2023-2024学年云南省下关一中教育集团高一（下）段考数学试卷（6月份）（二）（含答案）

这是一份2023-2024学年云南省下关一中教育集团高一（下）段考数学试卷（6月份）（二）（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2+2x−3≤0}，B={x|x>12}，则A∩B=( )
A. [−3,1]B. [1,2]C. (−1,12]D. (12,1]
2.复数z=3+2i1−i，在复平面内z的共轭复数z−对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.函数f(x)=lnx+3x−4的零点所在的区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (2,4)
4.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|a+2b|=2 3，那么a与b的夹角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
5.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形O′A′B′C′，则原平面图形的周长为( )
A. 4a
B. 8a
C. 6a
D. 8 2a
6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BD的中点，则直线B1E与A1D所成角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
7.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S= 14[b2c2−(b2+c2−a22)2](其中a、b、c、S为三角形的三边和面积)表示.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a=2，且 3sinA=(1− 3csA)tanC，则下列说法正确的是( )
A. c= 3aB. a= 3c
C. △ABC面积的最大值是2 3D. △ABC面积的最大值是 3
8.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台ABCD−A1B1C1D1，上下底面的中心分别为O1和O，若AB=2A1B1=4，∠A1AB=60°，则正四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积为( )
A. 20 23B. 28 23C. 20 63D. 28 63
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.演讲比赛中，12位评委对小李的演讲打出了如下的分数：
若去掉两个最高分，两个最低分，则剩下8个分数的( )
A. 极差为0.3B. 数为9.0和9.1
C. 中位数为9.0D. 第70百分位数为9.05
10.下列说法中正确的是( )
A. 若p：∃x>1，x2−3x+2>0，则p的否定为：∀x>1，x2−3x+2≤0
B. 已知复数z满足(1+2i)z=2+i，则|z|=1
C. 已知直线l⊥平面α，直线m/​/平面β，则“α/​/β”是“l⊥m”的必要不充分条件
D. 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则不等式cx2−bx+a<0的解集为(−∞,−13)∪(12,+∞)
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)部分图象如图所示，下列说法不正确的是( )
A. f(x)的图象关于直线x=2π3对称
B. f(x)的图象关于点(−5π12,0)对称
C. 将函数y= 3sin2x−cs2x的图象向左平移π2个单位得到函数f(x)的图象
D. 若方程f(x)=m在[−π2,0]上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(−2,− 3]
12.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，PA=AB=6，点C是圆周上异于A，B的任意一点，D，E分别是PA、PC的中点，则下列结论中正确的是( )
A. PB⊥DE
B. AC/​/平面DEB
C. 三棱锥P−ABC外接球的表面积是72π
D. 若AC=5，则直线BD与平面PAC所成角的余弦值为 53
三、填空题：本题共4小题，共17分。
13.已知向量a=(1,3)，b=(3,4)，若(a−λb)⊥b，则λ= ．
14.若“∃x∈(0,+∞)，使x2−ax+4<0”是假命题，则实数a的取值范围为______．
15.如图，一栋建筑物AB高(30−10 3)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面M点(B、M、D三点共线)测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为 m.
16.设函数f(x)=|lg14x|,0(i)f[f(4)]= ______；
(ii)若存在实数x1，x2，x3，x4满足x1四、解答题：本题共6小题，共73分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；
(Ⅱ)试估计该校学生满意度打分的平均数和75%的分位数(同一组中的数据用该组区间的中间值代表，结果保留小数点后2位)；
(Ⅲ)若采用分层随机抽样的方法，从打分在[40,60)的学生中随机抽取10人了解情况，求在打分[40,50)、[50,60)中分别抽取的人数．
18.(本小题12分)
如图，已知四边形ABCD为直角梯形，∠ADC=90°，AD//BC，△ABD为等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为PA的中点，AD=2BC=2 2,PA=3PD=3．
(Ⅰ)求证：AB⊥平面PBD；
(Ⅱ)求点B到平面DEP的距离．
19.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知a=2，且_____．
在①m=(csA,csB),n=(b−2c,a)，且m⊥n，②acsA+acs(B−C)=2 3bcsAsinC,③(b+c)2−a2=4 3S这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.(注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)求b−2c的取值范围．
20.(本小题12分)
已知向量a=(sinx,csx),b=(csx,− 3csx)，函数f(x)=a⋅b+ 32．
(Ⅰ)当x∈[π6,π]时，求f(x)的单调递增区间；
(Ⅱ)将f(x)的图象向左平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为g(x)，若关于x的方程2(g(x))2+mg(x)+1=0在[0,π2]上恰有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．
21.(本小题12分)
如图，在直三棱柱A1B1C1−ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．
(1)求证：BA1/​/平面C1AD；
(2)求二面角A1−BC−A的正切值．
22.(本小题15分)
若定义在D上的函数f(x)满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界，最小的M称为函数f(x)的上确界．
(1)求函数f(x)=|sinx|+sinx的上确界；
(2)已知函数f(x)=1lnx+x+lnx+x−4,x∈(23,2)，证明：2为函数f(x)的一个上界；
(3)已知函数f(x)=4−x+λ+2x2x,x∈[0,+∞)，若3为f(x)的上界，求实数λ的取值范围．
参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10．
答案
1.D
2.D
3.B
4.B
5.B
6.A
7.D
8.B
9.AC
10.ABD
11.ABC
12.BC
13.35
14.(−∞,4]
15.60
16.0 (57,105)
17.解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知，(0.004+a+0.018+0.022+0.022+0.028)×10=1，
解得a=0.006，
所以该校学生满意度打分不低于70分的人数为：1000×(0.28+0.22+0.18)=680(人)；
(Ⅱ)平均数为：x−=45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2(分)，
因为0.04+0.06+0.22+0.28=0.6，0.04+0.06+0.22+0.28+0.22=0.82，
所以75%的分位数位于[80,90)内，设其为m，
则0.6+(m−80)×0.22=0.75，
解得m≈86.82，
即75%的分位数约为86.82分；
(Ⅲ)由频率分布直方图可知，打分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.04和0.06，
所以打分在[40,50)和[50,60)内的频率之比为2：3，
所以在打分[40,50)中抽取的人数为25×10=4人，在打分[50,60)中抽取的人数为35×10=6人．
18.(Ⅰ)证明：∵AD=2BC=2 2,PA=3PD=3，
∴AD2+PD2=PA2，即PD⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PD⊂平面PAD，
∴PD⊥平面ABCD，
∵AB⊂平面ABCD，∴PD⊥AB，
∵△ABD为等腰直角三角形，∴BD⊥AB，
又PD∩BD=D，PD、BD⊂平面PBD，
∴AB⊥平面PBD．
(Ⅱ)解：∵△ABD为等腰直角三角形，AD=2 2，
∴AB=BD=2，
由(Ⅰ)知，PD⊥平面ABCD，
∵BD⊂平面ABCD，∴PD⊥BD，
∴S△PBD=12BD⋅PD=12×2×1=1，S△EDP=12S△ADP=12⋅12AD⋅PD=12×12×2 2×1= 22，
设点B到平面DEP的距离为d，
由(Ⅰ)知，AB⊥平面PBD，
∵E为AP的中点，
∴VB−DEP=VE−PDB=12VA−PDB，即13S△DEP⋅d=12×13S△PBD⋅AB=12×13×1×2=13，
∴d=1S△DEP= 2，
即点B到平面DEP的距离为 2．
19.解：(Ⅰ)若选①，依题意得，m⋅n=(b−2c)csA+acsB=0，
由正弦定理得，(sinB−2sinC)csA+sinAcsB=0，
所以sinBcsA+sinAcsB−2sinCcsA=0，
所以sin(A+B)−2sinCcsA=0，即sinC−2sinCcsA=0，
所以sinC(1−2csA)=0，
因为sinC>0，所以1−2csA=0，即csA=12，
又A∈(0,π)，所以A=π3．
若选②，csA=cs[π−(B+C)]=−cs(B+C)，
因为acsA+acs(B−C)=2 3bcsAsinC，
所以−acs(B+C)+acs(B−C)=2 3bcsAsinC，
展开整理得，2asinBsinC=2 3bcsAsinC，
所以sinC(asinB− 3bcsA)=0，
因为sinC>0，所以asinB− 3bcsA=0，
由正弦定理得，sinAsinB− 3sinBcsA=0，
因为sinB>0，所以sinA− 3csA=0，即tanA= 3，
又A∈(0,π)，所以A=π3．
若选③，因为(b+c)2−a2=4 3S，所以b2+c2−a2+2bc=4 3⋅12bcsinA，即b2+c2−a22bc+1= 3sinA，
由余弦定理得，csA=b2+c2−a22bc，
所以csA+1= 3sinA，
所以2sin(A−π6)=1，即sin(A−π6)=12
因为A∈(0,π)，所以A−π6=π6或5π6，即A=π3或π(舍)，
所以A=π3．
(Ⅱ)由正弦定理得，bsinB=csinC=asinA=4 33，
所以b−2c=4 33(sinB−2sinC)，
因为B+C=2π3，
所以sinB=sin(2π3−C)= 32csC+12sinC，
所以b−2c=4 33( 32csC−32sinC)=−4sin(C−π6)，
因为C∈(0,2π3)，所以C−π6∈(−π6,π2)，所以sin(C−π6)∈(−12,1)，
所以b−2c=−4sin(C−π6)∈(−4,2)．
20.解：(Ⅰ)已知向量a=(sinx,csx),b=(csx,− 3csx)，函数f(x)=a⋅b+ 32，
则f(x)=sinxcsx− 3csx2+ 32=12sin2x− 3+ 3cs2x2+ 32
=12sin2x− 32cs2x=sin(2x−π3)，
若要f(x)单调递增，则−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ(k∈Z)，即−π12+kπ≤x≤5π12+kπ(k∈Z)，
而x∈[π6,π]，故π6≤x≤5π12或11π12≤x≤π，
所以f(x)在x∈[π6,π]范围内的单调递增区间是[π6,5π12]和[11π12,π]；
(Ⅱ)将f(x)的图象向左平移π6个单位长度后，得到g(x)=f(x+π6)=sin2x，
由于g(x)=sin2x在[0,π4]上递增，在[π4,π2]上递减，g(0)=g(π2)=0,g(π4)=1，
故原命题等价于关于t的方程2t2+mt+1=0在[0,1)上恰有一根，且t=1不是根，
设φ(t)=2t2+mt+1，则由二次函数的性质知命题等价于ϕ(0)ϕ(1)≤0ϕ(1)≠0或Δ=m2−8=00≤−m4<1，
即3+m≤03+m≠0或|m|=2 2−4所以m的取值范围是(−∞,−3)∪{−2 2}．
21.(1)证明：设A1C∩AC1=O，则O是A1C中点，连接OD，
又∵D是BC中点，∴OD//A1B，
又∵BA1⊄平面C1AD，OD⊂平面C1AD，
∴A1B/​/平面C1AD；

(2)解：∵AB=AC，∴AD⊥BC，
AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴AA1⊥BC，同理AA1⊥AD，
AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面A1AD，
∴BC⊥平面A1AD，而A1D⊂平面A1AD，故BC⊥A1D，
∴∠A1DA是二面角A1−BC−A的平面角，
在直角△AA1D中，AA1=4，AD=12BC=12 22+22= 2，
tan∠A1DA=A1AAD=4 2=2 2，
∴二面角A1−BC−A的正切值为2 2．
22.解：(1)依题意f(x)=2sinx,2kπ≤x≤π+2kπ0,π+2kπ故f(x)∈[0,2]，|f(x)|≤2，
故f(x)=|sinx|+sinx的上确界为2；
(2)证明：令lnx+x=t∈(ln23+23,2+ln2)，
故原函数化为g(t)=t+1t−4，
由对勾函数性质可知，g(t)在t∈(ln23+23,1)上单调递减，在t∈(1,ln 2+2)上单调递增，
且g(1)=−2,−2故|g(t)|<2，故2为函数f(x)的一个上界；
(3)依题意，|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立，即−3≤f(x)≤3对x∈[0,+∞)恒成立，
令t=12x∈(0,1]，故−(t+4t)≤λ≤2t−t对t∈(0,1]恒成立，
所以[−(t+4t)]max≤λ≤(2t−t)min，
设ℎ(t)=−(t+4t)，p(t)=2t−t,t∈(0,1],
因为ℎ(t)在(0,1]上单调递增，p(t)在(0,1]上单调递减，
所以ℎ(t)在(0,1]上的最大值为ℎ(1)=−5，p(t)在(0,1]上的最小值为p(1)=1，
所以实数λ的取值范围为[−5,1]． 9.3
8.8
8.9
9.0
8.9
9.0
9.1
8.7
9.2
9.0
9.1
9.2