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高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题29复数(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题29复数(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了(2023·新高考Ⅰ卷）2，(2023·新高考Ⅱ卷）， (2023·全国甲，(2023·全国甲，(2023·全国乙，(2023·浙江卷T2）已知等内容，欢迎下载使用。
专题29 复数
加法
复数
复数的概念
复数
复数的运算
减法
乘法
除法
复数相等
共轭复数
复数的模
实数
虚数
复数的运算
复数
的几
何表
示
虚轴
实轴
复平面
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅰ卷）2. 若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
2.(2023·新高考Ⅱ卷）（ ）
A. B. C. D.
3. (2023·全国甲（理））若，则（ ）
A. B. C. D.
4.(2023·全国甲（文）） 若．则（ ）
A. B. C. D.
5.(2023·全国乙（文））设，其中为实数，则（ ）
A. B. C. D.
6.(2023·全国乙（理））已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A. B. C. D.
7.(2023·北京卷T2） 若复数z满足，则（ ）
A. 1B. 5C. 7D. 25
8.(2023·浙江卷T2）已知（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
9．(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(eq \x\t(z)＋i)＝( )
A．6－2i B．4－2i C．6＋2i D．4＋2i
10．(2023·全国甲卷理)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝( )
A．－1－eq \f(3,2)i B．－1＋eq \f(3,2)i
C．－eq \f(3,2)＋i D．－eq \f(3,2)－i
11、(2023·新高考Ⅱ卷)复数eq \f(2－i,1－3i)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．(2023·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝( )
A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i
13．(2023·全国乙卷)设2(z＋eq \x\t(z))＋3(z－eq \x\t(z))＝4＋6i，则z＝( )
A．1－2i B．1＋2i C．1＋i D．1－i
14．(2023·新高考全国卷Ⅰ)eq \f(2－i,1＋2i)＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
15．(2023·全国卷Ⅱ)(1－i)4＝( )
A．－4 B．4
C．－4i D．4i
16．(2023·浙江高考)已知a∈R，若z＝a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
(2023·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq \r(3)＋i，则|z1－z2|＝________.
18．【2019年高考全国Ⅱ卷】设，则
A．B． C．D．
19．【2019年高考全国Ⅲ卷】若，则
A．B． C．D．
20．【2019年高考天津卷】是虚数单位，则的值为______________．
21．【2019年高考浙江卷】复数（为虚数单位），则=______________．
22．【2019年高考江苏卷】已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是______________．
讲典例 备高考
类型一、复数的概念
基础知识：
1．复数的定义及分类
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是a，虚部是b.
(2)复数的分类：eq \a\vs4\al(复数z＝a＋bi,a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))
2．复数的有关概念
3、注意事项：
(1)两个虚数不能比较大小．
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
基本题型：
1．（纯虚数）如果复数eq \f(m2＋i,1＋mi)是纯虚数，那么实数m等于( )
A．－1 B．0 C．0或1 D．0或－1
2.（复数的模）已知，则
A．B．
C．D．
3．（复数相等）已知为虚数单位，若，则
A．1B．
C．D．2
4、（共轭复数）已知复数满足(其中是虚数单位,满足),则复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
5．(多选)若复数z＝eq \f(2,1＋i)，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部为－1 B．|z|＝eq \r(2)
C．z2为纯虚数 D．z的共轭复数为－1－i
基本方法：
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
类型二、复数的运算
基础知识：
1、复数的运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
2、常用结论：
(1)(1±i)2＝±2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
(3)z· eq \x\t(z)＝|z|2＝|eq \x\t(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z1,z2)))＝eq \f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.
基本题型：
1．下列各式的运算结果虚部为1的是( )
A．i(i－1) B．eq \f(2,1＋i)
C．2＋i2 D．(1＋i)2－i
2．设复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z＝3＋2i2＋i5，则eq \f(y＋2,x＋1)的值为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3)
C．1 D.eq \f(1,3)
3．复数z满足z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(\r(3)＋i,1－\r(3)i)))100＋eq \r(3)i，则|z|＝( )
A．5 B．2eq \r(3) C.eq \r(5) D．2
4．若复数z满足z(1＋2i)＝(1＋i)2(i为虚数单位)，则|eq \x\t(z)＋i2 021|＝( )
A.eq \f(4,5) B．eq \f(\r(65),5) C.eq \f(3,5) D．1
5．已知eq \(z,\s\up6(－))是复数z的共轭复数，当z＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))＋eq \f(1＋i,1－i)(i是虚数单位)时，z·eq \(z,\s\up6(－))＝( )
A．1 B.eq \r(2)
C．2 D．2eq \r(2)
6．(多选)已知i为虚数单位，在复平面内，复数z＝eq \f(2i,2＋i)，以下说法正确的是( )
A．复数z的虚部是eq \f(4,5)i B．|z|＝1
C．复数z的共轭复数是eq \x\t(z)＝eq \f(2,5)－eq \f(4,5)i D．复数z的共轭复数对应的点位于第四象限
基本方法：
复数代数形式运算问题的解题策略
（1）复数的加减法：在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
（2）复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
（3）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式类型三、复数的几何意义
基础知识：
1、有关概念：
2、复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up7(―→))，eq \(OZ2,\s\up7(―→))不共线，则复数z1＋z2是以eq \(OZ1,\s\up7(―→))，eq \(OZ2,\s\up7(―→))为邻边的平行四边形的对角线eq \(OZ,\s\up7(―→))所对应的复数．
3、复数减法的几何意义：复数z1－z2是eq \(OZ1,\s\up7(―→))－eq \(OZ2,\s\up7(―→))＝eq \(Z2Z1,\s\up7(―→))所对应的复数．
基本题型：
1．已知i为虚数单位，且复数z满足 ，则复数z在复平面内的点到原点的距离为（ ）
A． B．C．D．
2．在如图所示的复平面内，复数，，对应的向量分别是，，，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3、已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
4、设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
5．(多选)已知复数z1＝eq \f(2,－1＋i)(i为虚数单位)，下列说法正确的是( )
A．z1对应的点在第三象限
B．z1的虚部为－1
C．zeq \\al(4,1)＝4
D．满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上
基本方法：
(1)复数的模|z|即复数对应的向量的模|eq \(OZ,\s\up7(―→))|，|z1－z2|表示复数z1对应的点与复数z2对应的点之间的距离．
(2)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段即复数对应的向量．
(3)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般根据复数与复平面内的点一一对应，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
新预测 破高考
1．复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为(1，－1)，则z的实部与虚部的和是( )
A．2 B．0
C．1＋i D．1－i
3．已知复数z满足z＋2eq \(z,\s\up6(－))＝6－2i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4.若复数 QUOTE ? z满足 QUOTE (3+4?)?=25? (3+4i)z=25i，其中 QUOTE ? i为虚数单位，则 QUOTE ? z的虚部是
A． QUOTE 3? 3i B． QUOTE −3? −3i C．3 D．-3
5. 设x∈R，i是虚数单位，则“x＝－3”是“复数z＝(x2＋2x－3)＋(x－1)i为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为
; ; 的共轭复数为；的虚部为i.
A．,B．C．D．
7．(多选)设复数z满足eq \f(z＋1,z)＝i，则下列说法正确的是( )
A．z为纯虚数 B．z的虚部为－eq \f(1,2)
C．在复平面内，z对应的点位于第二象限 D．|z|＝eq \f(\r(2),2)
8．已知，则
A．B．
C．D．
9．（多选题）设复数z满足，则下列说法错误的是
A．z为纯虚数 B．z的虚部为
C．在复平面内，z对应的点位于第二象限 D．
10、（多选题）设z是复数，则下列命题中的真命题是
A．若z20，则z是实数B．若z20，则z是虚数
C．若z是虚数，则z20D．若z是纯虚数，则z20
11、已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为
A．B．
C．D．
12、设为虚数单位，复数满足，则共轭复数的虚部为
A．B．
C．D．
13. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
14．(多选)已知复数z满足z(2－i)＝i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为eq \x\t(z)，则( )
A．|z|＝eq \f(3,5) B.eq \x\t(z)＝－eq \f(1＋2i,5)
C．复数z的实部为－1 D．复数z对应复平面上的点在第二象限
15、（多选题）若复数，其中为虚数单位，则下列结论不正确的是（ ）
A．的虚部为B．
C．的共轭复数为D．为纯虚数
16．已知复数是实数，复数是纯虚数，则实数的值为______
17．若复数满足，则_______________；
18、设是虚数单位，复数在复平面内对应的点在直线上，则实数的值为_______.
19．已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.
20．设，满足，且是纯虚数，则_______.
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复数的模
向量eq \(OZ,\s\up7(―→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，
即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)
复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
实轴、虚轴
在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数的几何表示
复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 平面向量eq \(OZ,\s\up7(―→))
2023高考一轮复习讲与练
专题29 复数
加法
复数
复数的概念
复数
复数的运算
减法
乘法
除法
复数相等
共轭复数
复数的模
实数
虚数
复数的运算
复数
的几
何表
示
虚轴
实轴
复平面
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅰ卷）2. 若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
答案：D
分析：利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】由题设有，故，故，故选：D
2.(2023·新高考Ⅱ卷）（ ）
A. B. C. D.
答案：D
分析：利用复数的乘法可求.
【详解】，故选：D.
3. (2023·全国甲（理））若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
分析：由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
4.(2023·全国甲（文）） 若．则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
分析：根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以，所以．
5.(2023·全国乙（文））设，其中为实数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
分析：根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】因为R，，所以，解得：．
6.(2023·全国乙（理））已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
分析：先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】，
由,得,即。
7.(2023·北京卷T2） 若复数z满足，则（ ）
A. 1B. 5C. 7D. 25
答案：B
分析：利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．
【详解】由题意有，故．
8.(2023·浙江卷T2）已知（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
分析：利用复数相等的条件可求.
【详解】，而为实数，故，
9．(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(eq \x\t(z)＋i)＝( )
A．6－2i B．4－2i C．6＋2i D．4＋2i
答案：C
【解析】因为z＝2－i，所以eq \x\t(z)＝2＋i，则z(eq \x\t(z)＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝4＋4i－2i＋2＝6＋2i.故选C.
10．(2023·全国甲卷理)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝( )
A．－1－eq \f(3,2)i B．－1＋eq \f(3,2)i
C．－eq \f(3,2)＋i D．－eq \f(3,2)－i
答案：B
【解析】因为(1－i)2z＝3＋2i，所以z＝eq \f(3＋2i,1－i2)＝eq \f(3＋2i,－2i)＝－1＋eq \f(3,2)i.故选B.
11、(2023·新高考Ⅱ卷)复数eq \f(2－i,1－3i)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：A
【解析】eq \f(2－i,1－3i)＝eq \f(2－i1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq \f(5＋5i,10)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i.故选A
12．(2023·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝( )
A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i
答案：C.
【解析】由iz＝4＋3i得z＝eq \f(4＋3i,i)＝eq \f(4＋3i－i,i·－i)＝3－4i.故选C.
13．(2023·全国乙卷)设2(z＋eq \x\t(z))＋3(z－eq \x\t(z))＝4＋6i，则z＝( )
A．1－2i B．1＋2i C．1＋i D．1－i
答案：C
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi.结合已知条件得4a＋6bi＝4＋6i.根据复数相等的条件可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＝4，,6b＝6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1，))所以z＝1＋i.故选C.
14．(2023·新高考全国卷Ⅰ)eq \f(2－i,1＋2i)＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
答案：D.
【解析】eq \f(2－i,1＋2i)＝eq \f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq \f(－5i,5)＝－i.
15．(2023·全国卷Ⅱ)(1－i)4＝( )
A．－4 B．4
C．－4i D．4i
答案：A
16．(2023·浙江高考)已知a∈R，若z＝a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案：C
【解析】因为z＝a－1＋(a－2)i是实数，所以a－2＝0，所以a＝2，故选C.
(2023·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq \r(3)＋i，则|z1－z2|＝________.
答案：eq \r(3).
【解析】法一：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(eq \r(3)，1)，求|a－b|.
因为(a＋b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2，所以4＋(a－b)2＝16，所以|a－b|＝2eq \r(3)，即|z1－z2|＝2eq \r(3).
法二：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，则z1＋z2对应向量eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→)).
由题知|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝|eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则z1－z2对应向量eq \(BA,\s\up7(―→)).
由OA＝AC＝OC＝2，可得BA＝2OAsin 60°＝2eq \r(3).
故|z1－z2|＝|eq \(BA,\s\up7(―→))|＝2eq \r(3).
18．【2019年高考全国Ⅱ卷】设，则
A．B． C．D．
答案：D
分析：根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念写出即可．
【解析】由题可得，所以，故选D．
【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误．
19．【2019年高考全国Ⅲ卷】若，则
A．B． C．D．
答案：D
【解析】由题可得．故选D．
【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．
20．【2019年高考天津卷】是虚数单位，则的值为______________．
答案：
分析：先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．
【解析】由题可得．
21．【2019年高考浙江卷】复数（为虚数单位），则=______________．
答案：
分析：本题先计算，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查．
【解析】由题可得．
22．【2019年高考江苏卷】已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是______________．
答案：
分析：本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值．
【解析】由题可得，令，解得．
【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
讲典例 备高考
类型一、复数的概念
基础知识：
1．复数的定义及分类
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是a，虚部是b.
(2)复数的分类：eq \a\vs4\al(复数z＝a＋bi,a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))
2．复数的有关概念
3、注意事项：
(1)两个虚数不能比较大小．
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
基本题型：
1．（纯虚数）如果复数eq \f(m2＋i,1＋mi)是纯虚数，那么实数m等于( )
A．－1 B．0 C．0或1 D．0或－1
答案：D
【解析】 eq \f(m2＋i,1＋mi)＝eq \f(m2＋i1－mi,1＋mi1－mi)＝eq \f(m2－m3i＋i－mi2,1＋m2)＝eq \f(m2＋m,1＋m2)＋eq \f(1－m3,1＋m2)i，因为复数为纯虚数，
所以eq \f(m2＋m,1＋m2)＝0 且eq \f(1－m3,1＋m2)≠0，解得m＝0或m＝－1，故选D.
2.（复数的模）已知，则
A．B．
C．D．
答案：C
分析：先根据复数的运算，求得复数z，再求其模长的平方即可．
【解析】因为，所以，故选C．
【名师点睛】本题考查了复数的知识点，懂的运算求得模长是解题的关键，属于基础题．
3．（复数相等）已知为虚数单位，若，则
A．1B．
C．D．2
答案：C
【解析】因为为虚数单位，，所以，根据复数相等可得，所以．故选C．
【名师点睛】本题考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数与相等的充要条件是且．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．
4、（共轭复数）已知复数满足(其中是虚数单位,满足),则复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
【解析】因为，选B.
5．(多选)若复数z＝eq \f(2,1＋i)，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部为－1 B．|z|＝eq \r(2)
C．z2为纯虚数 D．z的共轭复数为－1－i
答案：ABC
【解析】由题意得z＝eq \f(2,1＋i)＝eq \f(21－i,1＋i1－i)＝1－i.对于A，由z＝1－i得复数z的虚部为－1，故A正确；
对于B，|z|＝|1－i|＝eq \r(2)，故B正确；对于C，由于z2＝(1－i)2＝－2i，所以z2为纯虚数，故C正确；
对于D，z＝1－i的共轭复数eq \x\t(z)＝1＋i，故D不正确．故选A、B、C.
基本方法：
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
类型二、复数的运算
基础知识：
1、复数的运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
2、常用结论：
(1)(1±i)2＝±2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
(3)z· eq \x\t(z)＝|z|2＝|eq \x\t(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z1,z2)))＝eq \f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.
基本题型：
1．下列各式的运算结果虚部为1的是( )
A．i(i－1) B．eq \f(2,1＋i)
C．2＋i2 D．(1＋i)2－i
答案：D
【解析】对于A，i(i－1)＝i2－i＝－1－i，虚部为－1；
对于B，eq \f(2,1＋i)＝eq \f(21－i,1＋i1－i)＝eq \f(21－i,1－i2)＝1－i，虚部为－1；对于C,2＋i2＝2－1＝1，虚部为0；
对于D，(1＋i)2－i＝1＋2i＋i2－i＝i，虚部为1，故选D.
2．设复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z＝3＋2i2＋i5，则eq \f(y＋2,x＋1)的值为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3)
C．1 D.eq \f(1,3)
答案：A
【解析】 z＝3＋2i2＋i5＝1＋i＝x＋yi，所以x＝1，y＝1，所以eq \f(y＋2,x＋1)＝eq \f(3,2).故选A.
3．复数z满足z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(\r(3)＋i,1－\r(3)i)))100＋eq \r(3)i，则|z|＝( )
A．5 B．2eq \r(3) C.eq \r(5) D．2
答案：D
【解析】因为eq \f(\r(3)＋i,1－\r(3)i)＝eq \f(\r(3)＋i1＋\r(3)i,1－\r(3)i1＋\r(3)i)＝eq \f(\r(3)＋4i＋\r(3)i2,4)＝i，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(\r(3)＋i,1－\r(3)i)))100＝i100＝(i4)25＝1，
所以z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i)))100＋eq \r(3)i＝1＋eq \r(3)i，因此，|z|＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2.
4．若复数z满足z(1＋2i)＝(1＋i)2(i为虚数单位)，则|eq \x\t(z)＋i2 021|＝( )
A.eq \f(4,5) B．eq \f(\r(65),5) C.eq \f(3,5) D．1
答案：D
【解析】由z(1＋2i)＝(1＋i)2得复数z＝eq \f(1＋i2,1＋2i)＝eq \f(2i1－2i,5)＝eq \f(4＋2i,5)，∴eq \x\t(z)＝eq \f(4－2i,5).eq \x\t(z)＋i2 021
＝eq \f(4－2i,5)＋i＝eq \f(4＋3i,5)，∴|eq \x\t(z)＋i2 021|＝eq \f(4＋3i,5)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2)＝1，故选D.
5．已知eq \(z,\s\up6(－))是复数z的共轭复数，当z＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))＋eq \f(1＋i,1－i)(i是虚数单位)时，z·eq \(z,\s\up6(－))＝( )
A．1 B.eq \r(2)
C．2 D．2eq \r(2)
答案：C
【解析】 ∵eq \f(1＋i,1－i)＝eq \f(1＋i2,1＋i1－i)＝i，∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))＝|i|＝1，∴z＝1＋i，eq \(z,\s\up6(－))＝1－i.∴z·eq \(z,\s\up6(－))＝(1＋i)·(1－i)＝2.
6．(多选)已知i为虚数单位，在复平面内，复数z＝eq \f(2i,2＋i)，以下说法正确的是( )
A．复数z的虚部是eq \f(4,5)i B．|z|＝1
C．复数z的共轭复数是eq \x\t(z)＝eq \f(2,5)－eq \f(4,5)i D．复数z的共轭复数对应的点位于第四象限
答案：CD
【解析】 z＝eq \f(2i,2＋i)＝eq \f(2i2－i,2＋i2－i)＝eq \f(2＋4i,5)＝eq \f(2,5)＋eq \f(4,5)i，复数z的虚部是eq \f(4,5)，故A错误；
|z|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝eq \f(2\r(5),5)，故B错误；复数z的共轭复数是eq \x\t(z)＝eq \f(2,5)－eq \f(4,5)i，
在复平面内对应点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，－\f(4,5)))，复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故C、D正确．
基本方法：
复数代数形式运算问题的解题策略
（1）复数的加减法：在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
（2）复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
（3）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式类型三、复数的几何意义
基础知识：
1、有关概念：
2、复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up7(―→))，eq \(OZ2,\s\up7(―→))不共线，则复数z1＋z2是以eq \(OZ1,\s\up7(―→))，eq \(OZ2,\s\up7(―→))为邻边的平行四边形的对角线eq \(OZ,\s\up7(―→))所对应的复数．
3、复数减法的几何意义：复数z1－z2是eq \(OZ1,\s\up7(―→))－eq \(OZ2,\s\up7(―→))＝eq \(Z2Z1,\s\up7(―→))所对应的复数．
基本题型：
1．已知i为虚数单位，且复数z满足 ，则复数z在复平面内的点到原点的距离为（ ）
A． B．C．D．
答案：B
分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标，则答案可求．
【详解】由，得，∴复数z在复平面内的点的坐标为，到原点的距离为．
2．在如图所示的复平面内，复数，，对应的向量分别是，，，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：C
【解析】由题图知则，
所以其在复平面内对应的点为，在第三象限.
3、已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
答案：A
【解析】因为复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1<0，,2－m>0，))解得m<－1.
所以实数m的取值范围为(－∞，－1)．故选A.
4、设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
答案：C
【解析】由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
5．(多选)已知复数z1＝eq \f(2,－1＋i)(i为虚数单位)，下列说法正确的是( )
A．z1对应的点在第三象限
B．z1的虚部为－1
C．zeq \\al(4,1)＝4
D．满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上
答案：AB
【解析】由题意，复数z1＝eq \f(2,－1＋i)＝eq \f(2－1－i,－1＋i－1－i)＝－1－i，所以复数z1在复平面内对应的点是
(－1，－1)，位于第三象限，所以A正确；由z1＝－1－i，可得复数的虚部为－1，所以B正确；
zeq \\al(4,1)＝(－1－i)4＝[(－1－i)2]2＝(2i)2＝－4，所以C不正确；由|z1|＝eq \r(－12＋－12)＝eq \r(2)得满足|z|＝|z1|的
复数z对应的点在以原点为圆心，eq \r(2)为半径的圆上，所以D不正确．故选A、B.
基本方法：
(1)复数的模|z|即复数对应的向量的模|eq \(OZ,\s\up7(―→))|，|z1－z2|表示复数z1对应的点与复数z2对应的点之间的距离．
(2)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段即复数对应的向量．
(3)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般根据复数与复平面内的点一一对应，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
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1．复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可.
【详解】由题意可得：，据此可知，复数z的虚部为.
2．在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为(1，－1)，则z的实部与虚部的和是( )
A．2 B．0
C．1＋i D．1－i
答案：B
【解析】由题意可知z＝1－i，所以复数z的实部是1，虚部是－1，其和为0，故选B.
3．已知复数z满足z＋2eq \(z,\s\up6(－))＝6－2i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：A
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋2eq \(z,\s\up6(－))＝(a＋bi)＋2(a－bi)＝3a－bi＝6－2i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a＝6，,－b＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝2，))即z＝2＋2i，对应点为(2,2)，在第一象限．故选A.
4.若复数 QUOTE ? z满足 QUOTE (3+4?)?=25? (3+4i)z=25i，其中 QUOTE ? i为虚数单位，则 QUOTE ? z的虚部是
A． QUOTE 3? 3i B． QUOTE −3? −3i C．3 D．-3
答案：C
【解析】设 QUOTE ?=?+?? z=a+bi,代入原式得到 QUOTE (3+4?)?=(3+4?)(?+??)=3?−4?+(3?+4?)? (3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=3a−4b+(3b+4a)i
结合待定系数法得到 QUOTE 3?−4?=0,3?+4?=25 3a−4b=0,3b+4a=25,解得 QUOTE ?=3 b=3,故选C.
5. 设x∈R，i是虚数单位，则“x＝－3”是“复数z＝(x2＋2x－3)＋(x－1)i为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】复数z＝(x2＋2x－3)＋(x－1)i为纯虚数，则x2＋2x－3＝0且x－1≠0，解得x＝－3，故x＝－3⇔复数z为纯虚数，选C.
6．下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为
; ; 的共轭复数为；的虚部为i.
A．,B．C．D．
答案：A
分析：利用复数的乘除运算化简复数z，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案．
【详解】∵z1+i，∴：|z|，：z2＝2i，：z的共轭复数为1-i，
：z的虚部为1，∴真命题为p2，p3．
7．(多选)设复数z满足eq \f(z＋1,z)＝i，则下列说法正确的是( )
A．z为纯虚数 B．z的虚部为－eq \f(1,2)
C．在复平面内，z对应的点位于第二象限 D．|z|＝eq \f(\r(2),2)
答案：BD
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由题意，得a＋bi＋1＝i(a＋bi)，即a＋1＋bi＝－b＋ai，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1＝－b，,b＝a，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,b＝－\f(1,2)，))所以z＝－eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i.故z不是纯虚数；z的虚部为－eq \f(1,2)；在复平面内，
z对应的点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,2)))，位于第三象限；|z|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(2),2)，故选D.
8．已知，则
A．B．
C．D．
答案：D
分析：先根据复数的运算，求得复数z，再求其模长的平方即可．
【解析】因为，所以，故选D．
【名师点睛】本题考查了复数的知识点，懂的运算求得模长是解题的关键，属于基础题．
9．（多选题）设复数z满足，则下列说法错误的是
A．z为纯虚数 B．z的虚部为
C．在复平面内，z对应的点位于第二象限 D．
答案：ABC
分析：设，根据题设条件和复数相等的充要条件，求得，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，复数满足，即，设，可得，
所以，解得，即，所以，且复数的虚部为，复数对应的点位于第三象限.
10、（多选题）设z是复数，则下列命题中的真命题是
A．若z20，则z是实数B．若z20，则z是虚数
C．若z是虚数，则z20D．若z是纯虚数，则z20
答案：ABD
分析：设复数，则，对选项逐项判定，即可求解.
【详解】设复数，则，对于A中，，即，则，所以是实数，真命题；对于B中，，即，则，且，所以是虚数，所以B为真命题；对于C中，例如复数，则 ，所以z20是假命题.
对于D中，由是纯虚数，则，所以是真命题；
11、已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】由题意可得，则，据此可得的虚部为．
12、设为虚数单位，复数满足，则共轭复数的虚部为
A．B．
C．D．
答案：C
分析：根据条件求出复数，然后再求出共轭复数，从而可得其虚部．
【解析】因为，所以，
所以，所以复数的虚部为．故选C．
【名师点睛】本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了．
13. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：D
分析：把复数的分母部分进行实数化即可，，化简后即可得到对应点，进而得到答案．
【解析】由题可得，则在复平面内对应的点为，位于第四象限．故选D．
14．(多选)已知复数z满足z(2－i)＝i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为eq \x\t(z)，则( )
A．|z|＝eq \f(3,5) B.eq \x\t(z)＝－eq \f(1＋2i,5)
C．复数z的实部为－1 D．复数z对应复平面上的点在第二象限
答案：BD
【解析】因为复数z满足z(2－i)＝i，所以z＝eq \f(i,2－i)＝eq \f(i2＋i,2－i2＋i)＝－eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i，所以|z|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2)＝eq \f(\r(5),5)，故A错误；eq \x\t(z)＝－eq \f(1,5)－eq \f(2,5)i，故B正确；复数z的实部为－eq \f(1,5)，故C错误；复数z对应复平面上的点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(2,5)))在第二象限，故D正确．
15、（多选题）若复数，其中为虚数单位，则下列结论不正确的是（ ）
A．的虚部为B．
C．的共轭复数为D．为纯虚数
答案：ABC
分析：根据复数的除法运算，求得，再结合复数的基本概念，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，复数，可得的虚部为，所以错误；由，所以错误；由共轭复数的概念，可得，所以错误；由，可得为纯虚数，所以正确，
16．已知复数是实数，复数是纯虚数，则实数的值为______
答案：
分析：
先根据复数是实数求出，再根据复数是纯虚数求出的值.
【详解】由题得，因为复数是实数，
所以.所以，因为复数是纯虚数，
所以.
17．若复数满足，则_______________；
答案：
分析：设出，代入，求出，根据得到结论
【详解】解设，代入得：，
根据复数相等定义得：，解得解得：，故
18、设是虚数单位，复数在复平面内对应的点在直线上，则实数的值为_______.
答案：-1
分析：根据复数的运算得，得到复数在复平面内对应的点为，代入直线的方程，即可求解．
【详解】由题意，复数，所以复数在复平面内对应的点为，则，解得．
19．已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.
答案：eq \r(2)
【解析】z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i
＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x－5y＝5，,－3x＋4y＝－3，))解得x＝1，y＝0，
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，所以|z1＋z2|＝eq \r(2).
20．设，满足，且是纯虚数，则_______.
答案：
分析：设出复数，代入题中条件进行化简，即可求出．
【详解】设,
则
,则，解得：或，
又是纯虚数， ，解得，
代入，求出，复数。
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复数的模
向量eq \(OZ,\s\up7(―→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，
即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)
复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
实轴、虚轴
在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数的几何表示
复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 平面向量eq \(OZ,\s\up7(―→))
专题29 复数
加法
复数
复数的概念
复数
复数的运算
减法
乘法
除法
复数相等
共轭复数
复数的模
实数
虚数
复数的运算
复数
的几
何表
示
虚轴
实轴
复平面
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅰ卷）2. 若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
2.(2023·新高考Ⅱ卷）（ ）
A. B. C. D.
3. (2023·全国甲（理））若，则（ ）
A. B. C. D.
4.(2023·全国甲（文）） 若．则（ ）
A. B. C. D.
5.(2023·全国乙（文））设，其中为实数，则（ ）
A. B. C. D.
6.(2023·全国乙（理））已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A. B. C. D.
7.(2023·北京卷T2） 若复数z满足，则（ ）
A. 1B. 5C. 7D. 25
8.(2023·浙江卷T2）已知（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
9．(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(eq \x\t(z)＋i)＝( )
A．6－2i B．4－2i C．6＋2i D．4＋2i
10．(2023·全国甲卷理)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝( )
A．－1－eq \f(3,2)i B．－1＋eq \f(3,2)i
C．－eq \f(3,2)＋i D．－eq \f(3,2)－i
11、(2023·新高考Ⅱ卷)复数eq \f(2－i,1－3i)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．(2023·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝( )
A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i
13．(2023·全国乙卷)设2(z＋eq \x\t(z))＋3(z－eq \x\t(z))＝4＋6i，则z＝( )
A．1－2i B．1＋2i C．1＋i D．1－i
14．(2023·新高考全国卷Ⅰ)eq \f(2－i,1＋2i)＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
15．(2023·全国卷Ⅱ)(1－i)4＝( )
A．－4 B．4
C．－4i D．4i
16．(2023·浙江高考)已知a∈R，若z＝a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
(2023·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq \r(3)＋i，则|z1－z2|＝________.
18．【2019年高考全国Ⅱ卷】设，则
A．B． C．D．
19．【2019年高考全国Ⅲ卷】若，则
A．B． C．D．
20．【2019年高考天津卷】是虚数单位，则的值为______________．
21．【2019年高考浙江卷】复数（为虚数单位），则=______________．
22．【2019年高考江苏卷】已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是______________．
讲典例 备高考
类型一、复数的概念
基础知识：
1．复数的定义及分类
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是a，虚部是b.
(2)复数的分类：eq \a\vs4\al(复数z＝a＋bi,a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))
2．复数的有关概念
3、注意事项：
(1)两个虚数不能比较大小．
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
基本题型：
1．（纯虚数）如果复数eq \f(m2＋i,1＋mi)是纯虚数，那么实数m等于( )
A．－1 B．0 C．0或1 D．0或－1
2.（复数的模）已知，则
A．B．
C．D．
3．（复数相等）已知为虚数单位，若，则
A．1B．
C．D．2
4、（共轭复数）已知复数满足(其中是虚数单位,满足),则复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
5．(多选)若复数z＝eq \f(2,1＋i)，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部为－1 B．|z|＝eq \r(2)
C．z2为纯虚数 D．z的共轭复数为－1－i
基本方法：
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
类型二、复数的运算
基础知识：
1、复数的运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
2、常用结论：
(1)(1±i)2＝±2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
(3)z· eq \x\t(z)＝|z|2＝|eq \x\t(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z1,z2)))＝eq \f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.
基本题型：
1．下列各式的运算结果虚部为1的是( )
A．i(i－1) B．eq \f(2,1＋i)
C．2＋i2 D．(1＋i)2－i
2．设复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z＝3＋2i2＋i5，则eq \f(y＋2,x＋1)的值为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3)
C．1 D.eq \f(1,3)
3．复数z满足z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(\r(3)＋i,1－\r(3)i)))100＋eq \r(3)i，则|z|＝( )
A．5 B．2eq \r(3) C.eq \r(5) D．2
4．若复数z满足z(1＋2i)＝(1＋i)2(i为虚数单位)，则|eq \x\t(z)＋i2 021|＝( )
A.eq \f(4,5) B．eq \f(\r(65),5) C.eq \f(3,5) D．1
5．已知eq \(z,\s\up6(－))是复数z的共轭复数，当z＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))＋eq \f(1＋i,1－i)(i是虚数单位)时，z·eq \(z,\s\up6(－))＝( )
A．1 B.eq \r(2)
C．2 D．2eq \r(2)
6．(多选)已知i为虚数单位，在复平面内，复数z＝eq \f(2i,2＋i)，以下说法正确的是( )
A．复数z的虚部是eq \f(4,5)i B．|z|＝1
C．复数z的共轭复数是eq \x\t(z)＝eq \f(2,5)－eq \f(4,5)i D．复数z的共轭复数对应的点位于第四象限
基本方法：
复数代数形式运算问题的解题策略
（1）复数的加减法：在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
（2）复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
（3）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式类型三、复数的几何意义
基础知识：
1、有关概念：
2、复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up7(―→))，eq \(OZ2,\s\up7(―→))不共线，则复数z1＋z2是以eq \(OZ1,\s\up7(―→))，eq \(OZ2,\s\up7(―→))为邻边的平行四边形的对角线eq \(OZ,\s\up7(―→))所对应的复数．
3、复数减法的几何意义：复数z1－z2是eq \(OZ1,\s\up7(―→))－eq \(OZ2,\s\up7(―→))＝eq \(Z2Z1,\s\up7(―→))所对应的复数．
基本题型：
1．已知i为虚数单位，且复数z满足 ，则复数z在复平面内的点到原点的距离为（ ）
A． B．C．D．
2．在如图所示的复平面内，复数，，对应的向量分别是，，，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3、已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
4、设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
5．(多选)已知复数z1＝eq \f(2,－1＋i)(i为虚数单位)，下列说法正确的是( )
A．z1对应的点在第三象限
B．z1的虚部为－1
C．zeq \\al(4,1)＝4
D．满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上
基本方法：
(1)复数的模|z|即复数对应的向量的模|eq \(OZ,\s\up7(―→))|，|z1－z2|表示复数z1对应的点与复数z2对应的点之间的距离．
(2)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段即复数对应的向量．
(3)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般根据复数与复平面内的点一一对应，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
新预测 破高考
1．复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为(1，－1)，则z的实部与虚部的和是( )
A．2 B．0
C．1＋i D．1－i
3．已知复数z满足z＋2eq \(z,\s\up6(－))＝6－2i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4.若复数 QUOTE ? z满足 QUOTE (3+4?)?=25? (3+4i)z=25i，其中 QUOTE ? i为虚数单位，则 QUOTE ? z的虚部是
A． QUOTE 3? 3i B． QUOTE −3? −3i C．3 D．-3
5. 设x∈R，i是虚数单位，则“x＝－3”是“复数z＝(x2＋2x－3)＋(x－1)i为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为
; ; 的共轭复数为；的虚部为i.
A．,B．C．D．
7．(多选)设复数z满足eq \f(z＋1,z)＝i，则下列说法正确的是( )
A．z为纯虚数 B．z的虚部为－eq \f(1,2)
C．在复平面内，z对应的点位于第二象限 D．|z|＝eq \f(\r(2),2)
8．已知，则
A．B．
C．D．
9．（多选题）设复数z满足，则下列说法错误的是
A．z为纯虚数 B．z的虚部为
C．在复平面内，z对应的点位于第二象限 D．
10、（多选题）设z是复数，则下列命题中的真命题是
A．若z20，则z是实数B．若z20，则z是虚数
C．若z是虚数，则z20D．若z是纯虚数，则z20
11、已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为
A．B．
C．D．
12、设为虚数单位，复数满足，则共轭复数的虚部为
A．B．
C．D．
13. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
14．(多选)已知复数z满足z(2－i)＝i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为eq \x\t(z)，则( )
A．|z|＝eq \f(3,5) B.eq \x\t(z)＝－eq \f(1＋2i,5)
C．复数z的实部为－1 D．复数z对应复平面上的点在第二象限
15、（多选题）若复数，其中为虚数单位，则下列结论不正确的是（ ）
A．的虚部为B．
C．的共轭复数为D．为纯虚数
16．已知复数是实数，复数是纯虚数，则实数的值为______
17．若复数满足，则_______________；
18、设是虚数单位，复数在复平面内对应的点在直线上，则实数的值为_______.
19．已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.
20．设，满足，且是纯虚数，则_______.
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复数的模
向量eq \(OZ,\s\up7(―→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，
即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)
复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
实轴、虚轴
在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数的几何表示
复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 平面向量eq \(OZ,\s\up7(―→))
2023高考一轮复习讲与练
专题29 复数
加法
复数
复数的概念
复数
复数的运算
减法
乘法
除法
复数相等
共轭复数
复数的模
实数
虚数
复数的运算
复数
的几
何表
示
虚轴
实轴
复平面
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅰ卷）2. 若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
答案：D
分析：利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】由题设有，故，故，故选：D
2.(2023·新高考Ⅱ卷）（ ）
A. B. C. D.
答案：D
分析：利用复数的乘法可求.
【详解】，故选：D.
3. (2023·全国甲（理））若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
分析：由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
4.(2023·全国甲（文）） 若．则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
分析：根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以，所以．
5.(2023·全国乙（文））设，其中为实数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
分析：根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】因为R，，所以，解得：．
6.(2023·全国乙（理））已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
分析：先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】，
由,得,即。
7.(2023·北京卷T2） 若复数z满足，则（ ）
A. 1B. 5C. 7D. 25
答案：B
分析：利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．
【详解】由题意有，故．
8.(2023·浙江卷T2）已知（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
分析：利用复数相等的条件可求.
【详解】，而为实数，故，
9．(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(eq \x\t(z)＋i)＝( )
A．6－2i B．4－2i C．6＋2i D．4＋2i
答案：C
【解析】因为z＝2－i，所以eq \x\t(z)＝2＋i，则z(eq \x\t(z)＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝4＋4i－2i＋2＝6＋2i.故选C.
10．(2023·全国甲卷理)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝( )
A．－1－eq \f(3,2)i B．－1＋eq \f(3,2)i
C．－eq \f(3,2)＋i D．－eq \f(3,2)－i
答案：B
【解析】因为(1－i)2z＝3＋2i，所以z＝eq \f(3＋2i,1－i2)＝eq \f(3＋2i,－2i)＝－1＋eq \f(3,2)i.故选B.
11、(2023·新高考Ⅱ卷)复数eq \f(2－i,1－3i)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：A
【解析】eq \f(2－i,1－3i)＝eq \f(2－i1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq \f(5＋5i,10)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i.故选A
12．(2023·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝( )
A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i
答案：C.
【解析】由iz＝4＋3i得z＝eq \f(4＋3i,i)＝eq \f(4＋3i－i,i·－i)＝3－4i.故选C.
13．(2023·全国乙卷)设2(z＋eq \x\t(z))＋3(z－eq \x\t(z))＝4＋6i，则z＝( )
A．1－2i B．1＋2i C．1＋i D．1－i
答案：C
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi.结合已知条件得4a＋6bi＝4＋6i.根据复数相等的条件可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＝4，,6b＝6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1，))所以z＝1＋i.故选C.
14．(2023·新高考全国卷Ⅰ)eq \f(2－i,1＋2i)＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
答案：D.
【解析】eq \f(2－i,1＋2i)＝eq \f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq \f(－5i,5)＝－i.
15．(2023·全国卷Ⅱ)(1－i)4＝( )
A．－4 B．4
C．－4i D．4i
答案：A
16．(2023·浙江高考)已知a∈R，若z＝a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案：C
【解析】因为z＝a－1＋(a－2)i是实数，所以a－2＝0，所以a＝2，故选C.
(2023·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq \r(3)＋i，则|z1－z2|＝________.
答案：eq \r(3).
【解析】法一：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(eq \r(3)，1)，求|a－b|.
因为(a＋b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2，所以4＋(a－b)2＝16，所以|a－b|＝2eq \r(3)，即|z1－z2|＝2eq \r(3).
法二：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，则z1＋z2对应向量eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→)).
由题知|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝|eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则z1－z2对应向量eq \(BA,\s\up7(―→)).
由OA＝AC＝OC＝2，可得BA＝2OAsin 60°＝2eq \r(3).
故|z1－z2|＝|eq \(BA,\s\up7(―→))|＝2eq \r(3).
18．【2019年高考全国Ⅱ卷】设，则
A．B． C．D．
答案：D
分析：根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念写出即可．
【解析】由题可得，所以，故选D．
【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误．
19．【2019年高考全国Ⅲ卷】若，则
A．B． C．D．
答案：D
【解析】由题可得．故选D．
【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．
20．【2019年高考天津卷】是虚数单位，则的值为______________．
答案：
分析：先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．
【解析】由题可得．
21．【2019年高考浙江卷】复数（为虚数单位），则=______________．
答案：
分析：本题先计算，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查．
【解析】由题可得．
22．【2019年高考江苏卷】已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是______________．
答案：
分析：本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值．
【解析】由题可得，令，解得．
【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
讲典例 备高考
类型一、复数的概念
基础知识：
1．复数的定义及分类
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是a，虚部是b.
(2)复数的分类：eq \a\vs4\al(复数z＝a＋bi,a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))
2．复数的有关概念
3、注意事项：
(1)两个虚数不能比较大小．
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
基本题型：
1．（纯虚数）如果复数eq \f(m2＋i,1＋mi)是纯虚数，那么实数m等于( )
A．－1 B．0 C．0或1 D．0或－1
答案：D
【解析】 eq \f(m2＋i,1＋mi)＝eq \f(m2＋i1－mi,1＋mi1－mi)＝eq \f(m2－m3i＋i－mi2,1＋m2)＝eq \f(m2＋m,1＋m2)＋eq \f(1－m3,1＋m2)i，因为复数为纯虚数，
所以eq \f(m2＋m,1＋m2)＝0 且eq \f(1－m3,1＋m2)≠0，解得m＝0或m＝－1，故选D.
2.（复数的模）已知，则
A．B．
C．D．
答案：C
分析：先根据复数的运算，求得复数z，再求其模长的平方即可．
【解析】因为，所以，故选C．
【名师点睛】本题考查了复数的知识点，懂的运算求得模长是解题的关键，属于基础题．
3．（复数相等）已知为虚数单位，若，则
A．1B．
C．D．2
答案：C
【解析】因为为虚数单位，，所以，根据复数相等可得，所以．故选C．
【名师点睛】本题考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数与相等的充要条件是且．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．
4、（共轭复数）已知复数满足(其中是虚数单位,满足),则复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
【解析】因为，选B.
5．(多选)若复数z＝eq \f(2,1＋i)，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部为－1 B．|z|＝eq \r(2)
C．z2为纯虚数 D．z的共轭复数为－1－i
答案：ABC
【解析】由题意得z＝eq \f(2,1＋i)＝eq \f(21－i,1＋i1－i)＝1－i.对于A，由z＝1－i得复数z的虚部为－1，故A正确；
对于B，|z|＝|1－i|＝eq \r(2)，故B正确；对于C，由于z2＝(1－i)2＝－2i，所以z2为纯虚数，故C正确；
对于D，z＝1－i的共轭复数eq \x\t(z)＝1＋i，故D不正确．故选A、B、C.
基本方法：
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
类型二、复数的运算
基础知识：
1、复数的运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
2、常用结论：
(1)(1±i)2＝±2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
(3)z· eq \x\t(z)＝|z|2＝|eq \x\t(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z1,z2)))＝eq \f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.
基本题型：
1．下列各式的运算结果虚部为1的是( )
A．i(i－1) B．eq \f(2,1＋i)
C．2＋i2 D．(1＋i)2－i
答案：D
【解析】对于A，i(i－1)＝i2－i＝－1－i，虚部为－1；
对于B，eq \f(2,1＋i)＝eq \f(21－i,1＋i1－i)＝eq \f(21－i,1－i2)＝1－i，虚部为－1；对于C,2＋i2＝2－1＝1，虚部为0；
对于D，(1＋i)2－i＝1＋2i＋i2－i＝i，虚部为1，故选D.
2．设复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z＝3＋2i2＋i5，则eq \f(y＋2,x＋1)的值为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3)
C．1 D.eq \f(1,3)
答案：A
【解析】 z＝3＋2i2＋i5＝1＋i＝x＋yi，所以x＝1，y＝1，所以eq \f(y＋2,x＋1)＝eq \f(3,2).故选A.
3．复数z满足z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(\r(3)＋i,1－\r(3)i)))100＋eq \r(3)i，则|z|＝( )
A．5 B．2eq \r(3) C.eq \r(5) D．2
答案：D
【解析】因为eq \f(\r(3)＋i,1－\r(3)i)＝eq \f(\r(3)＋i1＋\r(3)i,1－\r(3)i1＋\r(3)i)＝eq \f(\r(3)＋4i＋\r(3)i2,4)＝i，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(\r(3)＋i,1－\r(3)i)))100＝i100＝(i4)25＝1，
所以z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i)))100＋eq \r(3)i＝1＋eq \r(3)i，因此，|z|＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2.
4．若复数z满足z(1＋2i)＝(1＋i)2(i为虚数单位)，则|eq \x\t(z)＋i2 021|＝( )
A.eq \f(4,5) B．eq \f(\r(65),5) C.eq \f(3,5) D．1
答案：D
【解析】由z(1＋2i)＝(1＋i)2得复数z＝eq \f(1＋i2,1＋2i)＝eq \f(2i1－2i,5)＝eq \f(4＋2i,5)，∴eq \x\t(z)＝eq \f(4－2i,5).eq \x\t(z)＋i2 021
＝eq \f(4－2i,5)＋i＝eq \f(4＋3i,5)，∴|eq \x\t(z)＋i2 021|＝eq \f(4＋3i,5)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2)＝1，故选D.
5．已知eq \(z,\s\up6(－))是复数z的共轭复数，当z＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))＋eq \f(1＋i,1－i)(i是虚数单位)时，z·eq \(z,\s\up6(－))＝( )
A．1 B.eq \r(2)
C．2 D．2eq \r(2)
答案：C
【解析】 ∵eq \f(1＋i,1－i)＝eq \f(1＋i2,1＋i1－i)＝i，∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))＝|i|＝1，∴z＝1＋i，eq \(z,\s\up6(－))＝1－i.∴z·eq \(z,\s\up6(－))＝(1＋i)·(1－i)＝2.
6．(多选)已知i为虚数单位，在复平面内，复数z＝eq \f(2i,2＋i)，以下说法正确的是( )
A．复数z的虚部是eq \f(4,5)i B．|z|＝1
C．复数z的共轭复数是eq \x\t(z)＝eq \f(2,5)－eq \f(4,5)i D．复数z的共轭复数对应的点位于第四象限
答案：CD
【解析】 z＝eq \f(2i,2＋i)＝eq \f(2i2－i,2＋i2－i)＝eq \f(2＋4i,5)＝eq \f(2,5)＋eq \f(4,5)i，复数z的虚部是eq \f(4,5)，故A错误；
|z|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝eq \f(2\r(5),5)，故B错误；复数z的共轭复数是eq \x\t(z)＝eq \f(2,5)－eq \f(4,5)i，
在复平面内对应点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，－\f(4,5)))，复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故C、D正确．
基本方法：
复数代数形式运算问题的解题策略
（1）复数的加减法：在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
（2）复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
（3）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式类型三、复数的几何意义
基础知识：
1、有关概念：
2、复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up7(―→))，eq \(OZ2,\s\up7(―→))不共线，则复数z1＋z2是以eq \(OZ1,\s\up7(―→))，eq \(OZ2,\s\up7(―→))为邻边的平行四边形的对角线eq \(OZ,\s\up7(―→))所对应的复数．
3、复数减法的几何意义：复数z1－z2是eq \(OZ1,\s\up7(―→))－eq \(OZ2,\s\up7(―→))＝eq \(Z2Z1,\s\up7(―→))所对应的复数．
基本题型：
1．已知i为虚数单位，且复数z满足 ，则复数z在复平面内的点到原点的距离为（ ）
A． B．C．D．
答案：B
分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标，则答案可求．
【详解】由，得，∴复数z在复平面内的点的坐标为，到原点的距离为．
2．在如图所示的复平面内，复数，，对应的向量分别是，，，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：C
【解析】由题图知则，
所以其在复平面内对应的点为，在第三象限.
3、已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
答案：A
【解析】因为复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1<0，,2－m>0，))解得m<－1.
所以实数m的取值范围为(－∞，－1)．故选A.
4、设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
答案：C
【解析】由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
5．(多选)已知复数z1＝eq \f(2,－1＋i)(i为虚数单位)，下列说法正确的是( )
A．z1对应的点在第三象限
B．z1的虚部为－1
C．zeq \\al(4,1)＝4
D．满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上
答案：AB
【解析】由题意，复数z1＝eq \f(2,－1＋i)＝eq \f(2－1－i,－1＋i－1－i)＝－1－i，所以复数z1在复平面内对应的点是
(－1，－1)，位于第三象限，所以A正确；由z1＝－1－i，可得复数的虚部为－1，所以B正确；
zeq \\al(4,1)＝(－1－i)4＝[(－1－i)2]2＝(2i)2＝－4，所以C不正确；由|z1|＝eq \r(－12＋－12)＝eq \r(2)得满足|z|＝|z1|的
复数z对应的点在以原点为圆心，eq \r(2)为半径的圆上，所以D不正确．故选A、B.
基本方法：
(1)复数的模|z|即复数对应的向量的模|eq \(OZ,\s\up7(―→))|，|z1－z2|表示复数z1对应的点与复数z2对应的点之间的距离．
(2)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段即复数对应的向量．
(3)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般根据复数与复平面内的点一一对应，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
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1．复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可.
【详解】由题意可得：，据此可知，复数z的虚部为.
2．在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为(1，－1)，则z的实部与虚部的和是( )
A．2 B．0
C．1＋i D．1－i
答案：B
【解析】由题意可知z＝1－i，所以复数z的实部是1，虚部是－1，其和为0，故选B.
3．已知复数z满足z＋2eq \(z,\s\up6(－))＝6－2i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：A
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋2eq \(z,\s\up6(－))＝(a＋bi)＋2(a－bi)＝3a－bi＝6－2i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a＝6，,－b＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝2，))即z＝2＋2i，对应点为(2,2)，在第一象限．故选A.
4.若复数 QUOTE ? z满足 QUOTE (3+4?)?=25? (3+4i)z=25i，其中 QUOTE ? i为虚数单位，则 QUOTE ? z的虚部是
A． QUOTE 3? 3i B． QUOTE −3? −3i C．3 D．-3
答案：C
【解析】设 QUOTE ?=?+?? z=a+bi,代入原式得到 QUOTE (3+4?)?=(3+4?)(?+??)=3?−4?+(3?+4?)? (3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=3a−4b+(3b+4a)i
结合待定系数法得到 QUOTE 3?−4?=0,3?+4?=25 3a−4b=0,3b+4a=25,解得 QUOTE ?=3 b=3,故选C.
5. 设x∈R，i是虚数单位，则“x＝－3”是“复数z＝(x2＋2x－3)＋(x－1)i为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】复数z＝(x2＋2x－3)＋(x－1)i为纯虚数，则x2＋2x－3＝0且x－1≠0，解得x＝－3，故x＝－3⇔复数z为纯虚数，选C.
6．下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为
; ; 的共轭复数为；的虚部为i.
A．,B．C．D．
答案：A
分析：利用复数的乘除运算化简复数z，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案．
【详解】∵z1+i，∴：|z|，：z2＝2i，：z的共轭复数为1-i，
：z的虚部为1，∴真命题为p2，p3．
7．(多选)设复数z满足eq \f(z＋1,z)＝i，则下列说法正确的是( )
A．z为纯虚数 B．z的虚部为－eq \f(1,2)
C．在复平面内，z对应的点位于第二象限 D．|z|＝eq \f(\r(2),2)
答案：BD
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由题意，得a＋bi＋1＝i(a＋bi)，即a＋1＋bi＝－b＋ai，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1＝－b，,b＝a，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,b＝－\f(1,2)，))所以z＝－eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i.故z不是纯虚数；z的虚部为－eq \f(1,2)；在复平面内，
z对应的点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,2)))，位于第三象限；|z|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(2),2)，故选D.
8．已知，则
A．B．
C．D．
答案：D
分析：先根据复数的运算，求得复数z，再求其模长的平方即可．
【解析】因为，所以，故选D．
【名师点睛】本题考查了复数的知识点，懂的运算求得模长是解题的关键，属于基础题．
9．（多选题）设复数z满足，则下列说法错误的是
A．z为纯虚数 B．z的虚部为
C．在复平面内，z对应的点位于第二象限 D．
答案：ABC
分析：设，根据题设条件和复数相等的充要条件，求得，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，复数满足，即，设，可得，
所以，解得，即，所以，且复数的虚部为，复数对应的点位于第三象限.
10、（多选题）设z是复数，则下列命题中的真命题是
A．若z20，则z是实数B．若z20，则z是虚数
C．若z是虚数，则z20D．若z是纯虚数，则z20
答案：ABD
分析：设复数，则，对选项逐项判定，即可求解.
【详解】设复数，则，对于A中，，即，则，所以是实数，真命题；对于B中，，即，则，且，所以是虚数，所以B为真命题；对于C中，例如复数，则 ，所以z20是假命题.
对于D中，由是纯虚数，则，所以是真命题；
11、已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】由题意可得，则，据此可得的虚部为．
12、设为虚数单位，复数满足，则共轭复数的虚部为
A．B．
C．D．
答案：C
分析：根据条件求出复数，然后再求出共轭复数，从而可得其虚部．
【解析】因为，所以，
所以，所以复数的虚部为．故选C．
【名师点睛】本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了．
13. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：D
分析：把复数的分母部分进行实数化即可，，化简后即可得到对应点，进而得到答案．
【解析】由题可得，则在复平面内对应的点为，位于第四象限．故选D．
14．(多选)已知复数z满足z(2－i)＝i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为eq \x\t(z)，则( )
A．|z|＝eq \f(3,5) B.eq \x\t(z)＝－eq \f(1＋2i,5)
C．复数z的实部为－1 D．复数z对应复平面上的点在第二象限
答案：BD
【解析】因为复数z满足z(2－i)＝i，所以z＝eq \f(i,2－i)＝eq \f(i2＋i,2－i2＋i)＝－eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i，所以|z|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2)＝eq \f(\r(5),5)，故A错误；eq \x\t(z)＝－eq \f(1,5)－eq \f(2,5)i，故B正确；复数z的实部为－eq \f(1,5)，故C错误；复数z对应复平面上的点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(2,5)))在第二象限，故D正确．
15、（多选题）若复数，其中为虚数单位，则下列结论不正确的是（ ）
A．的虚部为B．
C．的共轭复数为D．为纯虚数
答案：ABC
分析：根据复数的除法运算，求得，再结合复数的基本概念，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，复数，可得的虚部为，所以错误；由，所以错误；由共轭复数的概念，可得，所以错误；由，可得为纯虚数，所以正确，
16．已知复数是实数，复数是纯虚数，则实数的值为______
答案：
分析：
先根据复数是实数求出，再根据复数是纯虚数求出的值.
【详解】由题得，因为复数是实数，
所以.所以，因为复数是纯虚数，
所以.
17．若复数满足，则_______________；
答案：
分析：设出，代入，求出，根据得到结论
【详解】解设，代入得：，
根据复数相等定义得：，解得解得：，故
18、设是虚数单位，复数在复平面内对应的点在直线上，则实数的值为_______.
答案：-1
分析：根据复数的运算得，得到复数在复平面内对应的点为，代入直线的方程，即可求解．
【详解】由题意，复数，所以复数在复平面内对应的点为，则，解得．
19．已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.
答案：eq \r(2)
【解析】z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i
＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x－5y＝5，,－3x＋4y＝－3，))解得x＝1，y＝0，
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，所以|z1＋z2|＝eq \r(2).
20．设，满足，且是纯虚数，则_______.
答案：
分析：设出复数，代入题中条件进行化简，即可求出．
【详解】设,
则
,则，解得：或，
又是纯虚数， ，解得，
代入，求出，复数。
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复数的模
向量eq \(OZ,\s\up7(―→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，
即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)
复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
实轴、虚轴
在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数的几何表示
复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 平面向量eq \(OZ,\s\up7(―→))
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