高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题07函数的奇偶性与周期性(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题07函数的奇偶性与周期性(原卷版+解析)，共40页。试卷主要包含了【2022年新高考I卷8题】等内容，欢迎下载使用。

练高考 明方向
1、【2022年新高考I卷第12题】
2、【2022年新高考I卷8题】
3、【2022年新高考I卷8题】
4．(2023年高考全国乙卷理科)设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．B．C．D．
5．(2023年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则( )
A．B．C．D．
6、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x)
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
7、【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是
A． B．
C． D．
8．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（lg3）＞（）＞（） B．（lg3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（lg3） D．（）＞（）＞（lg3）
9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)函数在的图像大致为( )
A．B．C．D．
10．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知是奇函数，且当时，.若，则__________．
11．【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
12、【2019年高考江苏】设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 ▲ .
13．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则( )
A．B．0C．2D．50
14．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足的的取值范围是( )
A．B．C．D．
15．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数满足，若函数与图像的交点为，则( )
A．B．C．D．
讲典例 备高考
函数的奇偶性与周期性
奇函数的定义
偶函数的定义
函数的对称性
奇偶性的判断
奇偶性的应用
周期性的判断
周期性的应用
类型一、奇函数、偶函数的判断
基础知识：
1、奇函数、偶函数的定义
2、常用结论
（1）①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)奇函数的特殊性质
①若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min＋f(x)max＝0.
②若F(x)＝f(x)＋c，f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)＝2c.
特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max＝2c.
基本题型：
1．（利用定义判断函数奇偶性）下列函数中，是偶函数，且在上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（利用定义、图象判断函数奇偶性）判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝(x＋1) eq \r(\f(1－x,1＋x))； (2)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋1，x>0，,x2＋2x－1，x<0；))
3．（利用性质法判断奇偶性）设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
4．（利用定义、性质判断函数奇偶性）(多选)设函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，则下列结论正确的有( )
A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
基本方法：
1、函数奇偶性的判定方法
类型二、奇函数、偶函数定义的应用
1．（利用奇函数定义求值）函数为奇函数，则实数__________．
2．（利用偶函数定义求值）若函数f(x)＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a2＋1,ex＋1)))为偶函数，则a＝________.
3、（利用奇偶性求解析式）函数是上的奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
4．（利用奇偶性求解析式）已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(－2)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
5.（奇函数与单调性交汇）已知定义在上的函数满足，且在单调递增，对任意的，恒有，则使不等式成立的的取值范围是__________.
6．（奇函数与单调性交汇）定义在的函数满足下列两个条件：①任意的都有；②任意的，当，都有，则不等式的解集是（ ）
A． B． C．D．
7、（偶函数与单调性交汇）已知是偶函数，在上单调递减，，则
的解集是（ ）
A．B．
C．D．
8．（偶函数与单调性交汇）已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数.设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
类型三、函数的周期性
基础知识：
1、周期函数的定义：
2、函数周期性的常用结论
（1）若是一个周期函数，则，那么，
即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期
（2）函数周期性的判定：
①：可得为周期函数，其周期
②的周期
③的周期
④（为常数）的周期
⑤（为常数）的周期
基本题型：
1、（函数周期性的判断）函数f(x)是定义在R上的非常数函数，满足f(2－x)＝f(2＋x)，且f(4＋x)为偶函数，则f(x)( )
A．是偶函数，也是周期函数 B．是偶函数，但不是周期函数
C．是奇函数，也是周期函数 D．是奇函数，但不是周期函数
2．（函数周期性的判断）(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)是以2为周期的周期函数 B．函数f(x)是以4为周期的周期函数
C．函数f(x－1)为奇函数 D．函数f(x－3)为偶函数
3．（利用周期性求值）设是定义在上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间上的图象，则（ ）
A．0B．1C．D．2
4．（利用周期性求值）函数满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（利用周期性求解析式）设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈(4,6]时f(x)＝2x＋1，则f(x)在区间[－2,0)上的表达式为( )
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝－2－x＋4－1
C．f(x)＝2－x＋4＋1 D．f(x)＝2－x＋1
基本方法：
1．函数周期性的判断方法
判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
2．利用函数周期性求值的方法技巧
根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
类型四、函数的对称性
基础知识：
1、（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）；
（2）关于轴对称
（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。
（4）若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
（5）若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)图象关于直线x＝a对称．
（6）若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．
2、对称性最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：
（1）可利用对称性求得某些点的函数值
（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像
（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称
（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同
基本题型：
1．（函数对称性的判断）已知函数，则
A．在（0，2）单调递增B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
2、（对称性与单调性交汇）已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是
A．B．
C．D．
3、（对称性、周期性与奇偶性交汇）函数f(x)是定义在R上的非常数函数，满足f(2－x)＝f(2＋x)，且f(4＋x)为偶函数，则f(x)( )
A．是偶函数，也是周期函数 B．是偶函数，但不是周期函数
C．是奇函数，也是周期函数 D．是奇函数，但不是周期函数
4、（对称性、周期性与奇偶性交汇）已知是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称.若当时，，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
5、（对称性、周期性与奇偶性交汇）（多选题）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（ ）
A．函数是周期函数B．函数的图象关于点对称
C．函数为上的偶函数D．函数为上的单调函数
6. （对称性、周期性与奇偶性交汇）已知函数对满足，且，若的图象关于对称，，则=____________．
新预测 破高考
1、（多选题）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．C．D．
3、已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（ ）
A．-15B．-7C．3D．15
4、已知函数f(x)(x∈R)满足f(x－1)＝f(x＋1)＝f(1－x)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝e－x.设a＝f(lgeq \f(1,2)3)，b＝f(lg210)，c＝f(lg2200)，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>b>a
5、若函数是奇函数，则使的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选题）下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（多选题）已知、都是定义在上的函数，且为奇函数，的图像关于直线对称，则下列说法中正确的有（ ）
A．y=gfx+1为偶函数B．为奇函数
C．的图像关于直线对称 D．y=fgx+1为偶函数
8．（多选题）下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
9、关于函数 QUOTE ?(?)=?−sin? f(x)=x−sinx，下列说法错误的是
A． QUOTE ?? fx是奇函数B． QUOTE ?? fx在 QUOTE −∞,+∞ −∞,+∞上单调递增
C． QUOTE ?=0 x=0是 QUOTE ?? fx的唯一零点D． QUOTE ?? fx是周期函数
10．设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
11．已知定义在上的函数满足，设，若的最大值和最小值分别为和，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
13．设函数是上的偶函数，且在上单调递减，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
14．已知当时，，则以下判断正确的是（ ）．
A．B．
C．D．与的大小关系不确定
15．函数在区间上的最大值为10，则函数在区间上的最小值为
16、已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是________．
17、已知，方程在内有且只有一个，则在区间 内根的个数为
18、已知定义在上的函数满足：，当时，，则______________
19．已知是定义在上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集是___________．
20. 已知函数若为奇函数，则_________.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
定义法
图象法
性质法
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇
周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期
最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期
2023高考一轮复习讲与练
07 函数的奇偶性与周期性
练高考 明方向
1、【2022年新高考I卷第12题】
2、【2022年新高考I卷8题】
3、【2022年新高考I卷8题】
4．(2023年高考全国乙卷理科)设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意可得，对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选：B
5．(2023年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则( )
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以
②．令，由①得：，由②得：，
因为，所以，令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
，
所以．
思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．
6、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x)
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
答案：D
【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
7、【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是
A． B．
C． D．
答案：D
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或.
解得或，所以满足的的取值范围是，
8．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（lg3）＞（）＞（） B．（lg3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（lg3） D．（）＞（）＞（lg3）
答案：C
【解析】是定义域为的偶函数，．，
，又在(0，+∞)上单调递减，
∴，即.故选C．
9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)函数在的图像大致为( )
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又，排除选项A、D，故选B．
【点评】本题通过判断函数的奇偶性，缩小选项范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．在解决图象类问题时，我们时常关注的是对称性、奇偶性，特殊值，求导判断函数单调性，极限思想等方法。
10．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知是奇函数，且当时，.若，则__________．
答案：
【解析】由题意知是奇函数，且当时，，又因为，，
所以，两边取以为底数的对数，得，所以，即．
11．【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
答案：
【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.
12、【2019年高考江苏】设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 ▲ .
答案：
【解析】作出函数，的图象，如图：
由图可知，函数的图象与的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x的方程有2个不同的实数根，
要使关于的方程有8个不同的实数根，则与的图象有2个不同的交点，由到直线的距离为1，可得，解得，∵两点连线的斜率，∴，
综上可知，满足在(0,9]上有8个不同的实数根的k的取值范围为.
13．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则( )
A．B．0C．2D．50
答案：C
解析：因为是定义域为的奇函数，且满足，所以，即，所以，，因此是周期函数且．又，
且，所以，
所以，故选C．
14．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足的的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案： D
【解析】因为为奇函数且在上单调递减,要使成立,则满足,所以由得,即使成立的满足,选D．
【点评】奇偶性与单调性的综合问题,要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题,若在上为单调递增的奇函数,且,则,反之亦成立．
15．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数满足，若函数与图像的交点为，则( )
A．B．C．D．
答案：B
【解析】的图像的对称中心为又函数满足，所以图像的对称中心为：所以，故选Ｂ
讲典例 备高考
函数的奇偶性与周期性
奇函数的定义
偶函数的定义
函数的对称性
奇偶性的判断
奇偶性的应用
周期性的判断
周期性的应用
类型一、奇函数、偶函数的判断
基础知识：
1、奇函数、偶函数的定义
2、常用结论
（1）①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)奇函数的特殊性质
①若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min＋f(x)max＝0.
②若F(x)＝f(x)＋c，f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)＝2c.
特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max＝2c.
基本题型：
1．（利用定义判断函数奇偶性）下列函数中，是偶函数，且在上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】对于A中，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于B中，函数的定义域为关于原点对称，
又由，所以函数为偶函数，又由幂函数的性质，可得函数在单调递减，则在区间单调递增，所以B是正确的；对于C中，函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，不符合题意；对于D中，由函数，可得函数在单调递减，不符合题意.
2．（利用定义、图象判断函数奇偶性）判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝(x＋1) eq \r(\f(1－x,1＋x))； (2)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋1，x>0，,x2＋2x－1，x<0；))
【详解】(1)因为f(x)有意义，则满足eq \f(1－x,1＋x)≥0，
所以－1(2)法一：定义法
当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
法二：图象法：作出f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．
3．（利用性质法判断奇偶性）设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
答案：C
【详解】是奇函数，是偶函数，，对于A，，故是奇函数，故A错误；对于B，，故是偶函数，故B错误；对于C，，故是奇函数，故C正确；对于D，，故是偶函数，故D错误.
4．（利用定义、性质判断函数奇偶性）(多选)设函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，则下列结论正确的有( )
A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
答案：ABC
【详解】 ∵f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，定义域为R，则f(－x)＝eq \f(e－x－ex,2)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数，∴|f(x)|为偶函数，
－f(x)为奇函数，f(x)|f(x)|为奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．故选ABC.
基本方法：
1、函数奇偶性的判定方法
类型二、奇函数、偶函数定义的应用
1．（利用奇函数定义求值）函数为奇函数，则实数__________．
答案：
【解析】函数为奇函数，，即，
则，即，，则，，则.当时，，则的定义域为：且，此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意；当时，，满足题意，.
2．（利用偶函数定义求值）若函数f(x)＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a2＋1,ex＋1)))为偶函数，则a＝________.
答案：或－1
【解析】由题意，令u(x)＝1－eq \f(a2＋1,ex＋1)，根据函数f(x)＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a2＋1,ex＋1)))为偶函数，
可得u(x)＝1－eq \f(a2＋1,ex＋1)为奇函数，所以u(0)＝1－eq \f(a2＋1,e0＋1)＝0，可得a2＝1，所以a＝1或a＝－1.
3、（利用奇偶性求解析式）函数是上的奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】时，.当时，，，由于函数是奇函数，，因此，当时，，故选C.
4．（利用奇偶性求解析式）已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(－2)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：C
【解析】由题意f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，由函数的奇偶性得f(－x)－g(x)＝x2－x－2，
联立得f(x)＝x2－2，所以f(－2)＝2.
5.（奇函数与单调性交汇）已知定义在上的函数满足，且在单调递增，对任意的，恒有，则使不等式成立的的取值范围是__________.
答案：
分析：首先判断函数的奇偶性、单调性，再将函数不等式转化为自变量的不等式，计算可得.
【详解】因为定义在上的函数满足，故，所以为奇函数，又在单调递增，根据奇函数的对称性，可知在上单调递增，又对任意的，恒有，
，解得，所以，即。
6．（奇函数与单调性交汇）定义在的函数满足下列两个条件：①任意的都有；②任意的，当，都有，则不等式的解集是（ ）
A． B． C．D．
答案：D
【详解】根据题意，由①知函数为奇函数，由②知函数在上为减函数，所以可得函数在是奇函数也是减函数，所以不等式，移项得，变形，所以，得.
7、（偶函数与单调性交汇）已知是偶函数，在上单调递减，，则
的解集是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为是偶函数，所以的图象关于直线对称，因此，由得，
又在上单调递减，则在上单调递增，所以，当即时，由得，所以，解得；当即时，由得，所以，解得，
因此，的解集是.
8．（偶函数与单调性交汇）已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数.设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：利用偶函数的对称性分析函数的单调性，利用指数函数、对数函数的单调性比较出的大小关系从而比较函数值的大小关系.
【详解】由题意可知在上是增函数，在上是减函数.因为，，，
所以，故.故选：A
类型三、函数的周期性
基础知识：
1、周期函数的定义：
2、函数周期性的常用结论
（1）若是一个周期函数，则，那么，
即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期
（2）函数周期性的判定：
①：可得为周期函数，其周期
②的周期
③的周期
④（为常数）的周期
⑤（为常数）的周期
基本题型：
1、（函数周期性的判断）函数f(x)是定义在R上的非常数函数，满足f(2－x)＝f(2＋x)，且f(4＋x)为偶函数，则f(x)( )
A．是偶函数，也是周期函数 B．是偶函数，但不是周期函数
C．是奇函数，也是周期函数 D．是奇函数，但不是周期函数
答案：A
【解析】因为f(4＋x)为偶函数，所以f(4＋x)＝f(4－x)．又f(2－x)＝f(2＋x)，故直线x＝2和x＝4是f(x)的两条对称轴．所以f(x)是周期T＝2|4－2|＝4的函数．所以f(x)＝f(x＋4)，而f(4＋x)为偶函数，于是f(x)是偶函数，故选A.
2．（函数周期性的判断）(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)是以2为周期的周期函数 B．函数f(x)是以4为周期的周期函数
C．函数f(x－1)为奇函数 D．函数f(x－3)为偶函数
答案：BC
【解析】对于选项A、B，∵函数f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∵f(x)＋f(2－x)＝0，∴f(－x)＋f(2＋x)＝0，则f(x)＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，由此可知选项A错误，选项B正确．对于选项C，令F(x)＝f(x－1)，则F(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)．在f(x)＋f(2＋x)＝0中，将x换为x－1，得f(x－1)＋f(1＋x)＝0，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，∴F(－x)＝－f(x－1)＝－F(x)，则函数F(x)＝f(x－1)为奇函数，故选项C正确．对于选项D，由题意不妨取满足条件的函数f(x)＝cs eq \f(π,2)x，则f(x－3)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x－3))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x－\f(3π,2)))＝－sin eq \f(π,2)x为奇函数，故选项D错误．
3．（利用周期性求值）设是定义在上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间上的图象，则（ ）
A．0B．1C．D．2
答案：D
分析：根据题意，利用函数的周期性以及图象分析可得；
【详解】由题意可得：，
，则.故选：D.
4．（利用周期性求值）函数满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：由题意，所以令，化简，得到，从而，联立两式求解出的周期为6，从而，即可求出.
【详解】由题意，取，则，即①，
所以②，联立①②得，，所以，所以函数的周期为，
由，所以.故选：C
5．（利用周期性求解析式）设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈(4,6]时f(x)＝2x＋1，则f(x)在区间[－2,0)上的表达式为( )
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝－2－x＋4－1
C．f(x)＝2－x＋4＋1 D．f(x)＝2－x＋1
答案：B
【解析】当x∈[－2,0)时，－x∈(0,2]，∴－x＋4∈(4,6]，又∵当x∈(4,6]时，f(x)＝2x＋1，
∴f(－x＋4)＝2－x＋4＋1.∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为T＝4，∴f(－x＋4)＝f(－x)．
又∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋4＋1.
∴当x∈[－2,0)时，f(x)＝－2－x＋4－1.
基本方法：
1．函数周期性的判断方法
判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
2．利用函数周期性求值的方法技巧
根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
类型四、函数的对称性
基础知识：
1、（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）；
（2）关于轴对称
（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。
（4）若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
（5）若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)图象关于直线x＝a对称．
（6）若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．
2、对称性最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：
（1）可利用对称性求得某些点的函数值
（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像
（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称
（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同
基本题型：
1．（函数对称性的判断）已知函数，则
A．在（0，2）单调递增B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
答案：C
【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
【点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．
2、（对称性与单调性交汇）已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】根据题意，的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，又由在区间上单调递增，可得，则，
即，解得，即a的取值范围为.故选C．
3、（对称性、周期性与奇偶性交汇）函数f(x)是定义在R上的非常数函数，满足f(2－x)＝f(2＋x)，且f(4＋x)为偶函数，则f(x)( )
A．是偶函数，也是周期函数 B．是偶函数，但不是周期函数
C．是奇函数，也是周期函数 D．是奇函数，但不是周期函数
答案：A
【解析】因为f(4＋x)为偶函数，所以f(4＋x)＝f(4－x)．又f(2－x)＝f(2＋x)，故直线x＝2和x＝4是f(x)的两条对称轴．所以f(x)是周期T＝2|4－2|＝4的函数．所以f(x)＝f(x＋4)，而f(4＋x)为偶函数，于是f(x)是偶函数，故选A.
【点评】双对称函数具有周期性；若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称(b>a)，则2(b－a)是函数y＝f(x)的周期；若函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)和(b,0)对称(b>a)，则2(b－a)是函数y＝f(x)的周期；若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a和点(b,0)对称(b>a)，则4(b－a)是函数y＝f(x)的周期．
4、（对称性、周期性与奇偶性交汇）已知是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称.若当时，，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
答案：C
【解析】是定义在上的奇函数，的图像关于直线对称，，
，是周期为的周期函数，.
5、（对称性、周期性与奇偶性交汇）（多选题）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（ ）
A．函数是周期函数B．函数的图象关于点对称
C．函数为上的偶函数D．函数为上的单调函数
答案：ABC
【解析】因为，所以，即，故A正确；
因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；
又函数为奇函数，所以，根据，令代有，所以，令代有，即函数为上的偶函数，C正确；因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，，所以函数不单调，D不正确.
6. （对称性、周期性与奇偶性交汇）已知函数对满足，且，若的图象关于对称，，则=____________．
答案：
【解析】
分析：先由对称性可得是偶函数，再利用赋值求得的值，从而可判断周期性，答案易得.
【详解】因为的图象关于对称，所以的图象关于对称，即是偶函数.对于，令，可得，又，所以，则.所以函数对满足.所以.
所以，即是周期为的周期函数.所以，
.所以.故答案为：.
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1、（多选题）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
答案：AD
【解析】对于A选项，为偶函数，且当时，为减函数，符合题意.对于B选项，为偶函数，根据幂函数单调性可知在上递增，不符合题意.对于C选项，为奇函数，不符合题意.对于D选项，为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，在区间上单调递减，符合题意.
2．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：确定函数为奇函数和增函数，化简得到，解得答案.
【详解】，，函数为奇函数，当时，，函数单调递增，函数连续，故在上单调递增.，故，即，解得.
3、已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（ ）
A．-15B．-7C．3D．15
答案：A
【解析】因为奇函数的定义域关于原点中心对称，则,解得，因为奇函数当时,，则。
4、已知函数f(x)(x∈R)满足f(x－1)＝f(x＋1)＝f(1－x)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝e－x.设a＝f(lgeq \f(1,2)3)，b＝f(lg210)，c＝f(lg2200)，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>b>a
答案：C
【解析】∵f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)的周期为2.又∵f(x－1)＝f(1－x)，∴f(x)＝f(－x)，
∴f(x)为偶函数，∴a＝f(lg23)＝f(lg23－2)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(3,4)))，b＝f(lg210)＝f(lg210－4)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(5,8)))，
c＝f(lg2200)＝f(lg2200－8)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(25,32))).
∵－1a>c.
5、若函数是奇函数，则使的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】根据题意，函数是奇函数，则，即，可得，
则，有，解可得，即函数的定义域为，设，则，，则在上为增函数，而在上为增函数，则在上为增函数，若，即，解可得，则，即，解得，又由，则有，即的取值范围为；
6．下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AB
【详解】因为，定义域为，且，所以函数是奇函数，
设，则，
所以时，，又因为函数是奇函数，所以函数在上单调递减，故选项A正确；
由函数的图像可知：函数关于原点对称且单调递减，故选项B正确；
而选项中的函数是非奇非偶函数，故选项C错误；对于函数，定义域为，定义域关于原点对称，，所以函数是奇函数，设，则
，所以时，，所以函数在上单调递增，又因为函数是奇函数，，所以函数在上也单调递增，但是不满足题意.
7．已知、都是定义在上的函数，且为奇函数，的图像关于直线对称，则下列说法中正确的有（ ）
A．y=gfx+1为偶函数B．为奇函数
C．的图像关于直线对称 D．y=fgx+1为偶函数
答案：ACD
【详解】因为为奇函数，所以，因为的图像关于直线对称，所以，A项：gf−x+1=g−fx+1=gfx+1，则函数y=gfx+1为偶函数，A正确；B项：gf−x=g−fx≠−gfx，不是奇函数，B错误；C项：因为，所以fg1−x=fg1+x，则的图像关于直线对称，C正确；D项：因为，所以fg−x+1=fgx+1，则函数y=fgx+1为偶函数，D正确，
8．（多选题）下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【详解】对A， 开口向上，且对称轴为，所以是偶函数，在上是增函数，故A正确；对B，为奇函数，故B错误；对C，为偶函数，当时，为增函数，故C正确；对D，令，为偶函数，当，为减函数，故D错误，
9、关于函数 QUOTE ?(?)=?−sin? f(x)=x−sinx，下列说法错误的是
A． QUOTE ?? fx是奇函数B． QUOTE ?? fx在 QUOTE −∞,+∞ −∞,+∞上单调递增
C． QUOTE ?=0 x=0是 QUOTE ?? fx的唯一零点D． QUOTE ?? fx是周期函数
答案：D
【解析】 QUOTE ?−?=−?−sin−?=−?+sin?=−?? f−x=−x−sin−x=−x+sinx=−fx，则 QUOTE ?? fx为奇函数，故 QUOTE A A正确；由于 QUOTE ?'?=1−cs??0 f'x=1−csxe0，故 QUOTE ?? fx在 QUOTE −∞,+∞ −∞,+∞上单调递增，故 QUOTE B B正确；根据 QUOTE ?? fx在 QUOTE −∞,+∞ −∞,+∞上单调递增， QUOTE ?0=0 f0=0，可得 QUOTE ?=0 x=0是 QUOTE ?? fx的唯一零点，故 QUOTE C C正确；根据 QUOTE ?? fx在 QUOTE −∞,+∞ −∞,+∞上单调递增，可知它一定不是周期函数，故 QUOTE D D错误.故选D.
10．设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：由可得，所以，由为定义在上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知在上单调递增，注意到，再利用函数单调性即可解决.
【详解】因为在上是奇函数.所以，解得，所以当时，，且时，单调递增，所以在上单调递增，因为，
故有，解得.故选：D.
11．已知定义在上的函数满足，设，若的最大值和最小值分别为和，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】∵，，∴
∴函数关于点对称，∵的最大值和最小值分别为和，∴
12．已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据图象关于轴对称可知关于对称，从而得到在上单调递增且；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.
【详解】为偶函数，图象关于轴对称，图象关于对称
时，单调递减，时，单调递增，又且， ，即。
13．设函数是上的偶函数，且在上单调递减，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：计算，，，故，根据单调性得到，解得答案.
【详解】，故，，故.
，，故，函数单调递减，故，故.
【点睛】本题考查了根据三角函数单调性求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
14．已知当时，，则以下判断正确的是（ ）．
A．B．
C．D．与的大小关系不确定
答案：B
分析：由函数的增减性及导数的应用得，设，，而此函数为偶函数，求导后可判断函数在为增函数，然后利用偶函数的性质结合增减性可得答案.
【详解】设，则它为偶函数，，当时，，函数在递增，由偶函数对称性知在区间递减．变形得即，∴．故选：B
15．函数在区间上的最大值为10，则函数在区间上的最小值为
答案：-26
【详解】设，则，即，故在区间上的最大值为，又易见，即是奇函数，图象关于原点中心对称，故在区间上的最小值为，故在区间上的最小值为.
16、已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是________．
答案：
【解析】根据已知条件：当时，有恒成立，得函数是定义在上的减函数，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，故等价于，所以，即.
17、已知，方程在内有且只有一个，则在区间 内根的个数为
答案：2018
【解析】，可得关于轴对称，因为在内有且只有一个零点，所以由对称性可得在只有两个零点。所以一个周期中含有两个零点，区间共包含1009个周期，所以有2018个零点
18、已知定义在上的函数满足：，当时，，则______________
答案：-
【解析】：由可得：关于中心对称，由可得：关于轴对称，所以可求出的周期，则
19．已知是定义在上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集是___________．
答案：
分析：构造，先利用定义判断的奇偶性，再利用导数判断其单调性，转化为，结合奇偶性，单调性求解不等式即可.
【详解】令，则是上的偶函数，，则在上递减，于是在上递增．由得，即，于是，则，解得．故答案为：
20. 已知函数若为奇函数，则_________.
答案：1
分析：由题知：，可变形为，故，又为奇函数，可得，进而得到：，由已知可得出的值，进而得到结果.
【详解】，可变形为，故，又因为为奇函数，可得，所以有， ，
所以.故答案为：.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
定义法
图象法
性质法
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇
周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期
最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期