高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题01集合(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题01集合(原卷版+解析)，共45页。试卷主要包含了【2022年新高考II卷】，【2022年全国甲卷理科】，【2022年全国乙卷文科】等内容，欢迎下载使用。

练高考 明方向
1、【2022年新高考I卷】若集合，，则
A. B.
C. D.
2、【2022年新高考II卷】
3、【2022年全国甲卷理科】
4、【2022年全国甲卷文科】设集合，则（ ）
A. B. C. D.
5、【2022年全国乙卷文科】
6. 集合，则（ ）
A. B. C. D.
7．(2023年高考全国乙卷理科)已知集合，，则( )
A．B．C．D．
8．(2023年高考全国甲卷理科)设集合，则( )
A．B．C．D．
9．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a( )
A．–4B．–2C．2D．4
10．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则( )
A．{−2，3}B．{−2，2，3}C．{−2，−1，0，3}D．{−2，−1，0，2，3}
11．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知集合，，则中元素的个数为( )
A．2B．3C．4D．6
讲典例 备高考 集合
集合含义
集合之间的关系
集合的运算
集合的新定义问题
由集合关系求参数范围件
集合中的分类讨论
集合中的数形结合

集合的表示
集合与充要条件交汇
类型一、集合的含义
(1)元素的特性: 确定性、互异性、无序性
(2)注意集合元素的互异性，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
(3)解决集合含义问题的关键点：确定构成集合的元素；确定元素的限制条件．
1．现有以下说法，其中正确的是（ ）
①接近于0的数的全体构成一个集合； ②正方体的全体构成一个集合；
③未来世界的高科技产品构成一个集合； ④不大于3的所有自然数构成一个集合．
A．①②B．②③C．③④D．②④
2．以方程x2﹣5x+6＝0和方程x2﹣x﹣2＝0的解为元素的集合为（ ）
A．{2，3，1}B．{2，3，﹣1}C．{2，3，﹣2，1}D．{﹣2，﹣3，1}
3．（多选题）已知集合，且，则实数的可能值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知a，b，c均为非零实数，集合，则集合A的元素的个数有_______个.
类型二、集合的表示
(1)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(2)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．
(3)五个特定的集合：
1．下列各组中的M、P表示同一集合的是
①，； ②，；
③，；④，.
A．①B．②C．③D．④
2．用列举法可以将集合使方程有唯一实数解表示为（ ）
A． B．C．D．或
3．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是（ ）
A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q} B．{x|﹣3＜x＜11}
C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N} D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}
4．（多选题）下列说法中不正确的是（ ）
A．与表示同一个集合 B．集合＝与＝表示同一个集合
C．方程＝的所有解的集合可表示为 D．集合不能用列举法表示
5．集合且，用列举法表示集合________
类型三、集合之间的关系
(1)集合之间的基本关系
(2)子集个数的求解方法
穷举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况．
公式法：含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.
(3)判断集合间关系的常用方法
1．已知集合，、、为非零实数}，则的子集个数是（ ）
A．B．C．D．
2．（多选题）下面给出的几个关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选题）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若时，则或
4．满足的集合M有______个.
5．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则_______．
类型四、集合的运算
(1)集合的运算
(2)集合的基本运算问题的解题策略
①看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提．
②对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．
③数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有：数轴、坐标系和Venn图．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（多选题）已知集合，集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（多选题）已知，集合B∩(∁UA)=∅，则的值可以是（ ）
A．B．C．0D．1
5．（多选题）已知全集U的两个非空真子集A，B满足∁UA∪B=B，则下列关系一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．∁UB∪A=A
6．已知全集，集合，，则下列说法正确的是____．（填序号）
①②
④∁UA∩B=−1④的真子集个数是7
类型五、集合的新定义问题
1．已知全集，集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．（多选题）若集合具有以下性质：（1），；（2）若、y∈A，则，且时，.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（ ）
A．集合是“完美集”
B．有理数集是“完美集”
C．设集合是“完美集”，、y∈A，则
D．设集合是“完美集”，若、y∈A且，则
3．（多选题）给定数集M，若对于任意a，，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）
A．集合为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合为闭集合，则为闭集合
4．规定与是两个运算符号，其运算法则如下，对任意实数有:,.若且,则用列举法表示集合__________．
类型六、由集合关系求参数范围
根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的的四个注意点：
(1)注意两个转化：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.
(2)注意空集的特殊性
①若B⊆A，则分B＝∅和B≠∅两类进行讨论．
②若A∩B＝∅，则集合A，B可能的情况有：
A，B均为空集；A与B中只有一个空集；A，B虽然均为非空集合但无公共元素．
(3)注意结合数轴分析端点值的大小．
(4)注意对结果进行检验，以避免集合中元素重复．
1．（多选题）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
2．已知集合，若，求实数a的取值范围是_______.
3．已知全集，集合，.
（1）求；
（2）若集合，满足，，求实数的取值范围.
4．已知全集，集合，，.
（1）求∁UA∩B；（2）若，求的取值范围.
类型七、集合的中的分类讨论
在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如若A⊆B，则要考虑A＝∅和A≠∅两种可能．
1．已知集合，集合，若，则（ ）
A．0或B．0或3C．1或D．1或3
2．（多选题）设，，若，则实数a的值可以为（ ）
A．B．0C．3D．
3．已知全集，集合，B=x−5≤−x≤2，
（1）求，B∪∁UA；
（2）已知集合，若B∪∁UM=R，求实数a的取值范围．
4．已知集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
5．设集合A={x∣−3x+2=0}，B={x∣+2(a+1)x+−5=0}
（1）若A∩B={2}，求实数a的值；
（2）若U=R，A∩(∁UB)=A.求实数a的取值范围.
类型八、集合的中的数形结合
1．下图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则不能表示阴影部分的是（ ）
A．∁UA∩BB．∁BA∩B
C．D．
2．已知集合，则（ ）
A．或B．或
C．或，D．或，
3．（多选题）已知集合A，，全集为，下列结论正确的有（ ）
A．若，则，且； B．若，则；
C． D．集合的真子集有6个.
4．集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是_________．
5．已知集合或，
（1）若，求，∁RA∩∁RB；
（2）若，求m值范围.
类型九、集合与充要条件交汇
1．（多选题）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
2．（多选题）已知P=x−2≤x≤10，集合．若是的必要条件，则实数m的取值可以是（ ）
A．B．1C．3D．5
3．已知集合，集合．
（1）当时，求和；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
4．已知命题“关于x的方程有两个不相等的实数根”是假命题.
（1）求实数m的取值集合；
（2）设集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
新预测 破高考
1．（多选题）已知全集，集合，则关于的表达方式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
2．设集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．集合 ，，则（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．方程的解集为
B．集合与是相等的
C．若，则
D．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为
5．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为（ ）
A．－2B．2
C．4D．2或4
6．已知P={x|a-4A．-1≤a≤5B．-1C．-2≤a≤3D．-2≤a<3
7．已知集合，，若，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（设集合，则（ ）
A．2B．3C．5D．6
9．若集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．集合，则集合的子集个数为（ ）
A．4个B．8个C．15个D．16个
11．已知全集,集合和关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有
A．3个B．4个C．5个D．无数个
12．设集合，若，，∁UA∩∁UB=−2,2，则下列结论正确（ ）
A．且 B．且C．且D．且
13．集合，，.如果，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
14．已知集合,,若,则与的关系是（ ）
A．或B．C．D．不能确定
15．如图所示，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合.若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x,x>0}，则A#B为（ ）
A．{x|0C．{x|0≤x≤1或x≥2}D．{x|x=0或x>2}
已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个。
17．已知，，且，则____，_____.
18．设集合，集合，则=______.
19．定义且，若，，则的子集个数为_______________，非空真子集个数为_______________.
20．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若集合，集合，则______．
21．已知关于的不等式的解集为.若,则实数的取值范围是__________．
22．已知集合，，则∁UA∩B的子集个数为__________.
23．已知集合，，若，则的取值范围为____．
24．已知，，若，求的取值范围.
25．已知集合或，
（1）若，求，∁RA∩∁RB；（2）若，求m值范围.
26．已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
27．已知，.
（1）当时，求集合；
（2）是否存在实数，使“”是“”必要不充分条件，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
eq \a\vs4\al(N)
N*或N＋
eq \a\vs4\al(Z)
eq \a\vs4\al(Q)
eq \a\vs4\al(R)
表示
关系
文字语言
记法
集合间的基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A
AB或BA
相等
集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素
A⊆B且B⊆A⇔A＝B
空集
空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系
结构法
从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合(集合为数集)，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系
语言表示
图形表示
符号语言
并集
所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
交集
所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
补集
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
2023高考一轮复习讲与练
01 集合
练高考 明方向
1、【2022年新高考I卷】若集合，，则
A. B.
C. D.
2、【2022年新高考II卷】
3、【2022年全国甲卷理科】
4、【2022年全国甲卷文科】设集合，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
【详解】因为，，所以．
5、【2022年全国乙卷文科】
6. 集合，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
【详解】因为，，所以．
7．(2023年高考全国乙卷理科)已知集合，，则( )
A．B．C．D．
答案：C
解析：任取，则，其中，所以，，故，
因此，．
故选：C．
8．(2023年高考全国甲卷理科)设集合，则( )
A．B．C．D．
答案：B
解析：因为，所以,
故选：B．
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解．
9．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=( )
A．–4B．–2C．2D．4
答案：B
【解析】求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：．
由于，故：，解得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
10．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则( )
A．{−2，3}B．{−2，2，3}C．{−2，−1，0，3}D．{−2，−1，0，2，3}
答案：A
解析：由题意可得：，则．
故选：A
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题．
11．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知集合，，则中元素的个数为( )
A．2B．3C．4D．6
答案：C
解析：由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4．
故选：C．
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题．
集合
集合含义
集合之间的关系
集合的运算
集合的新定义问题
由集合关系求参数范围件
集合中的分类讨论
集合中的数形结合
讲典例 备高考
集合的表示
集合与充要条件交汇
类型一、集合的含义
(1)元素的特性: 确定性、互异性、无序性
(2)注意集合元素的互异性，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
(3)解决集合含义问题的关键点：确定构成集合的元素；确定元素的限制条件．
1．现有以下说法，其中正确的是（ ）
①接近于0的数的全体构成一个集合； ②正方体的全体构成一个集合；
③未来世界的高科技产品构成一个集合； ④不大于3的所有自然数构成一个集合．
A．①②B．②③C．③④D．②④
答案：D
【解析】在①中，接近于0的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，高科技的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．故选D．
2．以方程x2﹣5x+6＝0和方程x2﹣x﹣2＝0的解为元素的集合为（ ）
A．{2，3，1}B．{2，3，﹣1}C．{2，3，﹣2，1}D．{﹣2，﹣3，1}
答案：B
【解析】解方程x2﹣5x+6＝0，得x＝2，或x＝3，解方程x2﹣x﹣2＝0，得x＝﹣1或x＝2，∴以方程
x2﹣5x+6＝0和方程x2﹣x﹣2＝0的解为元素的集合为{2，3，﹣1}．故选：B
3．（多选题）已知集合，且，则实数的可能值为（ ）
A．B．C．D．
答案：ABD
【详解】已知集合且，则或，解得或或.若，则，合乎题意；若，则，合乎题意；
若，则，合乎题意.综上所述，或或.
4．已知a，b，c均为非零实数，集合，则集合A的元素的个数有_______个.
答案：2
【解析】当，时，，当，时，， ，当，时，， ，当，时，， ，故的所有值构成的集合为，集合A的元素的个数有2个。
类型二、集合的表示
(1)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(2)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．
(3)五个特定的集合：
1．下列各组中的M、P表示同一集合的是
①，； ②，；
③，；④，.
A．①B．②C．③D．④
答案：C
分析：对四组集合逐一分析，可选出答案.
【详解】对于①，集合表示数集，集合表示点集，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合；
对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合；对于③，两个集合表示同一集合.对于④，集合研究对象是函数值，集合研究对象是点的坐标，故不是同一个集合.
2．用列举法可以将集合使方程有唯一实数解表示为（ ）
A． B．C．D．或
答案：C
【解析】由题意可知集合的元素表示能使方程有唯一实数解的的值，
当时， ，解得，成立；当时，方程有唯一实数解，
则，解得：，.
3．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是（ ）
A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q} B．{x|﹣3＜x＜11}
C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N} D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}
答案：D
【解析】因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k，k∈z，又因为大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x＜11．
即大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}．
4．（多选题）下列说法中不正确的是（ ）
A．与表示同一个集合 B．集合＝与＝表示同一个集合
C．方程＝的所有解的集合可表示为 D．集合不能用列举法表示
答案：ABC
【详解】对于A中，是一个元素（数），而是一个集合，可得，所以A不正确；对于B中，集合＝表示数构成的集合，集合＝表示点集，所以B不正确；对于C中，方程＝的所有解的集合可表示为，根据集合元素的互异性，可得方程＝的所有解的集合可表示为，所以C不正确；对于D中，集合含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.
5．集合且，用列举法表示集合________
答案：
【详解】由题意，集合且，可得，则，解得且，当时，，满足题意；当时，，不满足题意；当时，，不满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，此时分母为零，不满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，不满足题意；当时，，不满足题意；当时，，满足题意；综上可得，集合.
类型三、集合之间的关系
(1)集合之间的基本关系
(2)子集个数的求解方法
穷举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况．
公式法：含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.
(3)判断集合间关系的常用方法
1．已知集合，、、为非零实数，则的子集个数是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】因为集合，、、为非零实数 ，所以当都是正数时，；当都是负数时，；当中有一个是正数，另两个是负数时，，当中有两个是正数，另一个是负数时，，所以集合M中的元素是3个，所以的子集个数是8，
2．（多选题）下面给出的几个关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：CD
【详解】A选项，中有元素，中有元素、，不包含于，A错，B选项， 中有元素，中有元素、，不包含于，B错，C选项，
∵，∴，正确，C正确，D选项，是任意集合的子集，D对，
3．（多选题）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若时，则或
答案：ABC
【详解】，若，则，且，故A正确.时，，
故D不正确.若，则且，解得，故B正确.当时，，解得或，故C正确.
4．满足的集合M有______个.
答案：7
【详解】由,可以确定集合M必含有元素1,2,且至少舍有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：,,；含有四个元素：,,；含有五个元素：,故满足题意的集合M共有7个.
5．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则_______．
答案：
【详解】由题意，显然，故，即，此时，故，且，即.所以.
类型四、集合的运算
(1)集合的运算
(2)集合的基本运算问题的解题策略
①看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提．
②对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．
③数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有：数轴、坐标系和Venn图．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：先通过解对数不等式和二次不等式求出集合，再求交集.
【详解】由题意知，，所以．
2．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】∵集合，，
因为∴，所以，
3．（多选题）已知集合，集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：BCD
分析：先求出集A，B，D，再逐个分析判断即可
【详解】由，得，所以，由，得且，得 或，所以或，由，得，所以，对于A，，所以A错误，对于B，，所以B正确，对于C，因为或，所以，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，因为或，所以，所以D正确。
4．（多选题）已知，集合B∩(∁UA)=∅，则的值可以是（ ）
A．B．C．0D．1
答案：BCD
【详解】因为又B∩(∁UA)=∅，所以，∴当m=0时，B=∅，成立；当m≠0时，B={}，∵，∴或=2．解得m=1或m=，综上，实数m的取值集合为{1，，0}．
5．（多选题）已知全集U的两个非空真子集A，B满足∁UA∪B=B，则下列关系一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．∁UB∪A=A
答案：CD
【详解】令，，，满足∁UA∪B=B，但，A∩B≠B，故A，B均不正确；由∁UA∪B=B，知∁UA⊆B，∴U=A∪∁UA⊆A∪B，∴，由∁UA⊆B，知∁UB⊆A，∴∁UB∪A=A，故C，D均正确.
6．已知全集，集合，，则下列说法正确的是____．（填序号）
①②
④∁UA∩B=−1④的真子集个数是7
答案：①③④
【详解】，，，故①正确；，故②错误；∁UA=xx<−12,x∈Z，所以∁UA∩B=−1，故③正确；由，则的真子集个数是，故④正确.
类型五、集合的新定义问题
1．已知全集，集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：先求出集合，从而得到 ，图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB) ，由此能求出结果.
【详解】由Venn图知：阴影部分对应的集合为A∩(∁UB),集合，，所以∁UB=x−22．（多选题）若集合具有以下性质：（1），；（2）若、y∈A，则，且时，.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（ ）
A．集合是“完美集”
B．有理数集是“完美集”
C．设集合是“完美集”，、y∈A，则
D．设集合是“完美集”，若、y∈A且，则
答案：BCD
【详解】对于A选项，取，，则，集合不是“完美集”，A选项错误；对于B选项，有理数集满足性质（1）、（2），则有理数集为“完美集”，B选项正确；对于C选项，若y∈A，则，，C选项正确；对于D选项，任取、y∈A，若、中有或时，显然；当、均不为、且当，y∈A时，，
则，所以，，，，所以，若、y∈A且，则，从而，D选项正确.
3．给定数集M，若对于任意a，，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）
A．集合为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合为闭集合，则为闭集合
答案：ABD
分析：根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．
【详解】选项A：当集合时，，而，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设是任意的两个正整数，则，当时，是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；选项C：当时，设，则，所以集合M是闭集合，C选项正确；选项D：设，由C可知，集合为闭集合，，而，故不为闭集合，D选项错误．
4．规定与是两个运算符号，其运算法则如下，对任意实数有:,.若且,则用列举法表示集合__________．
答案：
【解析】由题意得：，且
当时，，此时；当时，，此时，集合。
类型六、由集合关系求参数范围
根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的的四个注意点：
(1)注意两个转化：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.
(2)注意空集的特殊性
①若B⊆A，则分B＝∅和B≠∅两类进行讨论．
②若A∩B＝∅，则集合A，B可能的情况有：
A，B均为空集；A与B中只有一个空集；A，B虽然均为非空集合但无公共元素．
(3)注意结合数轴分析端点值的大小．
(4)注意对结果进行检验，以避免集合中元素重复．
1．（多选题）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
答案：ABC
分析：解一元二次不等式求集合A，根据各选项中集合的关系，列不等式或方程求参数值或范围，判断A、B、C的正误，已知参数，解一元二次不等式求集合B，应用交运算求判断正误即可.
【详解】由己知得：，令
A：若，即是方程的两个根，则，得，正确；
B：若，则，解得，正确；
C：当时，，解得或，正确；
D：当时，有，所以，错误。
2．已知集合，若，求实数a的取值范围是_______.
答案：
分析：由交集运算得出，讨论，的情况，结合包含关系得出实数a的取值范围.
【详解】，，，或
当时，，满足
当时，要使得，则或，解得或
综上，实数a的取值范围是。
3．已知全集，集合，.
（1）求；
（2）若集合，满足，，求实数的取值范围.
答案：（1）或.；（2）.
【详解】
（1）由题，或， 或.
（2）由得，则，解得，
由得，则，解得，
∴实数的取值范围为．
4．已知全集，集合，，.
（1）求∁UA∩B；（2）若，求的取值范围.
答案：（1）；（2）.
【详解】（1）因为，，所以∁UA=−∞,0∪1,+∞.
因为，所以∁UA∩B=x1≤x≤32.
（2）当时，，；
当时，则解得，即.
综上，的取值范围为.
类型七、集合的中的分类讨论
在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如若A⊆B，则要考虑A＝∅和A≠∅两种可能．
1．已知集合，集合，若，则（ ）
A．0或B．0或3C．1或D．1或3
答案：B
【详解】，或，
当时，，，成立
当时，或，当时，，，成立
当时，，，不满足互异性，所以不成立，
综上可知或.
2．（多选题）设，，若，则实数a的值可以为（ ）
A．B．0C．3D．
答案：ABD
【详解】 ，， ，
当时，，符合题意；
当时， ，要使，则或，解得或．
综上，或或．
3．已知全集，集合，B=x−5≤−x≤2，
（1）求，B∪∁UA；
（2）已知集合，若B∪∁UM=R，求实数a的取值范围．
答案：（1）；B∪∁UA=(−∞,5]∪[9,+∞)；（2）
【详解】
（1），B=x−5≤−x≤2，
∴A∩B=2,9∩−2,5=2,5
又，∴∁UA=(−∞,2]∪[9,+∞)，∴B∪∁UA=(−∞,5]∪[9,+∞)
（2），B∪∁UM=R
当时，∁UM=R，满足B∪∁UM=R，即，解得
当时，∁UM=(−∞,a)∪(2−a,+∞)，要满足B∪∁UM=R，结合数轴：
由数轴可知，，解得：
综上可知，实数a的取值范是：
4．已知集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
答案：（1）4；（2）或.
【详解】，
（1）因为，所以，所以和是的两个实根，所以，即.
（2）因为，所以，所以或或或，
当时，无解，所以，即，
当时，有且只有一个实根，所以无解，
当时，有且只有一个实根，所以无解，
当时，有2个实根和，所以，即.
综上所述：实数的取值范围是或.
5．设集合A={x∣−3x+2=0}，B={x∣+2(a+1)x+−5=0}
（1）若A∩B={2}，求实数a的值；
（2）若U=R，A∩(∁UB)=A.求实数a的取值范围.
答案：（1）或；（2）且且
【详解】
（1），由可知，即，解得或，
当时，，此时，满足，
当时，，此时，满足.
所以实数的值是或；
（2）U=R，A∩(∁UB)=A，，则
①当，即时，此时，满足条件；
②当时，，即，，不满足条件；
③当时，即时，此时只需，，将2代入方程得或，将1
代入方程得，得，
综上可知，的取值范围是且且
类型八、集合的中的数形结合
1．下图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则不能表示阴影部分的是（ ）
A．∁UA∩BB．∁BA∩B
C．D．
答案：C
【详解】由图知：当U为全集时，阴影部分表示集合A的补集与集合B的交集，当B为全集时，阴影部分表示的补集，当为全集时，阴影部分表示A的补集，
2．已知集合，则（ ）
A．或B．或
C．或，D．或，
答案：A
分析：解一元二次不等式化简集合，再根据集合的交集运算可得答案.
【详解】或，又，利用数轴表示集合：
所以或.
3．（多选题）已知集合A，，全集为，下列结论正确的有（ ）
A．若，则，且； B．若，则；
C． D．集合的真子集有6个.
答案：ABC
【详解】如图，，
则，且，故A正确；如图，
当，则有，故B正确；成立，故C正确；集合 的真子集有：个.故D错误。
4．集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是_________．
答案：.
【详解】由题意，集合，，
可得∁UB=x|x≥1，则阴影部分所表示的集合为A∩∁UB=x|1≤x<2.
5．已知集合或，
（1）若，求，∁RA∩∁RB；
（2）若，求m值范围.
答案：（1）或，∁RA∩∁RB={x|−2≤x<4}；（2）或.
【详解】（1）时，，或，
或，∁RA={x|−2≤x≤6}，∁RB=x∣x<4或
所以∁RA∩∁RB={x|−2≤x<4}
（2），则，
当时，，解得，
当时，利用数轴表示集合

由数轴可知，或，解得：或，
综上可知，m值范围为：或.
类型九、集合与充要条件交汇
1．（多选题）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
【解析】因为集合，集合，所以等价于，
即，对比选项，、均为的充分不必要条件.
2．（多选题）已知P=x−2≤x≤10，集合．若是的必要条件，则实数m的取值可以是（ ）
A．B．1C．3D．5
答案：ABC
【详解】因为是的必要条件，所以，当，即时，满足题意；当，
即时，∴，解得，∴的取值范围是，实数m的取值可以是，
3．已知集合，集合．
（1）当时，求和；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
答案：（1）或，；（2）或.
【详解】（1）由题可知，当时，则，或，
则∁RA=x|−3≤x≤4，所以∁RA∪B=x|−3≤x≤4∪x|1≤x≤7=x|−3≤x≤7.
（2）由题可知，是的必要不充分条件，则，
当时，，解得：；
当时，或，解得：或；
综上所得：或.
4．已知命题“关于x的方程有两个不相等的实数根”是假命题.
（1）求实数m的取值集合；
（2）设集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
答案：（1）；（2）.
【详解】
（1）若关于x的方程有两个不相等的实数根”是真命题，则，即，解得：或，所以方程有两个不相等的实数根”是假命题则，所以，
（2）是的充分不必要条件，则，则，解得，经检验时，，满足，所以成立，所以实数a的取值范围是.
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1．（多选题）已知全集，集合，则关于的表达方式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
答案：AB
分析：根据补集的概念及分式不等式及其解法即可求解.
【详解】由题意得，
所以。
2．设集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为集合，，，所以，，
所以.
3．集合 ，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意，集合，，所以，
又由，所以.
4．下列说法正确的是（ ）
A．方程的解集为
B．集合与是相等的
C．若，则
D．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为
答案：D
【解析】对选项A，方程的解集为，故B错误；对选项B，集合表示直线上的点，集合表示函数的定义域，故集合与不相等，故C错误；对选项C，，所以，对选项A，因为或，所以集合表示直角坐标平面内第一、三象限的点的集合，故A正确；
5．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为（ ）
A．－2B．2
C．4D．2或4
答案：A
【解析】依题意，若，则，不满足集合元素的互异性，所以；若，则或（舍去），此时，符合题意；若，则，而，不满足集合元素的互异性，所以.综上所述，的值为.
6．已知P={x|a-4A．-1≤a≤5B．-1C．-2≤a≤3D．-2≤a<3
答案：A
【详解】因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，所以，解得.
7．已知集合，，若，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：解绝对值不等式，再由，利用数轴数形结合求的范围.
【详解】集合，，要使，则有：.
8．设集合，则（ ）
A．2B．3C．5D．6
答案：C
【解析】①当时, , 则或，当时，该方程组无解，当时，解得②当时，，则或.当时，该方程组无解，当时，解得③当，即时，显然，则，此时，当时，该方程组无解，当时，该方程组无解.综上所述，，或，，故。
9．若集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】因为，所以，所以或，所以或，
当时，不成立，所以，所以满足，当时，因为，所以，
又因为，所以，所以，当时，因为，所以，又因为，所以，所以，综上可知：.
10．集合，则集合的子集个数为（ ）
A．4个B．8个C．15个D．16个
答案：D
【解析】集合，，2，3，4，5，，
，2，3，，故有个子集，
11．已知全集,集合和关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有
A．3个B．4个C．5个D．无数个
答案：A
【详解】由题意知，集合0，1，2，3，，因为集合，
由集合的交运算可得，2，3，，故阴影部分所表示集合为，
其中的元素共有三个.故选：A
12．设集合，若，，∁UA∩∁UB=−2,2，则下列结论正确（ ）
A．且 B．且C．且D．且
答案：C
【解析】集合，若，，，
可作出韦恩图，如图，
所以，，，，，，，，，.
13．集合，，.如果，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D.
【解析】得，，.当，即，，符合；当，即，，符合；当，即，中有两个元素，，∴，；或.
14．已知集合,,若,则与的关系是（ ）
A．或B．C．D．不能确定
答案：A
【解析】,,
当但,当有.
15．如图所示，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合.若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x,x>0}，则A#B为（ ）
A．{x|0C．{x|0≤x≤1或x≥2}D．{x|x=0或x>2}
答案：D
分析：由集合的描述可得集合，，，而A#B=∁U(A∩B)=∁UA∪∁UB即可求集合.
【详解】由题意知：，，
∴A#B=∁U(A∩B)=∁UA∪∁UB，而∁UA={x|x>2}，∁UB={y|y=0}，∴或.
已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个。
答案：
【解析】因为集合S＝{0,1,2,3,4,5}，根据题意知只要有元素与之相邻，则该元素不是孤立元素，所以S中无“孤立元素”的4个元素的子集有，，，，，．其中一个可以是．
17．已知，，且，则____，_____.
答案：1
【解析】由题意可得：，即是方程的根，∴，，∴，又，∴不是中的元素，即是集合B中的元素，∴，即。
18．设集合，集合，则=______.
答案：
【解析】由，得，集合，集合，则或，所以。
19．定义且，若，，则的子集个数为_______________，非空真子集个数为_______________.
答案：1024 1022
【解析】由的定义知：若，，
则，子集个数为，非空真子集个数为.
20．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若集合，集合，则______．
答案：
分析：根据图像求出g(x)的解析式，再求出f(x)解析式，求出A集合，根据集合交集运算法则计算即可.
【详解】由图可知周期，∴．由得，∴，，∵，∴k取0，，∴，
∴，∴．
∴，，
∴，∴．
21．已知关于的不等式的解集为.若,则实数的取值范围是__________．
答案：或
【解析】若3∈M，则有0，①，若5∉M，则有0或25﹣a＝0②，联立①②可得：或。
22．已知集合，，则∁UA∩B的子集个数为__________.
答案：16
【详解】根据题意可得，，可得∁UA∩B=−5,−4,4,5，其子集个数为
23．已知集合，，若，则的取值范围为____．
答案：或
【解析】由解得或，所以，因为，所以可能，分别分析，当即时，符合题意，再有根与系数的关系知，时，符合题意，不符合题意，故填或。
24．已知，，若，求的取值范围.
答案：或
【解析】，，对于方程，，且.
①当时，，可得，合乎题意；
②当集合中只有一个元素时，，可得，此时，合乎题意；
③当集合中有两个元素时，，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是或.
25．已知集合或，
（1）若，求，∁RA∩∁RB；（2）若，求m值范围.
答案：（1）或，∁RA∩∁RB={x|−2≤x<4}；（2）或.
【详解】（1）时，，或，或，
∁RA={x|−2≤x≤6}，∁RB=x∣x<4或，所以∁RA∩∁RB={x|−2≤x<4}
（2），则，
当时，，解得，
当时，利用数轴表示集合
由数轴可知，或，解得：或，
综上可知，m值范围为：或.
26．已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
答案：（1）；（2）；（3）．
【详解】
（1）当时，，则；
（2）由知，解得，即的取值范围是；
（3）由得
①若2m≥1−m，即时，符合题意；
②若，即时，需或．得或，即．
综上知，即实数的取值范围为．
27．已知，.
（1）当时，求集合；
（2）是否存在实数，使“”是“”必要不充分条件，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案：（1）；（2）.
【解析】因为，所以，
（1）当时，解得；
（2）存在实数，使“”是“”必要不充分条件，假设存在实数，使“”是“”必要不充分条件，则，所以，解得，
当时，，符合题意；当时，，符合题意；所以存在实数，使“”是“”必要不充分条件，此时的取值范围是.
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
eq \a\vs4\al(N)
N*或N＋
eq \a\vs4\al(Z)
eq \a\vs4\al(Q)
eq \a\vs4\al(R)
表示
关系
文字语言
记法
集合间的基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A
AB或BA
相等
集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素
A⊆B且B⊆A⇔A＝B
空集
空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系
结构法
从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合(集合为数集)，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系
语言表示
图形表示
符号语言
并集
所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
交集
所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
补集
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}