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2023-2024学年江苏省南京市秦淮中学高二下学期期末调研数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年江苏省南京市秦淮中学高二下学期期末调研数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=xx2−4x+3≤0，B=x2A. x3≤x<4B. x1≤x≤3C. x22.复数z=3−i1+i的虚部为( )
A. 2B. −2C. 2iD. −2i
3.已知向量a=1,2，b=x,3，若a⊥(a−b)，则x=( )
A. −6B. −1C. 32D. 6
4.已知直线l:y=kx和圆C:(x−1)2+(y−1)2=1，则“k=0”是“直线l与圆C相切的”( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
5.已知抛物线y=14x2上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( )
A. 1716B. 5C. 6D. 4 2
6.已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为9 3π，则圆锥的高为( )
A. 3B. 2 3C. 3 2D. 3 3
7.已知sinα+β=m，tanαtanβ=2，则sinα−β=( )
A. m3B. −m3C. 3mD. −3m
8.已知函数f(x)=ax−1,x<1x2−2ax,x≥1,满足对∀x1,x2∈R且x1≠x2，有fx1−fx2x1−x2>0成立，则实数a的取值范围是( )
A. 0,1B. 0,1C. 0,23D. 23,1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.第一组样本数据x1,x2,⋯,xn，第二组样本数据y1,y2,⋯,yn，其中yi=2xi−1,(i=1,2,⋯,n)则( )
A. 第二组样本数据的样本平均数小于第一组样本数据的样本平均数的2倍
B. 第二组样本数据的中位数大于第一组样本数据的中位数的2倍
C. 第二组样本数据的样本标准差等于第一组样本数据的样本标准差的2倍
D. 第二组样本数据的样本极差等于第一组样本数据的样本极差的2倍
10.已知函数fx=sin2x+π3，gx=cs2x+π6，则下列说法正确的是( )
A. y=fx的图象关于点π12,0对称
B. gx在区间π2,5π6上单调递增
C. 将gx图象上的所有点向右平移π6个单位长度即可得到fx的图象
D. 函数ℎx=fx+gx的最大值为 3
11.已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=π3，将△DAC沿着对角线AC折起至△D′AC，连结BD′.设二面角D′−AC−B的大小为θ，则下列说法正确的是( )
A. 若四面体D′ABC为正四面体，则θ=π3
B. 四面体D′ABC的体积最大值为1
C. 四面体D′ABC的表面积最大值为2( 3+2)
D. 当θ=2π3时，四面体D′ABC的外接球的半径为 213
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数y=ax+1 ax2−4ax+2的定义域为R，则实数a的取值范围是 ．
13.若2x2−1xn的展开式中第5项为常数项，则该常数项为 (用数字表示)．
14.“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则P(B|A)=
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记▵ABC内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知a2+b2=c2+ 2ab，sinC− 2csB=0
(1)求B；
(2)若a= 3+1，求▵ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知A0,3和P3,32为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点P且斜率为12的直线l交C于另一点B，求▵ABP的面积．
17.(本小题15分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，AB的中点．
(1)证明：直线BC1//平面A1ECF．
(2)求点B到平面A1ECF的距离．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2−ax+aex，其中a∈R．
(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)当a>0时，若f(x)在[0,a]的最小值为1e，求a的值．
19.(本小题17分)
已知数列an的前n项和为Sn.若对每一个n∈N∗，有且仅有一个m∈N∗，使得Sm≤an(1)若an的前四项依次为0，1，−1，1，试判断an是否为“X数列”，并说明理由；
(2)若Sn=2 n，证明an为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式．
答案
1.C
2.B
3.B
4.C
5.B
6.D
7.A
8.C
9.ACD
10.BCD
11.BCD
12.[0,12)
13.60
14.1011
15.解：(1)
16.解：(1)
由题意得b=39a2+94b2=1，解得b2=9a2=12,
所以椭圆C的标准方程为：x212+y29=1
(2)
如图过点P3,32且斜率为12的直线l设为：y−32=12(x−3)化简即l:y=12x，
即l:x−2y=0，经过原点，由椭圆的对称性知道，P,B关于原点对称，
则B−3,−32，|PB|= (3−(−3))2+(32−(−32))2=3 5，
由点到直线距离公式求得A0,3到l:x−2y=0的距离d=|−6| 5=6 55，
则S▵ABP=12|PB|⋅d=12×3 5×6 55=9，
故▵ABP的面积为9．
17.(1)证明：如图，连接EF，
因为E，F分别是C1D1，AB的中点，
所以EC1=BF，EC1//BF，
所以四边形EFBC1为平行四边形，
则EF//BC1，
又EF⊂平面A1ECF，BC1⊄平面A1ECF，
所以BC1//平面A1ECF．
(2)解：连接EB，设点B到平面A1ECF的距离为ℎ．
VE−BFC=13S△BFC⋅CC1=23，
在△EFC中，EF=2 2，EC=FC= 5，
S△EFC=12×2 2× 5−2= 6．
又因为VE−BFC=VB−EFC，
所以13× 6ℎ=23，
解得ℎ= 63．
18.解：(1)当a=0，f(x)=x2ex，f′(x)=2x−x2ex，所以f(1)=1e，f′(1)=1e．
所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−1e=1e(x−1)，即y=xe；
(2)f′(x)=−x2−(a+2)x+2aex=−(x−2)(x−a)ex．
若0考虑g(a)=aea，a∈R，则g′(a)=1−aea．
在(−∞,1)上，g′(a)>0，g(a)单调递增;在(1,+∞)上，g′(a)<0，g(a)单调递减;
所以g(a)的极大值为g(1)=1e．
所以由aea=1e，可得a=1．
19.解：(1)
由S1=0，S2=1，S3=0，S4=1，
所以S1≤a1≤S2，S3≤a1≤S4，根据“X数列”定义an不是X数列．
(2)
因为Sn=2n，所以当n=1，a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−2n−1=2n−1，
则a1=2不满足an=2n−1，所以an=2,n=12n−1,n≥2,
令Sm≤an则当n=1时，有2m≤a1=2<2m+1⇒m=1，当n≥2时，有2m≤2n−1<2m+1，
故m≤n−1则对每一个n∈N∗n≥2，有且仅有一个m∈N∗且m=n−1，使得Sm≤an综上，对于任意n∈N∗，有且仅有一个m∈N∗，使得Sm≤an由上bn=Sm+1−an=2m+1−2,n=12m+1−2n−1,n≥2=2,n=12n−1,n≥2，即an的“余项数列”bn的通项公式为bn=2,n=12n−1,n≥2,n∈N∗．
1.已知集合A=xx2−4x+3≤0，B=x2
A. 2B. −2C. 2iD. −2i
3.已知向量a=1,2，b=x,3，若a⊥(a−b)，则x=( )
A. −6B. −1C. 32D. 6
4.已知直线l:y=kx和圆C:(x−1)2+(y−1)2=1，则“k=0”是“直线l与圆C相切的”( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
5.已知抛物线y=14x2上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( )
A. 1716B. 5C. 6D. 4 2
6.已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为9 3π，则圆锥的高为( )
A. 3B. 2 3C. 3 2D. 3 3
7.已知sinα+β=m，tanαtanβ=2，则sinα−β=( )
A. m3B. −m3C. 3mD. −3m
8.已知函数f(x)=ax−1,x<1x2−2ax,x≥1,满足对∀x1,x2∈R且x1≠x2，有fx1−fx2x1−x2>0成立，则实数a的取值范围是( )
A. 0,1B. 0,1C. 0,23D. 23,1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.第一组样本数据x1,x2,⋯,xn，第二组样本数据y1,y2,⋯,yn，其中yi=2xi−1,(i=1,2,⋯,n)则( )
A. 第二组样本数据的样本平均数小于第一组样本数据的样本平均数的2倍
B. 第二组样本数据的中位数大于第一组样本数据的中位数的2倍
C. 第二组样本数据的样本标准差等于第一组样本数据的样本标准差的2倍
D. 第二组样本数据的样本极差等于第一组样本数据的样本极差的2倍
10.已知函数fx=sin2x+π3，gx=cs2x+π6，则下列说法正确的是( )
A. y=fx的图象关于点π12,0对称
B. gx在区间π2,5π6上单调递增
C. 将gx图象上的所有点向右平移π6个单位长度即可得到fx的图象
D. 函数ℎx=fx+gx的最大值为 3
11.已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=π3，将△DAC沿着对角线AC折起至△D′AC，连结BD′.设二面角D′−AC−B的大小为θ，则下列说法正确的是( )
A. 若四面体D′ABC为正四面体，则θ=π3
B. 四面体D′ABC的体积最大值为1
C. 四面体D′ABC的表面积最大值为2( 3+2)
D. 当θ=2π3时，四面体D′ABC的外接球的半径为 213
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数y=ax+1 ax2−4ax+2的定义域为R，则实数a的取值范围是 ．
13.若2x2−1xn的展开式中第5项为常数项，则该常数项为 (用数字表示)．
14.“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则P(B|A)=
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记▵ABC内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知a2+b2=c2+ 2ab，sinC− 2csB=0
(1)求B；
(2)若a= 3+1，求▵ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知A0,3和P3,32为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点P且斜率为12的直线l交C于另一点B，求▵ABP的面积．
17.(本小题15分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，AB的中点．
(1)证明：直线BC1//平面A1ECF．
(2)求点B到平面A1ECF的距离．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2−ax+aex，其中a∈R．
(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)当a>0时，若f(x)在[0,a]的最小值为1e，求a的值．
19.(本小题17分)
已知数列an的前n项和为Sn.若对每一个n∈N∗，有且仅有一个m∈N∗，使得Sm≤an
(2)若Sn=2 n，证明an为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式．
答案
1.C
2.B
3.B
4.C
5.B
6.D
7.A
8.C
9.ACD
10.BCD
11.BCD
12.[0,12)
13.60
14.1011
15.解：(1)
16.解：(1)
由题意得b=39a2+94b2=1，解得b2=9a2=12,
所以椭圆C的标准方程为：x212+y29=1
(2)
如图过点P3,32且斜率为12的直线l设为：y−32=12(x−3)化简即l:y=12x，
即l:x−2y=0，经过原点，由椭圆的对称性知道，P,B关于原点对称，
则B−3,−32，|PB|= (3−(−3))2+(32−(−32))2=3 5，
由点到直线距离公式求得A0,3到l:x−2y=0的距离d=|−6| 5=6 55，
则S▵ABP=12|PB|⋅d=12×3 5×6 55=9，
故▵ABP的面积为9．
17.(1)证明：如图，连接EF，
因为E，F分别是C1D1，AB的中点，
所以EC1=BF，EC1//BF，
所以四边形EFBC1为平行四边形，
则EF//BC1，
又EF⊂平面A1ECF，BC1⊄平面A1ECF，
所以BC1//平面A1ECF．
(2)解：连接EB，设点B到平面A1ECF的距离为ℎ．
VE−BFC=13S△BFC⋅CC1=23，
在△EFC中，EF=2 2，EC=FC= 5，
S△EFC=12×2 2× 5−2= 6．
又因为VE−BFC=VB−EFC，
所以13× 6ℎ=23，
解得ℎ= 63．
18.解：(1)当a=0，f(x)=x2ex，f′(x)=2x−x2ex，所以f(1)=1e，f′(1)=1e．
所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−1e=1e(x−1)，即y=xe；
(2)f′(x)=−x2−(a+2)x+2aex=−(x−2)(x−a)ex．
若0
在(−∞,1)上，g′(a)>0，g(a)单调递增;在(1,+∞)上，g′(a)<0，g(a)单调递减;
所以g(a)的极大值为g(1)=1e．
所以由aea=1e，可得a=1．
19.解：(1)
由S1=0，S2=1，S3=0，S4=1，
所以S1≤a1≤S2，S3≤a1≤S4，根据“X数列”定义an不是X数列．
(2)
因为Sn=2n，所以当n=1，a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−2n−1=2n−1，
则a1=2不满足an=2n−1，所以an=2,n=12n−1,n≥2,
令Sm≤an
故m≤n−1
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