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2023-2024学年江苏省南京市秦淮中学高二（下）期末数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年江苏省南京市秦淮中学高二（下）期末数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−4x+3≤0}，B={x|2A. {x|3≤x<4}B. {x|1≤x≤3}C. {x|22.复数z=3−i1+i的虚部为( )
A. 2B. −2C. 2iD. −2i
3.已知向量a=(1,2)，b=(x,3).若a⊥(a−b)，则x=( )
A. −6B. −1C. 32D. 6
4.已知直线l：y=kx和圆C：(x−1)2+(y−1)2=1，则“k=0”是“直线l与圆C相切的”( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
5.已知抛物线y=14x2上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为9 3π，则圆锥的高为( )
A. 3B. 2 3C. 3 2D. 3 3
7.已知sin(α+β)=m，tanαtanβ=2，则sin(α−β)=( )
A. m3B. −m3C. 3mD. −3m
8.已知函数f(x)=ax−1,x<1,x2−2ax,x≥1满足对∀x1，x2∈R且x1≠x2，有f(x1)−f(x2)x1−x2>0成立，则实数a的取值范围是( )
A. (0,1)B. (0,1]C. (0,23]D. [23,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.第一组样本数据x1，x2，…，xn，第二组样本数据y1，y2，…，yn，其中yi=2xi−1(i=1,2,…,n).则( )
A. 第二组样本数据的样本平均数小于第一组样本数据的样本平均数的2倍
B. 第二组样本数据的中位数大于第一组样本数据的中位数的2倍
C. 第二组样本数据的样本标准差等于第一组样本数据的样本标准差的2倍
D. 第二组样本数据的样本极差等于第一组样本数据的样本极差的2倍
10.已知函数f(x)=sin(2x+π3)，g(x)=cs(2x+π6)，则下列说法正确的是( )
A. y=f(x)的图象关于点(π12,0)对称
B. g(x)在区间[π2,5π6]上单调递增
C. 将g(x)图象上的所有点向右平移π6个单位长度即可得到f(x)的图象
D. 函数ℎ(x)=f(x)+g(x)的最大值为 3
11.已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=π3.将△DAC沿着对角线AC折起至△D′AC，连结BD′.设二面角D′−AC−B的大小为θ，则下列说法正确的是( )
A. 若四面体D′ABC为正四面体，则θ=π3
B. 四面体D′ABC的体积最大值为1
C. 四面体D′ABC的表面积最大值为8
D. 当θ=2π3时，四面体D′ABC的外接球的半径为 213
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=ax−1 ax2−4ax+2的定义域为R，则实数a的取值范围为______．
13.若(2x2−1x)n的展开式中第5项为常数项，则该常数项为______.(用数字表示)
14.“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则P(B|A)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a2+b2=c2+ 2ab，sinC− 2csB=0，
(1)求B；
(2)若a= 3+1，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知A(0,3)和P(3,32)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点P且斜率为12的直线l交C于另一点B，求△ABP的面积．
17.(本小题15分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，AB的中点．
(1)证明：直线BC1//平面A1ECF；
(2)求点B到平面A1ECF的距离．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2−ax+aex，其中a∈R．
(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)当a>0时，若f(x)在区间[0,a]上的最小值为1e，求a的值．
19.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn.若对每一个n∈N∗，有且仅有一个m∈N∗，使得Sm≤an(1)若{an}的前四项依次为0，1，−1，1，试判断{an}是否为“X数列”，并说明理由；
(2)若Sn=2n，证明{an}为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.C
5.D
6.D
7.A
8.C
9.ACD
10.BCD
11.BD
12.[0,12)
13.60
14.1011
15.解：(1)由a2+b2=c2+ 2ab，得a2+b2−c2= 2ab，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab= 22，结合C∈(0,π)，可得C=π4，
由sinC− 2csB=0，得csB= 22sinC=12，结合B∈(0,π)，得B=π3；
(2)由(1)的结论，可得sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC= 6+ 24，
当a= 3+1时，由正弦定理asinA=bsinB，得b=asinBsinA=( 3+1)× 32 6+ 24= 6．
所以△ABC的面积S=12absinC=12( 3+1)⋅ 6⋅ 22=3+ 32．
16.解：(1)由题意知，b=39a2+94b2=1，
解得a=2 3，b=3，
所以椭圆C的标准方程为x212+y29=1．
(2)由题意知，直线l的方程为y=12(x−3)+32=12x，
联立y=12xx212+y29=1，解得x=3y=32或x=−3y=−32，即B(−3,−32)，
所以|BP|=2 32+(32)2=3 5，
而点A到直线l的距离d=|0−3| 14+1=6 55，
所以△ABP的面积S=12|BP|⋅d=12×3 5×6 55=9．
17.(1)证明：如图，连接EF，因为E，F分别是C1D1，AB的中点，所以EC1=BF，
所以四边形EFBC1为平行四边形，则EF//BC1．
又EF⊂平面A1ECF，BC1⊄平面A1ECF，所以BC1//平面A1ECF．
(2)解：连接EB.设点B到平面A1ECF的距离为ℎ．VE−BFC=13S△BFC⋅CC1=23，
在△EFC中，EF=2 2，EC=FC= 5，S△EFC=12×2 2× 5−2= 6．
又因为VE−BFC=VB−EFC，所以13× 6ℎ=23，解得ℎ= 63．
18.解：(1)当a=0，f(x)=x2ex，f′(x)=2x−x2ex，
所以f(1)=1e，f′(1)=1e，
所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−1e=1e(x−1)，
即y=xe；
(2)f′(x)=−x2−(a+2)x+2aex=−(x−2)(x−a)ex，
若0所以f(x)min=f(a)=aea=1e，
考虑g(a)=aea，a∈R，则g′(a)=1−aea，
所以在(−∞,1)上，g′(a)>0，g(a)递增；在(1,+∞)上，g′(a)<0，g(a)递减；
所以g(a)的极大值为g(1)=1e，
所以由aea=1e，可得a=1．
19.解：(1){an}不为“X数列”.理由如下：
由题意得：S1=0，S2=1，S3=0，S4=1，
因为S1≤a1所以{an}不为“X数列”；
(2)证明：因为Sn=2n，
所以当n=1时，a1=S1=2，所以2m≤2<2m+1，解得m=1，所以b1=S2−a1=4−2=2，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−1，所以2m≤2n−1<2m+1，解得n−2所以，对每一个n∈N∗，有且仅有一个m∈N∗，使得Sm≤an故{an}为“X数列”，且其“余项数列”的通项为bn=2,n=12n−1,n≥2．
1.已知集合A={x|x2−4x+3≤0}，B={x|2
A. 2B. −2C. 2iD. −2i
3.已知向量a=(1,2)，b=(x,3).若a⊥(a−b)，则x=( )
A. −6B. −1C. 32D. 6
4.已知直线l：y=kx和圆C：(x−1)2+(y−1)2=1，则“k=0”是“直线l与圆C相切的”( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
5.已知抛物线y=14x2上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为9 3π，则圆锥的高为( )
A. 3B. 2 3C. 3 2D. 3 3
7.已知sin(α+β)=m，tanαtanβ=2，则sin(α−β)=( )
A. m3B. −m3C. 3mD. −3m
8.已知函数f(x)=ax−1,x<1,x2−2ax,x≥1满足对∀x1，x2∈R且x1≠x2，有f(x1)−f(x2)x1−x2>0成立，则实数a的取值范围是( )
A. (0,1)B. (0,1]C. (0,23]D. [23,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.第一组样本数据x1，x2，…，xn，第二组样本数据y1，y2，…，yn，其中yi=2xi−1(i=1,2,…,n).则( )
A. 第二组样本数据的样本平均数小于第一组样本数据的样本平均数的2倍
B. 第二组样本数据的中位数大于第一组样本数据的中位数的2倍
C. 第二组样本数据的样本标准差等于第一组样本数据的样本标准差的2倍
D. 第二组样本数据的样本极差等于第一组样本数据的样本极差的2倍
10.已知函数f(x)=sin(2x+π3)，g(x)=cs(2x+π6)，则下列说法正确的是( )
A. y=f(x)的图象关于点(π12,0)对称
B. g(x)在区间[π2,5π6]上单调递增
C. 将g(x)图象上的所有点向右平移π6个单位长度即可得到f(x)的图象
D. 函数ℎ(x)=f(x)+g(x)的最大值为 3
11.已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=π3.将△DAC沿着对角线AC折起至△D′AC，连结BD′.设二面角D′−AC−B的大小为θ，则下列说法正确的是( )
A. 若四面体D′ABC为正四面体，则θ=π3
B. 四面体D′ABC的体积最大值为1
C. 四面体D′ABC的表面积最大值为8
D. 当θ=2π3时，四面体D′ABC的外接球的半径为 213
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=ax−1 ax2−4ax+2的定义域为R，则实数a的取值范围为______．
13.若(2x2−1x)n的展开式中第5项为常数项，则该常数项为______.(用数字表示)
14.“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则P(B|A)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a2+b2=c2+ 2ab，sinC− 2csB=0，
(1)求B；
(2)若a= 3+1，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知A(0,3)和P(3,32)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点P且斜率为12的直线l交C于另一点B，求△ABP的面积．
17.(本小题15分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，AB的中点．
(1)证明：直线BC1//平面A1ECF；
(2)求点B到平面A1ECF的距离．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2−ax+aex，其中a∈R．
(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)当a>0时，若f(x)在区间[0,a]上的最小值为1e，求a的值．
19.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn.若对每一个n∈N∗，有且仅有一个m∈N∗，使得Sm≤an
(2)若Sn=2n，证明{an}为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.C
5.D
6.D
7.A
8.C
9.ACD
10.BCD
11.BD
12.[0,12)
13.60
14.1011
15.解：(1)由a2+b2=c2+ 2ab，得a2+b2−c2= 2ab，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab= 22，结合C∈(0,π)，可得C=π4，
由sinC− 2csB=0，得csB= 22sinC=12，结合B∈(0,π)，得B=π3；
(2)由(1)的结论，可得sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC= 6+ 24，
当a= 3+1时，由正弦定理asinA=bsinB，得b=asinBsinA=( 3+1)× 32 6+ 24= 6．
所以△ABC的面积S=12absinC=12( 3+1)⋅ 6⋅ 22=3+ 32．
16.解：(1)由题意知，b=39a2+94b2=1，
解得a=2 3，b=3，
所以椭圆C的标准方程为x212+y29=1．
(2)由题意知，直线l的方程为y=12(x−3)+32=12x，
联立y=12xx212+y29=1，解得x=3y=32或x=−3y=−32，即B(−3,−32)，
所以|BP|=2 32+(32)2=3 5，
而点A到直线l的距离d=|0−3| 14+1=6 55，
所以△ABP的面积S=12|BP|⋅d=12×3 5×6 55=9．
17.(1)证明：如图，连接EF，因为E，F分别是C1D1，AB的中点，所以EC1=BF，
所以四边形EFBC1为平行四边形，则EF//BC1．
又EF⊂平面A1ECF，BC1⊄平面A1ECF，所以BC1//平面A1ECF．
(2)解：连接EB.设点B到平面A1ECF的距离为ℎ．VE−BFC=13S△BFC⋅CC1=23，
在△EFC中，EF=2 2，EC=FC= 5，S△EFC=12×2 2× 5−2= 6．
又因为VE−BFC=VB−EFC，所以13× 6ℎ=23，解得ℎ= 63．
18.解：(1)当a=0，f(x)=x2ex，f′(x)=2x−x2ex，
所以f(1)=1e，f′(1)=1e，
所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−1e=1e(x−1)，
即y=xe；
(2)f′(x)=−x2−(a+2)x+2aex=−(x−2)(x−a)ex，
若0
考虑g(a)=aea，a∈R，则g′(a)=1−aea，
所以在(−∞,1)上，g′(a)>0，g(a)递增；在(1,+∞)上，g′(a)<0，g(a)递减；
所以g(a)的极大值为g(1)=1e，
所以由aea=1e，可得a=1．
19.解：(1){an}不为“X数列”.理由如下：
由题意得：S1=0，S2=1，S3=0，S4=1，
因为S1≤a1
(2)证明：因为Sn=2n，
所以当n=1时，a1=S1=2，所以2m≤2<2m+1，解得m=1，所以b1=S2−a1=4−2=2，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−1，所以2m≤2n−1<2m+1，解得n−2
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