2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
注：在解关于椭圆的离心率e的二次方程时，要注意根据椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．
类型四、焦点三角形的周长或面积
基础知识
焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．
若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)；
④S△PF1F2＝b2·tan eq \f(θ,2).
基本题型：
1. 已知椭圆的左、右焦点分别为、,短轴长为,离心率为,过点的直线交椭圆于,两点,则的周长为( )
A. B. C. D.
2．设点P为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a＞2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为( )
A．1 B.2
C.3 D．4
3．（多选题）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为10 B．面积的最大值为
C．当时，的面积为 D．存在点P使得
4．设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
5．椭圆的左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点M，N，当 的周长最大时，的面积是___________.
6、已知椭圆C的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，过点F2与x轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A点，
点A关于坐标原点的对称点为B，且∠AF1B＝120°，S△F1AB＝eq \f(2\r(3),3)，则椭圆C的方程为 。
类型五、与椭圆有关的最值（范围）问题
基本题型：
1、设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq \r(3) ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq \r(3) ]∪[4，＋∞)
2．已知P在椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为( )
A.eq \f(\r(218),3) B.eq \f(76,3) C．5 D．2eq \r(5)
3．是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，设，则的最大值与最小值之和是（ ）
A．16B．9C．7D．25
4．已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
6．若焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))的最大值为________．
基本方法：
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质求解.
(2)利用函数，尤其是二次函数求解．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求解．
(4)利用一元二次方程的判别式求解．
新预测 破高考
1、若方程eq \f(x2,7－k)＋eq \f(y2,k－5)＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为( )
A．(5,7) B．(5,6) C．(6,7) D．(5,6)∪(6,7)
2．已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
3．已知动点M到两个定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,9)＋y2＝1 B.eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1
C.eq \f(y2,9)＋x2＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
4．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为16，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．过原点作直线与椭圆交于不同的两点，，为椭圆的左焦点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6、椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点,若,均是线段的三等分点,的周长为,则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
7．（多选题）点，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（ ）
A．B．C．D．
8．已知点P在椭圆上，点分别为点C的左､右焦点，并满足，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．(多选)已知P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cs∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则( )
A．△PF1F2的周长为12 B．S△PF1F2＝2eq \r(2)
C．点P到x轴的距离为eq \f(2\r(10),5) D．eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝2
10．（多选题）已知椭圆C∶(a>b>0)的左，右两焦点分别是F1，F2，其中F1F2=2c.直线l∶y=k(x+c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点则下列说法中正确的有（ ）
A．△ABF2的周长为4a
B．若AB的中点为M，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率
11、如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____．
12、我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后，在地球轨道上经历3次调相轨道变轨，奔向月球，进入月球轨道．“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是eq \f(R,2)，eq \f(5R,2)(如图所示)，则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为________．
13．设，分别为椭圆（）的左，右焦点，为内一点，为上任意一点，若的最小值为，则的方程为__________.
14、已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于轴上方的一点，若直线的斜率为，且，则椭圆的离心率为________．
15、若的两个顶点，，周长为，则第三个顶点的轨迹方程是____________．
16．设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是_______.
①当点不在轴上时，的周长是6； ②当点不在轴上时，面积的最大值为
③存在点，使； ④的取值范围是
17、如果椭圆的一个焦点坐标为,过此焦点且垂直于轴的弦的长等于,则这个椭圆的标准方程为_______.
18．已知椭圆的焦点分别为、，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆短轴长的取值范围是____________．
19．已知椭圆的短轴长为8，上顶点为A，左顶点为，分别是椭圆的左､右焦点，且的面积为4，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为___________.
A．
B．
C．
D．
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
x∈[－a，a]，y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0,1)
c2＝a2－b2
2023高考一轮复习讲与练
专题40 椭圆及其几何性质
椭圆及其几何性质
椭圆定义
离心率
焦点三角形
椭圆方程
面积
周长
练高考 明方向
1.(2023·全国甲（文）T11） 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
分析：根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】因为离心率，解得，，分别为C左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为
所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.
2.(2023·全国甲（理）T10） 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
分析：设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】，设，则，则，
故，又，则，
所以，即，所以椭圆的离心率.
3.(2023·新高考Ⅰ卷T16） 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
答案：13
分析：利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，∴，
∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
4．(2023年高考全国乙卷理科)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案：C
解析：设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．
5．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．
答案：（1）；（2），．
解析：（1），轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，
联立，解得，则，
抛物线的方程为，联立，解得，，
，即，，即，即，
，解得，因此，椭圆的离心率为；
（2）由（1）知，，椭圆的方程为，
联立，消去并整理得，解得或（舍去），
由抛物线的定义可得，解得．
因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为．
6．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则( )
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
7．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为( )
答案：B
解析：如图，设，则，由，可得，
，所以点为椭圆的上顶点或下顶点．在中，由余弦定理可得
，所以，即，即，又，所以椭圆方程为．
8．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为( )
A．B．C．D．
答案：D
解析：因为为等腰三角形，，所以，由余弦定理得，
所以，而，由已知，得，即，故选D．
9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆，的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切
所以圆心到直线的距离，整理可得
所以，故选A．
【点评】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：
①求出，代入公式e＝；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)．
10．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为坐标原点,是椭圆C:的左焦点,分别为的左、右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过OE的中点,则的离心率为( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意,设直线的方程为,分别令与,得点,
,由△OBE∽△CBM,得,即,整理得,所以椭圆的离心率,故选A.
11．(2023高考数学新课标1理科)已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A．B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A．B． QUOTE C．D
答案：Ｄ
解析：设，则=2，=－2，
① ； ②，由①-②得，
∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴椭圆方程为，故选D．
12．(2023高考数学新课标理科)设F1，F2是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为( )
A．B．C．D．
答案：C
解析：如上图，是底角为的等腰三角形可得=2c
在中，
即，又∵，所以
将等式两边同时除以a，得．
13．(2023年高考全国甲卷理科)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
答案：
解析：因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以， ，即四边形面积等于．
14．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为___________．
答案：
【解析】由已知可得，．
．设点的坐标为，则，又，解得，
，解得（舍去），的坐标为．
法二、在得出．．
，∴．
∴，
的坐标为．
法三、由题知，又由焦半径公式，得，从而得到，的坐标为．
15．(2023高考数学新课标1理科)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 。
答案：
解析：设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为．
16．(2023高考数学课标2理科)设,分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．
(Ⅰ)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b．
答案：解析：（Ⅰ），解得
（Ⅱ）依据题意，原点为的中点，与轴垂直，所以直线
与轴的交点是线段的中点，故，即
由，得，设，且，易知，则
，代入椭圆方程得
又代入上式，解得．
讲典例 备高考
类型一、椭圆定义的应用
基础知识：
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2、集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若a
1、已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
答案：B
【解析】点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．
2．若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：由等式表示的几何意义，结合相应圆锥曲线定义即可得解.
【详解】因动点满足关系式，则该等式表示点到两个定点的距离的和为8，而，即动点M的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，于是短半轴长b有，所以动点M的轨迹方程为.
3．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,6)＝1(x≠0)
答案：B
【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆的一部分，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，
∴椭圆的方程是eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)．
基本方法：
1．椭圆定义的应用范围
(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．
(2)解决与焦点有关的距离问题．
类型二、求椭圆标准方程
基础知识：
椭圆的标准方程：
焦点在x轴上：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) 焦点在y轴上：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
基本题型：
1．已知点是椭圆上的一点，椭圆的长轴长是焦距的倍，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：看问题：求椭圆的方程（属于轨迹方程问题）
想方法：求轨迹方程基本方法：
（1）待定系数法：已知曲线类型用此法； （2）定义法；
（3）代入法（相关点法）；（4）直译法（直接法）；（5）参数法。
看条件：是椭圆上的一点，想定义想坐标，
椭圆的长轴长是焦距的倍，则，注意
定措施：用待定系数法，即利用条件建立方程组去求a,b,c.，从而可得得椭圆方程．
【详解】由题意，解得，所以椭圆方程为．
2．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,6)＝1(x≠0)
答案：B
分析：看问题：求顶点A的轨迹方程（属于轨迹方程问题）
想方法：求轨迹方程基本方法：
（1）待定系数法：已知曲线类型用此法； （2）定义法；
（3）代入法（相关点法）；（4）直译法（直接法）；（5）参数法。
看条件：△ABC的周长为20，即|AB|＋|AC|＋|BC|＝20，
顶点B(0，－4)，C(0,4)，则|BC|＝8，
定措施：由已知得|AB|＋|AC|＝12＞8，符合椭圆的定义，故用定义法，．
【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆的一部分，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，
∴椭圆的方程是eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)．
3、若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 D．以上答案都不对
答案：C
【解析】直线x－2y＋2＝0与坐标轴的两个交点分别为(0,1)和(－2,0)．若椭圆的焦点在x轴上，则c＝2，
b＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，则b＝2，c＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1.故选C.
4．过点A(3，－2)且与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1 B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1
C.eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,15)＝1 D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,15)＝1
答案：A
【解析】由题意知c2＝5，可设椭圆方程为eq \f(x2,λ＋5)＋eq \f(y2,λ)＝1(λ>0)，则eq \f(9,λ＋5)＋eq \f(4,λ)＝1，
解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1.
5．已知以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－4))和Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，3))，则此椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(y2,25)＋x2＝1 B.eq \f(x2,25)＋y2＝1
C.eq \f(x2,25)＋y2＝1或eq \f(y2,25)＋x2＝1 D．以上都不对
答案：A
【解析】设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝\f(1,25)，))
∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,25)＋x2＝1.
6．（多选题）已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：ACD
分析：
分别分析A，B为椭圆E的两个顶点的位置，从而求得参数a，b，写出标准方程.
【详解】
∵∴仅有4种情况符合条件，即A为右顶点时，B为左顶点或上、下顶点；A为上顶点时，B为左顶点；
∴①当A为右顶点时，B为左顶点，此时，解得，椭圆方程为，故D正确；
②当A为右顶点时，B为上或下顶点，此时，解得，椭圆方程为，故A正确；
③A为上顶点时，B为左顶点时，此时，解得，椭圆方程为，故C正确；
基本方法：
1．求椭圆标准方程的2种常用方法
（1）定义法：根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
（2）待定系数法（先定位，在定量）：
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；
若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，
2．设椭圆标准方程的技巧：
(1)如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为(A＞0，B＞0，A≠B)．
(32)与椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1共焦点的椭圆可设为eq \f(x2,m＋k)＋eq \f(y2,n＋k)＝1(k＞－m，k＞－n且m≠n)．
(3)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有相同离心率的椭圆，可设为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝k1(k1＞0，焦点在x轴上)
或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝k2(k2＞0，焦点在y轴上)．
类型三、求椭圆离心率的值或范围
基础知识：
椭圆的几何性质：
基本题型：
1、如图，过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若eq \f(1,3)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
答案：C
分析：由题意可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝eq \f(a2－c2,a)，于是k＝eq \f(a2－c2,aa＋c).又eq \f(1,3)
A．B．C．D．
答案：C
分析：由题意画出图形，再由椭圆定义及勾股定理列式求解椭圆的离心率．
【详解】如图，由，得△为直角三角形，则，
又，，由，可得，
则，即，，又，
解得．故选：C．
3．是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：求出、，由可求得的值.
【详解】不妨设点在第一象限，因为轴，所以，将代入椭圆方程得，因为，可得，即，因为，所以，，解得.
4．（多选题）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为椭圆的下顶点和上顶点，为椭圆的右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率可以为（ ）
A．B．C．D．
答案：ABD
分析：分析可得，可得出关于的二次不等式，结合可求得的取值范围，即得出结果.
【详解】如下图所示，可得、、、，则，，因为为钝角，则，可得，即，
因为，解得.所以，ABD选项满足条件.
5、已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
答案：
【解析】由题意可设，，线段中点为，且，可得为的重心，设，，由重心坐标公式可得，，，
即有的中点，可得，，由题意可得点在椭圆内，可得，由，可得，即有.故答案为：.
基本方法：
求椭圆离心率或其取值范围的方法
(1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2求出e2，再开方．
(2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
注：在解关于椭圆的离心率e的二次方程时，要注意根据椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．
类型四、焦点三角形的周长或面积
基础知识
焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．
若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)；
④S△PF1F2＝b2·tan eq \f(θ,2).
基本题型：
1. 已知椭圆的左、右焦点分别为、,短轴长为,离心率为,过点的直线交椭圆于,两点,则的周长为( )
A. B. C. D.
答案：C
【解析】由题意,椭圆的短轴长为,离心率为,
所以,,则,所以,
所以的周长为.
2．设点P为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a＞2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为( )
A．1 B.2
C.3 D．4
答案：D
分析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝2a， ①,m2＋n2＝4c2， ②))
由①2得m2＋n2＋2mn＝4a2，∴2mn＝4a2－4c2＝4b2＝16，∴mn＝8. ∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)mn＝eq \f(1,2)×8＝4.
3．（多选题）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为10 B．面积的最大值为
C．当时，的面积为 D．存在点P使得
答案：AB
分析：由椭圆的方程可得，由的周长为可判断A，当点位于短轴端点时，的面积最大，可判断B，利用余弦定理可椭圆的定义求出，可判断C，设，则，由可得，解出方程可判断D.
【详解】由椭圆的方程可得，的周长为，故A正确
当点位于短轴端点时，的面积最大，最大值为，故B正确，当时，由余弦定理可得，所以，所以，可得，所以的面积为，故C错误
设，则，由可得，从而可得解得，不成立，故D错误，故选：AB
4．设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
答案：(3，eq \r(15))
分析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1上，所以联立方程可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋42＋y2＝64，,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝±\r(15).))又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3, eq \r(15))．
5．椭圆的左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点M，N，当 的周长最大时，的面积是___________.
答案：
分析：设椭圆的右焦点为，根据题意可得到，并且当且仅当三点共线时等号成立，，由此可求出的长，进而可求的面积.
【详解】设椭圆的右焦点为，则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的周长，此时，
所以此时的面积为.
6、已知椭圆C的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，过点F2与x轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A点，
点A关于坐标原点的对称点为B，且∠AF1B＝120°，S△F1AB＝eq \f(2\r(3),3)，则椭圆C的方程为 。
答案：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.．
【解析】由题意，设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，如图，连接BF2，由椭圆的对称性易得四边形AF1BF2为平行四边形，由∠AF1B＝120°，
得∠F2AF1＝60°，又AF2⊥F1F2，设|AF2|＝|BF1|＝m(m＞0)，
则|F1F2|＝eq \r(3)m，|AF1|＝2m，又S△F1AB＝eq \f(1,2)·|BF1|·|F1F2|＝eq \f(1,2)×m×eq \r(3)m＝eq \f(2\r(3),3)，解得m＝eq \f(2\r(3),3)，又由2c＝|F1F2|＝eq \r(3)m＝2,2a＝|AF1|＋|AF2|＝3m＝2eq \r(3)，解得c＝1，a＝eq \r(3)，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(2)，则椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
类型五、与椭圆有关的最值（范围）问题
基本题型：
1、设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq \r(3) ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq \r(3) ]∪[4，＋∞)
答案：A
分析：当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则eq \f(a,b)≥tan 60°＝eq \r(3)，即eq \f(\r(3),\r(m))≥eq \r(3)，解得0＜m≤1.当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则eq \f(a,b)≥tan 60°＝eq \r(3)，即eq \f(\r(m),\r(3))≥eq \r(3)，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.
2．已知P在椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为( )
A.eq \f(\r(218),3) B.eq \f(76,3) C．5 D．2eq \r(5)
答案：C
分析：设P(x0，y0)，则由题意得xeq \\al(2,0)＝4(1－yeq \\al(2,0))，所以|PA|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0－4)2＝4(1－yeq \\al(2,0))＋yeq \\al(2,0)－8y0＋16＝
－3yeq \\al(2,0)－8y0＋20＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(4,3)))2＋eq \f(76,3)，又－1≤y0≤1，所以当y0＝－1时，|PA|2取得最大值25，
即|PA|的最大值为5.故选C.
3．是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，设，则的最大值与最小值之和是（ ）
A．16B．9C．7D．25
答案：D
分析：设，根据标准方程求得，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论.
【详解】因为椭圆方程为椭圆，所以. 设， 则, 又.∴.
故.所以的最大值与最小值的和为.故选：D.
4．已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：延长、相交于点，连接，利用椭圆的定义分析得出，设点，求出的取值范围，利用椭圆的方程计算得出，由此可得出结果.
【详解】
如下图，延长、相交于点，连接，
因为，则，因为为的角平分线，所以，，则点为的中点，因为为的中点，所以，，设点，由已知可得，，，则且，且有，
，故，所以，.故选：C.
5．已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
分析：若存在点P满足条件，则圆x2＋y2＝c2与椭圆有公共点，则∠F1BF2≥90°(B为短轴端点)，
即b≤c＜a，即b2≤c2，∴a2－c2≤c2，∴a2≤2c2，∴eq \f(\r(2),2)≤e＜1.
6．若焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))的最大值为________．
答案：4
分析：由题意知a＝2，因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.设点P的坐标为(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，因为F(－1,0)，A(2,0)，所以eq \(PF,\s\up7(―→))＝(－1－x0，－y0)，eq \(PA,\s\up7(―→))＝(2－x0，－y0)，所以eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))＝xeq \\al(2,0)－x0－2＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)－x0＋1＝eq \f(1,4)(x0－2)2，则当x0＝－2时，eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))取得最大值4.
基本方法：
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质求解.
(2)利用函数，尤其是二次函数求解．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求解．
(4)利用一元二次方程的判别式求解．
新预测 破高考
1、若方程eq \f(x2,7－k)＋eq \f(y2,k－5)＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为( )
A．(5,7) B．(5,6) C．(6,7) D．(5,6)∪(6,7)
答案：D
【解析】由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7－k＞0，,k－5＞0，,7－k≠k－5，))解得5＜k＜7且k≠6.
2．已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
答案：B
【详解】根据椭圆定义，，则，当且仅当时取“=”，此时三角形是等腰三角形，易知，所以的面积为
故选：B.
3．已知动点M到两个定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,9)＋y2＝1 B.eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1
C.eq \f(y2,9)＋x2＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
答案：D
【解析】由题意有6>2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，
所以b2＝a2－c2＝5，故椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1.故选D.
4．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为16，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：由题中所给结论得，由的周长为16结合椭圆定义得，进而可得结果.
【详解】依题意得，则，由的周长为16结合椭圆定义可得，所以，，又椭圆焦点在轴上，故椭圆方程为.
5．过原点作直线与椭圆交于不同的两点，，为椭圆的左焦点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：作出图形，设椭圆的右焦点为，连接，进而证明四边形为平行四边形，再结合椭圆的定义求解即可.
【详解】如图，设椭圆的右焦点为，连接，因为过原点作直线与椭圆交于不同的两点，，所以原点平分线段，又因为原点平分线段，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又因为，所以.
6、椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点,若,均是线段的三等分点,的周长为,则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
答案：A
【解析】由椭圆的定义知,则的周长为
,所以,所以椭圆的方程为.不妨设点
在第一象限,则由,均是线段的三等分点, 得是线段的中点,又,所以点
的横坐标为,由,得, 所以,所以,.把点的坐
标代入椭圆方程得,即,化简得,又, 所以,解得,所以,所以椭圆的标准方程为.
7．（多选题）点，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：ACD
分析：
设椭圆上顶点为B，由题满足，即，可得，即可得出答案.
【详解】
设椭圆方程为，设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，则需，，即，，则，所以选项ACD满足.
8．已知点P在椭圆上，点分别为点C的左､右焦点，并满足，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：由题意画出图形，再由椭圆定义及勾股定理列式求解椭圆的离心率．
【详解】如图，由，得△为直角三角形，则，
又，，由，可得，
则，即，，又，
解得．故选：C．
9．(多选)已知P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cs∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则( )
A．△PF1F2的周长为12 B．S△PF1F2＝2eq \r(2)
C．点P到x轴的距离为eq \f(2\r(10),5) D．eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝2
答案：BCD
分析：由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝eq \r(5)，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝
6＋2eq \r(5)，故A选项错误；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1||PF2|cs∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－eq \f(2,3)|PF1||PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，故S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×6×eq \f(2\r(2),3)＝2eq \r(2)，故B选项正确；设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·d＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)d＝2eq \r(2)，解得d＝eq \f(2\r(10),5)，
故C选项正确；eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝|eq \(PF1,\s\up7(―→))|·|eq \(PF2,\s\up7(―→))|·cs∠F1PF2＝6×eq \f(1,3)＝2，故D选项正确．
10．（多选题）已知椭圆C∶(a>b>0)的左，右两焦点分别是F1，F2，其中F1F2=2c.直线l∶y=k(x+c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点则下列说法中正确的有（ ）
A．△ABF2的周长为4a
B．若AB的中点为M，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率
答案：AC
分析：选项A. 由椭圆的定义可判断；选项B. 由点差法可求解判断；选项C. ，,求出的范围，从而建立不等式求出离心率，可判断；选定D. AB的最小值为通径,从而可得，可判断.
【详解】由直线l∶y=k(x+c)过点，即弦过椭圆的左焦点.
，所以A正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则M，有，，所以，由作差得∶，所以则有，所以B错误；，所以，则有，可得，所以C正确；由过焦点的弦中通经最短，则AB的最小值为通径，则有，
即，解得a=2c，所以，D错误.故选：AC
11、如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____．
答案：
【解析】作点B关于原点的对称点B1，可得S，则有，
所以．将直线AB1方程，代入椭圆方程后，，
整理可得：（b2+8a2）y2﹣4b2cy+8b4＝0，由韦达定理解得，，
三式联立，可解得离心率．故答案为：．
12、我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后，在地球轨道上经历3次调相轨道变轨，奔向月球，进入月球轨道．“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是eq \f(R,2)，eq \f(5R,2)(如图所示)，则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为________．
答案：eq \f(2,5)
【解析】根据题意，设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，因为地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是eq \f(R,2)，eq \f(5R,2)，则a＝eq \f(5R,2)，c＝|OF1|＝R，则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(R,\f(5R,2))＝eq \f(2,5).
13．设，分别为椭圆（）的左，右焦点，为内一点，为上任意一点，若的最小值为，则的方程为__________.
答案：
分析：由题意知，，则；由三角形的三边关系可知，从而可求出，由椭圆的定义知，，从而可求出，进而可求出椭圆的标准方程.
【详解】由椭圆定义可知，且，则，因为，所以，所以，所以，故的方程为.
14、已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于轴上方的一点，若直线的斜率为，且，则椭圆的离心率为________．
答案：．
【解析】设，由直线的斜率为，知，且，即得，由及椭圆定义知，由余弦定理即可得，，即，化简得，故或3（舍）
即．
15、若的两个顶点，，周长为，则第三个顶点的轨迹方程是____________．
答案：
分析：根据题意可得，由椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，去除不符合题意的点，进而可得点的轨迹方程.
【详解】因为的两个顶点，，所以，因为三角形周长为，即，所以，由椭圆的定义：动点到定点，两点的距离之和等于定值，且距离之和大于两定点间的距离，所以点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，所以，，，可得椭圆的方程为：，又因为三点不共线，所以点不能在轴上，所以顶点的轨迹方程是：，
16．设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是_______.
①当点不在轴上时，的周长是6； ②当点不在轴上时，面积的最大值为
③存在点，使； ④的取值范围是
答案：①②④
【详解】由椭圆方程可知,,从而.据椭圆定义,,又,所以的周长是6,①正确.设点,因为,则.因为,则面积的最大值为,②正确.由椭圆性质可知,当点为椭圆短轴的一个端点时,为最大.此时,,又,则为正三角形,,所以不存在点,使,③错误.由图可知,当点为椭圆的右顶点时,取最大值,此时；当点为椭圆的左顶点时,取最小值,此时,所以, ④正确,
17、如果椭圆的一个焦点坐标为,过此焦点且垂直于轴的弦的长等于,则这个椭圆的标准方程为_______.
答案：
【解析】设椭圆的标准方程为. 把代入,得,
即. ∵过焦点且垂直于轴的弦长为, ∴,
由, 可得∴所求椭圆的标准方程为.
18．已知椭圆的焦点分别为、，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆短轴长的取值范围是____________．
答案：
分析：设椭圆的焦点在轴上，可得出椭圆与圆有公共点，联立两圆方程，可得出关于的不等式，解出的取值范围即可得解.
【详解】不妨设椭圆的焦点在轴上，则，，椭圆的标准方程为，以为直径的圆的方程为，联立，可得，所以，，
，可得，因此，椭圆短轴长的取值范围是.故选：D.
19．已知椭圆的短轴长为8，上顶点为A，左顶点为，分别是椭圆的左､右焦点，且的面积为4，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为___________.
答案：
分析：先根据的面积和短轴长得出a，b，c的值，求得 的范围，再通分化简为关于的函数，利用二次函数求得最值，即得取值范围．
【详解】由已知得，故，
∵的面积为，∴，∴，又，故，
∴，， ∴，
又而，即，∴当时，最大，为；
当或时，最小，为，即，
∴，即.即的取值范围为.
A．
B．
C．
D．
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
x∈[－a，a]，y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0,1)
c2＝a2－b2
相关试卷
高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题39直线、直线与圆及圆与圆位置关系(原卷版+解析)： 这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题39直线、直线与圆及圆与圆位置关系(原卷版+解析)，共45页。
高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题36空间直线、平面的平行、垂直关系(原卷版+解析)： 这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题36空间直线、平面的平行、垂直关系(原卷版+解析)，共45页。试卷主要包含了(2023·全国乙等内容，欢迎下载使用。
高考数学一轮复习考点探究与题型突破第51讲直线与椭圆的位置关系(原卷版+解析)： 这是一份高考数学一轮复习考点探究与题型突破第51讲直线与椭圆的位置关系(原卷版+解析)，共15页。试卷主要包含了直线与椭圆的位置判断，弦长公式等内容，欢迎下载使用。
