高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题18多角度破解多变元范围问题【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题18多角度破解多变元范围问题【原卷版+解析】，共36页。
【热点聚焦】
高考命题中多变元（量）确定范围问题，往往涉及多类知识内容，如不等式、三角、平面向量、平面解析几何等.此类问题，一般地可利用已知条件进行消元，将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得范围（最值），且消元的方法较多.也可以利用基本不等式等，另外，数形结合法也是常见解法.
【重点知识回眸】
一.不等式
1．重要不等式
当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．
2．基本不等式
当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．
3．基本不等式与最值
已知x、y都是正数．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．
4.常用推论
（1）（）
（2）（，）；
（3）
5.简单线性规划
（1）二元一次不等式(组)表示的平面区域
（2）线性规划中的相关概念
（3）画二元一次不等式表示的平面区域的“直线定界，特殊点定域”
①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．
②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．
（4）点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0.
二. 常见消元的方法：
（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点：
① 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）
② 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担.例如选择为主元，且有，则除了满足自身的范围外，还要满足（即解不等式）
（2）换元：常见的换元有两种：
①整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为一元表达式，常见的如等，例如在中，可变形为，设，则将问题转化为求的值域问题
注：在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围
②三角换元：已知条件为关于的二次等式时，可联想到三角公式，从而将的表达式转化为三角函数表达式来求得范围.因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见的三角换元有：
平方和：联想到正余弦平方和等于1，从而有：
推广：
平方差：联想到正割（） 与正切（）的平方差为1，则有，
推广：
注：若有限定范围时，要注意对取值的影响，一般地，若的取值范围仅仅以象限为界，则可用对应象限角的取值刻画的范围
三.消元后一元表达式的范围求法：
（1）函数的值域——通过常见函数，或者利用导数分析函数的单调性，求得函数值域
（2）均值不等式：若表达式可构造出具备使用均值不等式（等）的条件，则可利用均值不等式快速得到最值.
（3）三角函数：
① 形如的形式：则可利用公式转化为的形式解得值域（或最值）
② 形如：则可通过换元将其转化为传统函数进行求解
③ 形如：，可联想到此式为点和定点连线的斜率，其中为单位圆上的点，通过数形结合即可解得分式范围
四.放缩消元法
1、放缩法求最值的理论基础：
不等式的传递性：若，则
2、常见的放缩消元手段：
（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元
（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果
（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果
（4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果.
五.数形结合法
【典型考题解析】
热点一 基本不等式破解多变元范围
【典例1】(2023·山东·高考真题（文））若直线过点，则的最小值为________．
【典例2】（2023·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
【典例3】（2023·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______．
【总结提升】
1. 常数代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值．
2.形如f(x)＝的函数，可化为f(x)＝的形式，再利用基本不等式求解.
热点二 数形结合破解多变元范围
【典例4】（2023·山东·高考真题）已知变量，满足某约束条件，其可行域（阴影部分）如图所示，则目标函数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例5】（江苏·高考真题）已知正数满足：则的取值范围是___．
【典例6】(2023·江苏·高考真题）已知实数满足则的取值范围是 .
【典例7】(2023·全国·高三专题练习）已知函数，若且，则的取值范围为___________.
【技法总结】
1.利用简单线性规划求多变元范围，是常见解法之一；
2.通过“消元”，将多元问题 “一元化”，借助函数图像破解多变元范围问题，要求画图必须准确.
热点三 “消元法”破解多变元范围
【典例8】(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【典例9】已知函数，对任意的，存在，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【典例10】(2023·北京·高考真题（文））已知,,且,则的取值范围是_____.
【典例11】（2023·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
【典例12】（福建·高考真题（理））对于实数a和b，定义运算“*”：
设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________
【典例13】若实数满足条件，则的取值范围是_________
【典例14】设实数满足，则的取值范围是__________
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三阶段练习）若函数在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件则的最大值是（ ）
A．20B．18C．13D．6
3．(2023·北京·高考真题（文））已知A（2,5），B（4,1）.若点P（x,y）在线段AB上，则2x−y的最大值为（ ）
A．−1B．3C．7D．8
4．(2023·全国·高考真题（文））若x，y满足约束条件则的最大值是（ ）
A．B．4C．8D．12
5．（2023·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
A．23B．26C．36D．62
7．(2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知，且满足，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．(2023·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·全国·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
10．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，，实数，满足，则的最大值为______.
11．（2023·全国·高三专题练习）锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若，则的取值范围是__________．
12．（2023·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
13．(2023·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
14．(2023·北京·高考真题（文））若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.
15．(2023·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为___________.
四、解答题
16．（2023·全国·高三专题练习）设函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)任意正实数，当时，试判断与的大小关系并证明
17.（2023·全国·高考真题（文））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
18. （2023·浙江·高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求csA+csB+csC的取值范围．
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
专题18 多角度破解多变元范围问题
【热点聚焦】
高考命题中多变元（量）确定范围问题，往往涉及多类知识内容，如不等式、三角、平面向量、平面解析几何等.此类问题，一般地可利用已知条件进行消元，将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得范围（最值），且消元的方法较多.也可以利用基本不等式等，另外，数形结合法也是常见解法.
【重点知识回眸】
一.不等式
1．重要不等式
当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．
2．基本不等式
当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．
3．基本不等式与最值
已知x、y都是正数．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．
4.常用推论
（1）（）
（2）（，）；
（3）
5.简单线性规划
（1）二元一次不等式(组)表示的平面区域
（2）线性规划中的相关概念
（3）画二元一次不等式表示的平面区域的“直线定界，特殊点定域”
①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．
②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．
（4）点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0.
二. 常见消元的方法：
（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点：
① 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）
② 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担.例如选择为主元，且有，则除了满足自身的范围外，还要满足（即解不等式）
（2）换元：常见的换元有两种：
①整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为一元表达式，常见的如等，例如在中，可变形为，设，则将问题转化为求的值域问题
注：在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围
②三角换元：已知条件为关于的二次等式时，可联想到三角公式，从而将的表达式转化为三角函数表达式来求得范围.因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见的三角换元有：
平方和：联想到正余弦平方和等于1，从而有：
推广：
平方差：联想到正割（） 与正切（）的平方差为1，则有，
推广：
注：若有限定范围时，要注意对取值的影响，一般地，若的取值范围仅仅以象限为界，则可用对应象限角的取值刻画的范围
三.消元后一元表达式的范围求法：
（1）函数的值域——通过常见函数，或者利用导数分析函数的单调性，求得函数值域
（2）均值不等式：若表达式可构造出具备使用均值不等式（等）的条件，则可利用均值不等式快速得到最值.
（3）三角函数：
① 形如的形式：则可利用公式转化为的形式解得值域（或最值）
② 形如：则可通过换元将其转化为传统函数进行求解
③ 形如：，可联想到此式为点和定点连线的斜率，其中为单位圆上的点，通过数形结合即可解得分式范围
四.放缩消元法
1、放缩法求最值的理论基础：
不等式的传递性：若，则
2、常见的放缩消元手段：
（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元
（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果
（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果
（4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果.
五.数形结合法
【典型考题解析】
热点一 基本不等式破解多变元范围
【典例1】(2023·山东·高考真题（文））若直线过点，则的最小值为________．
答案：8
分析：由直线过点，可得，从而有，展开后利用基本不等式可求得其最小值
【详解】解：因为直线过点，所以，
因为
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8
故答案为：8
【典例2】（2023·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
答案：
分析：两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【典例3】（2023·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______．
答案：
分析：根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
【总结提升】
1. 常数代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值．
2.形如f(x)＝的函数，可化为f(x)＝的形式，再利用基本不等式求解.
热点二 数形结合破解多变元范围
【典例4】（2023·山东·高考真题）已知变量，满足某约束条件，其可行域（阴影部分）如图所示，则目标函数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最大值和最小值，从而得范围．
【详解】如图，作出直线，向上平移直线，最先过可行域中的点，此时，最后过可行域中的点，此时，
所以的取值范围是．
故选：C．
【典例5】（江苏·高考真题）已知正数满足：则的取值范围是___．
答案：．
【详解】由题意知
作出可行域(如图所示)．
由
得a＝，b＝c.
此时max＝7.
由得a＝，b＝.
此时min＝＝e.所以∈[e,7]．
【典例6】(2023·江苏·高考真题）已知实数满足则的取值范围是 .
答案：
【详解】画出不等式组表示的平面区域，
由图可知原点到直线距离的平方为的最小值，为，原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为，因此的取值范围为
【典例7】(2023·全国·高三专题练习）已知函数，若且，则的取值范围为___________.
答案：
分析：作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】画出的图象如图：
∵，且，
∴且，，
∴，即，∴，，
由图象得在上为减函数，
∴，
∴的取值范围是.
故答案为：.
【技法总结】
1.利用简单线性规划求多变元范围，是常见解法之一；
2.通过“消元”，将多元问题 “一元化”，借助函数图像破解多变元范围问题，要求画图必须准确.
热点三 “消元法”破解多变元范围
【典例8】(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
答案：B
分析：根据得，，再换元利用函数的单调性求解.
【详解】解：由双曲线的第二定义可知，，
右支上的点，满足，
由，解得，
在右支上，可得，可得，即，则，
令，，可得
而在，单调递减，，，，
故选：B
【典例9】已知函数，对任意的，存在，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
【解析】由已知，可得：，考虑进行代入消元，但所给等式中无论用哪个字母表示另一个字母，形式都比较复杂不利于求出最值.所以可以考虑引入新变量作为桥梁，分别表示，进而将变为关于的表达式再求最值.
解：令
，设
可得且为增函数

在单调递减，在单调递增
答案：D.
【典例10】(2023·北京·高考真题（文））已知,,且,则的取值范围是_____.
答案：
【详解】试题分析：，所以当时，取最大值1；当 时，取最小值.因此的取值范围为.
【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.
【典例11】（2023·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
答案：
分析：结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
【典例12】（福建·高考真题（理））对于实数a和b，定义运算“*”：
设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________
答案：
【详解】由定义运算“*”可知
即，该函数图像如下：
由，假设
当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，
m的取值范围是，且满足方程，所以
令则，
所以
令
所以，
又在递增的函数，
所以，所以，所以在递减，
则当时，；当时，
所以.
【典例13】若实数满足条件，则的取值范围是_________
答案：
【解析】思路一：考虑所求式子中可变为，所以原式变形为：，可视为关于的二次函数，设，其几何含义为与连线的斜率，则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率，即，则
思路二：本题也可以考虑利用三角换元.设，从而原式转化为：，由可知的范围为
答案：
【典例14】设实数满足，则的取值范围是__________
答案： QUOTE 42
【解析】思路：考虑可用进行表示，进而得到关于的函数，再利用不等式组中天然成立的大小关系确定的范围，再求出函数值域即可
解：
由及（*）可得：，解得：

【点睛】
1.（*）为均值不等式的变形：
；
2.主元变为a.
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三阶段练习）若函数在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：由导数几何意义得，然后由基本不等式得最小值．
【详解】由已知，所以，
，当且仅当时等号成立．
故选：A．
2．(2023·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件则的最大值是（ ）
A．20B．18C．13D．6
答案：B
分析：在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线后可求最大值.
【详解】不等式组对应的可行域如图所示：
当动直线过时有最大值.
由可得，故，
故，
故选：B.
3．(2023·北京·高考真题（文））已知A（2,5），B（4,1）.若点P（x,y）在线段AB上，则2x−y的最大值为（ ）
A．−1B．3C．7D．8
答案：C
【详解】由题意得，线段AB的方程：，，
∴，
当时等号成立，即的最大值为7.
故选：C.
4．(2023·全国·高考真题（文））若x，y满足约束条件则的最大值是（ ）
A．B．4C．8D．12
答案：C
分析：作出可行域，数形结合即可得解.
【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数为，
上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大，
所以.
故选：C.
5．（2023·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
答案：C
分析：本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
A．23B．26C．36D．62
答案：B
分析：解法一：设直线l的方程为：，设P、Q坐标分别为和，联立抛物线方程可得韦达定理，进而根据焦点弦长公式结合基本不等式求解即可；
解法二：根据抛物线的性质，结合基本不等式求解即可
【详解】解法一：设抛物线的方程，则，得，
所以抛物线方程为，焦点，圆，圆心，半径，可得圆心恰好是抛物线的焦点，即直线l过焦点F.
设直线l的方程为：，设P、Q坐标分别为和，
由联立，得，∴，
，∴，，
，当且仅当，即，时取等号.
解法二：，又，
，
当且仅当，即，时等号成立.
故选：B.
7．(2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知，且满足，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：利用指对数互化及对数的运算性质可得，进而可得，然后构造函数，利用函数的单调性即得.
【详解】由，可得，
所以，或，
∴(舍去)，或，即，故A错误；
又，故，
∴，对于函数，
则，函数单调递增，
∴，故D错误；
∵，，
∴，
令，则，
∴函数单调递增，
∴，即，
∴，即，故B正确；
∵，
∴函数单调递增，故函数单调递增，
∴，即，故C错误.
故选：B.
8．(2023·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
二、多选题
9．(2023·全国·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：BC
分析：根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
三、填空题
10．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，，实数，满足，则的最大值为______.
答案：94##214##2.25
分析：依题意可得，再根据函数的定义域求出，的取值范围，则，，根据二次函数的性质计算可得.
【详解】解：∵函数，，实数，满足，
∴，可得，，，又，
∴，则，，
所以当时，，即，时，取得最大值.
故答案为：
11．（2023·全国·高三专题练习）锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若，则的取值范围是__________．
答案：
分析：由正弦定理边化角可得，结合余弦定理可求得，由正弦定理可得的表达式为，结合锐角确定角A的范围，利用三角函数的性质即可求得答案.
【详解】因为，由正弦定理得，
由余弦定理得，而,所以，
因为，由正弦定理知，
所以，
因为在锐角中，有，，得，
所以，此时，
则，
故答案为：
12．（2023·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
答案：4
分析：根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
13．(2023·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
答案： ##
分析：结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.
【详解】由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
14．(2023·北京·高考真题（文））若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.
答案：
分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.
【详解】，
，即，
，
则，
为钝角，，
，故.
故答案为，.
15．(2023·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为___________.
答案：
分析：画出函数的图象，根据对数函数的性质与运算及对称性可得，将转化为关于的代数式，利用换元法，根据的范围结合二次函数的性质即可求解.
【详解】解：∵时，，
∴在上的图象与上的图象关于对称，
不妨设,如图：
可得，.
∴.
∴
，.
令，
则原式化为，其对称轴为，开口向上，
∴在上单调递增.
∴.
∴的取值范围为.
故答案为:.
四、解答题
16．（2023·全国·高三专题练习）设函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)任意正实数，当时，试判断与的大小关系并证明
答案：(1)增区间为，减区间为，
(2)，证明见解析
分析：（1）求导得导函数的表达式，根据导函数的正负，可求的单调区间.
（2）由，换元，构造函数得，分情况讨论最值，进而求解.
(1)
时，，，
令得；令得或
故的单增区间为，单减区间为，
(2)
结论：，证明如下：
设，由 均为正数且得
设，则
①当时，由得即
故单调递减，从而
而，此时成立
②当时，在上单调递减，在上单调递增
故的最小值为
此时只需证，化简后即证
设，
故单调递增，从而有，即证
综上：不等式得证．
17.（2023·全国·高考真题（文））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
答案：(1)见详解；(2) .
分析：(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 讨论的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得的取值范围.
【详解】(1)对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
(2)
若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为.
所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.
若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.
所以，而，所以.即的取值范围是.
综上得的取值范围是.
18. （2023·浙江·高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求csA+csB+csC的取值范围．
答案：（I）；（II）
分析：（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即．
结合余弦定，
∴，
即,
即,
即,
即,
∵为锐角三角形，∴，
∴，
所以，
又B为的一个内角，故．
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故.
（II）
[方法一]：余弦定理基本不等式
因为，并利用余弦定理整理得，
即．
结合，得．
由临界状态（不妨取）可知．
而为锐角三角形，所以．
由余弦定理得，
，代入化简得
故的取值范围是．
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题