高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题36圆锥曲线的定点、定值、定直线【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题36圆锥曲线的定点、定值、定直线【原卷版+解析】，共38页。

【热点聚焦】
纵观近几年的高考试题，圆锥曲线的定点、定值、定直线问题是热点之一.从命题的类型看，主要是大题.一般说来，考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题，综合性较强，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长、面积、参数、几何量为定值，或定点在某直线上、定直线过某点等.难度往往大些.
【重点知识回眸】
定值问题
1.定义：定值问题是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.
2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
3.常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.
4.定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
（二）定点问题
1.求解圆锥曲线中的定点问题的两种思路：
(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.
(2)直接推理法：
①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf (x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；
②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组；
③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，则可以特殊解决.
2. 求解圆锥曲线中的定点问题的方法
（1）确定题目中的核心变量（此处设为）
（2）利用条件找到与过定点的曲线 的联系，得到有关与的等式
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于与的等式进行变形，直至易于找到.常见的变形方向如下：
① 若等式的形式为整式，则考虑将含的项归在一组，变形为“”的形式，从而只需要先让括号内的部分为零即可
② 若等式为含的分式， 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）
3.一些技巧与注意事项：
（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.
（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线，就应该能够意识到，进而直线绕定点旋转.
（三）定直线问题
探求圆锥曲线中的定直线问题的两种方法：
方法一是参数法，即先利用题设条件探求出动点T的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点T在定直线上；
方法二是相关点法，即先设出动点T的坐标为(x，y)，根据题设条件得到已知曲线上的动点R的坐标，再将动点R的坐标代入已知的曲线方程，即得动点T在定直线上．
【典型考题解析】
热点一 定值问题
【典例1】(2023·北京·高考真题（理））已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．
【典例2】（江西·高考真题（文））如图，已知抛物线，过点任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）.
(1)证明：动点在定直线上；
(2)作的任意一条切线（不含轴）与直线相交于点，与（1）中的定直线相交于点，证明：为定值，并求此定值.
【典例3】（四川·高考真题（理））已知抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与抛物线交于，两点，在轴的上方，且点的横坐标为4.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设点为抛物线上异于，的点，直线与分别交抛物线的准线于，两点，轴与准线的交点为，求证：为定值，并求出定值.
热点二 定点问题
【典例4】(2023·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【典例5】（2023·全国·高考真题（理））已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【典例6】（2023·北京·高考真题（理））已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
【总结提升】
动直线l过定点问题的常见思路
设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
热点三 定直线问题
【典例7】（安徽·高考真题（理））设椭圆的焦点在轴上
（Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上.
【典例8】(2023·山西·高三阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点，若的内切圆的半径与外接圆的半径的比是．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的左焦点作弦，，这两条弦的中点分别为，，若，证明：直线过定点．
【典例9】(2023·湖南·高三开学考试）设是双曲线的左､右两个焦点，为坐标原点，若点在双曲线的右支上，且的面积为3.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若双曲线的两顶点分别为，过点的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.
【精选精练】
解答题
1．（2023·北京·高考真题（文））已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
2．(2023·安徽蚌埠·一模）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设，垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线和曲线交于另一点，求证：直线过定点.
3．(2023·广东深圳·高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，右焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若分别是的左､右顶点，过的直线与交于两点（不同于）.记直线的斜率分别为，请问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.
4．(2023·河南·高三阶段练习（理））已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．
5．(2023·全国·高三专题练习）已知动圆M过定点，且在y轴上截得的弦长为4，圆心M的轨迹为曲线L．
(1)求L的方程；
(2)已知点，，P是L上的一个动点，设直线PB，PC与L的另一交点分别为E，F，求证：当P点在L上运动时，直线EF恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．
6．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交于两点，直线与关于轴对称，证明：直线恒过一定点．
7．（2023·河南省信阳市第二高级中学高三开学考试（文））在直角坐标系中，已知定点，定直线，动点M到直线l的距离比动点M到点F的距离大2．记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线？
(2)设在C上，不过点P的动直线与C交于A，B两点，若，证明：直线恒过定点．
8．(2023·北京十四中高三开学考试）椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，．证明：经过线段的中点．（其中为坐标原点）
9．(2023·江苏南通·高三开学考试）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
10．(2023·江西·高三开学考试（理））已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为，C的离心率为．
(1)求C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．
11．(2023·河南焦作·高三开学考试（理））已知椭圆：的右焦点为，圆：，过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和.
(1)求的方程；
(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜率为，证明：为定值.
12.（2023·山东·高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
专题36 圆锥曲线的定点、定值、定直线
【热点聚焦】
纵观近几年的高考试题，圆锥曲线的定点、定值、定直线问题是热点之一.从命题的类型看，主要是大题.一般说来，考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题，综合性较强，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长、面积、参数、几何量为定值，或定点在某直线上、定直线过某点等.难度往往大些.
【重点知识回眸】
定值问题
1.定义：定值问题是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.
2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
3.常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.
4.定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
（二）定点问题
1.求解圆锥曲线中的定点问题的两种思路：
(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.
(2)直接推理法：
①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf (x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；
②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组；
③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，则可以特殊解决.
2. 求解圆锥曲线中的定点问题的方法
（1）确定题目中的核心变量（此处设为）
（2）利用条件找到与过定点的曲线 的联系，得到有关与的等式
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于与的等式进行变形，直至易于找到.常见的变形方向如下：
① 若等式的形式为整式，则考虑将含的项归在一组，变形为“”的形式，从而只需要先让括号内的部分为零即可
② 若等式为含的分式， 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）
3.一些技巧与注意事项：
（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.
（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线，就应该能够意识到，进而直线绕定点旋转.
（三）定直线问题
探求圆锥曲线中的定直线问题的两种方法：
方法一是参数法，即先利用题设条件探求出动点T的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点T在定直线上；
方法二是相关点法，即先设出动点T的坐标为(x，y)，根据题设条件得到已知曲线上的动点R的坐标，再将动点R的坐标代入已知的曲线方程，即得动点T在定直线上．
【典型考题解析】
热点一 定值问题
【典例1】(2023·北京·高考真题（理））已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．
答案：(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）
(2)证明过程见解析
【详解】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论.
详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k<0或0又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．
所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由（I）知，．
直线PA的方程为．
令x=0，得点M的纵坐标为．
同理得点N的纵坐标为．
由，得，．
所以．
所以为定值．
【典例2】（江西·高考真题（文））如图，已知抛物线，过点任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）.
(1)证明：动点在定直线上；
(2)作的任意一条切线（不含轴）与直线相交于点，与（1）中的定直线相交于点，证明：为定值，并求此定值.
答案：（1）详见解析，（2）8.
【详解】试题分析：（1）依题意可设的方程为，代人，得即，设，则有，直线的方程为的方程为，解得交点的坐标，利用，即可求得点在定直线上；（2）依据题意得，切线的方程为，代入得即．由得，分别令得得的坐标为，从而可知为定值．
试题解析：（1）依题意可设的方程为，代人，得，
即，设，则有，
直线的方程为的方程为，解得交点的坐标为，
注意到及，则有，
因此点在定直线上．
（2）依题意,切线的斜率存在且不等于．
设切线的方程为，代人得，即．
由得，化简整理得．故切线的方程可写为．
分别令，得的坐标为，
则，即为定值．
【典例3】（四川·高考真题（理））已知抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与抛物线交于，两点，在轴的上方，且点的横坐标为4.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设点为抛物线上异于，的点，直线与分别交抛物线的准线于，两点，轴与准线的交点为，求证：为定值，并求出定值.
答案：（1）（2）见证明
分析：（1）先由题意得到，，根据的斜率为，求出，即可得出抛物线方程；
（2）先由（1）的结果，得到点坐标，设点，结合题意，求出与，计算其乘积，即可得出结论成立.
【详解】（1）由题意得：，
因为点的横坐标为4，且在轴的上方，
所以，
因为的斜率为，
所以，整理得：，
即，得，
抛物线的方程为：.
（2）由（1）得：，，淮线方程，
直线的方程：，
由解得或，于是得.
设点，又题意且,
所以直线：，令，得，
即，
同理可得：，
.
热点二 定点问题
【典例4】(2023·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
答案：(1)
(2)
分析：（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
（1）
解：设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
（2）
，所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
【典例5】（2023·全国·高考真题（理））已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
答案：（1）；（2）证明详见解析.
分析：（1）由已知可得：， ，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解.
（2）方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证.
【详解】（1）依据题意作出如下图象：
由椭圆方程可得：， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）[方法一]：设而求点法
证明：设，
则直线的方程为：，即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，解得：或
将代入直线可得：
所以点的坐标为.
同理可得：点的坐标为
当时，
直线的方程为：，
整理可得：
整理得：
所以直线过定点．
当时，直线：，直线过点．
故直线CD过定点．
[方法二]【最优解】：数形结合
设，则直线的方程为，即．
同理，可求直线的方程为．
则经过直线和直线的方程可写为．
可化为．④
易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有，代入④式可得．
故，可得或．
其中表示直线，则表示直线．
令，得，即直线恒过点．
【整体点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.
第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.
【典例6】（2023·北京·高考真题（理））已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
答案：(Ⅰ) ，；
(Ⅱ)见解析.
分析：(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；
(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.
【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，
故抛物线方程为：，其准线方程为：.
(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，
设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.
故：.
设，则，
直线的方程为，与联立可得：，同理可得，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，
且：，，
则圆的方程为：，
令整理可得：，解得：，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
【总结提升】
动直线l过定点问题的常见思路
设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
热点三 定直线问题
【典例7】（安徽·高考真题（理））设椭圆的焦点在轴上
（Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上.
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）见解析
【详解】（1）由题意，得，
而，所以
所以椭圆的标准方程为
（2）设，
直线的直线方程为，当时，，
故点坐标，
由题意
得
即
解得
又点在曲线上，，解得
则点在定直线.
【典例8】(2023·山西·高三阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点，若的内切圆的半径与外接圆的半径的比是．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的左焦点作弦，，这两条弦的中点分别为，，若，证明：直线过定点．
答案：(1)；
(2)证明见解析.
分析：（1）由内切圆半径与三角形面积关系、外接圆半径与弦长和弦心距关系列方程组求椭圆参数，即可得椭圆方程；
（2）讨论直线斜率都存在或一条斜率不存在，设直线方程、并联立椭圆，应用韦达定理用表示出，坐标，进而写出直线方程，即可证是否过定点.
（1）
由题设，又，，
若内切圆半径为，则外接圆半径为，
所以，即，
，而，即，
综上，，即，可得，
所以，，则.
（2）
当直线斜率都存在时，令为，联立，
整理得：，且，
所以，则，故，
由，即，故为，联立，
所以，有，则，故，
所以，则为，整理得，
所以过定点；
当一条直线斜率不存在时对应，故即为x轴，也过定点；
综上，直线过定点．
【典例9】(2023·湖南·高三开学考试）设是双曲线的左､右两个焦点，为坐标原点，若点在双曲线的右支上，且的面积为3.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若双曲线的两顶点分别为，过点的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.
答案：(1)
(2)存在，在定直线方程上
分析：（1）由已知条件可得为直角三角形,利用双曲线的定义和勾股定理进行计算可得a,b,c,然后由渐近线公式可得答案.
（2）对直线的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，将直线方程与双曲线方程联立，写出直线和直线的方程，并联立利用韦达定理求解即可.
（1）
由得，且
所以

即解得
又,
故双曲线的渐近线方程为.
（2）
由（1）可知双曲线的方程为.
（i）当直线的斜率不存在时，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得，
（ii）当直线的斜率存在时，易得直线l不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线的方程为，
联立得
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又满足，
.
，
，或，（舍去.
综上，在定直线上，且定直线方程为.
【精选精练】
解答题
1．（2023·北京·高考真题（文））已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
答案：（Ⅰ）；
（Ⅱ）见解析.
分析：(Ⅰ)由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程；
(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点.
【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；
因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.
（Ⅱ）设
联立得，
，，.
直线，令得，即；
同理可得.
因为,所以；
，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.
2．(2023·安徽蚌埠·一模）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设，垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线和曲线交于另一点，求证：直线过定点.
答案：(1)
(2)证明见解析
分析：（1）依题意由距离公式得到方程，整理即可得到动点的轨迹方程；
（2）设，，，直线方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再表示直线的方程，令求出为定值，即可得解.
（1）
解：由题设得，即，
整理得；
（2）
解：设，，，显然直线斜率不为，
设直线方程为，
联立，消去并整理得，
由题设且，化简得且，
由韦达定理可得，，
直线的方程是，
令得
，
所以直线过定点.
3．(2023·广东深圳·高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，右焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若分别是的左､右顶点，过的直线与交于两点（不同于）.记直线的斜率分别为，请问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.
答案：(1)
(2)是定值，定值为
分析：（1）根据点到线的距离公式，结合椭圆基本量的关系求解可得，进而求得双曲线的方程即可；
（2）设直线的方程为，点，点，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理化简即可.
（1）
设的半焦距为，由题意可知，又，
双曲线的一条渐近线方程为，则，
故，所以，所以双曲线的方程为.
（2）
由（1）可知.
设直线的方程为，点，点，则.
由得，
所以.
，
所以.
又，
所以
综上，为定值，且.
4．(2023·河南·高三阶段练习（理））已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．
答案：(1)
(2)证明见解析
分析：（1）依题意可得，从而求出，即可得解；
（2）设，，，依题意可得四边形为平行四边形，从而得到，当直线的斜率不存在时直接求出四边形的面积，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，列出韦达定理，由 ，即可得到，再由弦长公式表示出及原点到直线的距离，从而求出四边形的面积，即可得解.
（1）
解：依题意，又，所以，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）
证明：设，，，因为，所以四边形为平行四边形，
且，所以，即，
又，，所以，
若直线的斜率不存在，与左顶点或右顶点重合，
则，所以，
所以，
若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得，
所以，，，
所以
所以，
整理得，
又，
又原点到的距离，
所以，
将代入得，
所以，
综上可得，四边形的面积为定值.
5．(2023·全国·高三专题练习）已知动圆M过定点，且在y轴上截得的弦长为4，圆心M的轨迹为曲线L．
(1)求L的方程；
(2)已知点，，P是L上的一个动点，设直线PB，PC与L的另一交点分别为E，F，求证：当P点在L上运动时，直线EF恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．
答案：(1)
(2)证明见解析，定点；
分析：（1）设圆心，圆的半径为R，依题意得到方程，整理即可；
（2）设，，，即可得到直线的方程，同理可得直线与直线的方程，再根据直线过点，直线过点，即可消去，从而求出过定点坐标；
（1）
解：设圆心，圆的半径为R，则，整理得．
所以动圆圆心的轨迹方程为．
（2）
证明：抛物线的方程为，设，，，
则直线的方程为，
得，
又，所以直线的方程为．
同理可得直线的方程为，
直线的方程为
因为直线过点，所以；
因为直线过点，所以．
消去，得．
代入的方程，得，
所以直线恒过一个定点．
6．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交于两点，直线与关于轴对称，证明：直线恒过一定点．
答案：(1)；
(2)详见解析.
分析：（1）由题可得，进而可得，即得；
（2）利用韦达定理法，利用斜率互为相反数得与的一次关系即得.
（1）
由，可得，
∴，又离心率为，
∴，，
∴椭圆C的方程为.
（2）
设，
由，可得，
∴，可得，
，
由直线与关于轴对称，
∴，即，
∴，
即，
∴，
可得，
所以直线方程为，恒过定点.
7．（2023·河南省信阳市第二高级中学高三开学考试（文））在直角坐标系中，已知定点，定直线，动点M到直线l的距离比动点M到点F的距离大2．记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线？
(2)设在C上，不过点P的动直线与C交于A，B两点，若，证明：直线恒过定点．
答案：(1)，C是顶点为原点开口向上的抛物线.
(2)见解析.
分析：(1)根据抛物线的定义可知C是顶点为原点开口向上的抛物线，求其标准方程即可；
(2)设直线AB的方程以及A、B的坐标，将直线与抛物线方程联立，运用设而不求得思想找到k与b的关系即可.
（1）
因为动点M到直线l 的距离比到F的距离大2，故M到F的距离与
M到直线的距离相等，所以M的轨迹C是以F为焦点
m为准线的抛物线，因此, C是顶点为原点开口向上的抛物线.
（2）
因为P在C上故，
设，
联立方程 ，可得，
，
，将(2)代入化简得：
或，以上均可满足(1)式，
所以直线方程为：或，
直线分别过定点或，
又，所以直线恒过定点.
8．(2023·北京十四中高三开学考试）椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，．证明：经过线段的中点．（其中为坐标原点）
答案：(1)
(2)证明见解析
分析：（1）由椭圆的焦距为4，及等边三角形的性质和，求得，，即可求椭圆的标准方程；
（2）设，，，的中点为，，设直线的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合三点共线的方法，斜率相等，即可得证．
（1）
解：由题意可得，
短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，可得，即有，
又，
解得，，
所以椭圆方程为；
（2）
证明：设，，，的中点为，，
由，可设直线的方程为，
代入椭圆方程可得，
即有，，
则，
于是，
则直线的斜率，
又，可得，
则，，三点共线，即有经过线段的中点．
9．(2023·江苏南通·高三开学考试）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
答案：(1)
(2)证明见解析
分析：（1）根据条件列出关于a,b的方程，求得a,b的值，即得答案;
（2）设直线方程，，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示P点坐标，结合，可得N点坐标，从而可证明结论.
（1）
由椭圆：的离心率为，短轴长为2，
可知 ，则 ，
故的方程为；
（2）
证明：由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，
设，
联立，可得，
，
则，
所以，
又，所以，
解得，
从而 ，
故，即为定值.
10．(2023·江西·高三开学考试（理））已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为，C的离心率为．
(1)求C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．
答案：(1)；
(2)l恒过定点.
分析：（1）线段RS为通径时最短，再根据的关系即可求解；
（2）联立直线AB的方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出，整理式子即得结果.
（1）
由线段RS长度的最小值为，得，
又，所以，解得
所以C的标准方程为．
（2）
由，
可知PF平分，∴．
设直线AB的方程为，，，
由得，
，即，
∴，，
∴，
∴，∴，
整理得，∴当时，上式恒为0，
即直线l恒过定点．
11．(2023·河南焦作·高三开学考试（理））已知椭圆：的右焦点为，圆：，过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和.
(1)求的方程；
(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜率为，证明：为定值.
答案：(1)
(2)见解析
分析：（1）由已知条件列方程组，结合，解出，可得椭圆的方程；
（2）设，且满足圆的方程，设出过点与椭圆相切的直线方程，与椭圆方程联立，利用得出关于的一元二次方程，由韦达定理得出，进而可求出为定值．
（1）
设椭圆的半焦距为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长分别为，则；过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长分别为，则，又，解得，所以的方程为.
（2）
设，则.①
设过点与椭圆相切的直线方程为，
联立得，
则，
整理得.②
由题意知，为方程②的两根，由根与系数的关系及①可得.
又因为，所以，所以为定值．
12.（2023·山东·高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
答案：（1）；（2）详见解析.
分析：（1）由题意得到关于的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.
（2）方法一：设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置.
【详解】（1）由题意可得：，解得：，
故椭圆方程为：.
(2)［方法一］：通性通法
设点，
若直线斜率存在时，设直线的方程为：，
代入椭圆方程消去并整理得：，
可得，，
因为，所以，即，
根据,代入整理可得：
，
所以，
整理化简得，
因为不在直线上，所以，
故，于是的方程为，
所以直线过定点直线过定点.
当直线的斜率不存在时，可得，
由得：，
得，结合可得：，
解得：或（舍）.
此时直线过点.
令为的中点，即，
若与不重合，则由题设知是的斜边，故，
若与重合，则，故存在点，使得为定值.
［方法二］【最优解】：平移坐标系
将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即．
设，因为则，即．
代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点．
又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．
故存在，使得．
［方法三］：建立曲线系
A点处的切线方程为，即．设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．由题意得．
则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）．
用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）．
即．
对比项、x项及y项系数得
将①代入②③，消去并化简得，即．
故直线的方程为，直线过定点．又，D在以为直径的圆上．中点即为圆心Q．
经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得．
［方法四］：
设．
若直线的斜率不存在，则．
因为，则，即．
由，解得或（舍）．
所以直线的方程为．
若直线的斜率存在，设直线的方程为，则．
令，则．
又，令，则．
因为，所以，
即或．
当时，直线的方程为．所以直线恒过，不合题意；
当时，直线的方程为，所以直线恒过．
综上，直线恒过，所以．
又因为，即，所以点D在以线段为直径的圆上运动．
取线段的中点为，则．
所以存在定点Q，使得为定值．
【整体点评】（2）方法一：设出直线方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点，再根据平面几何知识可知定点即为的中点，该法也是本题的通性通法；
方法二：通过坐标系平移，将原来的O点平移至点A处，设直线的方程为，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出的关系，从而可知直线过定点，从而可知定点即为的中点，该法是本题的最优解；
方法三：设直线，再利用过点的曲线系，根据比较对应项系数可求出的关系，从而求出直线过定点，故可知定点即为的中点；
方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解以及的计算．