数学八年级上册13.3.2 等边三角形第2课时教学设计

这是一份数学八年级上册13.3.2 等边三角形第2课时教学设计，共5页。教案主要包含了情境引入，教学建议，对应训练，随堂训练，课堂总结，知识结构，作业布置等内容，欢迎下载使用。


解题大招一 寻找隐含的30°角解题
在运用含30°角的直角三角形的性质时，有时30°角题目中并没有直接给出，这时需仔细观察图形，找出隐藏的30°角．如，碰到等边三角形，则考虑60°角的余角为30°，或60°角平分后得到30°角；碰到底角为15°的等腰三角形，则考虑利用三角形外角的性质得到30°的角．
例1 如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，DE⊥BC于点E，AB＝4.求CE的长．
分析：根据等边三角形的性质得到CD的长，又由DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，
则可进一步求得CE的长．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，AC＝AB＝4.
∵D是AC的中点，∴CD＝eq \f(1,2)AC＝2.∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°，∴∠CDE＝90°－∠C＝30°.∴CE＝eq \f(1,2)CD＝1.
例2 如图，在等边三角形ABC中，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为N，连接AM，求证：AM＝2MN.
分析：利用等边三角形的性质及△ABC “三线合一”的性质推知∠BAM＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得出结论．
证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.
又M为BC的中点，∴∠BAM＝eq \f(1,2)∠BAC＝30°.∵MN⊥AB，∴AM＝2MN.
例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD＝13 cm，求AC的长．
解：∵AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，∴AD＝BD＝13 cm.
∴∠DAE＝∠B＝15°.∴∠ADC＝∠DAE＋∠B＝30°.
又∠ACB＝90°，∴AC＝eq \f(1,2)AD＝6.5 cm.
例4 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P是BC上一点，且∠BAP＝90°，CP＝6 cm.求BP的长．
分析：先根据等腰三角形的性质及等角对等边求得AP＝CP，再利用含30°角的直角三角形的性质求得BP的长即可．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵∠BAC＝120°，∠BAP＝90°，
∴∠PAC＝∠BAC－∠BAP＝30°.∴∠C＝∠PAC.∴AP＝CP＝6 cm.
∵∠BAP＝90°，∠B＝30°，∴BP＝2AP＝12 cm.
解题大招二 先构造直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质解题
类型1 作辅助线形成斜边
例5 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，斜边AB的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D，AE＝8 cm，求BC的长．
分析：连接BE，根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝8 cm，从而可得∠ABE＝15°，然后利用三角形外角的性质可得∠CEB＝30°，最后在Rt△CEB中利用含30°角的直角三角形的性质进行计算．
解：如图，连接BE.∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE＝8 cm.∴∠ABE＝∠A＝15°.
∴∠CEB＝∠A＋∠ABE＝30°.∵∠C＝90°，∴BC＝eq \f(1,2)BE＝4 cm.
类型2 作辅助线形成直角边
例6 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝18，点D在BC上，AD＝AC，若BD＝5，求CD的长．
分析：
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，则∠AEB＝90°.∵∠B＝60°，∴∠BAE＝90°－∠B＝30°.∴BE＝eq \f(1,2)AB.
∵AB＝18，∴BE＝9.∵BD＝5，∴DE＝BE－BD＝9－5＝4.∵AD＝AC，AE⊥CD，∴CD＝2DE＝8.
培优点 利用含30°角的直角三角形的性质解决动点问题
例 如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6 cm，点D从点A出发沿AC以1 cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发沿CB以2 cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t s，解决以下问题：
(1)当t为何值时，△DEC为等边三角形？
(2)当t为何值时，△DEC为直角三角形？
分析：(1)根据等边三角形的判定条件列方程求出t的值；
(2)分两种情况讨论：①∠DEC为直角，②∠EDC为直角，在两种情况下分别利用
30°角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出t的值．
解：(1)根据题意可得AD＝t cm，CD＝(6－t)cm，CE＝2t cm.
∵∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝90°－∠B＝60°，∴当CD＝CE时，△DEC为等边三角形．
∴6－t＝2t.∴t＝2.∴当t为2时，△DEC为等边三角形．
(2)若△DEC为直角三角形，分两种情况讨论：
①当∠DEC为直角时，∠EDC＝90°－∠C＝30°，∴CE＝eq \f(1,2)CD，即2t＝eq \f(1,2)(6－t)．∴t＝eq \f(6,5)；
②当∠EDC为直角时，∠DEC＝90°－∠C＝30°，∴CD＝eq \f(1,2)CE，即6－t＝eq \f(1,2)×2t.∴t＝3.
综上所述，当t为eq \f(6,5)或3时，△DEC为直角三角形．
教学目标
课题
13.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质
授课人
素养目标
1.掌握含30°角的直角三角形的边角性质.
2.经历探究含30°角的直角三角形性质的过程，提升推理能力.
3.合理应用含30°角的直角三角形的性质，强化应用意识.
教学重点
含30°角的直角三角形的性质的发现与应用．
教学难点
含30°角的直角三角形的性质与其他知识的综合应用.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设情境，导入新课
设计意图
由熟悉的三角板引入课题.
【情境引入】
我们经常使用的三角板，其中一块含有30°的锐角．量一量30°角所对的直角边的长度，再量一量这块三角板斜边的长度，它们有什么关系？大胆猜一猜.
【教学建议】
让学生测量后自由回答.
活动二：观察猜想，探究求证
设计意图
结合等边三角形的知识推出含30°角的直角三角形的性质.
探究点 含30°角的直角三角形的性质
如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起．
你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB
\之间的数量关系吗？
问题1 两个三角尺构成的图案，恰好是一个三角形吗？
是的．∠ACB＋∠ACD＝90°＋90°＝180°，所以点B，C，D在一条直线上．所以两个三角尺构成的图案恰好是一个三角形.
问题2 △ABD是不是等边三角形？说明理由.
是．因为两个三角形尺全等，所以AB＝AD.因为∠BAC＝∠DAC＝30°，所以∠BAD＝30°＋30°＝60°.所以△ABD是等边三角形.
问题3 你能说说BC与AB的长度关系吗？
BC＝eq \f(1,2)AB.理由：因为BC＝CD，所以BC＝eq \f(1,2)BD.
因为△ABD是等边三角形，所以BD＝AB.所以BC＝eq \f(1,2)AB.
你还能用其他方法证明上面的结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.求证：BC＝eq \f(1,2)AB.
证明：如图，在AB边上截取BE＝BC，连接CE.
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°－30°＝60°.
又BE＝BC，∴△BCE是等边三角形.∴BE＝CE＝BC，∠BCE＝60°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠ACB－∠BCE＝30°.
又∠A＝30°，∴∠A＝∠ACE.∴AE＝CE＝BC＝BE.∴BC＝eq \f(1,2)AB.
【教学建议】
给学生强调，使用含30°角的直角三角形的性质时，其前提是在直角三角形中，不要忽视.
这个结论的逆命题也是成立的，即直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°(教学中不必补充，对于学有余力的学生，可做适当介绍)..
教学步骤
师生活动
归纳：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【对应训练】
1．教材P81练习．
2.如图,∠AOB＝30°,点C在射线OB上，若OC＝6，则点C到OA的距离等于3.
活动三：实际应用，加深理解
设计意图
例1与对应训练1是在实际场景中运用含30°角的直角三角形的性质，注意体会直角三角形中角与边的联系.
设计意图
利用例2与对应训练2补充应用场景，注意体会含30°角的直角三角形的性质的其他应用形式.
例1 (教材P81例5)如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°.立柱BC，DE要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC＝eq \f(1,2)AB，DE＝eq \f(1,2)AD. ∴BC＝eq \f(1,2)×7.4＝3.7(m).
又AD＝eq \f(1,2)AB，∴DE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)×3.7＝1.85(m).
答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m.
例2 如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h的速度由西向东航行，上午10时整到达B处，此时测得灯塔C在B处的北偏东60°方向.
(1)求B处到灯塔C的距离；
(2)已知在以灯塔C为中心，周围16 n mile的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由.
解：(1)根据题意得∠BAC＝90°－75°＝15°，∠CBE＝90°－60°＝30°，AB＝15×2＝30(n mile)，∴∠ACB＝30°－15°＝15°.∴∠BAC＝∠ACB.∴BC＝AB＝30 n mile.
答：B处到灯塔C的距离为30 n mile.
(2)会有触礁的危险．理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠CBD＝30°，BC＝30 n mile，∴CD＝eq \f(1,2)BC＝15 n mile.∵15<16，
∴该船继续由西向东航行会有触礁的危险.
【对应训练】
1.如图是屋架设计图的一部分，其中∠A＝30°，点D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，DE＝2 m，求AB的长.
解：∵DE⊥AE，∠A＝30°，
∴AD＝2DE.
∵D是AB的中点，
∴AB＝2AD＝4DE＝8 m.
2.一张展开后桌面平行于地面的折叠型方桌如图甲，从正面看如图乙，已知AO＝BO＝50 cm，CO＝DO＝40 cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB刚好为120°，求桌面到地面的距离.
【教学建议】
通过例1与对应训练1给学生说明，在运用含30°角的直角三角形的性质时，斜边与直角边可以互相推出.
【教学建议】
通过例2与对应训练2给学生说明，有时直角三角形没有直接给出，需先作垂线构造直角三角形，再运用含30°角的直角三角形的性质．其中，根据点到直线的距离作垂线段是一种常见的考查形式.
教学步骤
师生活动
解：如图乙，过点D作DE⊥AB于点E.
∵AO＝BO＝50 cm，CO＝DO＝40 cm，∴AD＝AO＋DO＝50＋40＝90(cm).
∵AO＝BO，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝eq \f(180°－120°,2)＝30°.
∴DE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)×90＝45(cm).
又桌面与地面平行，
∴可知桌面到地面的距离是45 cm.
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边与斜边有什么关系？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P83习题13.3第15题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．
板书设计
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
教学反思
在探究30°角所对的直角边与斜边的关系时，学生说理的方法比较多样化，在教学中对于这种现象，要尽可能地对学生进行肯定.