2023-2024学年江苏省南京市秦淮中学等五校联合体高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市秦淮中学等五校联合体高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=3+i(i为虚数单位)，则复数zz−2i的虚部是( )
A. 45B. 45iC. 35D. 35i
2.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若m//α，n⊂α，则m//n
B. 若m⊥α，n⊥α，则m//n
C. 若m//β ，n//β，且m⊂α，n⊂α，则α//β
D. 若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥β
3.已知数据x1,x2,x3,⋯xn的平均数为10，方差为5，数据3x1−1,3x2−1,3x3−1,⋯3xn−1的平均数为x，方差为s2，则( )
A. x =10，s2=14B. x =9，s2=44
C. x =29，s2=45D. x =29，s2=44
4.向量a与b不共线，AB=a+kb，AC=ma−b(k,m∈R)，若AB与AC共线，则k,m应满足( )
A. k+m=0B. k−m=0C. km+1=0D. km−1=0
5.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件A=“第一枚向上点数为奇数”，事件B=“第二枚向上点数为偶数”，事件C=“两枚骰子向上点数之和为8”，事件D=“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则( )
A. A与C互斥B. A与C相互独立C. B与D互斥D. B与D相互独立
6.在▵ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c.若2bcsC=2a−c，A=π4，b=3，则实数a的值为( )
A. 6B. 3C. 6D. 3
7.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=4，PC与平面ABCD所成角的大小为θ，且tanθ=2 23，则四棱锥P−ABCD的外接球表面积为( )
A. 26πB. 28πC. 34πD. 14π
8.已知sin2θ=45，θ∈0,π4，若csπ4−θ=mcsπ4+θ，则实数m的值( )
A. −3B. 3C. 2D. −2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数z=i+3i2(i为虚数单位)，则下列结论正确的是( )
A. z的共轭复数为−3−iB. z⋅i=1−3i
C. z在复平面内对应的点位于第二象限D. z+2= 2
10.已知▵ABC内角A,B,C对边分别为a,b,c，则下列说法正确的是( )
A. 若sinA>sinB，则A>B
B. 若acsB=bcsA，则▵ABC为等腰三角形
C. 若a2+b2>c2，则▵ABC为锐角三角形
D. 若a=1.5,b=2,A=30∘的三角形有两解
11.如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，C1C，A1A的中点，则( )
A. M，N，B，A1四点共面
B. 若a=2，则异面直线PD1与MN所成角的正弦值为 1010
C. 平面PMN截正方体所得截面为等腰梯形
D. 若a=1，则三棱锥P−MD1B的体积为124
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是 ．
13.已知A−3,5，B1,10，C2,1，则tan∠ACB= ．
14.在▵ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠ABC=120∘，BD是▵ABC的中线，且BD=1，则a+c的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知sinα=− 55,α∈π,3π2,sin(α+β)=513,β∈π2,π．
(1)求tan2α的值；
(2)求sinβ的值．
16.(本小题12分)
某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照40,50,50,60，60,70,70,80，80,90,90,100分成6组，制成如图所示的频率直方图．
(1)求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩；
(2)若成绩在90,100的为A等级，70,90的为B等级，其他为C等级，
①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数．
②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率．(注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取)
17.(本小题12分)
如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BC，垂足为P，E为CD中点，

(1)若AP·AC=32，求AP的长；
(2)设|AB|= 2，|AC|= 5，cs∠BAC=− 1010，AP=xAE+yAC，求xy的值．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，M在棱PD上且AM⊥侧面PCD，PO⊥AD，垂足为O．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)若平面AMB与直线PC交于点Q，证明：MQ//AB；
(3)侧面PAD为等边三角形时，求二面角P−BD−A的平面角θ的正切值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3sin x+m cs x
(1)若函数f(x)的图象关于直线x=π6轴对称，求实数m的值．
(2)已知锐角△ABC的角A，B，C对边分别是a，b，c，c= 3且当m=1时满足f(A)=a+bc
(i)若∠BCA的角平分线交边AB于D，且CD= 22，求△ABC的周长；
(ii)求AB⋅BC+BC⋅CA+CA⋅AB的取值范围．
答案
1.C
2.B
3.C
4.C
5.C
6.C
7.C
8.B
9.ACD
10.ABD
11.AD
12.35或0.6
13.1
14.4
15.解：(1)因为sinα=− 55,α∈π,3π2，
所以csα=− 1−sin2α=− 1−525=−2 55，
所以tanα=sinαcsα=− 55−2 55=12，
所以tan2α=2tanα1−tan2α=2×121−14=43；
(2)因为α∈π,3π2,β∈π2,π，所以α+β∈3π2,5π2，
因为sin(α+β)=513，
所以csα+β= 1−sin2α+β=1213，
所以sinβ=sin[(α+β)−α]
=sinα+βcsα−csα+βsinα
=513×−2 55−1213×− 55
=2 565．
16.解：(1)由频率直方图知(0.004+0.022+0.030+0.028+m+0.004)×10=1，
∴m=0.012
易知40,50,50,60，60,70,70,80，80,90,90,100相应的频率分别为
0.04，0.22，0.30，0.28，0.12，0.04，
∴100名同学的平均成绩估计值为：
0.04×45+0.22×55+0.30×65+0.28×75+0.12×85+0.04×95=68.4．
(2)①由(1)知A等级的频率为0.04，A等级的人数为100×0.04=4人，
B等级的频率为(0.28+0.12)=0.4，B等级的人数为100×0.4=40人，
C等级的频率为(0.04+0.22+0.30)=0.56，C等级的人数为100×0.56=56人，
∴抽取25人中B等级中的人数为25×404+40+56=10人．
②用频率代替概率，所以抽取一次，B等级被抽中的概率为0.4，
抽取三次都没有抽中B等级的概率=(1−0.4)3=0.216，
所以随机抽取3人至少有一人为B等级的概率=1−0.216=0.784．
17.解：(1)∵AP⊥BC，∴AP是AC在AP方向上的投影向量，
∴AP·AC=AP2=AP2=32，即AP=4 2；
法二：∵AP⊥BC，∴AP·AC=|AP|·|AC|cs∠PAC=|AP|·|AP|=AP2=32，
即AP=4 2；
(2)在▵ABC中，BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs∠BAC==2+5−2× 2× 5×− 1010=9，
所以BC=3，
csB=BC2+AB2−AC22×AB×BC=2+9−52×3× 2= 22，
因为B∈(0,π)，所以B=π4，AP=ABsinB=1,BP=ABcsB=1,PC=BC−PB=2，
以P为坐标原点，PC,PA所在直线分别为x轴，y轴，建系如图：

易知P(0,0),A(0,1),C(2,0),D(3,1),因为E为CD中点，
所以E(52,12)，
AP=0,−1，AE=52,−12，AC=2,−1，
∵AP=xAE+yAC，∴(0,−1)=x(52,−12)+y(2,−1)=(52x+2y,−12x−y)
52x+2y=0−12x−y=−1，解得：x=−43y=53，所以：xy=−209
法二：
在▵ABC中，BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs∠BAC==2+5−2× 2× 5×− 1010=9，
所以BC=3，
csB=BC2+AB2−AC22×AB×BC=2+9−52×3× 2= 22，
因为B∈(0,π)，所以B=π4，AP=ABsinB=1,BP=ABcsB=1,PC=BC−PB=2，
因为PC=2PB，所以AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13AC−AB=23AB+13AC，
又∵AP=xAE+yAC=x(AC+CE)+yAC=x(AC−12AB)+yAC=−x2AB+(x+y)AC
由平面向量基本定理得：
−12x=23x+y=13，解得：x=−43y=53，所以：xy=−209
18.解：(1)如图：

因为AM⊥侧面PCD，DC⊂平面PCD，所以DC⊥AM，
又因为四边形ABCD为正方形，所以DC⊥AD，
又AM∩AD=A，AM,AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．
因为PO⊂侧面PAD，所以PO⊥CD，
因为PO⊥AD，且AD∩CD=D，AD,CD⊂平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．
(2)因为底面ABCD为正方形，所以AB/​/CD，
又因为AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AB//平面PCD．
又AB⊂平面ABQM，平面ABQM∩平面PCD=MQ，
所以MQ//AB．
(3)如图：
由题▵PAD为等边三角形，PO⊥AD，故O为AD中点，
在线段BD上取点N，使得DN=14BD，
因为ABCD是正方形，所以ON//AC，
又AC⊥BD，所以ON⊥BD，
又因为PO⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PO⊥BD，
又PO，ON⊂平面PON，PO∩ON=O，所以BD⊥平面PON，
又PN⊂平面PON，所以BD⊥PN，
所以∠PNO即为二面角P−BD−A的平面角，
设∠PNO=θ，
不妨设等边▵PAD的边长为2，
则PO= 3，ON=14AC= 22，
所以在Rt▵PON中，tanθ=POON= 6．
19.解：(1)因为f(x)图象关于直线x=π6轴对称，所以f(0)=f(π3)
所以 3sin0+mcs0= 3sinπ3+mcsπ3,
解得：m=3.
经检验：此时满足f(π6+x)=f(π6−x),
即m=3时f(x)图象关于直线x=π6轴对称．
法二：因为f(x)图象关于直线x=π6轴对称，所以f(π6+x)=f(π6−x),对任意x∈R都成立，
即 3sin(π6+x)+mcs(π6+x)= 3sin(π6−x)+mcs(π6−x)化简得：3sinx=msinx对任意x∈R都成立，所以m=3
(2)(i)由正弦定理得： 3sinA+csA=sinB+sinAsinC，
∴ 3sinAsinC+csAsinC=sinB+sinA=sin(A+C)+sinA=sinAcsC+csAsinC+sinA
∴ 3sinAsinC=sinAcsC+sinA
∵A∈(0,π2),∴sinA≠0∴ 3sinC=csC+1，
∴ 3sinC−csC=2sin(C−π6)=1，即sin(C−π6)=12,
而C∈(0,π2)，C−π6∈−π6,π3,∴C−π6=π6,解得：C=π3,
因为CD是∠BCA的角平分线，所以∠DCA=∠DCB=30∘,
∵S▵ABC=S▵ADC+S▵BDC
∴12absin∠ACB=12aCDsin∠DCB+12bCDsin∠DCA
∴ 34ab= 28a+ 28b∴ 6ab=a+b∵c2=a2+b2−2abcsC
∴3=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab=6a2b2−3ab
∴(2ab+1)(ab−1)=0,∴ab=1,a+b= 6,所以▵ABC的周长 3+ 6,
(ii)∵AB⋅BC=accsπ−B=− 3acsB
BC⋅CA=abcsπ−C=abcs2π3=−12ab
CA⋅AB=bccsπ−A=− 3bcsA
∴AB⋅BC+BC⋅CA+CA⋅AB=− 3acsB−12ab− 3bcsA=− 3a⋅a2+c2−b22ac−12ab− 3b⋅b2+c2−a22bc=−a2+3−b22−12ab−b2+3−a22=−ab+62
由正弦定理得：asinA=bsinB= 3sinπ3=2，∴a=2sinA，b=2sinB，
∴ab=4sinAsinB=4sinAsinA+C=4sinA12sinA+ 32csA=2sin2A+2 3sinAcsA=1−cs2A+ 3sin2A=2sin2A−π6+1
∵0∴12∴−ab+62∈−92,−4,
即AB⋅BC+BC⋅CA+CA⋅AB的取值范围为−92,−4.