高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题38排列组合与古典概型【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题38排列组合与古典概型【原卷版+解析】，共34页。

【热点聚焦】
近几年的高考试题，计数原理常与古典概型综合考查.排列组合、古典概型问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．对排列组合除了独立考查外，也常与古典概型综合考查，也有在解答题中与古典概型等概率计算相结合进行考查的情况．另外，古典概型与统计、与数学文化、与时代气息等综合考查成为一种趋势.
【重点知识回眸】
（一）基础知识
1．两个计数原理
2.排列、组合的定义
3.排列数、组合数的定义、公式、性质
（二）处理排列组合问题的策略与原则：
1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素.
例如：用组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？
2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可.
3、先取再排（先分组再排列）：排列数是指从个元素中取出个元素，再将这个元素进行排列.但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列.
（三）排列组合的常见模型
1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.
2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序
注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边
（2）要从题目中判断是否需要各自排序
3、错位排列：排列好的个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这个元素的一个错位排列.例如对于，则是其中一个错位排列.3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9种，5个元素的错位排列有44种.以上三种情况可作为结论记住
4、依次插空：如果在个元素的排列中有个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这个元素排好位置，再将个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空）
5、不同元素分组：将个不同元素放入个不同的盒中
6、相同元素分组：将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种.解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子.
7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可.
（四）古典概型
1. 随机事件的概率
（1）事件的相关概念
（2）频率与概率的关系
在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率f n(A)＝eq \f (nA,n)会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
（3）事件的关系与运算
（4）概率的基本性质
= 1 \* GB3 ①任何事件A的概率都在[0,1]内，即0≤P(A)≤1，不可能事件的概率为0，必然事件Ω的概率为1.
= 2 \* GB3 ②如果事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
= 3 \* GB3 ③事件A与它的对立事件eq \x\t(A)的概率满足P(A)＋P(eq \x\t(A))＝1.
= 4 \* GB3 ④结论：
如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
3．古典概型的特点
4．古典概型的概率计算公式
P(A)＝eq \f (A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).
【典型考题解析】
热点一 两个计数原理的综合应用
【典例1】(2023·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【典例2】（2023·全国·高考真题（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤iA．5B．8C．10D．15
【典例3】(2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（ ）
A．18B．16C．14D．10
【典例4】(2023·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（ ）种
A．36 B．48 C．54 D．72
【总结提升】
1.基本步骤：
2.特别提醒
(1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步：分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事件完成．
(2)较复杂的问题可借助图表来完成．
(3)对于涂色问题：分清元素的数目以及在不相邻的区域内是否可以使用同类元素．
热点二 排列问题
【典例5】(2023·四川·高考真题（理））用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）
A．24B．48
C．60D．72
【典例6】(2023·湖北·高三开学考试）将语文､数学､英语､物理､化学､生物六本书排成一排，其中语文､数学相邻，且物理､化学不相邻，则不同的排法共有种___________.（用数字作答）
【典例7】3名女生和5名男生排成一排．
(1)若女生全排在一起，有多少种排法？
(2)若女生都不相邻，有多少种排法？
(3)若女生不站两端，有多少种排法？
(4)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？
(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？
【规律方法】
求解排列应用问题的六种基本方法
热点三 组合问题
【典例8】（2023·海南·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种B．90种
C．60种D．30种
【典例9】(2023·全国·高考真题（理））如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24B．18C．12D．9
【典例10】(2023·全国·高考真题（理））从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
【规律方法】
组合问题的常见类型与处理方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
热点四 排列组合综合问题
【典例11】（2023·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
【典例12】（2023·山东·高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12B．120C．1440D．17280
【典例13】某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生当选；
(2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)至多有两名女生当选．
【规律方法】
求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
热点五 分组、分配问题
【典例14】（2023·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种B．3种C．6种D．8种
【典例15】(2023·甘肃白银·高三开学考试（理））6名志愿者要到，，三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社区，则不同的安排方法共有（ ）
A．105种B．144种C．150种D．210种
【典例16】（2023·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
【规律方法】
分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
热点六 古典概型
【典例17】(2023·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
【典例18】（2023·全国·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
【典例19】（2023·全国·高考真题（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）
A．B．C．D．
【典例20】(2023·全国·高考真题（文））从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
【规律方法】
用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)．解题的关键如下：
①定型，即根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型．
②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数．
③求值，代入公式P(A)求值．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·福建·高三阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（ ）
A．120种B．150种C．210种D．216种
2．(2023·全国·高三专题练习）核糖核酸RNA是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体．参与形成RNA的碱基有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·山西·高三阶段练习）从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是合数的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·重庆·高三阶段练习）用1，2，3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A．600个B．540个C．480个D．420个
5．(2023·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））春节是中华民族的传统节日，人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满30元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．(2023·安徽·高三开学考试）如图， “天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女) 在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人， 且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为（ ）
A．14B．18C．30D．36
7．(2023·内蒙古包头·高三开学考试（文））从2名女同学和3名男同学中任选2人参加志愿者服务，则选中的2人恰好是男女同学各1名的概率为（ ）
A．0.4B．0.3C．0.6D．0.5
8．(2023·河南安阳·高三开学考试（文））某学校开展劳动实习，将两名男生和两名女生分配到两个农场，每个农场需要两人，则两名女生被分配到不同农场的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．(2023·重庆八中高三开学考试）用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为（ ）
A．6B．10C．16D．20
10．（2023·上海市行知中学高三开学考试）定义域为集合上的函数满足：①、、构成等比数列；②；③；这样的不同函数的个数为（ ）
A．456B．465C．546D．564
二、多选题
11．(2023·吉林·东北师大附中高三开学考试）某学生在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为
三、填空题
12．(2023·云南师大附中高三阶段练习）普罗斯数是具有如下形式的数：，其中是奇数，是正整数，且.如就是一个普罗斯数.普罗斯数是以数学家法兰西斯-普罗斯的名字命名的，结合普罗斯定理可以用来判断普罗斯数是否为素数.现从30以内的6个普罗斯数中任取两个，这两个数都是素数的概率为___________.
13．(2023·河南·高三阶段练习（理））从2名医生、4名护士中选取1名医生、2名护士支援一线抗疫，护士甲恰被选中的概率为______．
14．(2023·安徽蚌埠·一模）柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，则取出的鞋子是一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的概率是___________.
15．(2023·全国·高考真题（理））从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
四、解答题
16．(2023·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））高三毕业时，甲乙丙丁四名同学找班主任老师站成一排拍照.
(1)若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？
(2)若最左端只能站甲或乙，且最右端不能站甲，则共有多少种不同的排法？
(3)求班主任老师必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻的排法？
17．(2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？
(1)分成1本、2本、3本三组；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
18．(2023·全国·高三专题练习）现有7位同学（分别编号为）排成一排拍照，若其中三人互不相邻，，两人也不相邻，而，两人必须相邻，求不同的排法总数．分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条件
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法
结论
完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法
完成这件事共有N＝mn种不同的方法
排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合的定义
合成一组
名称
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等事件
若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等
A＝B
并(和)事件
若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交(积)事件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅且A∪B＝U
(U为全集)
专题排列组合与古典概型
【热点聚焦】
近几年的高考试题，计数原理常与古典概型综合考查.排列组合、古典概型问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．对排列组合除了独立考查外，也常与古典概型综合考查，也有在解答题中与古典概型等概率计算相结合进行考查的情况．另外，古典概型与统计、与数学文化、与时代气息等综合考查成为一种趋势.
【重点知识回眸】
（一）基础知识
1．两个计数原理
2.排列、组合的定义
3.排列数、组合数的定义、公式、性质
（二）处理排列组合问题的策略与原则：
1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素.
例如：用组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？
2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可.
3、先取再排（先分组再排列）：排列数是指从个元素中取出个元素，再将这个元素进行排列.但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列.
（三）排列组合的常见模型
1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.
2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序
注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边
（2）要从题目中判断是否需要各自排序
3、错位排列：排列好的个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这个元素的一个错位排列.例如对于，则是其中一个错位排列.3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9种，5个元素的错位排列有44种.以上三种情况可作为结论记住
4、依次插空：如果在个元素的排列中有个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这个元素排好位置，再将个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空）
5、不同元素分组：将个不同元素放入个不同的盒中
6、相同元素分组：将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种.解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子.
7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可.
（四）古典概型
1. 随机事件的概率
（1）事件的相关概念
（2）频率与概率的关系
在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率f n(A)＝eq \f (nA,n)会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
（3）事件的关系与运算
（4）概率的基本性质
= 1 \* GB3 ①任何事件A的概率都在[0,1]内，即0≤P(A)≤1，不可能事件的概率为0，必然事件Ω的概率为1.
= 2 \* GB3 ②如果事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
= 3 \* GB3 ③事件A与它的对立事件eq \x\t(A)的概率满足P(A)＋P(eq \x\t(A))＝1.
= 4 \* GB3 ④结论：
如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
3．古典概型的特点
4．古典概型的概率计算公式
P(A)＝eq \f (A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).
【典型考题解析】
热点一 两个计数原理的综合应用
【典例1】(2023·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
答案：B
分析：利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
【典例2】（2023·全国·高考真题（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤iA．5B．8C．10D．15
答案：C
分析：根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足
从开始，利用列举法即可解出．
【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：．
∴；；；；．
原位小三和弦满足：．
∴；；；；．
故个数之和为10．
故选：C．
【典例3】(2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（ ）
A．18B．16C．14D．10
答案：C
分析：分M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标和N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标两类讨论求解.
【详解】分两类情况讨论：
第一类，从中取的元素作为横坐标，从中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有（个）；
第二类，从中取的元素作为纵坐标，从中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有（个），
由分类加法计数原理，所以所求个数为．
故选：C
【典例4】(2023·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（ ）种
A．36 B．48 C．54 D．72
答案：D
分析：符合条件的涂色方案可分为两类，第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，再利用分步乘法计数原理分别求出其方法数，相加即可求得结果.
【详解】如图：将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤，则满足条件的涂色方案可分为两类，
第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，
其中区域②，④涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色相同的涂色方案有种方案，即48种方案；
区域②，④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色不相同的涂色方案有种方案，即24种方案；
所以符合条件的涂色方案共有72种，
故选：D.
【总结提升】
1.基本步骤：
2.特别提醒
(1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步：分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事件完成．
(2)较复杂的问题可借助图表来完成．
(3)对于涂色问题：分清元素的数目以及在不相邻的区域内是否可以使用同类元素．
热点二 排列问题
【典例5】(2023·四川·高考真题（理））用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）
A．24B．48
C．60D．72
答案：D
【详解】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.
【典例6】(2023·湖北·高三开学考试）将语文､数学､英语､物理､化学､生物六本书排成一排，其中语文､数学相邻，且物理､化学不相邻，则不同的排法共有种___________.（用数字作答）
答案：144
分析：先利用捆绑法安排语文书、数学书，再用插空法安排物理书､化学书即可求解.
【详解】先利用捆绑法把语文书、数学书看作一个整体，有种；
再把其与英语书、生物书进行全排列，有种；
再用插空法安排物理书､化学书，有种；
所以一共有.
故答案为：144
【典例7】3名女生和5名男生排成一排．
(1)若女生全排在一起，有多少种排法？
(2)若女生都不相邻，有多少种排法？
(3)若女生不站两端，有多少种排法？
(4)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？
(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？
答案：(1) 4320．(2) 14400．(3) 14400．(4) 20160.(5)30960．
【解析】(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有种排法，因此共有·＝4320种不同排法．
(2)(插空法)先排5名男生，有种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有Aeq \\al(3,6)种排法，因此共有＝14400种不同排法．
(3)法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5名男生中选2人排，有Aeq \\al(2,5)种排法，剩余的位置没有特殊要求，有Aeq \\al(6,6)种排法，因此共有＝14400种不同排法．
法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有种排法，其余位置无限制，有种排法，因此共有＝14400种不同排法.
(4)8名学生的所有排列共种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占，因此符合要求的排法种数为＝20160.
(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．
法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有种不同排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有种，其余人全排列，共有种不同排法．
由分类加法计数原理知，共有＋＝30960种不同排法．
法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有种排法，余下7个位置全排，有种排法，但应剔除乙在最右边时的排法Aeq \\al(1,6)·Aeq \\al(6,6)种，因此共有－＝30960种排法．
法三(间接法)：8名学生全排列，共种，其中，不符合条件的有甲在最左边时，有种排法，乙在最右边时，有种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有种排法．因此共有－2＋＝30960种排法．
【规律方法】
求解排列应用问题的六种基本方法
热点三 组合问题
【典例8】（2023·海南·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种B．90种
C．60种D．30种
答案：C
分析：分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C
【典例9】(2023·全国·高考真题（理））如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24B．18C．12D．9
答案：B
【详解】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法．
同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．
故选B．
【典例10】(2023·全国·高考真题（理））从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
答案：
分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从人中任选人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.
【详解】根据题意，没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，
故至少有位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是.
【规律方法】
组合问题的常见类型与处理方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
热点四 排列组合综合问题
【典例11】（2023·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
答案：C
分析：先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
【典例12】（2023·山东·高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12B．120C．1440D．17280
答案：C
分析：首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有种不同安排方法.
【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.
所以共有种不同安排方法.
故选：C
【典例13】某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生当选；
(2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)至多有两名女生当选．
答案：(1) 350种．(2) 165种．(3) 825(种))．(4) 966种．
【解析】(1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选．故共有＝350种．
(2)两队长当选，共有＝165种．
(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选．故共有＋＝825种．(或采用排除法：＝825(种))．
(4)至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．故选法共有＝966种．
【规律方法】
求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
热点五 分组、分配问题
【典例14】（2023·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种B．3种C．6种D．8种
答案：C
分析：首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.
【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法
所以，不同的安排方法共有种
故选：C
【典例15】(2023·甘肃白银·高三开学考试（理））6名志愿者要到，，三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社区，则不同的安排方法共有（ ）
A．105种B．144种C．150种D．210种
答案：D
分析：先安排2名志愿者到A社区，再考虑剩余的4名志愿者，分为两组，可以平均分，可以一组1人，一组3人，再对两组进行分配，从而求出最终答案.
【详解】先选出2名志愿者安排到A社区，有种方法，
再把剩下的4名志愿者分成两组，有两种分法，一种是平均分为两组，有种分法，
另一种是1组1人，另一组3人，有种分法，再分配到其他两个社区，
则不同的安排方法共有种.
故选：D
【典例16】（2023·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
答案：
分析：根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.
【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
【规律方法】
分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
热点六 古典概型
【典例17】(2023·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
故所求概率.
故选：D.
【典例18】（2023·全国·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
答案：C
分析：利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
【典例19】（2023·全国·高考真题（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．
【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．
【典例20】(2023·全国·高考真题（文））从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
答案：##0.3
分析：根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.
故答案为：.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
【规律方法】
用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)．解题的关键如下：
①定型，即根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型．
②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数．
③求值，代入公式P(A)求值．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·福建·高三阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（ ）
A．120种B．150种C．210种D．216种
答案：C
分析：用甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加的方法数，减去3名学生所选活动课程全部相同的方法数，从而求得正确答案.
【详解】依题意，每名同学都有种选择方法，
所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有种.
故选：C
2．(2023·全国·高三专题练习）核糖核酸RNA是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体．参与形成RNA的碱基有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据分步乘法计数原理进行计算即可.
【详解】每个碱基有4种可能，根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA分子的种数为．故A，C，D错误.
故选：B.
3．(2023·山西·高三阶段练习）从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是合数的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据至少一个合数分两类考虑：只有一个合数和两个都是合数，即可根据组合进行求解.
【详解】区间内的整数共有9个，则合数有4，6，8，9，10，故至少有一个是合数的概率为
故选：B
4．(2023·重庆·高三阶段练习）用1，2，3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A．600个B．540个C．480个D．420个
答案：A
分析：依题意要使各位数字之和为奇数则可能是个奇数个偶数，或个偶数个奇数，分两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得.
【详解】解：依题意要使各位数字之和为奇数则可能是个奇数个偶数，或个偶数个奇数，
若为个奇数个偶数，则偶数一定排在个位，从个偶数中选一个排在个位有种，
再在个奇数中选出个排在其余三个数位，有种排法，故有个数字；
若为个偶数个奇数，则奇数不排在个位，从个奇数中选一个排在前三位有种，
再在个偶数中选出个排在其余三个数位，有种排法，故有个数字；
综上可得一共有个数字；
故选：A
5．(2023·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））春节是中华民族的传统节日，人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满30元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
分析：根据古典概型，利用排列，可求概率.
【详解】三人领取礼品共包含种，他们三人领取的礼品种类都不相同，包含种情况，所以他们三人领取的礼品种类都不相同的概率.
故选：A
6．(2023·安徽·高三开学考试）如图， “天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女) 在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人， 且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为（ ）
A．14B．18C．30D．36
答案：B
分析：先求出总的安排方案数，再求出两名女航天员在一个舱内的方案数，两者相减即可.
【详解】将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为
其中两名女航天员在一个舱内的方案数为
所以满足条件的方案数为种.
故选:B.
7．(2023·内蒙古包头·高三开学考试（文））从2名女同学和3名男同学中任选2人参加志愿者服务，则选中的2人恰好是男女同学各1名的概率为（ ）
A．0.4B．0.3C．0.6D．0.5
答案：C
分析：选中的2人恰好是男女同学各1名的数量为，则所求概率为
【详解】由题，选中的2人恰好是男女同学各1名的概率为.
故选：C
8．(2023·河南安阳·高三开学考试（文））某学校开展劳动实习，将两名男生和两名女生分配到两个农场，每个农场需要两人，则两名女生被分配到不同农场的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：由分组分配的方法可确定总体的分配方法数和女生分配到不同农场的方法数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】将两名男生和两名女生分配到两个农场，每个农场需要两人，共有种分配方法；
其中两名女生被分配到不同农场的情况有种；
所求概率.
故选：A.
9．(2023·重庆八中高三开学考试）用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为（ ）
A．6B．10C．16D．20
答案：B
分析：根据题意，分情况讨论，求出每种情况对应的染色方法种数，即可得出结果
【详解】解：依题意，第一个格子必须为黑色，则出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子包含的情况有：
①全染黑色，有 1 种方法；
②第一个格子染黑色，另外四个格子中有1个格染白色，剩余的都染黑色，有种方法；
③第一个格子染黑色，另外四个格子中有2个格染白色，剩余的都染黑色，有种方法；
所以出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法有种，
故选：B
10．（2023·上海市行知中学高三开学考试）定义域为集合上的函数满足：①、、构成等比数列；②；③；这样的不同函数的个数为（ ）
A．456B．465C．546D．564
答案：C
分析：分析出的所有可能取值，得到使中、、构成等比数列时对应的项，再运用计数原理及排列组合求出这样的不同函数的个数即可.
【详解】解：的取值的最大值为，最小值为，并且成以2为公差的等差数列，
故的取值为8，6，4，2，0，，，，
的取值为14，12，10，8，6，4，2，0，，，，，，，
所以能使中的、、成等比数列时，
、、的取值只有两种情况：
①、、；②、、．
，或，
即得到后项时，把前项加1或者把前项减1，
（1）当、、时，想要构造满足条件的等比数列分为两步，
第一步：从变化到，第二步：从变化到．
从变化到时有7次变化，函数值从1变化到2，
故应从7次中选择4步加1，剩余的3步减1．对应的方法数为种，
从变化到时有6次变化，函数值从2变化到4，
故应从6次变化中选择4步加1，剩余2步减1，对应的方法数为种．
共有种方法；
（2）当、、时，想要构造满足条件的等比数列分为两步，
第一步，变化到，第二步：从变化到，
从变化到时有7次变化，函数值从1变化到，
故应从7次中选择2步加1，剩余的5步减1，对应的方法数为种，
从变化到时有6次变化，函数值从变化到4，
故应从6次变化中选择6步加1，对应的方法数为种，
共有种方法．
综上，满足条件的共有种.
故选：C．
二、多选题
11．(2023·吉林·东北师大附中高三开学考试）某学生在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为
答案：ABC
分析：根据组合数判断A，分物理和化学选一门与选两门两种情况，即可判断B，利用间接法即可判断C，分3种情况，分别讨论计算，即可判断D.
【详解】解：对于A．若任意选择三门课程，选法总数为种，可判断A正确；
对于B．若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，
若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法
由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B正确；
对于C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；
对于D．若物理和化学至少选一门，有3种情况，
①只选物理有且物理和历史不同时选，有种选法；
②选化学，不选物理，有种选法；
③物理与化学都选，有种选法，
故总数为种，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题
12．(2023·云南师大附中高三阶段练习）普罗斯数是具有如下形式的数：，其中是奇数，是正整数，且.如就是一个普罗斯数.普罗斯数是以数学家法兰西斯-普罗斯的名字命名的，结合普罗斯定理可以用来判断普罗斯数是否为素数.现从30以内的6个普罗斯数中任取两个，这两个数都是素数的概率为___________.
答案：##0.4
分析：根据题意，写出30以内的普洛斯数，共6个，其中找去素数，共4个，由古典概型概率公式，可得答案.
【详解】易知30以内的6个普罗斯数分别为3，5，9，13，17，25（），
其中素数有4个，从中任取两个，由古典概型可知，这两个都是素数的概率为.
故答案为：.
13．(2023·河南·高三阶段练习（理））从2名医生、4名护士中选取1名医生、2名护士支援一线抗疫，护士甲恰被选中的概率为______．
答案：##0.5
分析：利用组合数计算不同取法总数、护士甲被选中的取法数，由古典概型求解即可.
【详解】任选1名医生、2名护士共有种不同的取法，
其中护士甲恰被选中共有种不同的取法，
故护士甲恰被选中的概率，
故答案为：
14．(2023·安徽蚌埠·一模）柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，则取出的鞋子是一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的概率是___________.
答案：##
分析：求出取出的鞋一只是左脚的, 一只是右脚的, 且不成对的取法, 再求柜子里有3双不同的鞋, 随机取出2只的取法, 然后利用古典概型概率计算公式求解.
【详解】由题意, 可以先选出左脚的一只有种选法, 然后从剩下两双的右脚中选出一只有 种选法,所以一共6种取法,
又因为柜子里有3双不同的鞋, 随机取出2只, 共有种取法,
故.
故答案为: .
15．(2023·全国·高考真题（理））从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
答案：.
分析：根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．
故答案为：．
四、解答题
16．(2023·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））高三毕业时，甲乙丙丁四名同学找班主任老师站成一排拍照.
(1)若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？
(2)若最左端只能站甲或乙，且最右端不能站甲，则共有多少种不同的排法？
(3)求班主任老师必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻的排法？
答案：(1)48；
(2)42；
(3)16.
分析：（1）运用捆绑法进行求解即可；
（2）运用分类计数原理，结合排列的定义进行求解即可；
（3）先对乙、丙进行排列，再对剩下二个同学进行排列即可.
（1）
甲乙站一起共有不同的排法数为；
（2）
当最左端站甲时，不同的排法数为，
当最左端站乙时，因为最右端不能站甲，所以不同的排法数为，
因此最左端只能站甲或乙，且最右端不能站甲，共有不同的排法数为；
（3）
因为班主任老师必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，
所以乙、丙两位同学在教师的两侧，因此不同的排法数为.
17．(2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？
(1)分成1本、2本、3本三组；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
答案：(1)60
(2)360
分析：（1）根据分步计数原理求解即可；
（2）在（1）的情况下，将分好的三组分别给甲、乙、丙三人求解即可.
（1）
根据分步计算原理可知，共有种方法；
（2）
由（1）可知：分成1本、2本、3本三组，共有60种方法，
再分给甲、乙、丙三人，所以有种方法；
18．(2023·全国·高三专题练习）现有7位同学（分别编号为）排成一排拍照，若其中三人互不相邻，，两人也不相邻，而，两人必须相邻，求不同的排法总数．
答案：种
分析：先排 ,由种， 相邻捆绑看整体有，再分两类情况讨论，根据乘法和加法原理即可求解.
【详解】因两人必须相邻，所以把看作一个整体有种排法.
又三人互不相邻，两人也不相邻，所以把排列，有种排法，产生了4个空位，再用插空法.
（1）当分别插入到中间的两个空位时，有种排法，再把整体插入到此时产生的6个空位中，有6种排法.
（2）当分别插入到中间的两个空位其中一个和两端空位其中一个时，有种排法，此时必须排在中间的两个空位的另一个空位，有1种排法.
所以共有.
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条件
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法
结论
完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法
完成这件事共有N＝mn种不同的方法
排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合的定义
合成一组
名称
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等事件
若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等
A＝B
并(和)事件
若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交(积)事件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅且A∪B＝U
(U为全集)