2022-2023学年湖南省娄底市涟源市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省娄底市涟源市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列各选项中，两个量成反比例关系的是(    )

A. 正方形的边长和面积 B. 圆的周长一定，它的直径和圆周率
C. 速度一定，路程和时间 D. 总价一定，单价和数量

2.    下列四条线段为成比例线段的是(    )

A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，

3.    用配方法解一元二次方程，配方后的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    若点与在函数的图象上，且则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如图，已知，那么下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.    下列说法正确的是(    )

A. 所有的矩形都相似 B. 两个直角三角形相似
C. 两个等边三角形相似 D. 各有一个角是的两个等腰三角形相似

7.    某商品经过两次降价后每件的售价由原来的元降到了元．则平均每次降价的百分率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    若方程的根是和，那么代数式可分解因式为(    )

A.  B.  C.  D.

9.    已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 将个数，，，排成行、列，两边各加一条竖线，记成，并规定例如，则的根的情况为(    )

A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根

11. 如图是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点根据图象可知，下列说法正确的是(    )

A. 当时，
B. 与的函数关系式是
C. 当时，
D. 当时，的取值范围是

12. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 若点在反比例函数的图象上，则的值是______．
14. 方程化为一般形式是______．
15. 若，则______．
16. 若关于一元二次方程的常数项为，则的值等于______．
17. 如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点在轴上，若，则______．

18. 如图，等边的顶点在等边的边上滑动，与交于点，当：：时，：的值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
20. 本小题分
    先化简再求值：，其中满足．
21. 本小题分
    某科技小组野外考察时遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺了若干块木板，构成了一条临时通道．若人和木板对湿地面的压力一定时，木板对烂泥湿地的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示．
    求出与的函数表达式；
    当木板面积为时，压强是多少？

22. 本小题分
    已知：平行四边形的两边、的长是关于的方程的两个实数根．
    当为何值时，四边形是菱形？
    若，求的值．
23. 本小题分
    如图，一矩形草坪的长为米，宽为米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的矩形小路阴影部分，非阴影部分的面积是平方米．
    求小路的宽．
    每平方米小路的建设费用为元，求修建两条小路的总费用．

24. 本小题分
    如图，平行四边形，交于，交的延长线于，且．
    求证：∽；
    若，，求的长．

25. 本小题分
    如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，与反比例函数的图象分别交于，两点．
    求一次函数与反比例函数的解析式；
    当时，求自变量的取值范围；
    若点在轴上，且，求点的坐标．

26. 本小题分
    如图，四边形中，平分，，为的中点．
    求证：；
    求证：；
    若，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、正方形的面积边长，两个量不成反比例函数，故此选项不合题意；
B、圆的周长，周长一定，圆周率一定，不成反比例函数，故此选项不合题意；
C、路程速度时间，速度一定，路程和时间成正比例关系，故此选项不合题意；
D、总价单价数量，总价一定，单价和数量成反比例关系，故此选项符合题意；
故选：．
根据反比例函数定义进行分析即可．
此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握形如为常数，的函数称为反比例函数．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．
【解答】
A. 从小到大排列，由于，所以不成比例，不符合题意；
B. 从小到大排列，由于，所以成比例，符合题意；
C. 从小到大排列，由于，所以不成比例，不符合题意；
D. 从小到大排列，由于，所以不成比例，不符合题意．
故选B．  

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据配方法即可求出答案．
本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的配方法，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
双曲线在第二，四象限，
，
在第二象限，在第四象限，
；
故选：．
由，双曲线在第二，四象限，根据即可判断在第二象限，在第四象限，从而判定．
本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数图象和性质是解题的关键，即当时图象在第一三象限，且在每个象限内随的增大而减小，当时图象在第二四象限内，且在每个象限内随的增大而增大．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：所有的矩形对应边比值不一定相等，所以不一定相似，此选项不符合题意；
B.两个直角三角形的对应锐角不一定相等，所以不一定相似，此选项不符合题意；
C.两个等边三角形相似，故此选项符合题意；
D、各有一个角是的两个等腰三角形的对应角不一定相等，不一定是相似形，故此选项不符合题意；
故选：．
相似形就是形状相同的两个图形，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据定义即可进行判断．
考查相似三角形的判定定理：
两角对应相等的两个三角形相似；
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
三边对应成比例的两个三角形相似；
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
 

7.【答案】 

【解析】解：设平均每次降价的百分率为，则有：



，舍
故选：．
设平均每次降价的百分率为，根据题意列出关于的一元二次方程并求解，结合问题的实际意义，对所得的解进行取舍即可．
本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：方程的根是和，
，
则，
，，


，
故选：．
由方程的根是和，知，据此得出、的值，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

9.【答案】 

【解析】解：、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意；
B、不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：．
利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据规定得，整理得，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先利用新规定得到，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

11.【答案】 

【解析】解：设与的函数关系式是，
该图象经过点，
，
，
与的函数关系式是，故选项B不符合题意；
当时，，当时，，
反比例函数随的增大而减小，
当时，，当时，，故选项A，不符合题意；
时，，当时，，
当时，的取值范围是，故D符合题意；
故选：．
由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
∽，
：，
，
：，
点在函数的图象上，点在函数的图象上，
，，
，解得，
故选：．
过点作轴于点，过点作轴于点，易得∽，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得：，继而根据反比例函数系数的几何意义即可求得答案．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，反比例函数系数的几何意义，得到：是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
把点的坐标代入函数解析式，求的值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据一元二次方程的一般形式为常数且，进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：两边都乘以，得

，
故答案为：．
根据等式的性质，可用表示，根据分式的性质，可得答案．
本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出表示是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：关于一元二次方程常数项为，
，
解得，；
又，，
．
故答案为：．
关于一元二次方程的常数项是，解出关于的一元二次方程，并且注意而二次项系数，两者结合求得的值．
此题考查一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件；以及解一元二次方程．
 

17.【答案】 

【解析】解：设点的坐标为，
点在第二象限，
，，
，
，
是反比例函数的图象上一点，
，
故答案为：．
先设点坐标，再根据点在第二象限，则，，然后由三角形面积公式求出即可
本题考查了反比例函数系的几何意义，关键是根据三角形的面积求出的值．
 

18.【答案】： 

【解析】解：：：，
可以假设，，则，
与都是等边三角形，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
：：：，
故答案为：：．
由：：，可以假设，，则，利用相似三角形的性质求出，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：，
方程整理为，
，
或，
所以，；
，
，
，
，
或，
所以，． 

【解析】先把方程整理为，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

20.【答案】解：原式



，
当，即时，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出，代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

21.【答案】解：设与的函数表达式为．
把代入，得，
解得，
则与的函数表达式为；

当时，，
即当木板面积为时，压强是． 

【解析】设与的函数表达式为，把代入，利用待定系数法即可求解；
将代入中所求解析式，计算即可求出函数值．
此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题．
 

22.【答案】解：四边形为菱形，则方程有两个相等的实数根，
，
即，
解得，
所以当时，四边形为菱形．
、的长是关于的方程的两个实数根，
，，
，
，
，
． 

【解析】根据题意，构建方程，解方程即可．
利用根与系数的关系得到关于的方程，解方程即可解决问题．
本题考查菱形的性质、一元二次方程的解、根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，用转化的思考思考问题．
 

23.【答案】解：设小路的宽为米，则非阴影部分可合成长为米，宽为米的矩形，
依题意得：，
解得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：小路的宽为米．
元．
答：修建两条小路的总费用为元． 

【解析】设小路的宽为米，则非阴影部分可合成长为米，宽为米的矩形，根据非阴影部分的面积是平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
利用总价单价草坪的面积非阴影部分的面积，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

24.【答案】证明：平行四边形中，，
，
，
又，
∽；

解：平行四边形中，，
由得∽，
，
，
，
． 

【解析】由平行四边形的对角相等，可得，即可求得，又由公共角，可证得∽；
根据相似三角形的对应边成比例，易得，即可求得的值．
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用，要注意仔细识图．
 

25.【答案】解：将的坐标代入反比例函数得，
，
反比例函数的关系式为，
将，的坐标代入一次函数得，
，
解得，
一次函数的关系式为，
由于方程组的解为，，
一次函数与反比例的交点坐标为和，
又，
，
当时，自变量的取值范围是或，
故答案为：或；


，
设点，则，
由，
，
解得或，
点或． 

【解析】将的坐标代入反比例函数可得反比例函数的关系式，将，的坐标代入一次函数可确定一次函数的关系式；
求出两个函数的交点坐标，再根据图象和交点坐标直接得出答案；
利用面积公式，列方程求解即可．
本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，求出一次函数、反比例函数关系式是解决问题的关键．
 

26.【答案】证明：平分，
，
，
∽，
，
．
证明：，为的中点，
，
，
，
，
．
解：，，
．
，
，
，为的中点，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】证明∽，由相似三角形的性质得出，即可得出结论；
根据直角三角形斜边中线的性质可知，推出即可证明；
由，可得，进而可求出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．