江苏省南京市五所高中学校合作联盟2023-2024学年高二下学期期中学情调研数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南京市五所高中学校合作联盟2023-2024学年高二下学期期中学情调研数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知点,则点A坐标为( )
A.B.C.D.
2．的展开式中,含项的系数为( )
A.6B.-6C.15D.-15
3．从5名男生和3名女生中选派3人参加志愿者工作,要求男、女生都要有,则不同的选派方法种数为( )
A.90B.56C.45D.15
4．《九章算术》中,将底面为长方形,且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中,若平面,且,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
5．四面体中,,,,,,则( )
A.B.
C.D.
6．( )
A.84B.83C.70D.69
7．某企业召集6个部门的员工座谈,其中A部门有2人到会,其它5个部门各有1人到会,座谈会上安排来自不同部门的3人按顺序发言,则不同的安排方法种数为( )
A.90B.120C.180D.210
8．平行六面体中,所有棱长均为2,,．则的长为( )
A.B.C.D.5
二、多项选择题
9．已知向量,,能构成空间的一组基底,则能与向量,构成空间另一组基底的向量是( )
A.B.C.D.
10．若,则下列结论中正确的是( )
A.B.
C.D.
11．将4个不同的小球全部放入编号分别为1,2,3,4的4个盒子中,下列正确的是( )
A.没有空盒子的放法种数为24
B.1号盒子为空盒子的放法种数为64
C.恰有1个空盒子的放法种数为144
D.恰有2个空盒子的放法种数为84
三、填空题
12．的展开式中项的系数为_____________．
13．小王准备从下周的周一至周日这7天中选择2天出差,则这2天不相邻的选择方法种数为__________．
四、双空题
14．长方体中,,点P是线段上异于B,的动点,记．当为钝角时,实数t的取值范围是__________;当点P到直线的距离为时,T的值为___________．
五、解答题
15．用0,1,2,3,4,5这6个数字,求：
（1）组成没有重复数字的四位偶数的个数;
（2）组成无重复数字且大于4000的自然数的个数．
16．如图,在正四棱锥中,底面正方形的对角线,交于点O,,,Q为中点．求：
（1）与平面所成角的正弦值;
（2）点C到平面的距离．
17．如图,直棱柱中,,,,,M为中点,N为的三等分点（靠近点C）．
（1）设二面角大小为,求;
（2）若点G在上,且平面,求的长度．
18．已知的展开式中,前3项的二项式系数之和等于56．
（1）求n的值：
（2）若展开式中的常数项为,
①求a的值;
②第项的系数是第项系数的6倍,求的值．
19．如图,四面体中,,．
（1）求证：平面平面;
（2）若,
①若直线与平面所成角为30°,求的值;
②若平面,H为垂足,直线与平面的交点为G．当三棱锥体积最大时,求的值．
参考答案
1．答案：B
解析：设,
则,
所以,解得,
所以点A坐标为.
故选：B.
2．答案：C
解析：展开式的通项为,
令,则,
所以含项的系数为.
故选：C.
3．答案：C
解析：若有1名男生2名女生,则有种,
若有2名男生1名女生,则有种,
所以不同的选派方法种数为种.
故选：C.
4．答案：C
解析：以A为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,建系如图,
不妨设,则,,,,
,,
设异面直线与所成角为,.
故选：C.
5．答案：A
解析：.
故选：A.
6．答案：D
解析：依题意,
.
故选：D.
7．答案：C
解析：依题意,从7个人中任取3个作排列,共有种,其中包含A部门的2人同时被取到,
而A部门的2人同时被取到的排列数是,
所以不同的安排方法种数为.
故选：C.
8．答案：B
解析：,
故
,
即的长为.
故选：B.
9．答案：BCD
解析：对于选项A：因为,
所以,,三个向量共面,
故不能构成空间的一个基底,故A错误;
对于选项B：因为,
则,方程无解,即不存在实数x,y使得该式成立,
所以,,不共面,可以作为基底向量,故B正确;
对于选项C：因为,
则,方程无解,即不存在实数x,y使得该式成立,
所以,,不共面,可以作为基底向量,故C正确;
对于选项D：因为,
则,方程无解,即不存在实数x,y使得该式成立,
所以,,不共面,可以作为基底向量,故D正确;
故选：BCD.
10．答案：AC
解析：对于A,令,则①,故A正确;
对于B,令,则②,
②减①可得：,故B错误;
对于C,令,则③,
②减③可得：,
则,故C正确;
对于D,令,则,
所以,故D错误.
故选：AC.
11．答案：ACD
解析：对于A,没有空盒子的放法种数为种,故A正确;
对于B,1号盒子为空盒子的放法种数为种,故B错误;
对于C,恰有1个空盒子的放法种数为,故C正确;
对于D,恰有2个空盒子放法种数为,故D正确.
故选：ACD.
12．答案：30
解析：表示5个多项式相乘,展开式中项是上述5个多项式取2个用x,
余下3个再取2个用y,最后1个用1相乘的积,因此该项为,
所以的展开式中项的系数为30.
故答案为：30.
13．答案：15
解析：从7天中选择2天出差,共有种方法,
其中7天中选择2天相邻出差有周一周二,周二周三,周三周四,周四周五,周五周六,周六周天,共6种方法,
所以这2天不相邻选择方法种数为：种.
故答案为：15.
14．答案：①.②. 或0.25
解析：在长方体中,建立如图所示的空间直线坐标系,
则,,,,令,
则有,,,,,
由为钝角,得,解得,
,因此;
显然,点P到直线的距离
,
整理得,
解得,所以.
故答案为：;.
15．答案：（1）156
（2）1320
解析：（1）分为两类,第一类个位数是0时,前三位数共有排法;
第二类个位数是2或4时,千位数有4种选择,百位数和十位数共有种排法,
由分步计数原理可得共有个,
综上可得,没有重复数字的四位偶数的个数为.
（2）四位数中千位数是4或5时,有个;
五位数有个,六位数有个,
所以无重复数字且大于4000的自然数的个数为1320个.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可知,,两两垂直,
如图,以点O为原点建立空间直角坐标系,
,
则,,,,,
故,,,
设平面法向量为,
则有,可取,
所以,
所以与平面所成角的正弦值为;
（2）,,
设平面的法向量为,
则有,可取,
则点C到平面的距离为．
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为是直棱柱,所以平面,平面,所以,,
因为,,所以,所以,,两两垂直,
以A为原点,分别以,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图
由图可知,,,,
则,,
设平面的法向量,则即
得,所以,
同理可得平面的法向量,
所以,所以.
（2）由图可知,则
因点在上,设,
则,
因为平面,所以,即,
所以,即,.
18．答案：（1）10;
（2）①;②
解析：（1）依题意,,即,整理得,而,
所以.
（2）①由（1）知,二项式展开式的通项为,,
由,得,因此,即,而,
所以.
②由①知,,,,依题意,,
即,则,解得,
所以.
19．答案：（1）见解析
（2）①;②
解析：（1）取的中点O,连接,,
因为,,则,
所以,所以,所以,
又因为所以,
则,又因为,
所以,又因为,
,,平面,所以平面,
又因为平面,所以平面平面;
（2）①因为,,两两相互垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,
所以,,,
设,因为,,
所以由可得：,,
所以,
,,
设平面的法向量为,则,
取,可得,,所以,
因为直线与平面所成角为30°,
所以
则,化简可得：,
解得：或（舍去）.
②由（1）知,平面,又平面
所以,H在上,
因为,所以,
,所以,
即,所以,,
所以,
三棱锥体积为：
,
因为,当时,三棱锥体积最大为,
此时P,H分别为,的中点,所以,
,,,
设,设,
因为,,
所以,,,所以,
因为G在平面上,所以设,
所以,,
所以,解得：,
所以,所以.