2024-2025学年湖南省益阳市万源教育集团九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省益阳市万源教育集团九年级（上）开学数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数y=(m−2)xm2−10是反比例函数，且当x<0时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是( )
A. m≥−3B. m<−3C. m>−3D. m=−3
2.反比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是( )
A. 5
B. 12
C. −5
D. −12
3.若点A(−1,y1)、B(2,y2)、C(π,y3)在反比例函数y=5x的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A. y34.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是( )
A. B. C. D.
5.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有一个根为0，则m的值为( )
A. 2B. 1C. 0D. −1
6.(非课改)已知α，β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足1α+1β=−1，则m的值是( )
A. 3B. 1C. 3或−1D. −3或1
7.已知：如图1，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向以速度为1cm/s匀速平移得到△PMN；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动速度为1cm/s，当△PMN停止平移时，点Q也停止运动，如图2，设运动时间为t(s)(0A. t=1B. t=4C. t=5D. t不存在
8.设一元二次方程x2−3x+2=0的两根为x1，x2，则x1+x2−x1x2的值为( )
A. 1B. −1C. 0D. 3
9.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是( )
A. (32−x)(20−x)=32×20−570B. 32x+2×20x=32×20−570
C. (32−2x)(20−x)=570D. 32x+2×20x−2x2=570
10.一元二次方程x2−8x−1=0，配方后可变形为( )
A. (x−4)2=17B. (x−4)2=18C. (x−8)2=1D. (x−4)2=1
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，Rt△ABC的直角顶点A在反比例函数y=k1x(k1<0)的图象上，顶点B在x轴负半轴上，顶点C在反比例函数y=k2x(k2>0)的图象上，斜边BC交y轴于点D，若AB//y轴，BD=2DC，△ABC面积为6，则k1+k2的值为______．
12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数y=kx上的图象上，则k的值为______．
13.若关于x的方程x2+2x−m=0的一个根是x=3，则m的值为______．
14.已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2−2)x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．
15.设x1，x2是方程x2+3x−3=0的两个实数根，则x2x1+x1x2的值为______．
16.已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2−2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为______．
17.如图，点A、D分别在函数y=−1x，y=3x的图象上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，点A在第二象限，则A的坐标为______．
18.如图，过原点的直线AB交双曲线y=kx于A、B两点，点C在x轴上，且AC=12AB，若△ABC的面积为6，则k的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题7分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A(−1,n)，B(2,−1)两点，与y轴相交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
20.(本小题7分)
如图，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC=90°，边AC交y轴于点D，点C在反比例函数y=kx第一象限的图象上，AC所在直线的解析式为y=ax+4，其中点A(−2,0)，B(1,0)．
(1)求反比例函数和AC所在直线的解析式；
(2)将Rt△ABC的边直角边BC沿着x轴正方向平移m个单位长度得到线段B′C′，线段B′C′与反比例函数的图象交于点E，问当m为何值时，四边形ODC′E是平行四边形？
21.(本小题8分)
如图，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A(−3,a)，B(1,3)，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式mx+n>kx的解集；
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP=4S△OBD，求点P的坐标．
22.(本小题9分)
某种服装，平均每天可以销售20件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过30元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要赢利1900元，每件应降价多少元？
23.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程x2−4mx+m2=0．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
(2)若x=1是该方程的根，求代数式(m−2)2+3的值．
24.(本小题9分)
2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
25.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程：x2−(2k+1)x+4(k−12)=0．
(1)求证：这个方程总有两个实数根；
(2)若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.A
5.C
6.A
7.D
8.A
9.C
10.A
11.−4
12.−4
13.15
14.−3
15.−5
16.1
17.(−12,2)
18.3
19.解：(1)∵反比例函数y=mx的图象经过点B(2,−1)，
∴m=2×(−1)=−2，
∴反比例函数解析式为y=−2x；
∵点A(−1,n)在y=−2x的图象上，
∴n=2，则A(−1,2)，
把点A，B的坐标代入y=kx+b，得−k+b=2,2k+b=−1.，解得k=−1,b=1.
∴一次函数的表达式为y=−x+1；
(2)∵直线y=−x+1交y轴于点C，
∴C(0,1)．
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D(0,−1)．
∵B(2,−1)，
∴BD//x轴．
∴S△ABD=12×2×3=3．
20.解：(1)AC所在直线的解析式为y=ax+4，其中点A(−2,0)，将A点坐标代入得：
−2a+4=0，
解得：a=2，
∴AC所在直线的解析式为y=2x+4；
∵B(1,0)，∠ABC=90°，
∴2×1+4=6，
∴C(1,6)，
∵点C在反比例函数y=kx第一象限的图象上，
∴k=1×6=6；
∴反比例函数的解析式为y=6x；
(2)当x=0时，y=2x+4=4，
∴OD=4，
将Rt△ABC的边直角边BC沿着x轴正方向平移m个单位长度得到线段B′C′，由平移的性质得到C′(1+m,6)，B′C′=BC=6，
由题意得OD//EC′，
∴当EC′=OD=4时，四边形ODC′E是平行四边形，
由(1)知反比例函数的解析式为y=6x，

∵E点在点C在反比例函数y=6x第一象限的图象上，E点的横坐标为1+m，
∴E点的纵坐标为61+m，
∴EC′=B′C′−B′E=6−61+m=4，
解得m=2，
即当m为2时，四边形ODC′E是平行四边形．
21.解：(1)∵一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A(−3,a)，B(1,3)，
∴k=1×3=−3×a，
∴k=3，a=−1，
∴反比例函数解析式为y=3x，
一次函数y=mx+n图象过A(−3,−1)，B(1,3)，
−3m+n=−1m+n=3，解得m=1n=2，
一次函数解析式为y=x+2；
(2)由图象可知，不等式mx+n>kx的解集为：−31．
(3)在一次函数y=x+2中，当x=0时，y=2；当y=0时，x=−2，
∴C(−2,0)，D(0,2)
∴S△OBD=12×2×1=1，
∴S△OCP=4S△OBD=4，
设点P大坐标为(m,3m)，
∴12×2×−3m=4，
解得m=−34，
∴点P(−34,−4)．
22.解：设每件应降价x元，则每件盈利(44−x)元，每天可售出(20+5x)件，
依题意得：(44−x)(20+5x)=1900，
整理得：x2−40x+144=0，
解得：x1=6，x2=34(不合题意，舍去)．
答：每件应降价6元．
23.(1)证明：∵Δ=(−4m)2−4m2
=12m2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
(2)解：把x=1代入方程x2−4mx+m2=0得1−4m+m2=0，
即m2−4m=−1，
∴(m−2)2+3=m2−4m+4+3=−1+4+3=6．
24.解：(1)设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：256(1+x)2=400，
解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25(不符合题意，舍去)．
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；
(2)设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为(y−35)元，月销售量为400+20(58−y)=(1560−20y)件，
根据题意得：(y−35)(1560−20y)=8400，
整理得：y2−113y+3150=0，
解得：y1=50，y2=63(不符合题意，舍去)．
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
25.(1)证明：Δ=[−(2k+1)]2−4×1×4(k−12)
=4k2−12k+9
=(2k−3)2，
∵无论k取什么实数值，(2k−3)2≥0，
∴Δ≥0，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
(2)解：∵x=2k+1±(2k−3)2，
∴x1=2k−1，x2=2，
∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k−1，c=2，
当a、b为腰，则a=b=4，即2k−1=4，解得k=52，此时三角形的周长=4+4+2=10；
当b、c为腰时，b=c=2，此时b+c=a，故此种情况不存在．
综上所述，△ABC的周长为10．