2024年北京市中考数学一模26题汇编(含解析)

这是一份2024年北京市中考数学一模26题汇编(含解析)，共24页。试卷主要包含了在抛物线等内容，欢迎下载使用。

1.（2024平谷一模） 在平面直角坐标系xy中，抛物线．
（1）当抛物线过点（2,0）时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线上存在两点和,若对于都有，求b的取值范围．
2．（2024 石景山一模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．
（1）求t的值（用含m的代数式表示）；
（2）点，，在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由．
3．（2024燕山一模）在平面直角坐标系中，M(m，)，N(m＋2，)是抛物线上两点．设该抛物线的对称轴为．
(1) 若对于m＝1，有＝，求t的值；
(2) 若对于1＜m＜2，都有＜，求t的取值范围．
4．（2024北京汇文中学）（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；
（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．
①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；
②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求出t的取值范围．
5．（2024人大附一模）（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）．
（2）将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点．
①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；
②若对于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范围．
6．（2024北京陈经纶一模）（6分）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．
7．（2024北京四中一模）（本题9分）如图，四边形为正方形，点为延长线上一点，连接，交于点，交于点，连接．
(1)求证：与的外接圆相切；
(2)当时，判断和有怎样的数量关系？并说明理由；
(3)在（2）的条件下，求与的比值．
8. （2024北京西城一模）在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线x=t．
（1）若 ，求t的值；
（2）若当 时，都有 求t的取值范围．
9.（2024北京朝阳一模）在平面直角坐标系中，抛物线 上有两点， 它的对称轴为直线．
（1）若该抛物线经过点，求t的值；
（2）当时，
①若， 则 0； （填“>”“=”或“<” ）
②若对于，都有，求t的取值范围．
10.（2024北京首师大附中一模） 如图，在等边中，点在边上，点在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）点关于直线的对称点为，连接，，
①根据题意将图补全；
②在点运动的过程中，和有什么数量关系并证明．
11．（2024北京顺义一模）在平面直角坐标系xOy中，M，N是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为.
（1）当，，求抛物线的对称轴；
（2）若对于，，都有，求t的取值范围.
12．（2024北京丰台一模）在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上的两点．
（1）直接写出一个a的值，使得成立；
（2）是抛物线上不同于M，N的点，若对于，都有，求a的取值范围．
13. （2024北京大兴一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴为直线．
（1）若，，求的值；
（2）若对于，，都有，求的取值范围．
14. （2024北京房山一模）在平面直角坐标系中，,是抛物线上任意两点.
（1）当时，求抛物线与轴的交点坐标及顶点坐标；
（2）若对于，，都有，求的取值范围．
15.（2024北京门头沟一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线.
（1）如果抛物线经过点，求的值；
（2）如果对于，，都有，求取值范围；
（3）如果对于，，存在，直接写出的取值范围.
16.（2024北京延庆一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（3，m），点B（5，n）在抛物线
上.设抛物线的对称轴为直线.
（1）若m=n，求的值；
（2）点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围.
17．（2024北京人朝分校一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上任意两点．
（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）若x1＝a+1，x2＝a+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，总有y1＜y2，求m的取值范围．
26题答案解析
1.（1）抛物线的对称轴为x=b························································1
∵抛物线过点（0,0）和（2,0）
∴b=1························································2
∴抛物线的解析式为
（2）∵抛物线的对称轴为x=b，
∴（b+2,0）点一定位于对称轴的右侧························································3
情况1：当原点位于对称轴的左侧时
此时，有解得························································4
情况2：当原点位于对称轴的右侧时
此时，有解得 解得························································5
综上，
························································6
2．解：（1）由题意，得，
即． ………………………… 2分
（2）．
理由如下：
令，得．
∴．
∴抛物线与x轴的两个交点为，．
∵抛物线与x轴的一个交点为，其中，
∴．
∵，
∴．
∴，．
设点关于抛物线的对称轴的对称点为．
∵点在抛物线上，
∴点也在抛物线上．
由，得．
∴．
∴．
∵抛物线的解析式为，
∴此抛物线开口向上．
当时，随的增大而增大．
∵点，，在抛物线上，且，
∴． ………………………… 6分
2．解：(1) ∵对于m＝1，有＝，
∴点M(1，)，N(3，)关于直线x＝t对称，
∴t－1＝3－t，
∴t＝2． ……………………………………………2分
(2) ∵a＞0，
∴当x≥t时，y随x增大而增大，当x＜t时，y随x增大而减小．
①当t≤1时，
∵1＜m＜2，
∴3＜m＋2＜4，
∴t＜m＜m＋2，
∴＜，符合题意．
②当1＜t≤2时，
（i）当t≤m＜2时，
∵3＜m＋2＜4，
∴t≤m＜m＋2，
∴＜，符合题意．
（ii）当m＜t≤2时，
设点M(m，)关于x＝t的对称点为M′，则点M′的坐标为(2t－m，)．
∵1＜m＜t≤2，
∴m＜2t－m＜3．
∵3＜m＋2＜4，
∴2t－m＜m＋2，
∴＜，符合题意．
③当2＜t＜3时，令m＝t－1，则m＋2＝t＋1，
∴＝，不符合题意．
④当t≥3时，令m＝，则m＋2＝，
∴＞，不符合题意．
综上所述，t的取值范围是t≤2． …………………………………………6分
3．解：(1) ∵对于m＝1，有＝，
∴点M(1，)，N(3，)关于直线x＝t对称，
∴t－1＝3－t，
∴t＝2． ……………………………………………2分
(2) ∵a＞0，
∴当x≥t时，y随x增大而增大，当x＜t时，y随x增大而减小．
①当t≤1时，
∵1＜m＜2，
∴3＜m＋2＜4，
∴t＜m＜m＋2，
∴＜，符合题意．
②当1＜t≤2时，
（i）当t≤m＜2时，
∵3＜m＋2＜4，
∴t≤m＜m＋2，
∴＜，符合题意．
（ii）当m＜t≤2时，
设点M(m，)关于x＝t的对称点为M′，则点M′的坐标为(2t－m，)．
∵1＜m＜t≤2，
∴m＜2t－m＜3．
∵3＜m＋2＜4，
∴2t－m＜m＋2，
∴＜，符合题意．
③当2＜t＜3时，令m＝t－1，则m＋2＝t＋1，
∴＝，不符合题意．
④当t≥3时，令m＝，则m＋2＝，
∴＞，不符合题意．
综上所述，t的取值范围是t≤2． …………………………………………6分
4．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，
∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t）；
（2）①∵y＝x2﹣3tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，
∴抛物线的对称轴为x＝t，
∵8＞0，
∴抛物线开口向上，
∵t﹣1≤x4≤t+2，
∴当x＝t时，y1的最小值为﹣t，
∵y4的最小值是﹣2，
∴t＝2，
∵|t﹣3﹣t|＝1，|t+2﹣t|＝4，
∴当x＝t+2时，y1最大＝（t+3﹣t）2﹣t＝4﹣t＝2﹣2＝2，
即y4的最大值为2；
②∵点P（x1，y2），Q（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣t）8﹣t上，
∴y1＝（x1﹣t）7﹣t，y2＝（x2﹣t）6﹣t，
∵对于x1，x2，都有y4＜y2，
∴y2﹣y2＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x2﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x5﹣x1）（x2+x2﹣2t）＞0，
∴或，
Ⅰ、当时，
由①知，x5＞x1，
∵t﹣1≤x2≤t+2，x2＝5﹣t，
∴1﹣t＞t+2，
∴t＜﹣，
由②知，x2+x8＞2t，
∵t﹣1≤x3≤t+2，x2＝6﹣t，
∴0≤x2+x8≤3，
∴2t＜2，
∴t＜0，
即t＜﹣；
Ⅱ、当时，
由③知，x2＜x4，
∵t﹣1≤x1≤t+4，x2＝1﹣t，
∴6﹣t＜t﹣1，
∴t＞1，
由④知，x2+x1＜2t，
∵t﹣3≤x1≤t+2，x8＝1﹣t，
∴0≤x3+x1≤3，
∴5t＞3，
∴t＞，
即t＞；
即满足条件的t的取值范围为t＜﹣或t＞．
5．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可；
（2）①由题意可得出二次函数解析式是y＝x2+1，对称轴为y轴，即可画出图形G，如图1，得出图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而增大，即可得出结论；②通过计算可知，P（m﹣2，5），Q（m+2，5）为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两点，下面讨论当m变化时，y轴于点P，Q的相对位置：分三种情形：如图2，当y轴在点P左侧时（含点P），如图3，当y轴在点Q右侧时（含点Q），如图4，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），分别求解即可．
【解答】解：（1）∵该抛物线解析式为y＝x2﹣2mx+m2+1，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）①y1＜y2．
理由：当m＝0时，二次函数解析式是y＝x2+1，对称轴为y轴，
∴图形G大致图象如下，
∴图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而增大．
∵x1＜x2，
∴y1＜y2；
②对于y＝x2﹣2mx+m2+1，令x＝m﹣2，则y＝（m﹣2）2﹣2m（m﹣2）+m2+1＝5，
令x＝m+2，则y＝（m+2）2﹣2m（m+2）+m2+1＝5，
∴该抛物线上两点P（m﹣2，5），Q（m+2，5）为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两点．
分类讨论：如图2，当y轴在点P左侧时（含点P），经翻折后，点P，Q位置不动，
∴y1＝y2，不符题意；
如图3，当y轴在点Q右侧时（含点Q），点P，Q经翻折之后的对应点为点M，N，
∴y1＝y2，不符题意；
如图4，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，
∴y1＞y2，符合题意，
此时有m﹣2＜0＜m+2，即﹣2＜m＜2，
综上所述，m的取值范围为﹣2＜m＜2．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称翻折变换，函数的增减性等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键．
6．【分析】（1）欲证明DB＝DE，只要证明∠DEB＝∠DBE；
（2）作DF⊥AB于F，连接OE．只要证明∠AOE＝∠DEF，可得sin∠DEF＝sin∠AOE＝＝，由此求出AO即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AO＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵BD是切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD＝90°，
∴∠OBE+∠EBD＝90°，
∵EC⊥OA，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵∠CEA＝∠DEB，
∴∠EBD＝∠BED，
∴DB＝DE．
（2）作DF⊥AB于F，连接OE．
∵DB＝DE，AE＝EB＝6，
∴EF＝BE＝3，OE⊥AB，
在Rt△EDF中，DE＝BD＝5，EF＝3，
∴DF＝＝4，
∵∠AOE+∠A＝90°，∠DEF+∠A＝90°，
∴∠AOE＝∠DEF，
∴sin∠DEF＝sin∠AOE＝＝，
∵AE＝6，
∴AO＝．
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、垂径定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．(1)见解析 (2)．理由见解析 (3)
【分析】本题主要考查切线的判定，全等石匠判定与性质，直角三角形的性质等知识：
（1）证明得，由得，取的中点，连接，证明即可得出结论；
（2）证明，得出进一步得出结论；
（3）设，可求出，从而可得结论．
【详解】（1）证明：如图，
四边形为正方形，
，
又，
，
，
取的中点，连接，
则为外接圆的半径，
，
，
，
所以与的外接圆相切．
（2）解：．理由如下：
，
，
而
，
．
（3）解：设，则，
，
由（2）知，
．
8. 【答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）把点的坐标代入解析式求得，然后利用对称轴公式即可求得；
（2）由题意可知点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，分两种情况讨论，得到关于的不等式组，解不等式组从而求得的取值范围．
【小问1详解】
解： 点在抛物线上，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
抛物线开口向上，
当时，随的增大而增大，
当时，都有，
点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，
点，，在抛物线上，
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，
当时，则，解得，
；
当时，则，解得，
综上所述，t的取值范围为．
9. 【答案】（1）
（2）①<，②或
【分析】本题主要考查二次函数的性质，
将点代入抛物线求得，结合对称轴定义即可求得；
①根据题意得抛物线开口向上，且过原点，即可得；
②由已知求得，结合恒成立，则有点在x的同侧即可．
【小问1详解】
解：将点代入得，解得，
∴，
则；
【小问2详解】
①根据题意得抛物线开口向上，且过原点，
∵，，
∴；
②∵， ，
∴，
∵有恒成立，
∴点在x的同侧，
则或．
26. 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，利用轴对称的性质求解是解题关键．
（1）根据等边三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可得出；
（2）①根据题意补全图形即可；②根据轴对称的性质得出，，结合（1）中结论可得，即可证明是等边三角形，可得．
【小问1详解】
解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
①补全图形如图所示：
②，理由如下：
如①中图，连接，
∵点、关于直线对称，
∴，，
由（1）知，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
11．解：（1）
∵抛物线经过（0，c）和（2，c），
∴抛物线对称轴为x=1．…………………………………………………..…………….2分
（2）
∴①当点M在对称轴左侧时，
②当点M对称轴右侧时，
…………………………………………………..…………….6分
12．解：（1）答案不唯一，例如：．
（2）∵二次函数解析式为，∴函数图像开口向上，对称轴为．
①当时，∴点P，M，N均在对称轴右侧．
∴由二次函数性质，必有，不符题意舍去．
②当时，
∵点P在对称轴左侧，设P点关于的对称点为，
则点的坐标为．
∵点，M，N在对称轴右侧，且，
∴．∴．
③当时，
∵点P和M在对称轴左侧，由函数性质，有，
∵点，N在对称轴右侧，且，
∴．∴．
④当时，∴点P，M，N均在对称轴左侧．
∴由二次函数性质，必有，不符题意舍去．
由①②③④可知，．
13. 【答案】（1）
（2）或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质等知识，
（1）将，代入解析式，得出即可得解；
（2）分①当点在对称轴上或对称轴右侧时，②当点在对称轴上或对称轴左侧时两种情况讨论组成不等式组即可得解；
解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【小问1详解】
，，
，
，
，
【小问2详解】
，
抛物线开口向下，
抛物线的对称轴为，，
点在对称轴的右侧，
①当点在对称轴上或对称轴右侧时，
抛物线开口向下，
在对称轴右侧，随的增大而减小．
由，
，
，
解得，
，
②当点在对称轴上或对称轴左侧时，
设抛物线上的点关于的对称点为，
，解得，
，
，
，
在对称轴右侧，随的增大而减小，
由，
，
，
解得，
，
综上所述，的取值范围是或．
14.解：（1）令，则.
当时，.
∴抛物线与轴的交点坐标为；
∵，
当时，抛物线的顶点坐标为.
（2）∵,是抛物线上任意两点，
∴，.
∴.
∵，，
∴，.
∵，，
∴.
即.
∴.
∴.
15．（本小题满分6分）
方案2
解：（1）由题意知，
∴ .
∴. …………………………2分
（2）∵，
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.
点关于对称轴的对称点为……………………3分
= 1 \* GB3 ①当,时，，
= 2 \* GB3 ②当,时，，

综上. ……………………5分
（3）或 ……………………6分
16.（1）解：∵点A（3，m），点B（5，n）在抛物线上，且m=n，抛物线的对称轴为x=t，
……………………2分
∴5-t=t-3.
∴t=4.
（2）∵点A（3，m），点B（5，n），点在抛物线上，
∴，
……………………3分
，
.
∵ ，
∴且.
①当时，有，
∴.
∴.
∴.
∵.
∴.
∴.
……………………4分
∵，
∴.
②当时，有，
∴.
∴.
∵，
∴.
……………………5分
∴.
……………………6分
∴.
综上：.
17．【分析】（1）更近抛物线对称轴公式求出即可；
（2）根据条件点M、N都在对称轴右侧，根据函数增减性进行解答即可；
（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，分析MN中点坐标与对称轴的关系得到不等式，解不等式即可得到m的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的对称轴为：x＝﹣＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）∵a＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；
∴M（x1，y1），N（x2，y2）都在对称轴右侧，
∵当x＞1时，y随x的增大而增大，且x1＜x2，
∴y1＜y2；
（3）∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，
∴＜，
∵y1＜y2，a＞0，
∴M（x1，y1）距离对称轴更近，x1＜x2，则MN的中点在对称轴的右侧，
∴
解得：m．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．