高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题20三角函数的图象和性质【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题20三角函数的图象和性质【原卷版+解析】，共39页。

【热点聚焦】
近几年高考对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，重在对基础知识的考查，强调淡化特殊技巧，注重通解通法，突出了对如下函数性质的考查：
（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；
（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；
（3）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期.
（4）函数的零点.
【重点知识回眸】
（一）正弦函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点）：
（5）对称中心（零点）：，其中是对称中心，故也是奇函数
（6）单调增区间：
单调减区间：
（二）余弦函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点）：其中是对称轴，故也是偶函数
（5）对称中心（零点）：
（6）单调增区间： ,单调减区间：
（三）正切函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称中心：
（5）零点：
（6）单调增区间：
注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的的值
（四）的性质：
与正弦函数相比，其图像可以看做是由图像变换得到（轴上方图像不变，下方图像沿轴向上翻折），其性质可根据图像得到：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴：
（5）零点：
（6）单调增区间：,单调减区间：
（五）的性质：
此类函数可视为正弦函数通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得.所涉及的性质及计算方法如下：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求.通常设，其中，则函数变为，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与图像写出所满足的条件，然后将还原为再解出的值（或范围）即可
注：1、余弦函数也可看做的形式，即，所以其性质可通过计算得到.
2、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为，再求其性质
（六）常用结论
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f (1,4)个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(3)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(4)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
【典型考题解析】
热点一 三角函数的定义域
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数f（x）＝的定义域为（ ）
A． (k∈Z)B． (k∈Z)
C． (k∈Z)D． (k∈Z)
【典例2】函数y＝eq \f (1,tan x－1)的定义域为 ．
【总结提升】
三角函数定义域的求法
(1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组)．
(2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图象或三角函数线．
(3)对于函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域可令ωx＋φ≠kπ＋eq \f (π,2)，k∈Z求解．
(4)特别提醒：若定义域中含kπ或2kπ应注明k∈Z.
热点二 三角函数的值域(最值)
【典例4】（山东·高考真题（文））函数的最大值与最小值之和为（ ）
A．B．0C．－1D．
【典例5】（2023·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
【典例6】（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．1B．C．D．3
【规律方法】
求三角函数的值域(最值)的三种类型及解法思路
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
热点三 三角函数的单调性及其应用
【典例7】（2023·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
【典例8】(2023·全国·高考真题（理））已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ）
A．11B．9
C．7D．5
【典例9】(2023·全国·高考真题（文））若在是减函数，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【典例10】(2023·西安模拟)已知ω＞0，函数f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f (π,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．(0,2] B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (1,2)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,2)，\f (3,4))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,2)，\f (5,4)))
【规律方法】
1.三角函数单调区间的求法
(1)将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的形式，若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数．
(2)根据y＝sin x和y＝cs x的单调区间及A的正负，列不等式求解．
2.已知单调区间求参数范围的三种方法
（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解.
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解.
热点四 三角函数的周期性
【典例11】(2023·全国·高考真题（文））函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【典例12】（2023·全国·高考真题（理））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
【典例13】（2023·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
【规律方法】
求三角函数周期的常用方法
(1)公式法求周期
①函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B与f (x)＝Acs(ωx＋φ)＋B的周期为T＝eq \f (2π,|ω|)；
②函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝eq \f (π,|ω|).
(2)对称性求最值
①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于eq \f (T,2)；
②对称中心到对称轴距离的最小值等于eq \f (T,4)；
③两个最大(小)值点之差的最小值等于T.
热点五 三角函数的奇偶性
【典例14】(2023·全国·高考真题（理））函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【典例15】（2023·山东·高三开学考试）已知是奇函数，则的值为______．
【规律方法】
1.三角函数是奇、偶函数的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(2)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
2．若y＝f (ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，y＝0；
若y＝f (ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，y取最大值或最小值．
热点六 三角函数的对称性
【典例16】（全国·高考真题（文））设函数，则（ ）
A．函数在上单调递增，其图象关于直线对称；
B．函数在上单调递增，其图象关于直线对称；
C．函数在上单调递减,其图象关于直线对称；
D．函数在上单调递减,其图象关于直线对称；
【典例17】（2023·全国·高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【总结提升】
求对称轴方程(对称中心坐标)的方法
(1)求f (x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f (x)＝Acs(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f (x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝eq \f (kπ,2)(k∈Z)，求x.
热点七 三角函数图象与性质的综合考查
【典例18】（全国·高考真题（理））设函数=（＞0，＜）的最小正周期为，且=，则（ ）
A．在单调递减B．在单调递减
C．在单调递增D．在单调递增
【典例19】(2023·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【典例20】（浙江·高考真题（文））函数的最小正周期是__________，单调递增区间是__________.
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·全国·高考真题（文））函数的最小正周期为( )
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三阶段练习）函数在上的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·高考真题（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·全国·高考真题（理））设函数f(x)=cs(x+)，则下列结论错误的是
A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x=D．f(x)在(,π)单调递减
高考真题（文））已知函数，则( )
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
9．（2023·全国·高考真题（理））下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是（ ）
A．f(x)=│cs 2x│B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cs│x│D．f(x)= sin│x│
10．(2023·全国·模拟预测（文））已知函数的一个对称中心为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（2023·全国·高考真题（理））设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④B．②③C．①②③D．①③④
二、多选题
12.(2023·湖北武汉·高三开学考试）设函数，若在[0，2π]有且仅有5个零点，则（ ）
A．在（0，2π）有且仅有3个极大值点B．在（0，2π）有且仅有2个极小值点
C．在（0，）单调递增D．的取值范围是[，）
13．（2023·江苏·淮阴中学高三阶段练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．的图像关于y轴对称
B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增
D．的图像关于点对称
三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为__________.
15．(2023·江苏·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．
16.(2023·北京·高考真题（理））设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．
17.（北京·高考真题（理））设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_________.
四、解答题
18.（2023·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
专题20 三角函数的图象和性质
【热点聚焦】
近几年高考对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，重在对基础知识的考查，强调淡化特殊技巧，注重通解通法，突出了对如下函数性质的考查：
（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；
（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；
（3）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期.
（4）函数的零点.
【重点知识回眸】
（一）正弦函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点）：
（5）对称中心（零点）：，其中是对称中心，故也是奇函数
（6）单调增区间：
单调减区间：
（二）余弦函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点）：其中是对称轴，故也是偶函数
（5）对称中心（零点）：
（6）单调增区间： ,单调减区间：
（三）正切函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称中心：
（5）零点：
（6）单调增区间：
注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的的值
（四）的性质：
与正弦函数相比，其图像可以看做是由图像变换得到（轴上方图像不变，下方图像沿轴向上翻折），其性质可根据图像得到：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴：
（5）零点：
（6）单调增区间：,单调减区间：
（五）的性质：
此类函数可视为正弦函数通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得.所涉及的性质及计算方法如下：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求.通常设，其中，则函数变为，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与图像写出所满足的条件，然后将还原为再解出的值（或范围）即可
注：1、余弦函数也可看做的形式，即，所以其性质可通过计算得到.
2、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为，再求其性质
（六）常用结论
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f (1,4)个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(3)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(4)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
【典型考题解析】
热点一 三角函数的定义域
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数f（x）＝的定义域为（ ）
A． (k∈Z)B． (k∈Z)
C． (k∈Z)D． (k∈Z)
答案：B
分析：由题意可得，然后利用正弦函数的性质求解即可
【详解】由题意，得，
，
所以，
解得，
所以函数的定义域为，
故选：B
【典例2】函数y＝eq \f (1,tan x－1)的定义域为 ．
答案：
【解析】要使函数有意义，必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x－1≠0，,x≠\f (π,2)＋kπ，k∈Z，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f (π,4)＋kπ，k∈Z，,x≠\f (π,2)＋kπ，k∈Z.))
故函数的定义域为
【总结提升】
三角函数定义域的求法
(1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组)．
(2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图象或三角函数线．
(3)对于函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域可令ωx＋φ≠kπ＋eq \f (π,2)，k∈Z求解．
(4)特别提醒：若定义域中含kπ或2kπ应注明k∈Z.
热点二 三角函数的值域(最值)
【典例4】（山东·高考真题（文））函数的最大值与最小值之和为（ ）
A．B．0C．－1D．
答案：A
【解析】
故选A
【典例5】（2023·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
答案：D
【解析】
分析：
由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】
由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
【典例6】（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．1B．C．D．3
答案：C
分析：利用换元法，令，则原函数可化为，再根据二次函数的性质可求得其最大值
【详解】，
令，所以，则
，
所以，
所以原函数可化为，，
对称轴为，
所以当时，取得最大值，
所以函数的最大值为，
即的最大值为，
故选：C
【规律方法】
求三角函数的值域(最值)的三种类型及解法思路
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
热点三 三角函数的单调性及其应用
【典例7】（2023·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】
因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【典例8】(2023·全国·高考真题（理））已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ）
A．11B．9
C．7D．5
答案：B
【解析】
分析：
根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．
【详解】
∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，
∴，即，（n∈N）
即ω＝2n+1，（n∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在（，）上单调，则，
即T，解得：ω≤12，
当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；
当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此时f（x）在（，）单调，满足题意；
故ω的最大值为9，
故选B．
【典例9】(2023·全国·高考真题（文））若在是减函数，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】因为，
所以由得
因此，从而的最大值为，故选：A.
【典例10】(2023·西安模拟)已知ω＞0，函数f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f (π,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．(0,2] B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (1,2)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,2)，\f (3,4))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,2)，\f (5,4)))
答案：D
【解析】法一：(反子集法)∵x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))，∴ωx＋eq \f (π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (πω,2)＋\f (π,4)，πω＋\f (π,4))).
∵f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))上单调递减，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f (π,2)ω＋\f (π,4)≥\f (π,2)＋2kπ，k∈Z，,πω＋\f (π,4)≤\f (3π,2)＋2kπ，k∈Z，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ω≥4k＋\f (1,2)，k∈Z，,ω≤2k＋\f (5,4)，k∈Z.))
又ω＞0，k∈Z，
∴k＝0，此时eq \f (1,2)≤ω≤eq \f (5,4)，故选D．
法二：(子集法)由2kπ＋eq \f (π,2)≤ωx＋eq \f (π,4)≤2kπ＋eq \f (3π,2)，得eq \f (2kπ,ω)＋eq \f (π,4ω)≤x≤eq \f (2kπ,ω)＋eq \f (5π,4ω)，k∈Z，
因为f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f (π,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))上单调递减，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f (2kπ,ω)＋\f (π,4ω)≤\f (π,2)，,\f (2kπ,ω)＋\f (5π,4ω)≥π，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ω≥4k＋\f (1,2)，,ω≤2k＋\f (5,4).))因为k∈Z，ω＞0，所以k＝0，
所以eq \f (1,2)≤ω≤eq \f (5,4)，即ω的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,2)，\f (5,4))).故选D．
【规律方法】
1.三角函数单调区间的求法
(1)将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的形式，若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数．
(2)根据y＝sin x和y＝cs x的单调区间及A的正负，列不等式求解．
2.已知单调区间求参数范围的三种方法
（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解.
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解.
热点四 三角函数的周期性
【典例11】(2023·全国·高考真题（文））函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
【详解】
由题意，故选C．
【典例12】（2023·全国·高考真题（理））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】
由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【典例13】（2023·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
答案：C
【解析】
分析：
利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】
由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
【规律方法】
求三角函数周期的常用方法
(1)公式法求周期
①函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B与f (x)＝Acs(ωx＋φ)＋B的周期为T＝eq \f (2π,|ω|)；
②函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝eq \f (π,|ω|).
(2)对称性求最值
①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于eq \f (T,2)；
②对称中心到对称轴距离的最小值等于eq \f (T,4)；
③两个最大(小)值点之差的最小值等于T.
热点五 三角函数的奇偶性
【典例14】(2023·全国·高考真题（理））函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】
令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
【典例15】（2023·山东·高三开学考试）已知是奇函数，则的值为______．
答案：
分析：首先根据奇函数的性质，求得，再代入验证.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，即，解得，经检验当时，

，
不管函数是还是，都是奇函数.
所以.
故答案为：
【规律方法】
1.三角函数是奇、偶函数的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(2)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
2．若y＝f (ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，y＝0；
若y＝f (ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，y取最大值或最小值．
热点六 三角函数的对称性
【典例16】（全国·高考真题（文））设函数，则（ ）
A．函数在上单调递增，其图象关于直线对称；
B．函数在上单调递增，其图象关于直线对称；
C．函数在上单调递减,其图象关于直线对称；
D．函数在上单调递减,其图象关于直线对称；
答案：D
【解析】
，
时，，所以在上单调递减．
令，．所以图像关于直线对称．故D正确．
【典例17】（2023·全国·高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
答案：②③
【解析】
分析：
利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
【总结提升】
求对称轴方程(对称中心坐标)的方法
(1)求f (x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f (x)＝Acs(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f (x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝eq \f (kπ,2)(k∈Z)，求x.
热点七 三角函数图象与性质的综合考查
【典例18】（全国·高考真题（理））设函数=（＞0，＜）的最小正周期为，且=，则（ ）
A．在单调递减B．在单调递减
C．在单调递增D．在单调递增
答案：A
【解析】
分析：
由题意结合三角恒等变换得，由三角函数的性质可得、，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】
由题意，
因为函数的最小正周期为，且=，
所以，且=，解得=2，=，
又，所以=，
所以==，
当时，，故在上单调递减，故A正确，C错误；
当时，，故在上不单调，故B、D错误.
故选：A.
【典例19】(2023·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
答案：
【解析】
分析：
首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】
解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
【典例20】（浙江·高考真题（文））函数的最小正周期是__________，单调递增区间是__________.
答案： ，
【解析】
分析：
直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和单调区间．
【详解】
解：函数f（x）＝sin2x+sinxcsx+1，
则：，
则函数的最小正周期T，
令：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
单点递增区间为：[]（k∈Z），
故答案为π；[]（k∈Z）.
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·全国·高考真题（文））函数的最小正周期为( )
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
【详解】
分析:将函数进行化简即可
详解：由已知得
的最小正周期
故选C.
2．（2023·全国·高三阶段练习）函数在上的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可.
【详解】解：∵，∴在上为偶函数．
又，
∴只有选项C的图象符合．
故选：C．
3．(2023·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】
设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据正弦型函数、余弦型函数的周期性及单调性可判断AB，由正切函数的周期判断C，由正切型函数的性质判断D.
【详解】对于A，的周期为，时，当时，函数不单调，故错误；
对于B，的周期为，时，当时，函数单调递增，故正确；
对于C，的周期为，故错误；
对于D，的周期为，时，当时，函数单调递增，故单调递减，故错误.
故选：B
5．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据题意，结合三角函数，指数函数与对数函数的性质，得到，，，即可求解.
【详解】因为，则，，，
即，，，所以.
故选:D．
6．(2023·全国·高考真题（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】
解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
7．(2023·全国·高考真题（理））设函数f(x)=cs(x+)，则下列结论错误的是
A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x=D．f(x)在(,π)单调递减
答案：D
【解析】
【详解】
f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；
f＝cs＝cs3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；
∵f(x＋π)＝cs＝－cs，∴f＝－cs＝－cs＝0，故C正确；
由于f＝cs＝csπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．
故选D.
8.(2023·全国·高考真题（文））已知函数，则( )
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
答案：B
【解析】
分析：
首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
【详解】
根据题意有，
所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
9．（2023·全国·高考真题（理））下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=│cs 2x│B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cs│x│D．f(x)= sin│x│
答案：A
【解析】
分析：
本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．
【详解】
因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．
10．(2023·全国·模拟预测（文））已知函数的一个对称中心为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
分析：根据题意可得，所以，，由在区间上不单调可得在区间上有解，所以，在区间上有解，最终可得，，取值即可得解.
【详解】由函数的一个对称中心为，
可得，
所以，，
，，
，
由在区间上不单调，
所以在区间上有解，
所以，在区间上有解，
所以，
所以，，
又，所以，
所以，
当时，，
此时的最小正整数为.
故选：B
11．（2023·全国·高考真题（理））设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④B．②③C．①②③D．①③④
答案：D
【解析】
分析：
本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦函数的图像分析得出答案．
【详解】
当时，，
∵f（x）在有且仅有5个零点，
∴，
∴，故④正确，
由，知时，
令时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当时，，
若f（x）在单调递增，
则 ，即 ，
∵，故③正确．
故选D．
二、多选题
12.(2023·湖北武汉·高三开学考试）设函数，若在[0，2π]有且仅有5个零点，则（ ）
A．在（0，2π）有且仅有3个极大值点B．在（0，2π）有且仅有2个极小值点
C．在（0，）单调递增D．的取值范围是[，）
答案：AD
分析：由求得的范围，结合正弦函数性质得的范围，判断D，利用正弦函数的极大值、极小值判断ABC．
【详解】，时，，
在[0，2π]有且仅有5个零点，则，，D正确；
此时，，时，取得极大值，A正确；
，，即时，时，均取得极小值，B错；
时，，，则，因此在上不递增，C错．
故选：AD．
13．（2023·江苏·淮阴中学高三阶段练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．的图像关于y轴对称
B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增
D．的图像关于点对称
答案：AC
分析：对于A，通过判断函数的奇偶性求解，对于BCD，作出函数的图像，利用图像判断.
【详解】由，得，，所以的定义域关于原点对称．又，所以函数为偶函数，其图像关于y轴对称，故A正确．
当时，，作出函数在时的简图，再由的图像关于y轴对称得函数的简图，如图．
根据函数图像知，函数不具有周期性，且在区间上单调递增，函数图像不关于点对称，故B，D错误，C正确．
故选：AC．
三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为__________.
答案：
分析：由二次根式中被开方数非负，结合正弦函数性质可得．
【详解】由题意，，
所以，．
故答案为：．
15．(2023·江苏·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．
答案：.
【解析】
【详解】
分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.
详解：由题意可得，所以，因为，所以
16.(2023·北京·高考真题（理））设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．
答案：
【解析】
分析：
根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值.
【详解】
因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，
所以，
因为，所以当时，取最小值为.
17.（北京·高考真题（理））设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_________.
答案：
【解析】
【详解】
由在区间上具有单调性，
且知，函数的对称中心为，
由知函数的对称轴为直线，
设函数的最小正周期为，
所以，，
即，所以，
解得，故答案为.
四、解答题
18.（2023·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】
（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.