高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.1导数的概念、运算及导数的几何意义(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.1导数的概念、运算及导数的几何意义(知识点讲解)(原卷版+解析)，共24页。


【核心素养】
1.考查导数（平均变化率、瞬时变化率）的概念，凸显数学抽象的核心素养．
2.与基本初等函数相结合考查函数导数的计算，凸显数学运算的核心素养．
3.与函数、曲线方程相结合考查导数的几何意义，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
【知识点展示】
（一）导数的概念
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.
2．函数f(x)的导函数
称函数为f(x)的导函数．
（二）基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1. 基本初等函数的导数公式
2．导数的运算法则
（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
（3）(g(x)≠0)．
(4) 复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
（三）导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
（四）特别提醒
（3）曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f ′(x0)的切线，是唯一的一条切线．
（4）曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条．
（五）常用结论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．熟记以下结论：
(1) ；
(2) (f (x)≠0)；
(3)[af (x)±bg(x)]′＝af ′(x)±bg′(x)．
【常考题型剖析】
题型一：导数（平均变化率、瞬时变化率）的概念
例1.(2023·全国·高三专题练习（理））2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；
②在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；
③在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；
④甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
例2．（2023·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
例3．（2008·北京·高考真题（理））如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则________ ；
_________．（用数字作答）
【规律方法】
1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：
①求函数的增量；
②求平均变化率；
③得导数，简记作：一差、二比、三极限.
2.函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
3.瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数．
题型二： 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
例4.(2023·天津·高考真题（文））已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．
例5．(2023·江西·高考真题（理））设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则＝__________．
例6．（2023·全国·高考真题（文））设函数．若，则a=_________．
例7.（2023·全国高三月考（理））已知函数，则________.
【总结提升】
1.求函数导数的一般原则如下：
（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；
（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；
（4）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．
2.复合函数的求导方法
求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；
②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；
③根据基本函数的 导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；
④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的 复合过程.
3.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.
题型三： 导数的几何意义--求曲线的切线方程
例8．（2023·全国高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
例9．(2023·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
例10．(2023·全国·高考真题（文））已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是_________.
【总结提升】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
题型四：导数的几何意义--求切点坐标
例11．（2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
例12．(2023·陕西·高考真题（理））设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_____．
【总结提升】
已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
题型五：导数的几何意义--求参数的值(范围)
例13．（2023·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
例14．（2023·全国·高考真题（理））已知曲线在点处的切线方程为，则
A．B．C．D．
例15．(2023·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【规律方法】
根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
题型六：两曲线的公切线问题
例16.（2023·全国·高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
例17．(2023·全国·高考真题（理））若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．
【总结提升】
解决此类问题通常有两种方法
一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
二是设公切线l在y＝f (x)上的切点P1(x1，f (x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f ′(x1)＝g′(x2)＝.
题型七：导数几何意义相关的应用问题
例18．(2023·全国·高考真题（文））已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例19．（2023·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
例20.（2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
【规律方法】
求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围．
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝csx
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax
f′(x)＝axlna
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.考查导数（平均变化率、瞬时变化率）的概念，凸显数学抽象的核心素养．
2.与基本初等函数相结合考查函数导数的计算，凸显数学运算的核心素养．
3.与函数、曲线方程相结合考查导数的几何意义，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
【知识点展示】
（一）导数的概念
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.
2．函数f(x)的导函数
称函数为f(x)的导函数．
（二）基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1. 基本初等函数的导数公式
2．导数的运算法则
（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
（3）(g(x)≠0)．
(4) 复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
（三）导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
（四）特别提醒
（3）曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f ′(x0)的切线，是唯一的一条切线．
（4）曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条．
（五）常用结论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．熟记以下结论：
(1) ；
(2) (f (x)≠0)；
(3)[af (x)±bg(x)]′＝af ′(x)±bg′(x)．
【常考题型剖析】
题型一：导数（平均变化率、瞬时变化率）的概念
例1.(2023·全国·高三专题练习（理））2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；
②在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；
③在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；
④甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
答案：B
【解析】
分析：
利用平均变化率的含义，即看这段时间内的变化量，由此判断①②④的正误；根据瞬时变化率的含义，判断出③的正误，可得答案.
【详解】
①在，这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以甲的平均分出量小于乙，说法错误．
②在，这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以乙的平均分出量大于甲，说法正确．
③在时刻，乙的图象比甲的图象陡，瞬时增长率大，说法正确．
④甲的图象大致为一条直线，所以三个时间段的平均分出量相等，说法错误．
故选：．
例2．（2023·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
答案：①②③
【解析】
分析：
根据定义逐一判断，即可得到结果
【详解】
表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
例3．（2008·北京·高考真题（理））如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则________ ；
_________．（用数字作答）
答案： 2 -2
【解析】
【详解】
f(0)=4，f(4)=2；由导数的几何意义知－2.
【规律方法】
1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：
①求函数的增量；
②求平均变化率；
③得导数，简记作：一差、二比、三极限.
2.函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
3.瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数．
题型二： 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
例4.(2023·天津·高考真题（文））已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．
答案：e
【解析】
分析：
首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由函数的解析式可得：，
则，
即的值为e，故答案为.
例5．(2023·江西·高考真题（理））设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则＝__________．
答案：
【解析】
【详解】
试题分析：令，，所以，，，所以答案应填：．
例6．（2023·全国·高考真题（文））设函数．若，则a=_________．
答案：1
【解析】
分析：
由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
【详解】
由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案为：.
例7.（2023·全国高三月考（理））已知函数，则________.
答案：6
【解析】
由，得，
令，得，
解得.
所以.
所以.
故答案为：6
【点评】赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f ′(1)为常数，然后借助导数运算法则计算f ′(x)，最后分别令x＝1，x＝0代入f ′(x)求解即可．
【总结提升】
1.求函数导数的一般原则如下：
（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；
（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；
（4）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．
2.复合函数的求导方法
求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；
②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；
③根据基本函数的 导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；
④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的 复合过程.
3.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.
题型三： 导数的几何意义--求曲线的切线方程
例8．（2023·全国高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
例9．(2023·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
答案：
【解析】
分析：
分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；
例10．(2023·全国·高考真题（文））已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是_________.
答案：
【解析】
【详解】
试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即．
【总结提升】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
题型四：导数的几何意义--求切点坐标
例11．（2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
答案：.
【解析】
分析：
设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.
【详解】
设点，则.又，
当时，，
点A在曲线上的切线为，
即，
代入点，得，
即，
考查函数，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为.
例12．(2023·陕西·高考真题（理））设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_____．
答案：
【解析】
【详解】
设.
对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线上点P处的切线斜率为－1，由，得，则，所以P的坐标为(1，1)．
【总结提升】
已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
题型五：导数的几何意义--求参数的值(范围)
例13．（2023·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】
在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
例14．（2023·全国·高考真题（理））已知曲线在点处的切线方程为，则
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】
详解：
，
将代入得，故选D．
例15．(2023·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
答案：
【解析】
分析：
设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】
∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
【规律方法】
根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
题型六：两曲线的公切线问题
例16.（2023·全国·高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
答案：D
【解析】
分析：
根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】
设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
例17．(2023·全国·高考真题（理））若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．
答案：
【解析】
【详解】
试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
【总结提升】
解决此类问题通常有两种方法
一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
二是设公切线l在y＝f (x)上的切点P1(x1，f (x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f ′(x1)＝g′(x2)＝.
题型七：导数几何意义相关的应用问题
例18．(2023·全国·高考真题（文））已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
作出函数的图像，和函数的图像，结合图像可知直线介于与轴之间，利用导数求出直线的斜率，数形结合即可求解.
【详解】
由题意可作出函数的图像，和函数的图像.

由图像可知：函数的图像是过原点的直线，
当直线介于与轴之间符合题意，
直线为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分的解析式为
，
求其导数可得，因为，故，
故直线的斜率为，
故只需直线的斜率.
故选：D
例19．（2023·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
答案：
【解析】
分析：
结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】
由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
例20.（2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
答案：4.
【解析】
分析：
将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】
当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.
由，得，，
即切点，
则切点Q到直线的距离为，
故答案为．
【点睛】
本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.
【规律方法】
求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围．
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝csx
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax
f′(x)＝axlna
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)