2023-2024学年江苏省南京市秦淮区高二（下）质检数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市秦淮区高二（下）质检数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知点A(3,−1,0)，若向量AB=(2,5,−3)，则点B的坐标是( )
A. (1,−6,3)B. (5,4,−3)C. (−1,6,−3)D. (2,5,−3)
2.设f(x)=xlnx，若f′(x0)=2，则x0等于( )
A. e2B. eC. ln22D. ln2
3.用0，1，2，…，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是( )
A. A63B. A63−A53C. 5A52D. A53
4.(x−2)(x−3)(x−4)…(x−15)(x∈N+,x>15)可表示为( )
A. Ax−213B. Ax−214C. Ax−1513D. Ax−1514
5.在三棱柱ABC−A1B1C1中，记AA1=a，AB=b，AC=c，点P满足BP=2PC1，则AP=( )
A. 13a−23b+13cB. 13a+23b+13c
C. 23a+13b−23cD. 23a+13b+23c
6.已知双曲线x2a2−y2=1a>0的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )
A. y=± 5xB. y=± 55xC. y=± 3xD. y=± 33x
7.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A. 60种B. 78种C. 84种D. 144种
8.已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足ME⋅MF=−40，AB是正方体的一条棱，则AM⋅AB的最小值为( )
A. 16( 2−4)B. 16(2− 2)C. 16(4− 2)D. 16( 2−2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，an+1=3Sn，n∈N∗，则( )
A. S2=4B. a6=16a4
C. 数列{an}是等比数列D. 数列{Sn}是等比数列
10.平面α经过三点A(1,0,−1)，B(0,1,0)，C(−1,2,0)，向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是( )
A. 直线AB的一个方向向量为a=(−2,2,2)
B. 线段AB的长度为3
C. 平面α的法向量n中u+t=1
D. 向量AB与向量BC夹角的余弦值为 63
11.甲、乙、丙、丁四名志愿者到A，B，C三所山区学校参加支教活动，每个志愿者仅在一所学校支教，要求每所学校至少安排一名志愿者，则下列结论中正确的是( )
A. 共有72种安排方法
B. 若甲被安排在A学校，则有12种安排方法
C. 若A学校需要两名志愿者，则有12种安排方法
D. 若甲、乙不能在同一所学校，则有30种安排方法
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知Cn+1n−1=21，那么n= ．
13.如图，已知空间四边形ABCD中，AB=a−2c，CD=5a+6b−8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF=______(用向量a，b，c表示)．
14.已知i，j，k是不共面向量，a=2i−j+3k，b=−i+4j−2k，c=7i+5j+λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲组有3名男生，3名女生；乙组有4名男生，2名女生．
(1)从这些学生中选出3人参加活动，至少有1名女生的不同选法有多少种？
(2)从甲、乙两组中各选出2名学生，选出的4人中恰有1名女生的不同选法有多少种？
(3)将这些学生排成两排，两组的女生站第一排，两组的男生站第二排，且同组学生均相邻，共有多少种不同的排法？
16.(本小题15分)
记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a7=5，a12=6.设bn=an⋅2nn．
(1)求S16的值；
(2)记K2n为数列{bn}的前2n项和，Tn为数列{bn2}的前n项和，且K2n=tTn，求实数t的值．
17.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，且过点P(2, 2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，若AF=3FB，求△PAB的面积．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ae2x+(a−2)ex−x．
(1)若函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x+3y=0垂直，求a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，PB⊥BC.点E在线段PC上．
(1)若3PE=EC，在PB上找一点F，使得E、F、A、D四点共面，并说明理由；
(2)求点A到平面PBC的距离；
(3)若直线AB与平面ABCD所成角的正弦值为 3010，求二面角E−AD−B的余弦值．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.B
5.D
6.D
7.B
8.D
9.ABD
10.ACD
11.BCD
12.6
13.3a+3b−5c
14.657
15.解：(1)从这些学生中选出3人参加活动有C123=220种选法，
没有女生有C73=35种，
则至少有1名女生的不同选法有220−35=185种．
(2)女生来自甲组有C31C31C42=54种选法，
女生来自乙组有C32C41C21=24种选法，
故选出的4人中恰有1名女生的不同选法有54+24=78种．
(3)两组的女生站第一排同组学生相邻有A33A22A22=24种排法，
两组的男生站第二排同组学生相邻有A33A44A22=288种排法，
共有24+288=312种不同的排法．
16.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
前n项和为Sn，a3+a7=5，a12=6，
可得2a1+8d=5，a1+11d=6，
解得a1=d=12，即有an=12n，
则S16=12×16×(12+12×16)=68；
(2)由(1)可得bn=an⋅2nn=2n−1，
bn2=4n−1，
则K2n=1−22n1−2=4n−1，
Tn为数列{bn2}的前n项和，可得Tn=1−4n1−4=13(4n−1)，
可得K2n=tTn，即为4n−1=t3(4n−1)，
解得t=3．
17.解：(1)由题意可得e=ca= 1−b2a2= 324a2+2b2=1，
解得a2=8，b2=4，
所以椭圆的方程为：x28+y24=1；
(2)由(1)可得右焦点F(2,0)，
当直线AB的斜率为0时，则直线AB的方程为y=0，
因为AF=3FB，可得A(−2 2,0)，B(2 2,0)，
所以AF=(2+2 2,0)，FB=(2 2−2,0)，显然与AF=(3+2 2)FB，与已知条件矛盾，
所以直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为x=my+2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=my+2x28+y24=1，
整理可得：(2+m2)y2+4my−4=0，
可得y1+y2=−4m2+m2，①
y1y2=−42+m2，②
因为AF=3FB，即(−2−x1,−y1)=3(x2−2,y2)，
可得−y1=3y2，即y1=−3y2，③
将③代入①，可得y2=2m2+m2，y1=−6m2+m2，
再代入②可得：−12m2(2+m2)2=−42+m2，
可得m2=1，
点P(2, 2)到直线AB：x−my−2=0的距离d=|2− 2m−2| 1+m2=| 2m| 1+m2，
弦长|AB|= 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2= 1+m2⋅ 16m2(2+m2)2−4⋅−42+m2=4 2(1+m2)2+m2，
所以S△PAB=12|AB|⋅d=12⋅4 2(1+m2)2+m2⋅| 2m| 1+m2=4 (1+m2)m22+m2=4 23．
18.解：(1)由f(x)=ae2x+(a−2)ex−x，求导得f′(x)=2ae2x+(a−2)ex−1，
直线x+3y=0的斜率为−13，
又函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x+3y=0垂直，
所以f′(0)=3，即2a+(a−2)−1=3，解得a=2．
(2)因为e2x>0，ex≥0，
所以当a≤0时，f′(x)<0，所以f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f′(x)=(2ex+1)(aex−1)=2a(ex+12)(ex−1a)，
令f′(x)=0，解得x=−lna，当f′(x)>0，解得x>−lna，当f′(x)<0，解得x<−lna，
所以x∈(−∞,−lna)时，f(x)单调递减，x∈(−lna,+∞)时，f(x)单调递增．
综上，可知：当a≤0时，f(x)在R上为减函数，
当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)上是减函数，在(−lna,+∞)上是增函数．
(3)①若a≤0，由(2)可知：f(x)最多有一个零点，
②当a>0时，由(1)可知：当x=−lna时，f(x)取得最小值，f(x)max=f(−lna)=1−1a−ln1a，
当a=1时，f(−lna)=0，故f(x)只有一个零点，
当a∈(1,+∞)时，由1−1a−ln1a>0，即f(−lna)>0，故f(x)没有零点，
当a∈(0,1)时，1−1a−ln1a<0，f(−lna)<0，
由f(−2)=ae−4+(a−2)e−2+2−2>−2e−2+2>0，
故f(x)在(−∞,−lna)有一个零点，
假设存在正整数n0，满足n0>ln(3a−1)，
则f(n0)=en0(aen0+a−2)−n0>en0−n0>2n0−n0>0，
由ln(3a−1)>−lna，所以n0>−lna，因此在(−lna,+∞)上有一个零点．
综上，a的取值范围为(0,1)．
19.解：(1)当3PF=FB时，E、F、A、D四点共面，理由如下：
证明：令3PF=FB，∵3PE=EC，

即PFFB=PEEC，
∴EF/​/BC，
又∵AD/​/BC，
∴EF/​/AD，
故E、F、A、D四点共面；
(2)取AD的中点O，连接OB，OP，如图所示：

∵△PAD为等边三角形，AD=2，
∴OP⊥AD，AO=1，OP= 3，
又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，OP⊂平面PAD，
∴OP⊥平面ABCD，
∵OB⊂平面ABCD，
∴OP⊥OB，
∵PB⊥BC，BC/​/AD，
∴AD⊥PB，
∵OP⊥AD，且OP⊂平面POB，PB⊂平面POB，OP∩PB=P，
∴AD⊥平面POB，
∵OB⊂平面POB，
∴OB⊥AD，
在菱形ABCD中，AB=2，则OB= 3，
∴PB= PO2+OB2= 6，
设点A到平面PBC的距离为ℎ，
则VA−PBC=VP−ABC，
即13S△PBC⋅ℎ=13S△ABC⋅OP，
即13×12×2× 6ℎ=13×12× 3×2× 3，
解得ℎ= 62，
故点A到平面PBC的距离为 62；
(3)由(2)得OA，OB，OP两两垂直，则建立以O为原点的空间直角坐标系O−xyz，
则O(0,0,0)，P(0,0, 3)，C(−2, 3,0)，A(1,0,0)，D(−1,0,0)，
E为线段PC上一点，设PE=tPC，则E(−2t, 3t, 3− 3t)，
∴AE=(−2t−1, 3t, 3− 3t)，
∵OP⊥平面ABCD，
∴平面ABCD的法向量为OP=(0,0, 3)，
∴|cs|=|OP⋅AE||OP|⋅|AE|=|3−3t| (−2t−1)2+3t2+( 3− 3t)2⋅ 3= 3010，
解得t=13．
E(−23,− 33,2 33)，
设平面ADE的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AD=−2x=0n⋅AE=−53x+ 33y+2 33z=0，
取y=−2，则x=0，z=1，
∴平面ADE的法向量为n=(0,−2,1)，
设二面角E−AD−B的平面角为θ，
则|csθ|=|cs|=|n⋅OP||n|⋅|OP|= 3 3× 5= 55，
由图知，二面角E−AD−B的平面角为锐角，
故二面角E−AD−B的余弦值为 55．