高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.4导数的综合应用(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.4导数的综合应用(真题测试)(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．(2023·全国·高考真题（理））已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．1
2．(2023·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是
A．是的零点B．1是的极值点
C．3是的极值D．点在曲线上
3．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，若有且仅有两个正整数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·河南·开封市东信学校模拟预测（理））对任意，不等式恒成立，则正数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．e
7．(2023·全国·高考真题（理））设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数，若对任意实数，不等式总成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．(2023·辽宁实验中学模拟预测）我们把形如的方程称为微分方程，符合方程的函数称为微分方程的解，下列函数为微分方程的解的是（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·河北沧州·二模）已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
11．(2023·湖南·模拟预测）已知，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．(2023·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
三、填空题
13．（2023·河南高三其他（理））函数，若，则在的最小值为_______；当时，恒成立，则a的取值范围是_____.
14．(2023·全国·模拟预测（理））若曲线与仅有1个公共点，则的取值范围是___________.
15．(2023·福建·高考真题（理））对于实数a和b，定义运算“*”：
设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________
16．(2023·江苏·常州高级中学模拟预测）已知函数，若的解集中恰有一个整数，则m的取值范围为________．
四、解答题
17．(2023·全国·高考真题（文））已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．
18．(2023·全国·高考真题（理））已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
19．(2023·全国·高考真题（文））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明.
20．(2023·全国·高考真题（文））设函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）证明当时，；
（Ⅲ）设，证明当时，.
21．(2023·全国·高考真题（理））设函数．
（1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意，都有，求m的取值范围．
22．(2023·四川·高考真题（理））已知函数，其中，为自然对数的底数.
（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围
专题4.4 导数的综合应用（真题测试）
一、单选题
1．(2023·全国·高考真题（理））已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．1
答案：C
【解析】
分析：
【详解】
因为，设，则
，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.
2．(2023·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是
A．是的零点B．1是的极值点
C．3是的极值D．点在曲线上
答案：A
【解析】
【详解】
若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．
3．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，若有且仅有两个正整数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
将转化为，再分别求导分析和的图象，再分别求得，，到的斜率，分析临界情况即可
【详解】
由且，得，设，，
，已知函数在（0，2）上单调递增，在上单调递减，
函数的图象过点，，，，结合图象，因为，所以．
故选：C
4．(2023·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
【详解】
试题分析：当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C．
5．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
令得，利用导数研究的图像，由函数有三个零点可知，若令，则可知方程的一根必在内，另一根或或上，分类讨论即可求解.
【详解】
由得，令，
由，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，则的图像如图所示：
即函数的最大值为，
令，则，
由二次函数的图像可知，二次方程的一根必在内，另一根或或上，
当时，，则另一根，不满足题意，
当时，a＝0，则另一根，不满足题意，
当时，由二次函数的图像可知，
解得，
则实数的取值范围是，
故选：D.
6．(2023·河南·开封市东信学校模拟预测（理））对任意，不等式恒成立，则正数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．e
答案：D
【解析】
分析：
将不等式化为，构造有，利用函数的单调性及参变分离法有在上恒成立，应用导数求右侧最小值，即可得结果.
【详解】
∵，
∴．
令，则不等式化为．
∵为增函数，
∴，即．
令，则，
当时，，即递减；
当时，，即递增；
所以．
∴实数a的最大值为e．
故选：D
7．(2023·全国·高考真题（理））设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.
【详解】
设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，.
所以，函数的最小值为.
又，.
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得，故选D.
8．(2023·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数，若对任意实数，不等式总成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
将所求不等式变形为，构造函数，可知该函数在上为增函数，由此可得出，其中，利用导数求出的最大值，即可求得实数的取值范围.
【详解】
当时，由可得，
即，
构造函数，其中，则，
所以，函数在上为增函数，
由可得，
所以，，即，其中，
令，其中，则.
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，，.
故选：D.
二、多选题
9．(2023·辽宁实验中学模拟预测）我们把形如的方程称为微分方程，符合方程的函数称为微分方程的解，下列函数为微分方程的解的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：CD
【解析】
分析：
根据导数的运算求得导函数，代入微分方程检验即可．
【详解】
选项A，，则，，不是解；
选项B，，，，是方程的解；
选项C，，，，不是方程的解；
选项D，，，，是方程的解．
故选：CD．
10．(2023·河北沧州·二模）已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：BCD
【解析】
分析：
A.由得到判断；BC.由，得到判断；D. 由，得到，令，用导数法判断.
【详解】
由得，又，所以，所以，所以，选项错误；
因为，所以，即，所以，选项正确，
因为，所以，所以.令，则，所以在区间上单调递增，所以，即，又，所以，即，选项正确.
故选：BCD
11．(2023·湖南·模拟预测）已知，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】
分析：
构造函数，利用导数判断函数的单调性，得出，结合不等式以及指、对数函数的性质逐一判断即可.
【详解】
令，则，
所以当时，，所以在上单调递增；
由得，即，
∵，∴，
∴，即，
∴，即，∴，A正确；
由知，所以，所以选项B错误；
由知，所以选项C正确．
由，知，所以，
所以D错误，
故选：AC．
12．(2023·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
答案：AC
【解析】
分析：
利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】
由题，，令得或，
令得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，
故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．（2023·河南高三其他（理））函数，若，则在的最小值为_______；当时，恒成立，则a的取值范围是_____.
答案：
【解析】
当时，∵，∴.
当时，恒成立，
∴在上单调递增.
∴在上最小值为.
又时，恒成立，令 ,,
所以在 递增， 所以
∴
恒成立，
∴.
故答案为；.
14．(2023·全国·模拟预测（理））若曲线与仅有1个公共点，则的取值范围是___________.
答案：##
【解析】
分析：
将原问题转化为只有一个解,令,利用导数求出的单调性及最值即可得答案.
【详解】
由题意可得:只有一个解, 即只有一个解.
令,
原问题等价于与只有一个交点.
因为
因为在上单调递减, 且在处的值为0 ,
所以当时, 单调递增,当时, 单调递减且恒为正,
所以,
又因为与只有一个交点,
所以.
故答案为: .
15．(2023·福建·高考真题（理））对于实数a和b，定义运算“*”：
设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________
答案：
【解析】
【详解】
由定义运算“*”可知
即，该函数图像如下：
由，假设
当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，
m的取值范围是，且满足方程，所以
令则，
所以
令
所以，
又在递增的函数，
所以，所以，所以在递减，
则当时，；当时，
所以.
16．(2023·江苏·常州高级中学模拟预测）已知函数，若的解集中恰有一个整数，则m的取值范围为________．
答案：
【解析】
分析：
由且，得出，构造函数，利用导数研究的单调性，画出和的大致图象，由图可知，设为和的交点的横坐标，结合题意可知该整数为1，即，当直线过和时，即可求出求出的值，从而得出的取值范围.
【详解】
由题可知，，，
由于的解集中恰有一个整数，
即，即，
因为，所以的解集中恰有一个整数，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
画出和的大致图象，如图所示：
要使得，可知，
设为和的交点的横坐标，
而的解集中恰有一个整数，可知该整数为1，即，
当时，得；当时，得，
即，，
当直线过点时，得，
当直线过点时，得，
所以的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·全国·高考真题（文））已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．
答案：（1）切线方程是（2）证明见解析
【解析】
分析：
（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．
（2）当时，,令，只需证明即可．
【详解】
（1），．
因此曲线在点处的切线方程是．
（2）当时，．
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以 ．因此．
18．(2023·全国·高考真题（理））已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
答案：（1）见解析；（2）.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.
试题解析：（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
19．(2023·全国·高考真题（文））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明.
答案：（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
分析：
（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.
（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证.
【详解】
（1） 的定义域为（0，+），.
若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.
若a＜0，则当时，时；当x∈时，.
故f（x）在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.
所以等价于，即.
设g（x）=lnx-x+1，则.
当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.
20．(2023·全国·高考真题（文））设函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）证明当时，；
（Ⅲ）设，证明当时，.
答案：（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数，然后通过解不等式或可确定函数的单调性；（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的结论证明，右端将左端的换为即可证明；（Ⅲ）变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理．
试题解析：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为.
所以当时，.
故当时，，，即.
（Ⅲ）由题设，设，则，令，
解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
由（Ⅱ）知，，故，又，故当时，.
所以当时，.
21．(2023·全国·高考真题（理））设函数．
（1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意，都有，求m的取值范围．
答案：（1）在单调递减，在单调递增；（2）.
【解析】
【详解】
（Ⅰ）．
若，则当时，，；当时，，．
若，则当时，，；当时，，．
所以，在单调递减，在单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．
22．(2023·四川·高考真题（理））已知函数，其中，为自然对数的底数.
（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围
答案：（Ⅰ）当时， ；当 时， ；
当时， .（Ⅱ） 的范围为.
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）易得，再对分情况确定的单调区间，根据在上的单调性即可得在上的最小值.（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，注意到.联系到函数的图象可知，导函数在区间内存在零点，在区间内存在零点，即在区间内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，当及时，在内都不可能有两个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，且必有.由得：，代入这两个不等式即可得的取值范围.
试题解答：（Ⅰ）
①当时，，所以.
②当时，由得.
若，则；若，则.
所以当时，在上单调递增，所以.
当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.
当时，在上单调递减，所以.
（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，
在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.
则不可能恒为正，也不可能恒为负.
故在区间内存在零点.
同理在区间内存在零点.
所以在区间内至少有两个零点.
由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.
当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.
所以.
此时，在上单调递减，在上单调递增，
因此，必有
.
由得：，有
.
解得.
当时，在区间内有最小值.
若，则，
从而在区间上单调递增，这与矛盾，所以.
又，
故此时在和内各只有一个零点和.
由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以，，
故在内有零点.
综上可知，的取值范围是.