2023-2024学年湖南省益阳市九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省益阳市九年级（上）期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5B．5C．15D．−15
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3﹣1＝﹣3B．a2•a3＝a6
C．（x+1）2＝x2+1D．32−2=22
3．（3分）若代数式x−1有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≥0C．x＞1D．x＞0
4．（3分）若x=1y=−1是关于x，y的二元一次方程x﹣ay＝4的一组解，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（3分）有一组数据3，4，4，9，则下列说法正确的是（ ）
A．众数4，平均数4B．中位数4，平均数4
C．方差5.5，中位数4D．方差5，中位数4
6．（3分）如图，点A（1，2）和点B（a，b）是反比例函数y=kx的一个分支上的两点，且点B在点A的右侧，则下列说法中，不正确的是（ ）
A．该反比例函数解析式为y=2x
B．矩形OCBD的面积为2
C．该反比例函数的另一个分支在第三象限，且y随x的增大而增大
D．b的取值范围是0＜b＜2
7．（3分）下列命题中，其中真命题的个数是（ ）
①三边对应相等的两个三角形全等；
②两边对应相等且一个角对应相等的两个三角形全等；
③两边对应相等的两个直角三角形全等；
④一边对应相等的两个等边三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
8．（3分）已知，一个三角形的三边长分别为4、5、6，如果它与另一个三角形相似，那么另一个三角形的三边长可能是（ ）
A．2、3、4B．8、10、12C．12、15、20D．15、20、30
9．（3分）对于任意锐角α和β，下列说法中，正确的有（ ）
（1）0＜sinα＜1，0＜csβ＜1；
（2）如果α＜β，那么csα＜csβ；
（3）如果sinα＜sinβ，那么α＜β；
（4）如果tanα⋅tanβ＝1，那么α+β＝90°．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（3分）下列说法关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0，其中正确的有（ ）
（1）当k≥﹣1，方程有两个实数根；
（2）如果方程的两实数根是x1，x2，那么x1+x2＝2；
（3）如果方程的两实数根是x1，x2，那么x12+x22=2k+4；
（4）如果方程的两实数根是x1，x2，那么|x1﹣x2|=4k+4．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）分解因式：x3﹣9xy2＝ ．
12．（3分）某区教育局为了评价某校初三学生的英语口语水平，采用抽样调查的方式随机抽取该校初三50名学生进行测试．结果50名学生中有45人获得优秀，那么这所学校初三750名学生中约有 人可以获得优秀．
13．（3分）已知反比例函数y=k−1x的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ．
14．（3分）已知x﹣2y＝4，则7﹣2x+4y的值是 ．
15．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个实数根，则c的取值范围为 ．
16．（3分）已知，锐角α的正切值是3，则它的余弦值是 ．
17．（3分）如图，AD∥BC，S△AOD＝3，S△AOB＝9，则S△BOC＝ ．
18．（3分）如图，小益同学构造一个Rt△ABC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB与AC交于点E，连接BE，如果BC＝4，AC＝8，设∠A＝α，则sin2α＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分）
19．（6分）计算：(13)−2+(π−3.14)0+124−tan45°．
20．（6分）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．
21．（6分）化简(a2a+1−a)÷aa2−1，从1，﹣1，2中选一个适合的数作为a的值代入求值．
22．（8分）某地教育局为了解某校高中学生的每天平均睡眠时间的情况，随机抽取了该校50名高中学生进行调查访问，收集数据，整理数据，将数据分成7组，用频数分布直方图描述数据，请你根据图表解决以下问题：
（注：每个组取值范围包含左端点不包含右端点）
（1）该校500名高中学生中，每天平均睡眠时间至少8小时的人数约有多少？
（2）求这组数据的平均数．（提示：利用直方图求平均数时，一般取每个组的取值范围的中点值作为估算值进行计算．例如，第1组的取值范围4≤x＜5，则取4.5作为第1组的估算值．）
（3）如果你是当地教育局负责人，请你根据以上数据，对该学校提出一条整改建议．
23．（8分）如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）如果AD=52，求AC的长．
24．（8分）如图，旗杆DE垂直地面，小阳同学在广场上点A处测得旗杆顶部D的仰角是30°，然后在水平地面上向旗杆前进了5米到达点B处，测得旗杆顶部D的仰角是36°，已知小阳的观测高度AG＝BF＝CE＝1.5米，请你帮小阳解决以下问题：
（1）求∠BDA的度数；
（2）如果设BC＝x米，求tan∠CBD的值（结果用含x的代数式表示）；
（3）求旗杆DE的高度（结果精确到1米）．（参考数据：tan30°≈0.6，tan36°≈0.7）
25．（12分）如图，在等边三角形ABC中，点D在AB上运动，点E在AC上运动，将点E绕着点D逆时针旋转60°得到点F，连接D、E、F得到△DEF，连接AF．
（1）当点D与点B重合，点E与AC的中点重合时，如果△ABC边长为2，请你在图1的方框内画出符合题意的图形，并求此时AF的长；
（2）当点D与AB的中点重合时，当点E运动到什么位置时，△DEF的周长最小？请你在图2的方框内画出符合题意的图形，并求此时AF与AD的数量关系；
（3）如图3，求证：AF∥BC．（提示：在答题卡上作图时，请用签字笔描画．）
26．（12分）如图，射线OA在第一象限内，射线OB在第二象限内，OA⊥OB，射线OA与函数y=4x(x＞0)交于点A，射线OB与函数y=−1x(x＜0)交于点B，连接AB，根据下列条件解答问题：
（1）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，求证：△AOD∽△OBC；
（2）如果点A的坐标是（1，4），求点B的坐标；
（3）当∠AOB在x轴的上方，绕着原点O转动的过程中，∠OAB的度数是否保持不变？如果不变，求sin∠OAB的值？如果变化，请说明理由．
2023-2024学年湖南省益阳市九年级（上）期末数学试卷
参考答案
选择题、填空题答案速查
19．解：原式=9+1+12×2−1，
＝9+1+1﹣1
＝10．
20．解：2x2﹣3x﹣1＝0，
a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝9+8＝17＞0，
∴x=3±174，
x1=3+174，x2=3−174．
21．解：(a2a+1−a)÷aa2−1
＝[a2a+1−a(a+1)a+1]÷aa2−1
=a2−(a2+a)a+1÷a(a+1)(a−1)
=−aa+1•(a+1)(a−1)a
＝﹣（a﹣1）
＝1﹣a，
要使分式有意义，必须a+1≠0且a﹣1≠0且a≠0，
所以a不能为﹣1、1和0，
取a＝2，
所以原式＝1﹣2＝﹣1．
22．解：（1）500×1950=190（人）.
答：该校500名高中学生中，每天平均睡眠时间至少8小时的人数约有190人；
（2）x=150(4×4.5+5×5.5+10×6.5+12×7.5+12×8.5+3×9.5+4×10.5)=7.46.
答：这组数据的平均数为7.46．
（3）建议学校减少学生课后作业量，增加学生的睡眠时间．（答案不唯一合理即可）．
23．（1）证明：∵在△ABC中，AB＝2，BC＝4，BD＝1，
∴BDAB=ABBC=12，
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA.
解：由（1）知△ABD∽△CBA，
∴BDAB=ADAC，
∵AD=52，BC＝4，AB＝2，BD＝1，
∴52AC=12，
∴AC＝5．
24．解：（1）∵∠DAC＝30°，∠DBC＝36°，
∴∠ADB＝∠DBC﹣∠DAC＝36°﹣30°＝6°.
（2）∵BC＝x米，AB＝5米，
∴AC＝AB+BC＝（x+5）米，
∵∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，
∴tan30°=DCAC=0.6，
∴CD＝0.6AC＝0.6×（5+x）米，
∴tan∠CBD=CDBC=3+0.6xx.
（3）由（2）知，tan∠CBD＝tan36°=3+0.6xx；
∴3+0.6xx=0.7，
解得x≈5.5，
∴CD≈17米
∴旗杆DE的高度为17+5.5≈23（米）．
25．（1）解：如图所示：△DEF即为所求．
当点D与点B重合，点E与AC的中点重合时，
∵△ABC边长为2，
∴AE＝EB=12AB＝1，
∵将点E绕着点D逆时针旋转60°得到点F，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴ED＝EF，∠DEF＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠FDE＝60°，
∴∠ABF＝∠CBE，
∵EC＝EA＝1，ED＝EF，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE＝1.
（2）解：当点D与AB的中点重合时，当点E运动到AE=14AC时，△DEF的周长最小．
理由：
∵点D与AB的中点重合，
∴AD=12AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵将点E绕着点D逆时针旋转60°得到点F，
∴DF＝DE，∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴△DEF的周长＝3DE，
∴当DE⊥AC时，DE最小，即△DEF的周长最小，
∵∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∠AED＝90°，
∴AE=12AD=14AC；
如图所示：△DEF即为所求．
结论：AF=12AD．
理由如下：
∵∠ADF＝∠ADE＝30°，DF＝DE，AD＝AD，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴∠AFD＝∠AED＝90°，
∴AF=12AD.
（3）证明：如图3，过点D作DG∥BC交AC于G，
则∠DGE＝∠C，∠ADG＝∠B，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠ADG＝∠DGE＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴DA＝DG，
∵将点E绕着点D逆时针旋转60°得到点F，
∴DF＝DE，∠EDF＝60°，
∴∠EDF＝∠ADG，
即∠ADF+∠ADE＝∠ADE+∠GDE，
∴∠ADF＝∠GDE，
∴△DAF≌△DGE（SAS），
∴∠DAF＝∠DGE＝60°，
∴AF∥DG，
∴AF∥BC．
26．（1）证明：∵∠AOB＝90°，
∴∠BCO+∠AOD＝90°，
∵∠BOC+∠CBO＝90°，
∴∠AOD＝∠CBO，
∵∠COB＝∠AOD＝90°，
∴△AOD∽△OBC.
（2）解：∵点A的坐标是（1，4），则AD＝4，OD＝1，
∵△AOD和△OBC的面积比为：2：0.5＝4：1，
则上述两个三角形的相似比：OA：OB＝AD：OC＝2，
即4：OC＝2，
则OC＝2，
则点B的坐标为（﹣2，12）.
（3）不变，sin∠OAB=55，理由：
由（2）知OA：OB＝2，
即tan∠OAB=12，
则sin∠OAB=55．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
D
A
C
C
C
C
B
C
C
11. x（x+3y）（x﹣3y） 12. 675 13. k＜1 14.-1
15. c≤94 16.1010 17. 27 18.45