高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题02常用逻辑用语(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题02常用逻辑用语(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了设，则“”是“”的，已知，则“”是“”的，(2023山东）已知命题等内容，欢迎下载使用。

练高考 明方向
1．(2023北京)设，均为单位向量，则“”是“⊥”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．(2023天津)设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(2023上海)已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
4．(2023新课标Ⅰ）设有下面四个命题
：若复数满足 QUOTE ，则 QUOTE ； ：若复数满足，则 QUOTE ；
：若复数，满足，则 QUOTE ?1=?2 ； ：若复数 QUOTE ，则 QUOTE ?∈? ．
其中的真命题为（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．(2023浙江）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．(2023天津）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．(2023山东）已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是
A． B． C． D．
8．(2023北京）设, 为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．(2023年北京）设是向量，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．(2023年山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．(2023年天津）设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
常用逻辑用语
充要条件
的判断
特称命题的判断
充要条件
的应用
全
称
命
题
的应用
讲典例 备高考
全称命题的判断
特称
命
题
的应用
类型一、充分条件与必要条件的判断
1、充分条件与必要条件的概念
记p，q对应的集合分别为A，B，则
2、判断充分、必要条件的2种方法：
（1）定义法：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么。
（2）集合法：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题。
1．已知集合,，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．在等比数列中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知，，则是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
4．中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（多选题）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．C．D．
6．已知空间中的两条直线和两个平面，则”的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
类型二、全（特称）称命题的判断
1．全称量词和存在量词
2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
3．全称命题与特称命题真假判断的方法
要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．
4．全称命题与特称命题的进行否定的步骤
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
1．命题“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为（ ）
A．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
B．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
C．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
D．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
2．命题“，方程有解”的否定是（ ）
A．，方程无解 B．，方程有解
C．，方程无解 D．，方程有解
3．（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．， B．，
C．若，，则， D．若，，则，
4．（多选题）下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．，B．，，
C．，，D．，
5．（多选题）已知，函数，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6.下列命题中，真命题是( )
A．∃x∈R，sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)))＋cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)))＝eq \f(1,3) B．∀x∈(0，π)，sin x>cs x
C．∃x∈R，x2＋x＝－2 D．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1
类型四、充分、必要条件的应用
已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略：
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解．
(2)涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系来求解．
[提醒] 求解参数取值范围时：(1)注意对区间端点值的处理；(2)注意条件的等价变形．
1．（多选题）已知，则使命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．−26≤m≤26 B．−26C．−263．（多选题）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________.
5．写出一个使命题“，”成立的充分不必要条件______（用m的值或范围作答）．
类型五、特称、全称命题的应用
1．（多选题）若命题“，”是假命题，则的值可能为（ ）
A． B．1C．4D．7
2．若命题“，一次函数的图象都在轴下方”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．m<12 B．m>12 C．m≤12 D．m≥12
3．（多选题）若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（ ）
A．B．C．3D．
4．已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是________.
巩固练习
1．已知复数z，则“”是“z为实数”的（ ）条件
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．已知命题，，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
3．“”是“”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知a，b是不同的直线，是不同的平面，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要
6．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．若是的充分条件，是的必要条件，是的充分条件，是的必要条件，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．使“”成立的一个充分不必要条件是（）
A．B．C．D．
9．（多选题）下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有（ ）
A．，B．所有的正方形都是矩形
C．，D．至少有一个实数，使
10．（多选题）下列命题中，是全称命题且是真命题的是（ ）
A．，B．所有正方形都是矩形
C．，D．，
11．下列命题正确的是（ ）
A．“关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是
B．设，则“且”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“”是假命题的实数的取值范围为
12．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．“，”的否定形式是“，”
B．“”的一个充分不必要条件是“”
C．两个非零向量，，“，且”是“”的充分不必要条件
D．，
13．（多选题）下列命题为真命题的是（ ）
A．命题：“，”的否定为：“，”
B．若，，为实数，则“”是“”的充分不必要条件
C．平面向量，的夹角为锐角的充要条件是
D．若，为实数，则是的充要条件
14．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．若a、，则“”是“a、b不全为0”的充要条件
C．命题“，都有”的否定是“，使得”
D．命题 “若，则”的否定是真命题
15．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则a，b至少有一个大于2
B．“，”的否定是“，”
C．“，”，是“”的必要不充分条件
D．中，A是最大角，则“”是为钝角三角形”的充要条件
16．能够说明“若均为正数，则”是真命题的充分必要条件为___________.
17．己知，，请写出使得“”恒成立的一个充分不必要条件为__________.（用含m的式子作答）
18．已知p：，q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___________.
19．设：或，：或，，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．
20．已知A={x|a（1）若1∈A，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
21．求证：关于x的方程有一个根小于1，另一个根大于1的充要条件是.
22．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
已知集合，，若是成立的______条件，判断实数是否存在？
23．不等式的解集是，关于x的不等式的解集是.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
(3)设实数x满足，其中，命题实数x满足.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
24．已知函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，
(1)当时，求；
(2)设命题，命题，的充分不必要条件，求实数的取值范围．
p是q的充分条件
p⇒q
A⊆B
p是q的必要条件
q⇒p
A⊇B
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒p
A＝B
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
AB
p是q的必要不充分条件
p q且q⇒p
AB
p是q的既不充分也不必要条件
p q且q p
AB且A⊉B
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
∃
命题
名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称
命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，
p(x)
∃x0∈M，綈p(x0)
特称
命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，
p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
2023高考一轮复习讲与练
02 常用逻辑用语
练高考 明方向
1．(2023北京)设，均为单位向量，则“”是“⊥”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】∵，∴，∴，
又，∴，∴；反之也成立，故选C．
2．(2023天津)设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】通解 由，得，所以；由，
得，不能推出．所以“”是“”的充分而不必要条件，故选A．
优解 由，得，所以，所以充分性成立；
取，则，，所以必要性不成立．故选A．
3．(2023上海)已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
答案：A
【解析】由可得成立；当，即，
解得或，推不出一定成立；所以“”是“”的充分非必要条件．故选A．
4．(2023新课标Ⅰ）设有下面四个命题
：若复数满足 QUOTE ，则 QUOTE ； ：若复数满足，则 QUOTE ；
：若复数，满足，则 QUOTE ?1=?2 ； ：若复数 QUOTE ，则 QUOTE ?∈? ．
其中的真命题为（ ）
A．， B．， C．， D．，
答案：B
【解析】设（），则，得，所以，正确；，则，即或，不能确定，不正确；若，则，此时，正确．选B．
5．(2023浙江）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】∵，当，可得；当，可得．所以“”是“” 充分必要条件，选C．
6．(2023天津）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】由，得，所以，反之令，有 成立，不满足，所以“”是“”的充分而不必要条件．选A．
7．(2023山东）已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是
A． B． C． D．
答案：B
【解析】，，所以，所以为真命题；若，则，若，则，所以，所以为假命题．所以为真命题．选B．
8．(2023北京）设, 为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】因为为非零向量，所以的充要条件是．因为，则由可知的方向相反，，所以，所以“存在负数，使得”可推出“”；而可推出，但不一定推出的方向相反，从而不一定推得“存在负数，使得”，所以“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件．
9．(2023年北京）设是向量，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：D
【解析】取，则，，，所以，故由推不出．由，得，整理得，所以，不一定能得出，故由推不出，故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D．
10．(2023年山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】若直线相交，设交点为，则，又，所以，故相交．反之，若相交，则可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．
11．(2023年天津）设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】由题意得，，，若，因为得符号不定，所以无法判断的符号；反之，若，即，可得，故“”是“对任意的正整数，”的必要不充分条件，故选C.
常用逻辑用语
充要条件
的判断
特称命题的判断
充要条件
的应用
全
称
命
题
的应用
讲典例 备高考
全称命题的判断
特称
命
题
的应用
类型一、充分条件与必要条件的判断
1、充分条件与必要条件的概念
记p，q对应的集合分别为A，B，则
2、判断充分、必要条件的2种方法：
（1）定义法：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么。
（2）集合法：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题。
1．已知集合,，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】因为,，所以集合是集合的子集，所以“”是“”的必要不充分条件。
2．在等比数列中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：C
分析：根据条件，由等比数列通项公式可得、，结合因式分解及充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】设公比为q，由，
由，所以.
由，，可得，所以“”是“”的充要条件.
3．已知，，则是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
答案：B
【解析】对于命题，可得到，但是与9没有关系，当命题，整理，即得到，故是的必要不充分条件.选B.
4．中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：C
分析：等价于，由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可.
【详解】在三角形中，因为，所以，即，若，则，即，，若，由正弦定理，得，根据大边对大角，可知，所以“”是“”的充要条件。
5．（多选题）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．C．D．
答案：BC
分析：对于A、D选项，取特殊值说明既不充分也不必要即可；对于B，先取特殊值说明不充分，再同时平方证必要即可；对于C，先取特殊值说明不充分，再结合基本不等式证必要即可；
【详解】对于A，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；
当时，满足，不满足，即推不出，不必要；A错误；
对于B，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；
当时，平方得，又，又，故，即能推出，必要；B正确；
对于C，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；
当时，由，，即能推出，必要；C正确；
对于D，当时，满足，不满足，即推不出，不
充分；当时，满足，不满足，即推不出，不必要；D错误.
6．已知空间中的两条直线和两个平面，则”的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
答案：ACD
分析：根据线面垂直或平行关系，代入分析讨论求证即可.
【详解】对于选项，，则有内的一条直线 因为，所以又所以，即条件“”能够得到,所以选项是的充分条件；对于选项，不一定能够得出结论， 也可能相交或平行；因此该选项错误；
对于选项，，，所以，又因为所以，因此该选项正确；
对于选项，因为所以或又因为，所以.
类型二、全（特称）称命题的判断
1．全称量词和存在量词
2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
3．全称命题与特称命题真假判断的方法
要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．
4．全称命题与特称命题的进行否定的步骤
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
1．命题“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为（ ）
A．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
B．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
C．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
D．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
答案：D
【解析】 “a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为：a，b>0，
a＋≥2和b＋≥2都不成立.
2．命题“，方程有解”的否定是（ ）
A．，方程无解 B．，方程有解
C．，方程无解 D．，方程有解
答案：C
【解析】因为命题“，方程有解”为特称命题，所以该命题的否定为“，方程无解”.
3．（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．， B．，
C．若，，则， D．若，，则，
答案：BC
【解析】
分析：
利用特殊值法可判断AB选项的正误；利用全称命题、特称命题的否定可判断CD选项的正误.
【详解】
对于A选项，取，则，A错；对于B选项，取，则成立，B对；
对于C选项，由特称命题的否定可知，若，，则，，C对；
对于D选项，由全称命题的否定可知，若，，则，，D错.
4．（多选题）下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．，B．，，
C．，，D．，
答案：BD
【解析】由二次函数开口向上对称轴为，且最小值为.对于A中，由二次函数，所以，错误，即A错误；对于B中，由二次函数，所以，正确，即B正确；对于C中，由二次函数，所以，，错误，即C错误；对于D中，根据二次函数的对称性可知，，正确，即D正确.故选：BD.
5．（多选题）已知，函数，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BD
【解析】
分析：
求出导函数，确定函数的单调性后判断．
【详解】
时，，在上递增，，，所以时，恒成立．因此AC错，BD正确．
6.下列命题中，真命题是( )
A．∃x∈R，sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)))＋cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)))＝eq \f(1,3) B．∀x∈(0，π)，sin x>cs x
C．∃x∈R，x2＋x＝－2 D．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1
答案：D
【解析】∀x∈R，均有sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)))＋cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)))＝1，故A是假命题；当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，sin x≤cs x，故B是假命题；
∵方程x2＋x＋2＝0对应的判别式Δ＝1－8<0，∴x2＋x＋2＝0无解，∴∃x∈R，x2＋x＝－2是假命题，
故C是假命题；令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，
则f(x)为增函数，故f(x)>f(0)＝0，即∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1.故选D.
类型四、充分、必要条件的应用
已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略：
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解．
(2)涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系来求解．
[提醒] 求解参数取值范围时：(1)注意对区间端点值的处理；(2)注意条件的等价变形．
1．（多选题）已知，则使命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
分析：根据题设条件，借助函数的最值求出原命题为真命题的充要条件，在选项中找出这个充要条件所对集合的所有真子集即可得解.
【详解】，令，则，则函数在上单调递增，，，所以原命题为真命题的充要条件为，而，则满足A选项、C选项的a均有，时和都不一定成立，所以所求的一个充分不必要条件是选项A，C.
2．已知集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．−26≤m≤26 B．−26C．−26答案：B
【解析】因为若“”是“”的必要条件，所以，当时，则，解得；当时，则，此时不存在；当时，则，此时不存在；当时，则，此时不存在综上所述：所以实数的取值范围是。
3．（多选题）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】
分析：
先求命题“”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.
【详解】因为为真命题，所以或，所以是命题“”为真命题充分不必要条件，A对，所以是命题“”为真命题充要条件，B错，所以是命题“”为真命题充分不必要条件，C对，所以是命题“”为真命题必要不充分条件，D错，
4．已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________.
答案：
【解析】若“”是“”的必要不充分条件，则，且，
，所以，且不能同时取等号，解得，
5．写出一个使命题“，”成立的充分不必要条件______（用m的值或范围作答）．
答案：（答案不唯一）
【解析】
分析：
先求出命题“，”成立的充要条件为，再按照充分性必要性判断即可.
【详解】当时，易知，又，，显然，故是命题“，”成立的充分不必要条件.
故答案为：（答案不唯一）.
类型五、特称、全称命题的应用
1．若命题“，”是假命题，则的值可能为（ ）
A． B．1C．4D．7
答案：BC
【解析】首先写出特称命题的否定，根据命题“，”是真命题，根据恒成立，讨论的取值，求参数的取值.
【详解】由题可知，命题“，”是真命题，
当时，或.
若，则原不等式为，恒成立，符合题意；
若，则原不等式为，不恒成立，不符合题意.
当时，依题意得.即解得.
综上所述，实数的取值范围为.
2．若命题“，一次函数的图象都在轴下方”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．m<12 B．m>12 C．m≤12 D．m≥12
答案：D
【解析】因为，若“，一次函数的图象都在轴下方”为真命题，则当时，恒成立，所以即.所以实数的取值范围是.
3．（多选题）若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（ ）
A．B．C．3D．
答案：AB
【解析】首先由条件可知命题的否定是真命题，参变分离后，转化为最值问题求的取值范围.
【详解】由条件可知，是真命题，即，即，设，等号成立的条件是，所以的最小值是，即，满足条件的有AB.
4．已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是________.
答案：或
【解析】因为命题“，”且命题p是假命题，可得命题“，”为真命题，即，恒成立，可得，即，解得或，即实数a的取值范围是或.
巩固练习
1．已知复数z，则“”是“z为实数”的（ ）条件
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
分析：根据充分必要条件的定义判断．
【详解】首先不必要，如是实数，但，其次，是充分的，若，设（），
则，，解得或，或是实数，
因此应为充分不必要条件．
2．已知命题，，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
答案：C
【解析】∵，，∴，.∵命题p为假命题，∴命题 为真命题，∴当时，方程没有实数根，∴，即.∴实数a的取值范围是.
3．“”是“”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要
答案：A
分析：分析的充要条件再判断即可
【详解】则当时，；当时，，故成立；又当时成立，无意义，故“”是“”的充分非必要条件。
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
分析：由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.
5．已知a，b是不同的直线，是不同的平面，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要
答案：C
【解析】
分析：
根据线面、面面的垂直、平行关系和充分必要条件的定义即可判断.
【详解】
充分性：若，则，又，所以，所以“”是“”的充分条件；
必要性：若，则，又，所以，所以“”是“”的必要条件，
所以“”是“”的充要条件，
6．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】先求当命题：，为真命题时的的取值范围
（1）若，则不等式等价为，对于不成立，
（2）若不为0，则，解得，∴命题为真命题的的取值范围为，∴命题为假命题的的取值范围是.
7．若是的充分条件，是的必要条件，是的充分条件，是的必要条件，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】因为是的必要条件，是的充分条件，是的必要条件，所以可以推出，可以推出， 可以推出，所以与互为充要条件，由于是的充分条件，故是的必要条件，所以是的必要条件.
8．使“”成立的一个充分不必要条件是（）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】对于A选项，若，则成立，即充分性成立，反之，若，则
不一定成立，所以是“”成立的一个充分不必要条件，对于B选项，当时，由得，则不成立，即不是充分条件，不满足条件；
对于C选项，由，若，，则，则不一定成立，所以不是的充分条件，不满足条件，对于D选项，由可得，则是成立的充要条件，不满足题意。
9．（多选题）下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有（ ）
A．，B．所有的正方形都是矩形
C．，D．至少有一个实数，使
答案：AC
【解析】由条件可知：原命题为特称命题且为假命题，所以排除BD；又因为，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以AC均为特称命题且为假命题。
10．（多选题）下列命题中，是全称命题且是真命题的是（ ）
A．，B．所有正方形都是矩形
C．，D．，
答案：ABC
【解析】对于A，该命题为全称命题，且，所以该命题为真命题，故A正确；对于B， 该命题是全称命题，且为真命题，故B正确；对于C，该命题为全称命题，且，所以该命题为真命题，故C正确；对于D，该命题为特称命题，故D错误.故选：ABC.
11．下列命题正确的是（ ）
A．“关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是
B．设，则“且”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“”是假命题的实数的取值范围为
答案：ACD
分析：利用一元二次不等式的恒成立问题结合必要不充分条件的定义判断A；由且时， 判断B；解不等式结合充分不必要条件的定义判断C；由命题“”是真命题，再由判断D.
【详解】对于A，当时，显然不成立；当时，有，解得，故A正确；
对于B，当且时，，则“且”是“”的充分条件，故B错误；
对于C，由可得或，即“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，命题“”是假命题，则命题“”是真命题，即在 上恒成立，即，故D正确；
12．下列说法正确的是（ ）
A．“，”的否定形式是“，”
B．“”的一个充分不必要条件是“”
C．两个非零向量，，“，且”是“”的充分不必要条件
D．，
答案：BD
分析：利用全称命题的否定变换形式可判断A；利用充分条件、必要条件的定义可判断B、C；利用全称量词的真假判断方法可判断D.
【详解】A，“，”的否定形式是“，”，错误；B，当“” 时，可得“”反之，“”，则或，所以“”的一个充分不必要条件是“”，正确；C，“，且”，可得“或”，反之，“”，则“，且”，所以“，且”是“”的必要不充分条件，错误；D，，，正确.
13．下列命题为真命题的是（ ）
A．命题：“，”的否定为：“，”
B．若，，为实数，则“”是“”的充分不必要条件
C．平面向量，的夹角为锐角的充要条件是
D．若，为实数，则是的充要条件
答案：AB
分析：A由特称命题的否定：存在变任意并否定结论，写出否命题即可判断正误；B、D利用充分、必要性的定义，结合特殊值法判断正误；C注意平面向量夹角为0的特殊情况.
【详解】A：由特称命题的否定可知：命题的否定为“，”，故正确；
B：由“”，此时，故必有“”，当“”时，若推不出“”，故正确；
C：非零平面向量，的夹角为0时也有，当，的夹角不为锐角，故错误；
D：当时，由不能推出，故错误.
14．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．若a、，则“”是“a、b不全为0”的充要条件
C．命题“，都有”的否定是“，使得”
D．命题 “若，则”的否定是真命题
答案：ABD
分析：根据正切函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；根据不等式的性质和充分、必要条件的判定方法，可判定B正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定C错误，根据命题与非真假相反，可判定D正确.
【详解】对于A中，当时，可得成立，即充分性成立；反之：当时，可得，所以不一定成立，即必要性不成立，所以 “”是“”的充分不必要条件，所以A正确；
对于B中，由，可得不全为0，即充分性成立；反之：若不全为0，可得成立，即必要性成立，所以“”是“a、b不全为0”的充要条件，所以B正确；
对于C中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，都有”的否定是“，使得”，所以C不正确；对于D中，当时，，所以命题为假命题，所以命题的否定为真命题，所以D正确.
15．下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则a，b至少有一个大于2
B．“，”的否定是“，”
C．“，”，是“”的必要不充分条件
D．中，A是最大角，则“”是为钝角三角形”的充要条件
答案：ABD
分析：A选项采用反证法，B选项根据特称命题的否定可以直接判断，C选项举反例即可判断，D选项结合正余弦定理以及充要条件的概念即可判断.
【详解】对于A项，假设a，b都小于或等于2，则，这与已知矛盾，故A项正确；对于B项，特称命题的否定要改成全称命题，故B项正确；对于C项，当时，如，不能推出，故C项错误；对于D项，由得，由得A为钝角，为钝角三角形，反之，若为钝角三角形，且A为最大角，所以A为钝角，所以，所以，故D项正确.
16．能够说明“若均为正数，则”是真命题的充分必要条件为___________.
答案：
分析：利用充分必要条件的定义判断.
【详解】，因为均为正数，所以，反之也成立，
故“若均为正数，则”是真命题的充分必要条件为，
17．己知，，请写出使得“”恒成立的一个充分不必要条件为__________.（用含m的式子作答）
答案：（答案不唯一）
分析：将变为展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可写出答案.
【详解】由题意可知，，故，当且仅当 时取等号，故“”恒成立的一个充分不必要条件为，
18．已知p：，q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___________.
答案：
分析：解一元二次不等式分别求得、中的取值范围，根据是的充分不必要条件可知对应的的取值范围是对应的的取值范围的真子集，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】本题考查充分条件与必要条件的判断.q：，即.
p：，即.因为p是q的必要不充分条件，所以且等号不同时成立，解得.
19．设：或，：或，，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．
答案：
【解析】或，表示的集合为或，或，表示的集合为或，因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，所以，解得，所以实数的取值范围为：.
20．已知A={x|a（1）若1∈A，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）因为，所以，故.
（2）因为是的充分不必要条件，故是的真子集.又集合B=(1,4)
当时即时，，满足是的真子集；
当或时，，因为是的真子集，
所以（无解舍去）或（等号不同时成立），故，故.
21．求证：关于x的方程有一个根小于1，另一个根大于1的充要条件是.
答案：证明见解析
【解析】
证：由题意知方程有两个根，设方程的两个根分别为，则
，即，，，
充分性：当时，因为且，
所以,一个小于1，一个大于1，故充分性成立；
必要性：因为，若方程有一个根小于1，另一个根大于1，则且，所以，故必要性成立；
故关于x的方程有一个根小于1，另一个根大于1的充要条件是.
22．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
已知集合，，若是成立的______条件，判断实数是否存在？
答案：答案不唯一，见解析
【解析】若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合是集合的真子集，则有，解得，所以，实数的取值范围是．
若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合的真
子集，则有，解得，所以，实数的取值范围是．
若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合等于集合
则有，方程组无解，所以，不存在满足条件的实数．
23．不等式的解集是，关于x的不等式的解集是.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
(3)设实数x满足，其中，命题实数x满足.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
答案：(1)；(2)(3)
分析：
（1）分别解出解出集合A，B，再求；
（2）由得到.对m分类讨论，分， 和三种情况，分别求出m的范围，即可得到答案；
（3）用集合法列不等式组，求出a的范围.
【解析】
(1)由的解集是，解得：.当m=1时，可化为，解得.所以.
(2)因为，所以.由（1）得：.
当时，由可解得.要使，只需，解得：；
当时，由可解得.不符合，舍去；
当时，由可解得.要使，只需，解得：；
所以，或所以实数的取值范围为：.
(3)设关于x的不等式（其中）的解集为M，则；不等式组的解集为N，则；要使p是q的必要不充分条件，只需NM，即，解得：.
即实数a的取值范围.
24．已知函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，
(1)当时，求；
(2)设命题，命题，的充分不必要条件，求实数的取值范围．
答案：(1)或；(2)或
分析：
（1）根据解分式不等式求出集合；把的值代入得到，由可求出集合，从而可求；
（2）通过解含参不等式可求出集合；根据的充分不必要条件可得出A是B的真子集，从而可求出实数的取值范围．
【解析】
(1)由，得，即，∴；
当时，，由，得或，∴或，
∴或
(2)由得，∴或，∴或，
因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，∴或，即或，
所以a的取值范围是或.
p是q的充分条件
p⇒q
A⊆B
p是q的必要条件
q⇒p
A⊇B
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒p
A＝B
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
AB
p是q的必要不充分条件
p q且q⇒p
AB
p是q的既不充分也不必要条件
p q且q p
AB且A⊉B
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
∃
命题
名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称
命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，
p(x)
∃x0∈M，綈p(x0)
特称
命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，
p(x0)
∀x∈M，綈p(x)