高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.3三角函数的图象与性质(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.3三角函数的图象与性质(知识点讲解)(原卷版+解析)，共31页。

【核心素养】
1.与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养．
2．与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)，凸显数学运算的核心素养．
3．借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．
4.五点作图与函数图象变换、函数性质相结合考查三角函数图象问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
5．将函数图象、性质及函数零点、极值、最值等问题综合考查y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．
【知识点展示】
（一）“五点法”作图
“五点法”作图：先列表，令，求出对应的五个 SKIPIF 1 < 0 的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象.
（二）正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
【特别提醒】
(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y＝tan x无单调递减区间，y＝tan x在整个定义域内不单调．
(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．
（三）常用结论
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f (1,4)个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(3)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(4)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
【常考题型剖析】
题型一：“五点法”做函数的图象
例1. （2023·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
例2．(2023·全国·模拟预测）已知函数，，.若，，且的最小值为，，求解下列问题.
(1)化简的表达式并求的单调递增区间；
(2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求在区间上的最值.
【规律方法】
用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为或的形式；②求出周期；③求出振幅；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．
题型二：三角函数的定义域
例3.(2023·宁夏·银川一中高一期中）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
例 4. 函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为 ．
【总结提升】
三角函数定义域的求法
(1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组)．
(2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图象或三角函数线．
(3)对于函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域可令ωx＋φ≠kπ＋eq \f (π,2)，k∈Z求解．
题型三：三角函数的值域(最值)
例5.(2023·山东·高考真题（文））函数的最大值与最小值之和为（ ）
A．B．0C．－1D．
例6. (2023·安徽·砀山中学高一期中）函数，的值域为______．
例7．(2023·北京·高考真题（文））函数的部分图象如图所示.
（1）写出的最小正周期及图中、的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【总结提升】
求三角函数的值域(最值)的三种类型及解法思路
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
题型四：三角函数的单调性
例8．（2023·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
例9．(2023·全国·高考真题（文））函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
例10.(2023·安徽·高考真题（理））已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例11. (2023·西安模拟)已知ω＞0，函数f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f (π,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．(0,2] B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (1,2)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,2)，\f (3,4))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,2)，\f (5,4)))
【规律方法】
1.三角函数单调区间的求法
(1)将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的形式，若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数．
(2)根据y＝sin x和y＝cs x的单调区间及A的正负，列不等式求解．
2. 已知单调区间求参数范围的三种方法
（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解.
3.比较三角函数值大小.
题型五：三角函数的周期性、奇偶性、对称性
例12.(2023·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
例13. （2023·全国·高考真题（文））函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为
A．B．
C．D．
例14.(2023·四川·高考真题（文））下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
A．B．
C．D．
例15.（2023·全国·高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【规律方法】
1.求三角函数周期的常用方法
(1)公式法求周期
①函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B与f (x)＝Acs(ωx＋φ)＋B的周期为T＝eq \f (2π,|ω|)；
②函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝eq \f (π,|ω|).
(2)对称性求最值
①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于eq \f (T,2)；
②对称中心到对称轴距离的最小值等于eq \f (T,4)；
③两个最大(小)值点之差的最小值等于T.
2.三角函数是奇、偶函数的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(2)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
3．如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：
(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(3)若为奇函数则有.
4.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法
(1)求f (x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f (x)＝Acs(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f (x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝eq \f (kπ,2)(k∈Z)，求x.
题型六：三角函数的解析式
例16．(2023·全国·高考真题（文））函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例17．（2023·全国·高考真题（理））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
【总结提升】
1.由的图象求其函数式：
已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
2. 根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．
题型七：三角函数的零点问题
例18．(2023·浙江·高考真题（理））设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
例19．(2023·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
例20．(2023·全国·高考真题（理））函数在的零点个数为________．
性质
图象
定义域
值域
最值
当时，；当时，．
当时，；当时，．
既无最大值，也无最小值
周期性
奇偶性
,奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在上是增函数；在上是减函数．
在上是增函数；在上是减函数．
在上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.
0
0
3
0
-3
0
专题5.3 三角函数的图象与性质（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养．
2．与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)，凸显数学运算的核心素养．
3．借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．
4.五点作图与函数图象变换、函数性质相结合考查三角函数图象问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
5．将函数图象、性质及函数零点、极值、最值等问题综合考查y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．
【知识点展示】
（一）“五点法”作图
“五点法”作图：先列表，令，求出对应的五个 SKIPIF 1 < 0 的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象.
（二）正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
【特别提醒】
(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y＝tan x无单调递减区间，y＝tan x在整个定义域内不单调．
(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．
（三）常用结论
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f (1,4)个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(3)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(4)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
【常考题型剖析】
题型一：“五点法”做函数的图象
例1. （2023·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
答案：（1），，；（2）最大值是3，最小值是.
【解析】
分析：
（1）利用三角函数五点作图法求解，，的值即可.
（2）首先根据（1）知：，根据题意得到，从而得到函数的最值.
【详解】
（1）由表可知，则，
因为，，所以，解得，即，
因为函数图象过点，则，即，
所以，，解得，，
又因为，所以.
（2）由（1）可知.
因为，所以，
因此，当时，即时，，
当时，即时，.
所以该函数在区间上的最大值是3，最小值是.
例2．(2023·全国·模拟预测）已知函数，，.若，，且的最小值为，，求解下列问题.
(1)化简的表达式并求的单调递增区间；
(2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求在区间上的最值.
答案：(1)，单调递增区间为；
(2)完善表格见解析；图象见解析；最大值为，最小值为.
【解析】
分析：
（1）利用最大值点和零点可确定最小正周期，由此可求得；利用可求得，由此可得解析式；令即可求得单调递增区间；
（2）令，利用五点作图法即可完善表格并得到图象，结合图象可求得最值.
(1)
若，，即是的最大值点，是的零点，且的最小值为，设的最小正周期为，则，即，解得：.
由可得：，即有，
或，又，，
综上所述：；
令，解得：，
的单调递增区间为.
(2)
根据“五点作图法”的要求先完成表格：令.
由图可知：当时，取到最大值；当时，取到最小值.
【规律方法】
用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为或的形式；②求出周期；③求出振幅；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．
题型二：三角函数的定义域
例3.(2023·宁夏·银川一中高一期中）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
利用关于正切型函数的不等式去求函数的定义域
【详解】
由，可得，则
则函数的定义域为
故选：C
例 4. 函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为 ．
答案：
【解析】法一：要使函数有意义，必须使sin x－cs x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cs x的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x＝cs x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
法二：sin x－cs x＝sin（）≥0，将视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋ (k∈Z)，所以定义域为
【点睛】若定义域中含kπ或2kπ应注明k∈Z.
【总结提升】
三角函数定义域的求法
(1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组)．
(2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图象或三角函数线．
(3)对于函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域可令ωx＋φ≠kπ＋eq \f (π,2)，k∈Z求解．
题型三：三角函数的值域(最值)
例5.(2023·山东·高考真题（文））函数的最大值与最小值之和为（ ）
A．B．0C．－1D．
答案：A
【解析】
故选A
例6. (2023·安徽·砀山中学高一期中）函数，的值域为______．
答案：
【解析】
分析：
由的范围求出的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案.
【详解】
因为，所以，
，
则当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
例7．(2023·北京·高考真题（文））函数的部分图象如图所示.
（1）写出的最小正周期及图中、的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
答案：（1），，；（2）最大值0，最小值.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由图可得出该三角函数的周期，从而求出；（2）把看作一个整体，从而求出最大值与最小值.
（1）由题意知：的最小正周期为，令y=3，则，解得，所以，.
（2）因为，所以，于是
当，即时，取得最大值0；
当，即时，取得最小值.
【总结提升】
求三角函数的值域(最值)的三种类型及解法思路
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
题型四：三角函数的单调性
例8．（2023·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】
因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
例9．(2023·全国·高考真题（文））函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
【详解】
由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
例10.(2023·安徽·高考真题（理））已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：A
【解析】
分析：
依题意可求ω＝2，又当x时，函数f（x）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f（x）＝Asin（2x），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．
【详解】
解：依题意得，函数f（x）的周期为π，
∵ω＞0，
∴ω2．
又∵当x时，函数f（x）取得最小值，
∴2φ＝2kπ，k∈Z，可解得：φ＝2kπ，k∈Z，
∴f（x）＝Asin（2x+2kπ）＝Asin（2x）．
∴f（﹣2）＝Asin（﹣4）＝Asin（4+2π）＞0．
f（2）＝Asin（4）＜0，
f（0）＝AsinAsin0，
又∵4+2π，而f（x）＝Asinx在区间（，）是单调递减的，
∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．
故选A．
例11. (2023·西安模拟)已知ω＞0，函数f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f (π,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．(0,2] B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (1,2)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,2)，\f (3,4))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,2)，\f (5,4)))
答案：D
【解析】法一：(反子集法)∵x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))，∴ωx＋eq \f (π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (πω,2)＋\f (π,4)，πω＋\f (π,4))).
∵f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))上单调递减，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f (π,2)ω＋\f (π,4)≥\f (π,2)＋2kπ，k∈Z，,πω＋\f (π,4)≤\f (3π,2)＋2kπ，k∈Z，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ω≥4k＋\f (1,2)，k∈Z，,ω≤2k＋\f (5,4)，k∈Z.))
又ω＞0，k∈Z，
∴k＝0，此时eq \f (1,2)≤ω≤eq \f (5,4)，故选D．
法二：(子集法)由2kπ＋eq \f (π,2)≤ωx＋eq \f (π,4)≤2kπ＋eq \f (3π,2)，得eq \f (2kπ,ω)＋eq \f (π,4ω)≤x≤eq \f (2kπ,ω)＋eq \f (5π,4ω)，k∈Z，
因为f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f (π,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))上单调递减，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f (2kπ,ω)＋\f (π,4ω)≤\f (π,2)，,\f (2kπ,ω)＋\f (5π,4ω)≥π，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ω≥4k＋\f (1,2)，,ω≤2k＋\f (5,4).))因为k∈Z，ω＞0，所以k＝0，
所以eq \f (1,2)≤ω≤eq \f (5,4)，即ω的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,2)，\f (5,4))).故选D．
【规律方法】
1.三角函数单调区间的求法
(1)将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的形式，若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数．
(2)根据y＝sin x和y＝cs x的单调区间及A的正负，列不等式求解．
2. 已知单调区间求参数范围的三种方法
（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解.
3.比较三角函数值大小.
题型五：三角函数的周期性、奇偶性、对称性
例12.(2023·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
答案：A
【解析】
分析：
由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】
由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
例13. （2023·全国·高考真题（文））函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
【详解】
由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．
例14.(2023·四川·高考真题（文））下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．
【详解】
解：y＝cs（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确
y＝sin（2x）＝cs2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；
y＝sin2x+cs2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；
y＝sinx+csxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；
故选A．
例15.（2023·全国·高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
答案：②③
【解析】
分析：
利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
【规律方法】
1.求三角函数周期的常用方法
(1)公式法求周期
①函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B与f (x)＝Acs(ωx＋φ)＋B的周期为T＝eq \f (2π,|ω|)；
②函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝eq \f (π,|ω|).
(2)对称性求最值
①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于eq \f (T,2)；
②对称中心到对称轴距离的最小值等于eq \f (T,4)；
③两个最大(小)值点之差的最小值等于T.
2.三角函数是奇、偶函数的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(2)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
3．如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：
(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(3)若为奇函数则有.
4.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法
(1)求f (x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f (x)＝Acs(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f (x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝eq \f (kπ,2)(k∈Z)，求x.
题型六：三角函数的解析式
例16．(2023·全国·高考真题（文））函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：A
【解析】
【详解】
试题分析：由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.
例17．（2023·全国·高考真题（理））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】
由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【总结提升】
1.由的图象求其函数式：
已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
2. 根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．
题型七：三角函数的零点问题
例18．(2023·浙江·高考真题（理））设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
，因为，所以，，因此在上有零点，故在上有零点；
，而，即，因此，故在上一定存在零点；
虽然，但，又，即，从而，于是在区间上有零点，也即在上有零点，
排除B，C，D，那么只能选A．
例19．(2023·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
答案：
【解析】
分析：
首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】
解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
例20．(2023·全国·高考真题（理））函数在的零点个数为________．
答案：
【解析】
分析：
求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数．
【详解】
详解：
由题可知，或
解得,或
故有3个零点．
性质
图象
定义域
值域
最值
当时，；当时，．
当时，；当时，．
既无最大值，也无最小值
周期性
奇偶性
,奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在上是增函数；在上是减函数．
在上是增函数；在上是减函数．
在上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.
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