2021-2022学年湖南省益阳市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省益阳市八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 和数轴上的点一一对应的是(    )

A. 整数 B. 无理数 C. 实数 D. 有理数

3. 下列计算中，结果是的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列式子中，为最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列运算不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 已知，为任意实数，则下列不等式中总是成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列命题是假命题的是(    )

A. 三角形的任意两边之和大于第三边
B. 相等的角是对顶角
C. 三角形的外角和为
D. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

9. 如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，以点为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点，连接若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

11. 的平方根是______ ．
12. 计算：______．
13. 计算的结果是______．
14. 若为有理数，且的值大于，则的取值范围为______．
15. 世界文化遗产“三孔”景区已经完成基站布设，“孔夫子家”自此有了网络．网络峰值速率为网络峰值速率的倍，在峰值速率下传输兆数据，网络比网络快秒，求这两种网络的峰值速率．设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是          ．
16. 如图，在中，边上的垂直平分线交于点，交于点，，的周长为，则的长为______．

17. 如图，是的角平分线，，垂足为若，，则的度数为______．

18. 已知：表示不超过的最大整数．例：，现定义：，例：，则          ．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 计算：．
20. 解不等式组：把解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．
21. 如图，线段、相交于点，，求证：．

22. 先化简，再求值：，其中．
23. 已知关于的方程有增根，则为多少？
24. 某商店购进、两种商品，购买个商品比购买个商品多花元，并且花费元购买商品和花费元购买商品的数量相等．
    求购买一个商品和一个商品各需要多少元；
    商店准备购买、两种商品共个，若商品的数量不少于商品数量的倍，并且购买、商品的总费用不低于元且不高于元，那么商店有哪几种购买方案？
25. 如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．
    求证：是等腰三角形；
    若，，，求的周长．

26. 如图，和中，，，，与交于点不与点，重合，点，在异侧，、的平分线相交于点．
    
    当时，求的长；
    求证：；
    当时，的取值范围为，求，的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
本题主要考查分式有意义的条件：分母，即，解得的取值范围．
本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为时，分式有意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：实数与数轴上的点是一一对应的，
和数轴上的点一一对应的是实数．
故选C．
根据实数与数轴上的点是一一对应的进行解答．
本题考查了实数与数轴的关系，熟记实数与数轴上的点是一一对应的是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、是最简二次根式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意．
故选：．
根据立方根的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是立方根，熟知如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，故A符合题意；
B.，
，故B不符合题意；
C.当时，，故C不符合题意；
D.当时，，故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，不等式两边同加同减一个实数，不等号方向不变，同乘或同除大于的数，不等号方向不变，同乘或同除一个负数，不等号方向改变，可得答案．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：去括号，得，
移项，合并得
系数化为，得；
故选：．
先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为即可．
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

8.【答案】 

【解析】解：、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，符合题意；
C、三角形的外角和为，正确，是真命题，不符合题意；
D、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，正确，是真命题，不符合题意．
故选：．
利用三角形的三边关系、对顶角的定义、三角形的外角和定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的性质及定义，难度不大．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，，
在和中，
，
，
，
，
．
故选B．
根据平行线的性质，得出，，再根据全等三角形的判定证明，得出，根据，，即可求线段的长．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
根据等腰三角形的性质，由得到，则根据三角形内角和计算出，再利用作法得到，所以，然后根据三角形外角性质计算的度数．
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．
 

11.【答案】 

【解析】解：，的平方根为，
故答案为：．
线算出，从而得出结论．
本题考查了数的平方根，解题的关键是牢记非负数的平方根有两个．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】
解：原式

．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
原式各项化为最简后，合并同类二次根式即可得到结果．
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

14.【答案】且为有理数 

【解析】解：根据题意知，
解得，
故答案为：且为有理数．
根据题意列出不等式，解之可得，
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

15.【答案】 

【解析】解：设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，
依题意，可列方程是：
．
故答案为：．
直接利用网络比网络快秒得出等式，进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等式是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长，
，的周长为，
，
解得，
故答案为：．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，代入数据进行计算即可得解．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出的周长是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：是的角平分线，
，
又，
，
，
，，
，
，
由于是的对称轴，由对称性可知，，
，
故答案为：．
根据角平分线的定义可求出，根据三角形的内角和定理可求出，进而求出，由对称性可求出，再根据平角定义可求出答案．
本题考查三角形内角和定理，掌握三角形的内角和是以及角平分线的定义是正确解答的前提．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查有理数加减混合运算，新定义的知识，关键是根据题意列出式子解答．
根据题意列出计算式解答即可．
【解答】
解：根据题意可得：，
故答案为：  

19.【答案】解：


． 

【解析】先算零指数幂，负整数指数幂，二次根式的除法，绝对值，再进行加减运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集是，

则不等式组的整数解为：，和． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

21.【答案】证明：如图所示：

线段、相交于点，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由两条线段相交得对顶角与相等，根据边角边证明≌，其性质得．
本题综合考查了全等三角形的判定与性质，对顶角的性质等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质．
 

22.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 

【解析】通分后进行分式加法计算，然后代入求值即可．
本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式加法的计算法则．
 

23.【答案】解：关于的方程有增根，
，则，
原方程可化为，
将增根代入得． 

【解析】有增根是原方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为的根．在本题中，应先确定增根是，然后代入化成整式方程的方程中，求得的值．
增根问题可按如下步骤进行：
确定增根的值；
化分式方程为整式方程；
把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

24.【答案】解：设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个商品需要元，购买一个商品需要元．
设购买商品个，则购买商品个，
依题意，得：，
解得：．
为整数，
或，
当时，；当时，；
商店有种购买方案，方案：购进商品个、商品个；方案：购进商品个、商品个． 

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，根据数量总价单价结合花费元购买商品和花费元购买商品的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买商品个，则购买商品个，根据商品的数量不少于商品数量的倍并且购买、商品的总费用不低于元且不高于元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出各购买方案．
 

25.【答案】证明：，
，．
平分，
．
．
．
是等腰三角形．
是的中点，
．
，
．
由对顶角相等可知：．
在和中
≌．
．
，
．
．
的周长． 

【解析】首先依据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可证明，故此可证明为等腰三角形；
首先证明≌，从而得到的长，然后可求得的长，于是可求得的周长．
本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键．
 

26.【答案】解：，，
，
；
证明：在和中，
，
≌，
，
，即；
解：设，则，
，，
，
为的内心，
、分别平分，，
，，


，
，
，即，
，， 

【解析】由直角三角形的性质可求解；
由“”可证≌，可得，可得结论；
由三角形内角和定理求出，根据内心的概念得到，，根据三角形内角和定理得到，根据不等式的性质计算即可．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内心的概念，三角形的内角和定理，解题关键是熟记三角形的内心的概念．